Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I):

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1 Esame di Fisica per Ineneria Elettronica e delle elecomunicazioni (Parte I): adecum: Nello svolimento dei problemi è indispensabile evidenziare: () quali lei o principi si applicano per risolverli; (2) le espressioni ormali utilizzate; (3) le espressioni numeriche utilizzate con le relative unità di misura. Problema. Un punto materiale che si trova a livello del suolo ad una distanza d da un muro verticale, viene sparato verso il muro con una velocità v che orma un anolo di 30 con l orizzontale e il cui modulo è pari a v = 2m/s. Dopo aver toccato il muro il punto materiale rimbalza elasticamente:. Per quale valore di d il muro viene colpito all altezza massima e quale è il valore dell altezza massima 2. A che distanza dal muro cade il punto materiale una volta che lo ha urtato. Problema 2. Un punto materiale di massa m = k è inizialmente ermo sulla sommità di un cuneo con un proilo circolare liscio di raio R = m (vedi iura). Il cuneo, di massa M = 3k, può scivolare su di un piano orizzontale senza attrito ed è anch esso inizialmente ermo. Al tempo t = 0 il punto materiale viene lasciato libero. Determinare: () Quali siano le randezze isiche che si conservano durante il moto e spieare in dettalio il perchè. (2) le velocità inali del punto materiale, v, e del cuneo,, una volta che il punto materiale è sceso dal cuneo. colleati come in iura da un ilo inestensibile e di mastrito, di raio R e di Cambierebbe momento d inerzia qualcosa I. se Siilassume proilo del cuneo non osse circolare? ci sia attrito namico ra i Problema 3. Due blocchi di massa m = 3K e m 2 = 0.5K sono m 2 colleati come in iura da un ilo inestensibile e di massa trascurabile mostrato in R m F F che passa per una puleia cilindrica, priva di attrito, di raio R = 20cm, massa M =.5K. Si assume che non ci sia scivolamento del il coeiciente di attrito dinamico ra i due blocchi sia µ d = 0.5. Se si applica una orza F orizzontale al blocco o e 2 ( > 0, 2 > 0) le orze di tensione esercitate attrito aente (come sulla massa mostrato 2. Le inequazioni iura). Il del suo moto modulo per leè F = 0N, calcolare: F a 2 + a 2 ). l accelerazione del blocco ; 2. l accelerazione anolare della puleia. Problema 4. Un contenitore cilindrico di sezione S viene riempito d?acqua ino all altezza h i = 30cm dal ondo. te orza di reazione a aente sulla massa! All altezza h di, la puleia ha accelerazione = 5cm dal ondo viene praticato un piccolo oro, di sezione s anolare non nulla!. Sapendo che s /S = 0. orda si traduce nelle (a) seuenti con quale relazioni velocità ra accelerazioni: l?acqua esce se dal oro? cui: (b) scrivere l equazione di dierenziale che determina come cambia l altezza del luido nel contenitore (v = a dh 2 le biatomico a seue il ciclo reversibile ttivamente 2 p Problema 5. Una quantità di n = 2.00mol di un as ideale biatomico seue il ciclo reversibile a p A =6.00 C mostrato in iura, nel quale le trasormazioni AB, BC e CA sono rispettivamente un isobara, R 2 )a = F 2 a, 2µ d m 2 espansione m 2 + I/R 2 di rendimento del ciclo e, nel caso, se ne 2µ d m 2 + m 2 + I/R 2 )R B A le ha sezione A 0 =.00 m 2 e altezza H =2.00 m. Nella à superiore vi sono n = 90.0 mol di un as ideale. Il calore. La temperaturadel siamo scrivere rispettivamente le seuenti as ase 3p A del C = recipiente p A A, e l acqua ll acqua la temperatura dei H nte inare: che è C = A,avremo icato il oro e un momento acqua ilo nella puleia, che non ci sia attrito ra il piano e il blocco e che un adiabatica ed un isoterma. Sapendo che nello stato A la pressione ed il volume del as sono pari a P A = 6.00atm e A = 0.0dm 3 e che P C = 3P A, determinare:. Le coordinate termodinamiche dei punti A, B, C 2. Il rendimento del ciclo η R

