Logica per la Programmazione

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1 Logica del Primo Ordine: Motivazioni, Sintassi e Interpretazioni Logica per la Programmazione Lezione 7 Semantica della Logica del Primo Ordine pag. 1

2 Esempio di Semantica: Alfabeto e Interpretazioni Consideriamo l alfabeto C = {a, b, c} F = {} P = {p} V = {x, y} Interpretazione I 1 Dominio: le città italiane Le costanti a, b e c rappresentano le città italiane Milano, Roma, Pontedera, rispettivamente p(x) = T se x è capoluogo di provincia, F altrimenti Interpretazione I 2 Dominio: l insieme di numeri naturali {5, 10, 15} Le costanti a, b e c corrispondono ai valori 5, 10 e 15, rispettivamente p(x) = T se x è multiplo di 5, F altrimenti Interpretazione I 3 come I 2, ma Dominio: l insieme dei numeri naturali pag. 2

3 Esempio di Semantica: Valore di Verità di Formule Dominio a b c p(x) I 1 città italiane Milano Roma Pontedera x capoluogo I 2 {5, 10, 15} x multiplo di 5 I 3 numeri naturali x multiplo di 5 Formula Valore in I 1 Valore in I 2 Valore in I 3 p(a) T T T p(b) T T T p(c) F T T p(a) p(c) F T T ( x.p(x)) T T T ( x.p(x)) F T F ( x.p(x)) ( y. p(y)) T F T pag. 3

4 Sommario Finora abbiamo associato un valore di verità alle formule in modo informale: vedremo ora la definizione formale della semantica Siamo interessati a fornire la semantica delle formule chiuse rispetto ad una interpretazione pag. 4

5 Interpretazione: Richiamo Una intepretazione (rispetto ad un alfabeto A = (V, C, F, P) è definita come I = (D, α) dove: D è un insieme (detto dominio dell interpretazione) Una funzione di interpretazione α che associa: ad ogni costante c C un elemento del dominio D, denotata da α(c) ad ogni simbolo di funzione f F di arietà n una funzione (denotata da α(f )) che data una n-upla di elementi di D restituisce un elemento di D ad ogni simbolo di predicato p P di arietà zero (un simbolo proposizionale) un valore di verità (indicato da α(p)) ad ogni simbolo di predicato p P di arietà n (un predicato n-ario), una funzione (indicato da α(p)) che data una n-upla di elementi di D restituisce un valore di verità pag. 5

6 La Semantica della Logica del Primo Ordine Fissiamo un linguaggio del primo ordine, ovvero un alfabeto A = (V, C, F, P) Data una interpretazione I = (D, α) e una formula chiusa φ, vogliamo definire in modo formale la semantica di φ in I, cioè il suo valore di verità Tale valore di verità si calcola procedendo in maniera induttiva sulla formula φ Per far questo, dobbiamo prima dare la semantica dei termini che compaiono in φ I termini chiusi (che non contengono variabili) denotano elementi del dominio di interpretazione D La semantica dei termini (che denota un elemento del dominio) si calcola analogamente procedendo in maniera induttiva pag. 6

7 La Semantica: Commenti È conveniente dare la semantica per formule generali Consideremo formule aperte che possono contenere variabili libere Analogamente consideremo termini aperti che possono contenere variabili La semantica di termini e formule aperte dipende da un assegnamento che associa un elemento del dominio ad ogni variabile pag. 7

8 Assegnamenti Per dare la semantica ad una formula (o termine) aperta rispetto ad una interpretazione I = (D, α) introduciamo un assegnamento Un assegnamento è una funzione che associa ad ogni variabile in V un elemento del dominio: ρ : V D Con ρ[d/x] intendiamo l assegnamento ρ modificato in modo tale che associ alla variabile x V il valore del dominio d D, ovvero { d se x = y ρ[d/x] = ρ(y) altrimenti Esempio: Dati D = N e V = {x, y, z} assumiamo ρ dove ρ(x) = 0, ρ(y) = 3, ρ(z) = 1. Allora ρ[15/z] = ρ 1 corrisponde a: ρ 1 (x) = 0, ρ 1 (y) = 3, ρ 1 (z) = 15 pag. 8

9 Semantica dei Termini Aperti Ricordiamo la definizione (induttiva) sintattica di termine: Ogni costante c C è un termine e ogni variabile x V è un termine Se f F è un simbolo di funzione con arietà n e t1,..., t n sono termini, allora f (t 1,..., t n ) è un termine Data una interpretazione I = (D, α) ed un assegnamento ρ : V D, la semantica di un termine t, in simboli α ρ (t), è un elemento del dominio α ρ (t) è ottenuta per induzione strutturale con le tre regole: (R0) se t è la variabile x allora α ρ (t) = ρ(x) (R1) se t è una costante c allora α ρ (t) = α(c) (R3) se t è il termine f (t 1,..., t n ) e α ρ (t 1 ) = d 1,..., α ρ (t n ) = d n, allora α ρ (t) = α(f )(d 1,..., d n ) pag. 9

