Anelli e Domini Euclidei Considerazioni di tipo geometrico relative ad alcuni anelli
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- Luigina Blasi
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1 Anelli e Domini Euclidei Considerazioni di tipo geometrico relative ad alcuni anelli Pietro Zanoni Università degli Studi, facoltà di Scienze Anelli e Domini Euclidei p.1/39
2 Qui comincia la sventura... Siamo a conoscenza del fatto che non tutti i sottoanelli di C della forma Z[ m] sono Domini Euclidei Forti. Anelli e Domini Euclidei p.2/39
3 Qui comincia la sventura... Siamo a conoscenza del fatto che non tutti i sottoanelli di C della forma Z[ m] sono Domini Euclidei Forti. In altre parole, dati a,b A, b 0, non sempre esistono q,r A tali che è possibile effettuare la divisione con resto così definita: Anelli e Domini Euclidei p.2/39
![forma Z[ m] sono Domini Euclidei Forti.](/docs-images/55/11297026/images/page_3.jpg "In altre parole, dati a,b A, b 0, non sempre esistono q,r A tali che è")
4 Qui comincia la sventura... Siamo a conoscenza del fatto che non tutti i sottoanelli di C della forma Z[ m] sono Domini Euclidei Forti. In altre parole, dati a,b A, b 0, non sempre esistono q,r A tali che è possibile effettuare la divisione con resto così definita: { a = bq + r r < b Anelli e Domini Euclidei p.2/39
![Z[ m] sono Domini Euclidei Forti.](/docs-images/55/11297026/images/page_4.jpg "In altre parole, dati a,b A, b 0, non sempre esistono q,r A tali che è")
5 Qui comincia la sventura... Siamo a conoscenza del fatto che non tutti i sottoanelli di C della forma Z[ m] sono Domini Euclidei Forti. In altre parole, dati a,b A, b 0, non sempre esistono q,r A tali che è possibile effettuare la divisione con resto così definita: { a = bq + r r < b A differenza di quanto accade su Z, q e b in generale non sono unici. Anelli e Domini Euclidei p.2/39
6 Divisione su Z[ m] A partire dalla definizione precedente, ottengo la seguente condizione sufficiente a garantire che un anello è Dominio Euclideo Forte: Anelli e Domini Euclidei p.3/39
7 Divisione su Z[ m] A partire dalla definizione precedente, ottengo la seguente condizione sufficiente a garantire che un anello è Dominio Euclideo Forte: w C devono esistere q Z[ m] t C t.c. t < 1 t.c. ab 1 = q + t Anelli e Domini Euclidei p.3/39
![anello è Dominio Euclideo Forte: w C devono esistere q Z[ m]](/docs-images/55/11297026/images/page_7.jpg "t C t.c. t < 1 t.c. ab 1 = q + t Anelli e Domini Euclidei p.")
8 Condizioni sulla divisione in Z[ m I i termini q,t,ab 1 possono essere scomposti in questo modo: Anelli e Domini Euclidei p.4/39
9 Condizioni sulla divisione in Z[ m I i termini q,t,ab 1 possono essere scomposti in questo modo: q = q 1 + q 2 m t = t 1 + t 2 m ab 1 = q + t = z 1 + z 2 m Anelli e Domini Euclidei p.4/39
10 Condizioni sulla divisione in Z[ m I i termini q,t,ab 1 possono essere scomposti in questo modo: q = q 1 + q 2 m t = t 1 + t 2 m ab 1 = q + t = z 1 + z 2 m In seguito useremo questa simbologia. Anelli e Domini Euclidei p.4/39