2 Soluzioni dell Esame di Fisica per Ineneria Elettronica e delle elecomunicazioni (Parte I): Soluzione Problema. Se poniamo l oriine nella posizione dove si trova il muro con l asse delle x che va dal muro alla posizione di partenza del corpo. Le equazioni orarie del punto materiale sono x = d v cos αt y = 2 t2 + v sin αt Allora il muro viene urtato al tempo t = d v cos α all altezza y(t ) = 2 d 2 Dobbiamo trovare il massimo di y(t ) al variare di d; si trova che y d (t ) = v 2 cos 2 α + tan α = 0 y max = 2 v4 cos 2 α sin 2 α v 2 cos 2 α 2 + tan α v2 cos α sin α Al momento dell urto le componenti velocità sono v 2 cos 2 α + d tan α d max = v2 cos α sin α = 8cm. = v 2 sin 2 α + v2 sin 2 α = v2 sin 2 α = 5.cm 2 2 v 2 cos v x = v cos α e v y = v sin α t = v sin α α sin α v cos = 0 α Allora quando la pallina urta il muro elasticamente la pallina viene rilessa v y v y e v x v x e seue una nuova parabola con queste condizioni iniziali. Ossia x = v cos αt La pallina toccherà il suolo di nuovo per t = v sin α y = 2 t2 + d max = 2 t2 + v2 sin 2 α 2 x 0 = v cos α v sin α e quindi = v2 cos α sin α = ( 2 t 2 v2 sin 2 ) α 2 = d max Alternativamente uno potrebbe osservare che siccome il muro rilette solo la velocità luno l asse x. La nuova parabola è la rilessa rispetto al muro della parabola oriinaria. Dunque la distanza che x che cerchiamo è uuale alla distanza tra il secondo zero della parabola oriinaria ed il muro. quindi R y = 2 t2 + v sin αt = 0 t = 2v sin α x = d max 2v2 sin α cos α = d max. Soluzione Problema 2. L unica orza esterna che aisce sul sistema cuneo più pallina è la ravità (dato che siamo in assenza di attrito). Essa aisce luno l asse verticale (y). Questo siniica che la quantità di moto luno la direzione orizzontale (x) è conservata. Ossia mv x + M x = 0 Inoltre siccome la orza di ravità è conservativa e poichè le orze interne (reazioni vincolari) non anno lavoro (sono ortoonali allo spostamento), l eneria meccanica si conserva ovvero 2 mv2 + 2 M 2 + mh = mr.