10 Un Esempio di Interpretazione Alfabeto C = {a} F = {f} con arietà 1 P = {p} con arietà 2 V = {x, y, z} Interpretazione I = (D, α) D = N, insieme dei numeri naturali α(a) = 0 α(f) è la funzione successore α(f)(n) = n + 1 α(p) è la relazione di maggiore sui naturali pag. 10

11 Esempio: Semantica di un Termine Chiuso Determiniamo la semantica del termine chiuso f(f(f(a))) rispetto all interpretazione I = (D, α) ed all assegnamento ρ dove Calcoliamo α ρ (f(f(f(a)))): ρ(x) = 2, ρ(y) = 3, ρ(z) = 1 α ρ (f(f(f(a)))) = α(f)(α ρ (f(f(a)))) = α ρ (f(f(a))) + 1 = α(f)(α ρ (f(a))) + 1 = α ρ (f(a)) = α(f)(α ρ (a)) + 2 = α ρ (a) = α(a) = = 3 La semantica di un termine è un elemento del dominio!!! Dato che il termine è chiuso la semantica non dipende da ρ pag. 11

12 Esempio: Semantica di un Termine Aperto Consideriamo di nuovo l interpretazione I = (D, α) e ll assegnamento ρ dove ρ(x) = 2, ρ(y) = 3, ρ(z) = 1 Determiniamo la semantica del termine aperto f(f(x)): α ρ (f(f(x))) =... = α ρ (x) = ρ(x) = 4. Dato che il termine è aperto la semantica in questo caso dipende dall assegnamento ρ!!!!! pag. 12

13 Semantica delle Formule Data una interpretazione I = (D, α) ed un assegnamento ρ : V D, la semantica di un formula (aperta) φ viene indicata con I ρ (φ) La semantica di un formula φ (in simboli I ρ (φ)) si definisce per induzione strutturale sulla formula φ la semantica I ρ (φ) di un formula φ si determina in base alle seguenti regole pag. 13

14 Semantica delle Formule (1): Formule Atomiche Caso base: formule atomiche. Ricordiamo la definizione sintattica dato un simbolo di predicato p P se p ha arietà 0 allora p è una formula (corrisponde a una variabile proposizionale nel CP) se p ha arietà n > 0 e t1,..., t n sono termini allora p(t 1,..., t n ) è una formula. Data una interpretazione I = (D, α) ed un assegnamento ρ : V D definiamo la regola (S1) come segue: se φ = p dove il predicato p ha arietà 0 allora I ρ (φ) = α(p) se φ = p(t 1,..., t n ) e α ρ (t 1 ) = d 1,..., α ρ (t n ) = d n, allora I ρ (φ) = α(p)(d 1,..., d n ) pag. 14

15 Semantica delle Formule (2): Connettivi Logici (S2) se φ = (P) allora I ρ(φ) = I ρ(p) (S3) se φ = P allora { T se Iρ(P) = F I ρ(φ) = F se I ρ(p) = T (S4) se φ = P Q allora { T se Iρ(P) = T e I ρ(q) = T I ρ(φ) = F altrimenti (S5) se φ = P Q allora { F se Iρ(P) = F e I ρ(q) = F I ρ(φ) = T altrimenti (S6) se φ = P Q allora { F se Iρ(P) = T e Iρ(Q) = F I ρ(φ) = T altrimenti (S7) se φ = P Q allora { T se Iρ(P) = I ρ(q) I ρ(φ) = F altrimenti pag. 15

16 Semantica delle Formule (3): Quantificatori (S8) se φ = ( x.p) allora { T se Iρ[d/x] (P) = T per qualunque d D I ρ (φ) = F altrimenti (S9) se φ = ( x.p) allora { T se Iρ[d/x] (P) = T per almeno d D I ρ (φ) = F altrimenti Nota: l uso dell assegnamento ρ è necessario per le regole dei quantificatori (S8) ed (S9) infatti la sottormula P è tipicamente una formula aperta pag. 16

17 Semantica: Esercizio 1 Mostrare che la formula φ 1 = ( x.q(x) ( y.p(x, y))) è vera nell interpretazione I = (D, α), dove D = {a, b} ed α è definita come segue: { T se x = a e y = a oppure x = a e y = b α(p)(x, y) = F altrimenti { T se x = a oppure x = b α(q)(x) = F altrimenti Procedimento: Calcolare il valore di I ρ0 (φ 1 ) usando le regole (S1)-(S9) per induzione strutturale, dove ρ 0 è un assegnamento arbitrario. pag. 17

18 Semantica: Esercizio 2 Calcolare il valore di verità della formula φ 2 = ( x.p(x) Q(x) R(x))) rispetto all interpretazionei = (D, α), dove D = {a, b, c} ed α è definita come segue: { T se z = a oppure z = b α(p)(z) = F se z = c { T se z = a oppure z = c α(q)(z) = F se z = b { T se z = b α(r)(z) = F se z = a oppure z = c Procedimento: Calcolare il valore di I ρ0 (φ 2 ) usando le regole (S1)-(S9) per induzione strutturale, dove ρ 0 è un assegnamento arbitrario. pag. 18