11 Condizioni sulla divisione in Z[ m Sviluppando la condizione t < 1 giungo a questa disequazione: (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 m q2 m) 2 < 1 Anelli e Domini Euclidei p.5/39
12 Condizioni sulla divisione in Z[ m Sviluppando la condizione t < 1 giungo a questa disequazione: (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 m q2 m) 2 < 1 La considero in funzione di z 1,z 2 m e pensando q 1,q 2 m come parametri. Anelli e Domini Euclidei p.5/39
13 Condizioni sulla divisione in Z[ m Sviluppando la condizione t < 1 giungo a questa disequazione: (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 m q2 m) 2 < 1 La considero in funzione di z 1,z 2 m e pensando q 1,q 2 m come parametri. Osservo che questa disuguaglianza è analoga a quella che descrive l interno d un cerchio, ossia (x a) 2 + (y b) 2 < 1. Anelli e Domini Euclidei p.5/39
14 Condizioni sulla divisione in Z[ m Dunque la precedente disequazione individua un cerchio aperto di raggio unitario centrato in q 1 + q 2 m Z[ m]. Anelli e Domini Euclidei p.6/39
15 Condizioni sulla divisione in Z[ m Dunque la precedente disequazione individua un cerchio aperto di raggio unitario centrato in q 1 + q 2 m Z[ m]. Quindi è possibile effettuare la divisione con resto tra a,b Z[ m] se e solo se esiste q 1 + q 2 m Z[i] tale che il punto che rappresenta ab 1 ricade all interno del cerchio di raggio unitario centrato in q 1 +q 2 m. Anelli e Domini Euclidei p.6/39
![Quindi è possibile effettuare la divisione con resto tra a,b Z[ m] se e solo se esiste q 1 + q 2 m](/docs-images/55/11297026/images/page_15.jpg "Z[i] tale che il punto che rappresenta ab 1 ricade all interno del cerchio di raggio unitario")
16 Gli interi di Gauss Considero l anello Z[i], noto anche come insieme degli interi di Gauss e ripenso al significato delle affermazioni precedenti. Anelli e Domini Euclidei p.7/39
17 Gli interi di Gauss Considero l anello Z[i], noto anche come insieme degli interi di Gauss e ripenso al significato delle affermazioni precedenti. Z[i] è Dominio Euclideo Forte se e solo se per ogni punto di C sul piano complesso esiste un cerchio di raggio unitario centrato in un elemento di Z[i] che lo contiene. Anelli e Domini Euclidei p.7/39
![Z[i] è Dominio Euclideo Forte se e solo se per ogni punto di C sul piano complesso](/docs-images/55/11297026/images/page_17.jpg "esiste un cerchio di raggio unitario centrato in un elemento di Z[i] che lo contiene.")
18 Gli interi di Gauss Considero l anello Z[i], noto anche come insieme degli interi di Gauss e ripenso al significato delle affermazioni precedenti. Z[i] è Dominio Euclideo Forte se e solo se per ogni punto di C sul piano complesso esiste un cerchio di raggio unitario centrato in un elemento di Z[i] che lo contiene. I cerchi di questo genere devono quindi costituire un ricoprimento aperto di C. Da un punto di vista grafico è immediato accorgersene. Anelli e Domini Euclidei p.7/39
![Z[i] è Dominio Euclideo Forte se e solo se per ogni punto di C sul piano complesso esiste un cerchio di raggio unitario](/docs-images/55/11297026/images/page_18.jpg "centrato in un elemento di Z[i] che lo contiene.")
