Esercizi con i tableaux in logica del primo ordine

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1 Esercizi con i tableaux in logica del primo ordine Sandro Zucchi Regole per Q(TAB) Il sistema di tableaux che abbiamo adottato per LQ consiste nelle regole di LP(TAB) + le regole seguenti: dove ϕ(c ) è un istanza di ϕ(v ) e ϕ(v ), e ϕ ( c / u) è qualunque risultato si ottiene sostituendo la costantec ad alcune o tutte le occorrenze della costanteu in ϕ. 1

2 Metodi formali per filosofi 2 Come costruire i tableaux per LQ (Bonevac) Vediamo ora alcuni esempi di tableaux in modo da capire come vanno applicate le regole di Q(TAB). L affermazione seguente è corretta: (1) x (R (x) D (x)), x (D (x) P (x)) Q(T AB) x (R (x) P (x)) Ecco un tableau che lo mostra: Nel costruire questo tableau, finché era possibile abbiamo evitato di introdurre delle diramazioni, seguendo una strategia che applichiamo anche per i tableaux della logica proposizionale. Inoltre, abbiamo applicato la massima seguente, che è di aiuto per semplificare i tableaux della logica del primo ordine: applica e prima di applicare e (cioè, applica le regole che introducono costanti nuove appena possibile). Consideriamo ora l affermazione seguente: (2) x ((C (x) S (x)) D (x)) Q(T AB) x (D (x) C (x)) Questo tableau mostra che l affermazione è corretta:

3 Metodi formali per filosofi 3 In questo tableau, come in quello precedente, quando abbiamo applicato le regole e, non abbiamo introdotto costanti nuove, ma abbiamo invece usato delle costanti già disponibili nel tableau. Se introducessimo sempre costanti nuove quando applichiamo e, alcuni tableaux non chiuderebbero mai, mentre invece chiudono se usiamo costanti già disponibili. Dunque, un altra massima importante da seguire è questa: non introdurre costanti nuove a meno che non sia richiesto. A meno che non sia richiesto qui vuol dire: a meno che non sia richiesto dalla regola (come nel caso di e ) oppure non siano ancora state introdotte costanti nel tableau (nel qual caso anche l applicazione di e porta a introdurre costanti nuove). In alcuni tableaux, le regole e vengono applicate più di una volta. In particolare, se è possibile applicare o su un ramo, dobbiamo farlo per ogni costante presente sul ramo (a meno che il ramo non chiuda prima). Ecco un esempio. L albero seguente mostra che l affermazione (3) è corretta: (3) x y (F (x) G (y)) Q(T AB) y x (F (x) G (y))

4 Metodi formali per filosofi 4 I passi in blu sono ottenuti applicando due volte la regola alla formula in rosso. Si noti che, se avessimo applicato la regola una volta sola, l albero non avrebbe chiuso. Dunque, un altra massima importante da seguire è questa: continua a istanziare fin quando è possibile, usando delle costanti che sono già sul ramo. Infine, vediamo un esempio di tableau che fa uso delle regole = e. Supponiamo di voler dimostrare che l affermazione seguente è vera: (4) x y(x = y y = x) (simmetria dell identità) Questo tableau fa al caso nostro:

5 Metodi formali per filosofi 5 Contro-modelli In Q(TAB), come negli altri sistemi di tableaux, se un tableau (finito) non chiude, è possibile sfruttare l informazione contenuta in un ramo aperto del tableau per costruire un contro-modello. L idea è questa: per ogni costante individualec sul ramo che non compare in frasi della forma c = u (dove c e u sono costanti individuali distinte), introduciamo un nuovo individuo i c nel dominio e introduciamo la condizione F(c )= i c nel modello; per le costanti individuali che occorrono in frasi della forma c = u, u = d, ecc. (dove c, u sono costanti individuali distinte), introduciamo un nuovo individuo i c nel dominio e introduciamo le condizioni F(c)= i c, F(u)= i c, F(d )= i c, ecc. nel modello; se una frase della forma P (c ) occorre sul ramo, l individuo i c deve appartenere a F(P ); se una frase della forma P (c ) occorre sul ramo, l individuo i c non può appartenere a F(P ); se una frase della forma P (c,..., d ) occorre sul ramo, la n-upla < i c,..., i d > deve appartenere a F(P ); se una frase della forma P (c,..., d ) occorre sul ramo, la n-upla < i c,..., i d > non può appartenere a F(P ). Ecco un esempio di come costruire un contro-modello in base a queste indicazioni. Si consideri l albero seguente: Quest albero non chiude e questo ci mostra che x (F (x) G (x)) Q(T AB) x (F (x) G (x))

6 Metodi formali per filosofi 6 Possiamo trovare un contro-modello che rende vera la premessa e falsa la conclusione basandoci su uno dei rami che sono rimasti aperti. Consideriamo, ad esempio, il ramo più a sinistra. L unica costante presente sul ramo è a. Quindi, il dominio D del nostro contro-modello conterrà i a come unico elemento, dove F(a) = i a. Inoltre, il ramo più a sinistra non contiene formule atomiche, ma contiene F (a) e G(a). Dunque, nel nostro modello a non appartiene a F(G) e non appartiene a F(F ). Possiamo soddisfare questa condizione assumendo che F(F ) = F(G) =. Riassumendo, un contro-modello che fa al caso nostro è qualsiasi modello M = < D, F >, dove D = {i a } F(a) = i a F(F ) = F(G) = È facile verificare che M rende vera la premessa x (F (x) G (x)) e falsa la conclusione x (F (x) G (x)). Infatti, l unica a-variante di M è il modello M stesso (in quanto il dominio contiene un unico individuo). E, in M, (F (a) G (a)) è vera, in quanto l antecedente F (a) è falso (dal momento che F(F ) =, e dunque i a / F(F )). Dunque, la premessa x (F (x) G (x)) è vera in M, in quanto (F (a) G (a)) è vera in ogni a-variante. D altra parte, non esiste alcuna a-variante di M in cui (F (a) G (a)) è vera, poiché, come abbiamo visto, F (a) è falsa nell unica a-variante di M. Dunque, x (F (x) G (x)) è falsa in M.

7 Metodi formali per filosofi 7 Tableaux infiniti Q(TAB) può dar luogo a tableaux infiniti. Ecco un esempio: Quest albero non chiude, ma il ramo non termina mai. Quando non è chiaro se il tableau chiude o no, il contro-modello, se esiste, deve essere dato direttamente, senza l aiuto del tableau. Ok, ora siamo pronti per passare agli esercizi. Primo esercizio (Bonevac) Controlla la verità di ciascuna delle affermazioni seguenti usando Q(TAB). Se la conclusione non è derivabile dalle premesse, estrai un contro-modello dall albero e mostra che rende le premesse vere e la conclusione falsa. a. x y(r(x, y) R(y, x)), x y z((r(x, y) R(y, z)) R(x, z)) Q(T AB) xr(x, x) b. Q(T AB) x x=x (riflessività dell identità) c. Q(T AB) x y z((x = y y = z) x = z) (transitività dell identità) d. x(p (x) Q(x)), x(q(x) S(x)) Q(T AB) x(p (x) S(x)) e. Q(T AB) xp (x) xp (x) f. x(p (x) Q(x)) Q(T AB) x Q(x) g. a = b Q(T AB) x y(p (y) x = y)