TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI

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1 Università degli Studi di Udine, Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esami di FISICA I 9 CFU) e Fisica Generale 1 12 CFU) A.A. 218/219, Sessione di Gennaio/Febbraio, Primo Appello, 21 Gennaio 219, Prova scritta TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI PROBLEMA 1 Un veicolo, avente una massa M = 1 kg trattarlo come un corpo puntiforme) è inizialmente fermo su un tratto di strada rettilineo e orizzontale; a partire dall istante t = il veicolo si mette in moto e la sua velocità istantanea cresce seguendo la legge oraria vt) = At Bt 2 con A = 6. m/s 2 e B =. m/s fino all istante t f = 1. s, mentre per t > t f si mantiene costante e pari vt f ). Determinare: a) la velocità del veicolo all istante t = t f ; b) a che distanza dalla posizione iniziale si trova il veicolo all istante t = t f. Il moto del veicolo di cui sopra) è determinato dalla spinta del motore che indicheremo con Ft) dato che dipenderà dal tempo). Sapendo che, oltre a Ft), sul veicolo agisce anche una forza resistente, dovuta alla resistenza dell aria, opposta al moto avente modulo Rt) = kv 2 t) con k = 1.7 N s 2 /m 2, determinare: c) l espressione di Ft) nell intervallo di tempo [,t f ]; d) il valore della spinta del motore all istante t = t f cioè il valore di Ft f )); e) facoltatitivo) il lavoro compiuto da Ft) nell intervallo di tempo [,2t f ]. Per t = t f abbiamo vt f ) = v f = At f Bt 2 f =. m/s = 18 km/h. La distanza del veicolo dalla posizione iniziale corrisponde alla posizione all istante t = t f. E cioè xt f ) = vt)dt = At Bt 2 )dt = 1 2 A 1 ) Bt f t 2 f = 2 m. Applicando la 2 a legge della dinamica possiamo scrivere l equazione del moto del veicolo e da questa si ricava immediatamente l espressione di Ft) come segue dove at) = dv dt Mat) = Ft) kv 2 t) Ft) = Mat)+kv 2 t), è l accelerazione del moto. Nell intervallo indicato è e si noti anche che è at f ) =! Perciò e at) = dv dt = A 2Bt, Ft) = Mat)+kv 2 t) = MA 2Bt)+kAt Bt 2 ) 2, Ft f ) = Mat f )+kv 2 t f ) = kvf 2 = 15 N. Finiamo quindi con considerazioni energetiche. Si noti che nell intervallo di tempo [,2t f ] possiamo scrivere dal teorema dell energia cinetica) K = K f = 1 2 Mv2 f = L F +L R dove L F e L R sono, rispettivamente, i lavori compiuti dalla forza F e dalla resistenza dell aria. Pertanto, il lavoro cercato al punto e) sarà dato da con L F = 1 2 Mv2 f L R. 2tf 2tf L R = k v 2 t)dx = k v t)dt = k dove l ultimo termine deriva dal fatto che per t > t f è vt) = v f. At Bt 2 ) dt kv ft f