19 Copertura aperta di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.8/39
20 Copertura aperta di C y O 1 x Anelli e Domini Euclidei p.8/39
21 Copertura aperta di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.8/39
22 Copertura aperta di C x y Anelli e Domini Euclidei p.8/39 O
23 Copertura aperta di C x y Anelli e Domini Euclidei p.8/39 O
24 Unicità di resto e quoziente In generale, i punti del piano complesso sono coperti da più d un cerchio; ve ne sono fino a 4. Anelli e Domini Euclidei p.9/39
25 Unicità di resto e quoziente In generale, i punti del piano complesso sono coperti da più d un cerchio; ve ne sono fino a 4. Per questo è possibile effettuare la divisione in più modi: (5 + 7i) = (0 + i)(3 5i) + 4i = ( 1 + i)(3 5i) + (3 i) = (0 + 2i)(3 5i) + ( 5 + i) = ( 1 + 2i)(3 5i) + ( 2 4i) Anelli e Domini Euclidei p.9/39
26 Condizioni più restrittive È possibile coprire C tramite regioni di area minore rispetto ai cerchi di raggio unitario. Questo risultato si ottiene imponendo condizioni più restrittive sul resto della divisione. Anelli e Domini Euclidei p.10/39
27 Condizioni più restrittive È possibile coprire C tramite regioni di area minore rispetto ai cerchi di raggio unitario. Questo risultato si ottiene imponendo condizioni più restrittive sul resto della divisione. { ab 1 = (q 1 + iq 2 ) + (t 1 + it 2 ) t 1 1 2, t Anelli e Domini Euclidei p.10/39
28 Copertura alternativa di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.11/39
29 Copertura alternativa di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.11/39
30 L anello Z[ 2] Analizziamo ora l anello dato da Z[ 2]. Anelli e Domini Euclidei p.12/39
31 L anello Z[ 2] Analizziamo ora l anello dato da Z[ 2]. Partendo dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 2]: Anelli e Domini Euclidei p.12/39
32 L anello Z[ 2] Analizziamo ora l anello dato da Z[ 2]. Partendo dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 2]: a,b Z[ 2] devono esistere Anelli e Domini Euclidei p.12/39
33 L anello Z[ 2] Analizziamo ora l anello dato da Z[ 2]. Partendo dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 2]: a,b Z[ 2] devono esistere q Z[ 2] t C t.c. t < 1 t.c. ab 1 = q + t Anelli e Domini Euclidei p.12/39
34 L anello Z[ 2] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli interi di Gauss, concludo che Z[ 2] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione Anelli e Domini Euclidei p.13/39
35 L anello Z[ 2] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli interi di Gauss, concludo che Z[ 2] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 2 q2 2) 2 < 1 Anelli e Domini Euclidei p.13/39
36 Copertura aperta di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.14/39
37 Copertura aperta di C y 2 O x Anelli e Domini Euclidei p.14/39
38 Copertura aperta di C y O x Anelli e Domini Euclidei p.14/39
39 Copertura aperta di C y x Anelli e Domini Euclidei p.14/39 O
40 Copertura aperta di C y x Anelli e Domini Euclidei p.14/39 O
41 Conclusioni su Z[ 2] È un Dominio Euclideo Forte; Poiché i cerchi aperti si sovrappongono in determinate regioni, devo poter effettuare la divisione con resto in più modi. È possibile realizzare una copertura alternativa per Z[ 2] imponendo una condizione più restrittiva sul resto, come già avevamo fatto su Z[i]. Anelli e Domini Euclidei p.15/39
42 Unicità di resto e quoziente Ecco un esempio di divisione non unica tra elementi di Z[ 2]: Anelli e Domini Euclidei p.16/39
43 Unicità di resto e quoziente Ecco un esempio di divisione non unica tra elementi di Z[ 2]: ( ) = (0 + 0)(2 4 2) + ( ) = ( 1 + 0)(2 4 2) + (3 2) = (0 + 2)(2 4 2) + ( 7 + 2) = ( 1 + 2)(2 4 2) + ( 5 3 2) Anelli e Domini Euclidei p.16/39
44 Condizioni più restrittive È possibile coprire C tramite regioni di area minore rispetto ai cerchi di raggio unitario imponendo condizioni più restrittive sul resto della divisione: Anelli e Domini Euclidei p.17/39