3 All istante iniziale le velocità sono nulle ed il corpo m si trova ad un altezza R dal suolo, quindi la sua eneria meccanica iniziale è semplicemente mr. Quando il corpo arriva in ondo al cuneo entrambe le velocità hanno componenti solo luno l asse x ed h = 0 quindi abbiamo { 2 mv2 x + 2 M 2 x = mr mv x + M x = 0 Dalla seconda ricaviamo che x = m M v x, quindi sostituendo nella prima equazione troviamo e quindi 2 mv 2 x + 2 M m 2 M 2 v2 x = mr x = m M v 2 x = 2MR M + m v x = 2MR M + m = 3.84m/s =.28m/s. 3 2MR M + m = = 3.84m/s 3 + In virtù dell analisi atta che si basa solo sulle lei di conservazione possiamo concludere che il risultato non dipende dalla orma del cuneo, ma solo dall altezza a cui viene lasciata cadere la pallina. α 2 2 a m 2 m a y F x Soluzione Problema 3. Si noti che siccome la carrucola non è ideale ovvero ha una massa ed una dimensione inita le tensioni dai due lati della carrucola e 2 non sono uuali! Sul corpo m 2 aisce la tensione 2 e la orza di attrito a che il corpo esercita sul corpo 2. Se denotiamo con a 2 l accelerazione del corpo 2 abbiamo m 2 a 2 = a 2 Sul corpo di massa m aiscono la tensione, la orza esterna F e per il terzo principio della dinamica la orza di attrito a che il corpo 2 esercita sul corpo. Denotiamo con a l accelerazione del corpo m a = a + F Consideriamo ora l equazione del moto per la carrucola. Essa ruota poichè 2 Iα = R( 2 ). Abbiamo un vincolo eometrico che deriva dall inenstensibilità del ilo. I suoi estremi avranno accelerazioni opposte a = a, a 2 = a ed inine α = a R. abbiamo il sistema m a = 2 a m 2 a = a + F Ia R 2 = ( 2 ) Ricordiamoci ora che la orza di attrito dinamico è data da µ d m 2. se sommiamo tutte le equazioni otteniamo (m + m 2 + IR 2 ) a = F 2 a a = F 2µ dm 2 m + m M =.20m/s2 L accelerazione anolare è data da α = a R = F 2µ d m 2 R(m + m 2 + = 6s 2 2M)

4 Soluzione Problema 4. Applichiamo la lee di Bernoulli sulla supericie S a h = h i e sulla supericie s del oro P i + 2 ρ H 2Ov 2 i + ρ H2Oh i = P + 2 ρ H 2Ov 2 + ρ H2Oh Si noti che sia P i che P sono pari alla pressione atmoserica dunque Se ora usiamo la lee di Leonardo abbiamo ossia 2 (v2 v 2 i ) = (h i h ) s v = Sv i v i = s S v. ( ) 2 v2 s2 S 2 = (h i h ) v = 2(h i h ) s2 S 2 = 2.22m/s Per determinare come varia con il tempo l altezza notiamo che se denotiamo con v = dh la velocità della supericie del luido abbiamo ( ) 2 dh v 2 = 2(h h) Se uso la lee di Leonardo abbiamo v = dh S s ( ) ) 2 dh (S 2 s 2 = 2(h h ) dh = 2(h h ) iatomico seue il ciclo reversibile S 2 s amente 2 p =6.00 C Soluzione Problema 5. La temperatura nel punto A può essere determinata con l equazione di stato dei as peretti B A è adiabatica mentre CA è isoterma possiamo scrivere ansione P B γ B = P C γ C e P A A = P C C ndimento del ciclo e, nel caso, se ne Se teniamo conto che P A = P B e P C = 3P A, dall isoterma troviamo che o scrivere rispettivamente le seuenti he è C = Calcoliamoci A,avremo il rendimento nel ciclo. Luno la trasormazione adiabatica ovviamente Q(B C) = 0. Calcoliamoci poi il calore scambiato durante l isobara da A a B: A =7.3 dm 3 ; Dall adiabatica invece troviamo che A = P A A nr = 6atm 0l 2mol l atm K mol = K. [P A = 6.00atm e A = 0l e A = K]. Poi tenendo conto che la trasormazione BC C = 3 A = 3.33l B = (3) /γ C = (3) γ γ A = ( ) 2 7 0l = 7.3l 3 ( Nel punto B abbiamo P A C = p A A, B = P A = 6atm, B = 0.2l, B = B A A = ) 2 7 A 3 = Nel punto C abbiamo P C = 3P A = 8atm, C = 3.33l e C = A = K. Q(A B) = nc P ( B A ) = 2mol 7 2 8, 34472J K mol (267. K K) = J. 67K. Invece il calore scambiato durante l isoterma è Q(C A) = L(C A) = nr A lo A C = 2mol 8, 34472J K mol K lo 3 = J,

5 η = L tot Q(C A) + Q(A B) Q(A B) = = + Q(C A) Q(C A) Q(C A) = = 0.24