Dalla dimostrazione tradizionale alla dimostrazione formale

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1 Dalla dimostrazione tradizionale alla dimostrazione formale Il Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

2 e dimostrazioni tradizionali L avvento del computer Una dimostrazione formale di una formula ϕ in una teoria T è una sequenza finita (ϕ 1,..., ϕ n, ϕ) di formule ben formate, ognuna delle quali è un assioma di T o segue dalle formule precedenti tramite una regola di inferenza. [Il matematico] si accontenta in generale di portare l esposizione ad un punto in cui la sua esperienza ed il suo fiuto da matematico gli insegnano che la traduzione in linguaggio formalizzato non sarebbe altro che un esercizio di pazienza (senza dubbio estremamente faticoso). In un testo non formalizzato si è esposti ad errori di ragionamento che rischiano di causare, ad esempio, un uso improprio dell intuizione o del ragionamento per analogia. (Éléments de mathématique di Nicolas Bourbaki, 1939)

5 e dimostrazioni tradizionali L avvento del computer La verifica di un testo formalizzato non richiede che una attenzione meccanica essendo le sole cause di errore possibili dovute alla lunghezza o alla complessità del testo. Oggi esistono dei programmi (proof assistant) in grado di controllare le dimostrazioni formali e di fornire alcuni dei passaggi intermedi. HOL, Mizar, Isabelle, Coq, C-CoRN, ProofPower, etc. Esempi di teoremi formalizzati al computer: 1. Teorema dei numeri primi (Isabelle 2004, 2008) 2. Teorema di incompletezza di Gödel (Boyer-Moore 1986) 3. Teorema della curva chiusa di Jordan ( 2005) 4. Teorema fondamentale dell algebra (Mizar 2000, Coq 2000) 5. Teorema dei quattro colori (Coq 2004)

6 e dimostrazioni tradizionali L avvento del computer La verifica di un testo formalizzato non richiede che una attenzione meccanica essendo le sole cause di errore possibili dovute alla lunghezza o alla complessità del testo. Oggi esistono dei programmi (proof assistant) in grado di controllare le dimostrazioni formali e di fornire alcuni dei passaggi intermedi. HOL, Mizar, Isabelle, Coq, C-CoRN, ProofPower, etc. Esempi di teoremi formalizzati al computer: 1. Teorema dei numeri primi (Isabelle 2004, 2008) 2. Teorema di incompletezza di Gödel (Boyer-Moore 1986) 3. Teorema della curva chiusa di Jordan ( 2005) 4. Teorema fondamentale dell algebra (Mizar 2000, Coq 2000) 5. Teorema dei quattro colori (Coq 2004)

7 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Il sistema (John Harrison, 1998) implementa la logica di ordine superiore basandosi sul lambda calcolo con tipi semplici polimorfi. Ha dieci regole di inferenza primitive, un meccanismo per le definizioni e tre assiomi matematici.

8 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Il sistema (John Harrison, 1998) implementa la logica di ordine superiore basandosi sul lambda calcolo con tipi semplici polimorfi. Ha dieci regole di inferenza primitive, un meccanismo per le definizioni e tre assiomi matematici.

9 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Regole di inferenza - 1 t = t REFL Γ s = t t = u Γ s = u TRANS Γ f = g x = y Γ f (x) = g(y) MK_COMB Γ s = t Γ (λx.s) = (λx.t) ABS (λx.t)x = t BETA {p} p ASSUME

10 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Regole di inferenza - 2 Γ p = q p Γ q Γ p q (Γ {q}) ( {p}) p = q Γ[x 1,..., x n ] p[x 1,..., x n ] Γ[t 1,..., t n ] p[t 1,..., t n ] Γ[α 1,..., α n ] p[α 1,..., α n ] Γ[τ 1,..., τ n ] p[τ 1,..., τ n ] EQ_MP DEDUCT_ANTISYM_RULE INST INST\_TYPE

11 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Assiomi (λx. t x) = t x. P(x) P(εP) f : ind ind. ( x 1, x 2. (f (x 1 ) = f (x 2 )) (x 1 = x 2 )) ( y. x. y = f (x))