45 Condizioni più restrittive È possibile coprire C tramite regioni di area minore rispetto ai cerchi di raggio unitario imponendo condizioni più restrittive sul resto della divisione: { ab 1 = q 1 + iq t1 + it 2 2 t 1 1 2, t Anelli e Domini Euclidei p.17/39
46 x Anelli e Domini Euclidei p.18/39 Copertura alternativa di C y O
47 x Anelli e Domini Euclidei p.18/39 Copertura alternativa di C y O
48 L anello Z[ 5] Analizziamo ora l anello Z[ 5]. Anelli e Domini Euclidei p.19/39
49 L anello Z[ 5] Analizziamo ora l anello Z[ 5]. A partire dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 5]: Anelli e Domini Euclidei p.19/39
50 L anello Z[ 5] Analizziamo ora l anello Z[ 5]. A partire dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 5]: a,b Z[ 5] devono esistere Anelli e Domini Euclidei p.19/39
51 L anello Z[ 5] Analizziamo ora l anello Z[ 5]. A partire dalle disequazioni viste in precedenza, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 5]: a,b Z[ 5] devono esistere q Z[ 5] t C t.c. t < 1 t.c. w = q + t Anelli e Domini Euclidei p.19/39
52 Divisione su Z[ 5] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli interi di Gauss, concludo che Z[ 5] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione Anelli e Domini Euclidei p.20/39
53 Divisione su Z[ 5] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli interi di Gauss, concludo che Z[ 5] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 5 q2 5) 2 < 1 Anelli e Domini Euclidei p.20/39
54 Cerchi aperti su Z[ 5] y O x Anelli e Domini Euclidei p.21/39
55 Cerchi aperti su Z[ 5] y 5 O x Anelli e Domini Euclidei p.21/39
56 Cerchi aperti su Z[ 5] y O x Anelli e Domini Euclidei p.21/39
57 Cerchi aperti su Z[ 5] y O x Anelli e Domini Euclidei p.21/39
58 Cerchi aperti su Z[ 5] y x Anelli e Domini Euclidei p.21/39 O
59 Conclusioni su Z[ 5] Risulta evidente dalle immagini presentate come i cerchi di equazione 1 > (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 2 q2 2) 2 non costituiscono un ricoprimento per Z[ 5]. Ne concludiamo che Z[ 5] non è un Dominio Euclideo Forte. Anelli e Domini Euclidei p.22/39
60 Ultime osservazioni su Z[ 5] È immediato osservare che su Z[ 5] non vale la fattorizzazione unica: 6 = 2 3 = (1 + i 5) (1 i 5) Anelli e Domini Euclidei p.23/39
61 Ultime osservazioni su Z[ 5] È immediato osservare che su Z[ 5] non vale la fattorizzazione unica: 6 = 2 3 = (1 + i 5) (1 i 5) Questo fatto è dato dall impossibilità di effettuare la divisione con resto. Se è possibile fattorizzare in più modi un numero, è impossibile effettuare l algoritmo di Euclide tra due fattori delle diverse fattorizzazioni. Anelli e Domini Euclidei p.23/39
62 Ultime osservazioni su Z[ 5] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i 5. Anelli e Domini Euclidei p.24/39
63 Ultime osservazioni su Z[ 5] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i i 5 = i 5 Anelli e Domini Euclidei p.24/39
64 Ultime osservazioni su Z[ 5] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i i 5 = i i 5 non cade in alcun cerchio aperto, di conseguenza non è un quoziente che permetta di effettuare la divisione con resto. Anelli e Domini Euclidei p.24/39
65 L anello Z[ 3] Consideriamo infine l anello Z[ 3]. Anelli e Domini Euclidei p.25/39
66 L anello Z[ 3] Consideriamo infine l anello Z[ 3]. Partendo sempre dalle disequazione viste inizialmente, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 3]: Anelli e Domini Euclidei p.25/39
67 L anello Z[ 3] Consideriamo infine l anello Z[ 3]. Partendo sempre dalle disequazione viste inizialmente, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 3]: a,b Z[ 3] devono esistere Anelli e Domini Euclidei p.25/39
68 L anello Z[ 3] Consideriamo infine l anello Z[ 3]. Partendo sempre dalle disequazione viste inizialmente, ottengo la seguente condizione per poter svolgere la divisione con resto su Z[ 3]: a,b Z[ 3] devono esistere q Z[ 3] t C t.c. t < 1 t.c. ab 1 = q + t Anelli e Domini Euclidei p.25/39
