Incontri di introduzione alla Relatività Generale

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1 Incontri di introduzione alla Relatività Generale Terza e ultima parte La Torre del Sole - 25 Novembre 2015 Dr. Andrea Castelli, Ph.D. Università degli Studi di Bologna

2 Piano della presentazione PARTE TERZA - 25 Novembre 2015 LE EQUAZIONI DI CAMPO DELLA RELATIVITA GENERALE 1. L universo in un equazione: la struttura delle equazioni di campo 2. Un po di storia: la disputa con Hilbert sulla priorità della scoperta delle equazioni del campo gravitazionale 3. Le conferme sperimentali della teoria 4. Accenni alla cosmologia moderna

3 Zurich Notebook Appunti risalenti al periodo Agosto primavera 1913

4 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale I presupposti teorici: se le equazioni della RG devono essere tensoriali, in particolare dovrà essere un tensore ciò che rappresenta la gravità. Grazie a E = mc2, anche tutte le forme di energia devono essere considerate sorgenti del campo gravitazionale. Lo spazio-tempo deve essere trattato come una varietà quadridimensionale: piatta (euclidea) in assenza di materiaenergia e curva (riemanniana) in presenza di materia-energia.

5 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale Altri presupposti teorici e il grandioso salto concettuale di Einstein: la gravità non genera la curvatura dello spaziotempo, ma è la curvatura stessa dello spazio-tempo. Cambiamento radicale di visione: nel quadro teorico della RG, la gravità non è più una forza ma è la geometria della varietà. La traiettoria del moto dei corpi liberi (non soggetti a forza) è rappresentata dalle rette di una geometria spazio-temporale curva (le geodetiche), distorta dalla presenza di materia-energia.

6 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale Quale tensore scelse allora Einstein per rappresentare il campo gravitazionale? Una varietà è caratterizzata completamente dal suo elemento lineare 2 µ ds = gµ dx dx ds = Adx + Bdxdy + Cdy e, quindi, dai suoi coefficienti, che insieme formano il tensore metrico. Se il tensore metrico definisce la geometria di una varietà e se la gravità è proprio quella geometria, allora il tensore metrico deve essere utilizzato per rappresentare la gravità. Per giungere alla teoria definitiva è necessario trovare sia le equazioni del campo gravitazionale che le equazioni del moto dei corpi in tale campo.

7 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale Einstein inizia cercando di generalizzare l equazione di Poisson per il campo gravitazionale newtoniano: = 4 G - - in questa equazione il campo è descritto da un unica funzione potenziale; per Einstein il campo doveva essere rappresentato per mezzo del tensore metrico che, in 4D, ha 10 componenti indipendenti; Einstein ha quindi bisogno di 10 funzioni potenziali Le equazioni di campo di Einstein dovevano ridursi all equazione di Poisson in situazioni di campo debole (generalizzazione).

8 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale Einstein pensò ad un analogia formale: la sua equazione doveva allora assomigliare a µ = ktµ Requisiti: essere covariante e riducibile all equazione di NewtonPoisson. Intuizione: il tensore di Ricci poteva essere il corretto tensore gravitazionale. Problema: in situazioni di campo debole, preservando il requisito della covarianza generale, il tensore di Ricci non si riduce alla funzione potenziale dell equazione di Poisson. Grande errore: Einstein si convinse che il requisito della covarianza generale non fosse necessario e abbandonò il tensore di Ricci.

9 Verso le equazioni di campo della Relatività Generale Einstein si convinse che fosse sufficiente una covarianza limitata. Nell Entwurf (primavera 1913) Einstein e Grossmann riuscirono a trovare un equazione di campo parzialmente covariante. Febbraio 1915: Max Abraham, grande oppositore della RG, scrisse all amico Tullio Levi-Civita per chiedergli aiuto nella comprensione di alcuni lavori di Einstein. Levi-Civita scrisse a Einstein per fargli notare che la dimostrazione del teorema fondamentale dell Entwurf era sbagliata. Inizia un fitto scambio epistolare tra i due. Con l aiuto di Levi-Civita, Einstein comprese che l Entwurf era sbagliata.

10 Le equazioni di campo della Relatività Generale Nell estate del 1915 Einstein comprese che la covarianza generale era fondamentale e che il tensore di Ricci era la chiave delle equazioni di campo corrette. Il 25 Novembre del 1915 Einstein pervenne alla forma definitiva delle equazioni di campo della Relatività Generale: Rµ tensore di Ricci 1 gµ R = ktµ 2 tensore metrico scalare di curvatura tensore materia-energia

11 La gravità secondo la Relatività Generale

12 Il grande traguardo nelle parole di Einstein «Anni e anni di lavoro oscuro, inseguendo una verità che si intuisce ma che è tuttavia inesprimibile, l ansia di arrivare e l alternarsi di fiducia e smarrimento, finché a un tratto sopraggiunge la chiarezza, la comprensione: tutto questo lo può capire solo chi l abbia vissuto.» Albert Einstein (in A. Einstein, The Origins of the General Theory of Relativity. Jackson, Wylie, Glasgow, 1933)

13 La disputa con David Hilbert Il 20 Novembre 1915 David Hilbert presenta all Accademia delle Scienze di Gottinga una memoria contenente le corrette equazioni di campo della Relatività Generale (pubblicata il 31 Marzo 1916). La sorprendente quasi simultaneità della loro comune scoperta solleva, naturalmente, la questione della paternità della teoria e, non da ultimo, di quali rapporti intercorsero tra i due nel Le fonti storiche prima del 1997 concordavano sul fatto che il risultato di Hilbert fosse indipendente da quello di Einstein e che il grande matematico avesse preceduto Einstein.