12 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Il suo sistema assiomatico è consistente relativamente a ZFC. Il codice che lo implementa consiste di sole 394 linee. Ci sono molti indizi della sua correttezza. 1. Il kernel di è stato studiato da eminenti logici ed è disponibile per chiunque lo volesse controllare. 2. Ha dimostrato molti teoremi importanti (vedi ad esempio Formalizing 100 theorems ). È improbabile che un bug dimostri falsi teoremi. 2.1 Alcuni sono stati dimostrati usando anche altri theorem prover completamente indipendenti. 2.2 Quasi tutti erano stati dimostrati con carta e penna. 3. John Harrison ha dimostrato con la correttezza di una sua versione debole ed ha dimostrato usando una sua versione rinforzata.

18 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali è completamente programmabile. Possiede molte regole di inferenza ed una vasta libreria di teoremi. Le dimostrazioni procedono backwards, tramite tattiche indicate dall utente. subgoal... subgoal goal originale L unico modo di produrre un oggetto di tipo thm è fornendo una dimostrazione di una formula oppure tramite definizione di nuovi termini.

21 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Harrison, John (2000). The manual (1.1). < Harrison, John (2007). Tutorial (for version 2.20). < Harrison, John. The System REFERENCE. < Harrison, John & Wiedijk, Freek. Very Quick Reference. <

22 Core Affidabilità Procedura Bibliografia per usare Bibliografia di articoli sulle dimostrazioni formali Hales, Thomas C. (2008). Formal Proof, Notices of the AMS, Vol 55 Num 11 ( ) < Gonthier, Georges (2008). Formal Proof The Four Color Theorem, Notices of the AMS, Vol 55 Num 11 ( ) < Harrison, John (2008). Formal Proof Theory and Practice, Notices of the AMS, Vol 55 Num 11 ( ) < Wiedijk, Freek (2008). Formal Proof Getting Started, Notices of the AMS, Vol 55 Num 11 ( ) < Maggesi, Marco & Simpson, Carlos (2006). Verifica automatica del ragionamento matematico, Bollettino U.M.I., Sezione A, La Matematica nella Società e nella Cultura, Serie VIII, Vol IX-A ( )

23 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione {} ~a a a /\ b a b FINITE A A è un insieme finito A SUBSET B A B &n & è l iniezione N R t.c. n n CARD A A, funzione cardinalità

24 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Definizione. (Probabilità uniforme) Sia S un insieme finito. La probabilità uniforme su S è una funzione P definita sui sottinsiemi A S da: P(A) = A S. 1. P(A, S). 2. Nella logica di ordine superiore non è possibile definire funzioni parziali. 3. S. 4. è un linguaggio tipato senza sottotipi. let PROB_DEF = new_definition PROB A S = if FINITE S /\ ~(S={}) /\ A SUBSET S then &(CARD A) / &(CARD S) else &0 ;;

32 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Lemma 1. Si ha: (i) P( ) = 0; (ii) P(S) = 1; (iii) per ogni s S, P(s) = 1 S ; (iv) se A B S si ha che P(B\A) = P(B) P(A); Corollario. Per ogni A S si ha P(A c ) = 1 P(A). Lemma 2. Per ogni A, B S si ha P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

33 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Lemma 1. Si ha: (i) P( ) = 0; (ii) P(S) = 1; (iii) per ogni s S, P(s) = 1 S ; (iv) se A B S si ha che P(B\A) = P(B) P(A); Corollario. Per ogni A S si ha P(A c ) = 1 P(A). Lemma 2. Per ogni A, B S si ha P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

34 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione!x. P x x P(x) a ==> b a b a IN B a B a:t assegnazione di tipo T ad a f: A->B f : A B

35 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione g term ;; e tac;; top_thm();; g introduce la formula booleana term che vogliamo dimostrare, inizializzando il pacchetto per la gestione dei subgoal. e applica se possibile la tattica indicata, aggiornando il pacchetto dei subgoal. top_thm ritorna il teorema appena dimostrato, servendosi del pacchetto dei subgoal. Tattica Da: A: GEN_TAC?-!x.p[x]?-p[x] DISCH_TAC?-p==>q p?-q MESON_TAC[th] REWRITE_TAC[th] SIMP_TAC[th] Se preceduti da ASM_ Risolve il goal con i teoremi dati e ragionamenti del 1 ordine Riscrive il goal con i teoremi equazionali dati e tautologie Semplifica il goal con i teoremi dati e riscritture condizionali tengono in considerazione le assunzioni