69 Divisione su Z[ 3] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli altri anelli in esame, concludo che Z[ 3] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione Anelli e Domini Euclidei p.26/39
70 Divisione su Z[ 3] Ripetendo le osservazioni fatte in precedenza per gli altri anelli in esame, concludo che Z[ 3] è un Dominio Euclideo Forte se e solo se è interamente coperto dai cerchi dati dalla disequazione (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 3 q2 3) 2 < 1 Anelli e Domini Euclidei p.26/39
71 Cerchi aperti su Z[ 3] y O x Anelli e Domini Euclidei p.27/39
72 Cerchi aperti su Z[ 3] y 3 O x Anelli e Domini Euclidei p.27/39
73 Cerchi aperti su Z[ 3] y O x Anelli e Domini Euclidei p.27/39
74 Cerchi aperti su Z[ 3] y O x Anelli e Domini Euclidei p.27/39
75 Cerchi aperti su Z[ 3] y x Anelli e Domini Euclidei p.27/39 O
76 Cerchi aperti su Z[ 3] y x O Anelli e Domini Euclidei p.27/39
77 Cerchi aperti su Z[ 3] y x O Anelli e Domini Euclidei p.27/39
78 Conclusioni su Z[ 3] I cerchi aperti d equazione (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 3 q2 3) 2 < 1 non costituiscono un ricoprimento per C: i punti della forma n 1 + n con n 1,n 2 Z non sono compresi in alcun cerchio aperto. Anelli e Domini Euclidei p.28/39
79 Conclusioni su Z[ 3] I cerchi aperti d equazione (z 1 q 1 ) 2 + (z 2 3 q2 3) 2 < 1 non costituiscono un ricoprimento per C: i punti della forma n 1 + n con n 1,n 2 Z non sono compresi in alcun cerchio aperto. Ne concludiamo che Z[ 3] non è un Dominio Euclideo Forte. Anelli e Domini Euclidei p.28/39
80 Ultime osservazioni su Z[ 3] È immediato osservare che su Z[ 3] non vale la fattorizzazione unica: 4 = 2 2 = (1 + i 3) (1 i 3) Anelli e Domini Euclidei p.29/39
81 Ultime osservazioni su Z[ 3] È immediato osservare che su Z[ 3] non vale la fattorizzazione unica: 4 = 2 2 = (1 + i 3) (1 i 3) Come avevamo notato sull anello Z[ 3], la possibilità di fattorizzare un numero in più modi è strettamente legata all eventualità di non poter svolgere l algoritmo di Euclide tra i fattori delle diverse fattorizzazioni. Anelli e Domini Euclidei p.29/39
82 Ultime osservazioni su Z[ 3] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i 3. Anelli e Domini Euclidei p.30/39
83 Ultime osservazioni su Z[ 3] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i i 3 = i 3 Anelli e Domini Euclidei p.30/39
84 Ultime osservazioni su Z[ 3] Consideriamo l esempio: osservo che non è possibile applicare l algoritmo di Euclide a 2 e 1 + i i 3 = i i 3 non ricade entro alcun cerchio aperto, di conseguenza non è un quoziente che permetta di effettuare la divisione con resto. Anelli e Domini Euclidei p.30/39
85 Il caso degli anelli reali Su un anello del tipo Z[ m] è definita la norma t = t 1 + t 2 m = t 2 1 mt 2 2 Anelli e Domini Euclidei p.31/39
86 Il caso degli anelli reali Su un anello del tipo Z[ m] è definita la norma t = t 1 + t 2 m = t 2 1 mt 2 2 La condizione t < 1 mi porta all equazione (z 1 q 1 ) 2 (z 2 m q2 m) 2 < 1 che individua aree delimitate da iperboli. Anelli e Domini Euclidei p.31/39
87 Il caso degli anelli reali Su un anello del tipo Z[ m] è definita la norma t = t 1 + t 2 m = t 2 1 mt 2 2 La condizione t < 1 mi porta all equazione (z 1 q 1 ) 2 (z 2 m q2 m) 2 < 1 che individua aree delimitate da iperboli. Un anello di questo genere è D.E.F se le aree definite da t < 1 e centrate nei punti (q 1,q 2 ) R 2 costituiscono un ricoprimento per R 2. Anelli e Domini Euclidei p.31/39
88 Esempi riguardanti gli anelli reali Consideriamo ora, a livello di esempio, alcuni anelli reali, del tipo Z[ m]. L anello Z[ 5], che non è D.E.F. perché alcuni punti di R 2 non sono coperti. L anello Z[ 7], che è D.E.F.. L anello Z[ 10], al cui riguardo si nota che le superfici iperboliche non coprono interamente R 2 : restano scoperte delle aree di misura finita non nulla. Anelli e Domini Euclidei p.32/39