2 Quindi, osservando che è L R = k = k si ottiene At Bt 2 ) dt kvft f = A t A 2 Bt 4 +AB 2 t 5 B t 6 )dt kvft f = 1 4 A t 4 f 5 A2 Bt 5 f AB2 t 6 f 1 ) 7 B t 7 f kvft f = J J = J L F = 1 2 Mv2 f L R = J J = J PROBLEMA 2 Due cilindri omogenei identici, di massa M = 2. kg e raggio R sono posti sulle due falde del doppio piano inclinato schematizzato in figura; gli angoli di inclinazione delle due falde sono rispettivamente θ 1 falda disinistra)eθ 2 =. faldadidestra). Intornoalcilindro di destra è avvolta una corda idealeinestensibile e di massa trascurabile) il cui altro estremo, dopo essere passata per la piccola puleggia ideale in figura, è agganciato al centro di massa del cilindro di sinistra. Si assuma che la corda non possa slittare rispetto al cilindro su cui è avvolta e che entrambi i cilindri sia in quiete che in moto) non possano mai scivolare rispetto ai piani di appoggio. Sapendo che i cilindri vengono lasciati andare in quiete) dalla disposizione di figura, determinare: a) per quale valore di θ 1 i due cilindri rimangono in equilibrio statico; b) i minimi valori dei coefficienti di attrito statico che dovrebbero presentare i due piani di appoggio affinchè, nel caso a), lo slittamento dei cilindri non sia effettivamente possibile. c) le accelerazioni con cui si muoverebbero i centri di massa dei due cilindri quando θ 1 = θ 2 =., specificando le direzioni dei corrispondenti moti; d) la tensione della corda nel caso c). Prima di tutto consideriamo il diagramma delle forze o diagramma di corpo libero) del nostro sistema vedi la figura sottostante). Si noti che il verso delle due forze di attrito statico f f fs1 e f f fs2 sono stati scelti a caso; saranno i calcoli a stabilire la correttezza, o meno, dei versi scelti. Si noti anche che i moduli delle forze T T T1 e T T T2 sono uguali e pari alla tensione T della corda. Nella figura sono stati indicati anche le direzioni e i versi degli assi x e y rispetto ai quali scomporremo le forze ai fini della costruzione delle equazioni del moto dei due cilindri. A tal fine, precisiamo che verranno presi come positivi i momenti uscenti dalla pagina rotazioni antiorarie). θ 1 R M R M θ 2 T T T2 x y θ 1 N N N T T T 1 1 f f f s1 M g g g N N N2 M g g g f f f s2 θ 2 x y Consideriamo quindi il caso statico prospettato al punto a). Utilizzando il diagramma delle forze e applicando ai due cilindri la 2 a legge della dinamica nelle forme lineare e angolare applicata al punto di contatto con i rispettivi piani di appoggio) si ottengono i due seguenti sistemi di equazioni sinistra e destra come per i cilindri): = Mgsinθ 1 T f s1 = N 1 Mgcosθ 1 = MgRsinθ 1 RT Combinando le terze equazioni dei due sistemi ) otteniamo ; = T Mgsinθ 2 f s2 = N 2 Mgcosθ 2. ) = 2RT MgRsinθ 2 T = Mgsinθ 1 2sinθ 1 = sinθ 2 sinθ 1 = 1 2 sinθ 2 = 1 4, dalla quale vediamo che l angolo cercato è θ 1 = arcsin ) 1 =

3 Conseguentemente, sostituendo T = Mgsinθ 1 nella coppia delle prime equazioni delle ), si ha f s1 = Mgsinθ 1 T = ; f s2 = T Mgsinθ 2 = Mgsinθ 1 sinθ 2 ) = 1 2 Mgsinθ 2 = 1 4 Mg. La prima ci dice che nel caso statico non c è bisogno di attrito per non far scivolare il cilindro di sinistra e quindi µ s1,min = ). Invece per il cilindro di destra la forza di attrito statico è opposta a quanto scelto nel diagramma e, ottenendo N 2 = Mgcosθ 2 dalla seconda equazione di destra delle ), per il corrispondente coefficiente di attrito statico si ha f s2 µ s2 N 2 µ s2 µ s2,min = f s2 N 2 = 1 2 Mgsinθ 2 Mgcosθ 2 = 1 2 tanθ 2 = 1 2 tan =.289. Consideriamo ora il caso dinamico prospettato al punto c) in cui θ 1 = θ 2 =. L attuale pendenza della falda di sinistra è maggiore che nel caso statico e quindi sarà ragionevole pensare che il sistema si sbilanci verso sinistra: così, mentre il cilindro di sinistra scenderà lungo il suo piano, quello di destra risalirà l altro versante. Le equazioni del moto sono ora le seguenti: Ma 1 = Mgsinθ 1 T f s1 = N 1 Mgcosθ 1 I P α 1 = MgRsinθ 1 RT ; Ma 2 = T Mgsinθ 2 f s2 = N 2 Mgcosθ 2, ) I P α 2 = 2RT MgRsinθ 2 dove I P = 2 MR2 è il momento d inerzia dei due cilindri rispetto ai rispettivi punti di istantaneo contatto con i rispettivi piani di appoggio. Tenendo presente che data la scelta degli assi) tutte le accelerazioni, sia quelle dei centri di massa dei cilindri a 1 e a 2 che quelle angolari α 1 e α 2, sono positive i cilindri accelerano nel verso degli assi x scelti e le rotazioni sono antiorarie ed accelerate), tenendo conto del puro rotolamento dei cilindri e della inestensibilità della corda, si ricavano le seguenti relazioni α 1 = a 1 R ; a 2 = a 1 2 ; α 2 = a 2 R = a 1 2R. Quindi, estraendo la coppia delle terze equazioni delle ) e sostituendo le precedenti si ottiene il seguente sistema a 1 I P R = 1 2 MgR RT a 1 I P 2R = 2RT 1, 2 MgR dove abbiamo utilizzato il fatto che è sinθ 1 = sinθ 2 = sin = 1/2. Risolvendo si ottiene a 1 = 1 MgR 2 = 2 5 I p 15 g = 1.1 m/s2 ; a 2 = a 1 2 =.654 m/s2 ; T = 5 Mgsinθ 1 = Mg = 58.9 N. 1 Infine, sfruttando la coppia delle prime equazioni delle ) si noti che anche se non richiesto dal problema) per le forze di attrito statico si ricava f s1 = 1 15 Mg = 1.1 N; f s2 = 1 Mg = 589 N. I segni di questi ultimi risultati mostrano che mentre f f fs1 è orientata come scelto nel diagramma delle forze, f f fs2 ha verso opposto. PROBLEMA Un gas ideale biatomico segue il ciclo termodinamico reversibile delineato in figura, costituito dalle trasformazioni A B, B C isobara) e C A isocora). Nello stato A si ha p A = 6. atm, = 1 dm e T A = 6 K; nello stato C è p A = 2. atm e V C =. Nello stato B si avrà sempre p B = p C, ma volume e temperatura del gas dipenderanno dalla natura della trasformazione A B. A seconda che la trasformazione A B sia un isoterma o un adiabatica, determinare: p A C B V