36 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Spiegazione ed esecuzione del codice della dimostrazione di P(S) = 1

37 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione STRIP_TAC Riassume GEN_TAC, DISCH_TAC ed altre tattiche. MATCH_MP_TAC thm Usa il teorema -p==>q per passare da?-q a?-p. EXISTS_TAC t Passa da?-?x.p[x] a?-p[t]. CONJ_TAC Divide?-p/\q in due subgoal?-p e?-q. REAL_ARITH_TAC Dimostra semplici equazioni lineari sui reali. SUBGOAL_THEN formula (LABEL_TAC "nome") Crea un nuovo subgoal e, una volta dimostrato, lo mette tra le ipotesi con etichetta. REPEAT tac Applica la tattica indicata finché è possibile

38 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Spiegazione ed esecuzione del codice della dimostrazione di P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

39 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Teorema (della probabilità totale). Per ogni A i S, i = 1,..., n n n k P( A i ) = ( 1) k+1 P( A ij ), (1) i=1 k=1 {i 1,...,i k } I n,k j=1 con I n,k = {{i 1,..., i k } i j {1,..., n} per ogni j, i j i l per j l}. Vai alla dimostrazione

40 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione \x.t A HAS_SIZE n a pow n --a sum S f UNIONS F INTERS F λx.t cardinalità di A = n a n a f (x) x S A i A i F A i A i F

41 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Sia S un insieme, n N, K un insieme di n indici e U una famiglia di sottoinsiemi di S indicizzata su K. Allora: P ( U k, S) = ( 1) H +1 P ( U h, S) (2) k K =H K h H!(S:El->bool). FINITE S /\ ~(S = {}) ==>!n U(K:I->bool). (!k. k IN K ==> U k SUBSET S) /\ K HAS_SIZE n ==> PROB (UNIONS {U k k IN K}) S = sum {J J SUBSET K /\ ~(J = {})} (\H. -- &1 pow (CARD H + 1) * PROB (INTERS {U h h IN H}) S)

44 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Dimostrazione. Per induzione, usando il Lemma 2: n[ P( i=1 n 1 n 1 [ A i ) = P( i=1 k =1{i 1,...,i k } I n 1,k n 1 [ A i A n) = P( i=1 n 1 [ A i ) + P(A n) P( i=1 A i A n) = X X k\ ( 1) k+1 P( A ij ) + P(A n) k=1 {i 1,...,i k } I n 1,k j=1 Xn 1 X \ k nx X k\ ( 1) k +1 P( A ij A n) = ( 1) k+1 P( A ij ) j=1 k=1 {i 1,...,i k } I n,k j=1 L ultima uguaglianza vale ponendo k = k 1: i termini con n / {i 1,..., i k } vengono dalla prima sommatoria, quelli con k > 1 ed n {i 1,..., i k } vengono dalla seconda ed il termine con k = 1 ed i 1 = n è P(A n).

45 - Notazioni per la definizione Definizione Lemma 1 e Corollario - Notazioni per gli enunciati dei lemmi - Notazioni per la dimostrazione del primo lemma - Notazioni per la dimostrazione del secondo lemma - Notazioni per l enunciato del teorema Dimostrazione Esecuzione veloce del codice della dimostrazione del

46 Definizione e calcolo De Bruijn (1980) parlava del fattore di perdita come il numero che indica quanto perdiamo in brevità nel formalizzare un testo matematico. Wiedijk (2000) definisce fattore di de Bruijn il rapporto tra le dimensioni dei file contenenti le esposizioni matematiche formali e tradizionali. Nella seguente tabella è calcolato il fattore di de Bruijn della dimostrazione del. informale formale fattore di de Bruijn 1000 byte 9260 byte 9,3

47 Definizione e calcolo Grazie per l attenzione.