89 Osservazioni sulla resa grafica Le aree denotate dall equazione (z 1 q 1 ) 2 (z 2 m q2 m) 2 < 1 sono delimitate da iperboli; quindi alcuni punti di R 2 sono coperti da infinite di queste superfici. Anelli e Domini Euclidei p.33/39
90 Osservazioni sulla resa grafica Le aree denotate dall equazione (z 1 q 1 ) 2 (z 2 m q2 m) 2 < 1 sono delimitate da iperboli; quindi alcuni punti di R 2 sono coperti da infinite di queste superfici. Questa caratteristica rende molto difficile rendere graficamente la copertura del piano. Anelli e Domini Euclidei p.33/39
91 Osservazioni sulla resa grafica Le aree denotate dall equazione (z 1 q 1 ) 2 (z 2 m q2 m) 2 < 1 sono delimitate da iperboli; quindi alcuni punti di R 2 sono coperti da infinite di queste superfici. Questa caratteristica rende molto difficile rendere graficamente la copertura del piano. Le raffigurazioni che seguono, rappresentando solo un numero finito di aree iperboliche, non hanno quindi carattere dimostrativo, bensì esemplificativo. Anelli e Domini Euclidei p.33/39
92 L anello Z[ 5] y O x Anelli e Domini Euclidei p.34/39
93 L anello Z[ 5] y 5 O x Anelli e Domini Euclidei p.34/39
94 L anello Z[ 5] y x O Anelli e Domini Euclidei p.34/39
95 L anello Z[ 5] y x O Anelli e Domini Euclidei p.34/39
96 L anello Z[ 5] y x O Anelli e Domini Euclidei p.34/39
97 L anello Z[ 5] y O x Anelli e Domini Euclidei p.34/39
98 Conclusioni su Z[ 5] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 5 q2 5) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : Anelli e Domini Euclidei p.35/39
99 Conclusioni su Z[ 5] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 5 q2 5) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : i punti della forma n 1 + n con n1,n 2 Z non sono compresi nella superficie coperta. Anelli e Domini Euclidei p.35/39
100 Conclusioni su Z[ 5] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 5 q2 5) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : i punti della forma n 1 + n con n1,n 2 Z non sono compresi nella superficie coperta. Ne concludiamo che Z[ 5] non è un Dominio Euclideo Forte. Anelli e Domini Euclidei p.35/39
101 L anello Z[ 7] y O x Anelli e Domini Euclidei p.36/39
102 L anello Z[ 7] y 7 O x Anelli e Domini Euclidei p.36/39
103 x Anelli e Domini Euclidei p.36/39 L anello Z[ 7] y O
104 x Anelli e Domini Euclidei p.36/39 L anello Z[ 7] y O
105 Conclusioni su Z[ 7] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 7 q2 7) 2 costituiscono un ricoprimento per R 2. Anelli e Domini Euclidei p.37/39
106 Conclusioni su Z[ 7] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 7 q2 7) 2 costituiscono un ricoprimento per R 2. Quindi Z[ 7] è un Dominio Euclideo Forte. Anelli e Domini Euclidei p.37/39
107 L anello Z[ 10] y O x Anelli e Domini Euclidei p.38/39
108 L anello Z[ 10] y 10 O x Anelli e Domini Euclidei p.38/39
109 x L anello Z[ 10] y Anelli e Domini Euclidei p.38/39 O O
110 x L anello Z[ 10] y Anelli e Domini Euclidei p.38/39 O O O
111 Conclusioni su Z[ 10] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 10 q2 10) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : Anelli e Domini Euclidei p.39/39
112 Conclusioni su Z[ 10] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 10 q2 10) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : la simulazione grafica lascia intuire che dall unione di queste aree rimangono escluse parti di piano di misura finita non nulla. Anelli e Domini Euclidei p.39/39
113 Conclusioni su Z[ 10] Le aree iperboliche aperte definite da 1 > (z 1 q 1 ) 2 (z 2 10 q2 10) 2 non costituiscono un ricoprimento per R 2 : la simulazione grafica lascia intuire che dall unione di queste aree rimangono escluse parti di piano di misura finita non nulla. Ne concludiamo Z[ 10] non è un Dominio Euclideo Forte. Anelli e Domini Euclidei p.39/39
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