4 a) il volume e la temperatura del gas nello stato B; b) il lavoro prodotto dall intero ciclo; c) il rendimento del ciclo, specificando quale dei due quello con l isoterma o quello con l adiabatica) ha rendimento maggiore. Prima di tutto si noti che, indipendente dal tipo della trasformazione A B, il numero di moli di gas ideale e la sua temperatura nello stato C sono date dalle seguenti: n = p A = 12.2 mol; T C = pc p A ) T A = T A = 2 K. Consideriamo quindi il caso in cui A B corrisponde ad un espansione isoterma. In tale caso dovrà essere T B = T A e ) pa p B V B = p A V B = = = dm =. m. Per il lavoro nell intero ciclo abbiamo p C L = Q = Q AB +Q BC +Q CA, con Q AB = L AB = VB pdv = n VB Q BC = nc p T C T B ) = p A 7 2 Q CA = nc V T A T C ) = p A 5 2 ) dv V = p VB A ln = p A ln = J > ; ) 1 1 = 7 p A = J < ; 1 1 ) = 5 p A = J >. Quindi è L = ln 2 ) p A =.42 p A = J. Osservando infine i segni dei calori scambiati nelle tre trasformazioni, si vede subito che il calore assorbito nell intero ciclo è pari a Q ass = Q AB +Q CA = p A ln+ 5 ), e, conseguentemente, il rendimento del ciclo è η isot. = L Q ass = ln 2 ln+ 5 =.156. Consideriamo ora il caso in cui A B corrisponde ad un espansione adiabatica e quindi essendo il gas biatomico) con = 7 5 = 1.4. Essendo le trasformazioni A B e B C rispettivamente adiabatica e isobara, possiamo scrivere le seguenti T B V 1 B = T A V 1 A e da queste si ricava T A = V B T B V B = TA T C ) 1/ = 1/ = 2.19 =.219 m ; T B = 1 TA =.71 T A = 48 K. Essendo ora Q AB, il lavoro nell intero ciclo è L = Q = Q BC +Q CA,

5 con Q CA identico a quello già ricavato in precedenza la trasformazione C A non cambia) e Q BC = nc p T C T B ) = p ) A RT 1 A = 7 ) 1 1 p A = 1.9 p A = J <. 2 Quindi è L = [ ) ] p A =.276 p A = J. 2 Infine, notando che ora il calore assorbito nell intero ciclo è pari a Q ass = Q CA = 5 p A, il rendimento del ciclo è η adiab. = L Q ass = [ ) ] / = =.166, che risulta essere maggiore di quello ottenuto nel caso di A B isoterma.