14 La disputa con David Hilbert Durante il mese di Novembre 1915 i due si comunicarono i rispettivi progressi, almeno fino al giorno 19. «Il tuo sistema [di equazioni] si accorda, per quanto mi è dato di vedere, esattamente con ciò che ho trovato nelle ultime settimane e ho esposto all Accademia.» Albert Einstein (in A. Einstein, Letter to D. Hilbert, November 18, 1915) Qualcosa di non molto piacevole accadde però tra il 20 Novembre e il 20 Dicembre, giorno in cui Einstein così scrisse a Hilbert:

15 La disputa con David Hilbert «Vi è stato tra noi un certo screzio, i cui motivi non intendo indagare. Ho lottato con pieno successo contro un sentimento di amarezza legato a ciò e sono tornato a pensare a te con intatto senso di amicizia; ti prego di cercare di fare la stessa cosa nei miei confronti.» Albert Einstein (in A. Einstein, Letter to D. Hilbert, December 20, 1915)

16 La disputa con David Hilbert «Einstein aveva avuto l impressione che Hilbert avesse, forse inconsciamente, plagiato le idee che egli aveva enunciato in un seminario tenuto a Gottinga. Secondo la versione di Einstein, Hilbert aveva inviato le sue scuse per iscritto, affermando che quel discorso gli era completamente uscito dalla mente.» E. G. Straus (in Letter to A. Pais, October 1979)

17 La disputa con David Hilbert L opinione più sensata fu quella di Felix Klein, secondo il quale i discorsi dei due scienziati correvano paralleli e non si può quindi parlare di una questione di priorità dell uno sull altro. «Sono convinto che Einstein sia stato l unico creatore della teoria fisica della Relatività Generale e che la scoperta delle equazioni di campo debba essere attribuita sia a lui che a Hilbert.» Abraham Pais (in Sottile è il Signore la scienza e la vita di Albert Einstein, Bollati Boringhieri, Torino, p. 284)

18 La disputa con David Hilbert In un articolo del Novembre 1997 pubblicato su Science, L. Corry, J. Renn e J. Stachel annunciano di aver rinvenuto il manoscritto originale di Hilbert: qui compare un equazione di campo non generalmente covariante. Hilbert inserisce nell articolo l equazione corretta solo dopo aver visionato l articolo di Einstein pubblicato il 2 Dicembre Nella versione stampata dell articolo di Hilbert pubblicata il 31 Marzo 1916 l articolo di Einstein del 2 Dicembre 1915 viene regolarmente citato.

19 Le conferme sperimentali La precessione del perielio di Mercurio Con lo sviluppo delle tecniche osservative nel corso dell 800, erano state riscontrate alcune anomalie nelle traiettorie dei pianeti (in particolare di Mercurio) che non risultavano spiegabili all interno della teoria di Newton. Einstein ha mostrato che le traiettorie dei pianeti sono sempre linee aperte e non ellissi. Queste linee curve possono essere approssimate ad ellissi il cui asse maggiore ruota lentamente nel piano dell orbita.

20 Le conferme sperimentali Questo effetto è difficile da rilevare per pianeti molto distanti dal Sole, ma non per Mercurio, che è il più vicino. La RG prevede che la rotazione dell asse maggiore dell ellisse che descrive l orbita di Mercurio sia pari a 43 per secolo.

21 Le conferme sperimentali La deflessione dei raggi luminosi La luce si propaga sul tessuto spazio-temporale percorrendo particolari linee curve, le geodetiche, la cui forma dipende dall intensità del campo gravitazionale.

22 Le conferme sperimentali Lenti gravitazionali Quando un corpo di grande massa viene a trovarsi fra una sorgente di luce e l'osservatore, i raggi di luce provenienti dalla sorgente vengono deviati in modo tale da provocare un'amplificazione del segnale luminoso simile a quella causata da una lente.

23 Le conferme sperimentali Il rallentamento degli orologi Un orologio collocato "in basso" (nelle vicinanze della sorgente del campo) marcia più lentamente di uno identico collocato più in alto. In montagna gli orologi sono più veloci. La gravità rallenta il tempo!

24 Le conferme sperimentali Red-shift gravitazionale La gravità dilata il periodo di un onda, quindi ne riduce la frequenza (perdita di energia).

25 Le conferme sperimentali GPS: global positioning system Si tratta di 24 satelliti orbitanti attorno alla Terra con un periodo di rotazione di 12 ore, posti ad un altitudine di circa Km dal suolo e in grado di fornire una precisione di 5-10 metri.

26 Le conferme sperimentali Buchi neri I buchi neri sono previsti dalla Relatività Generale: si tratta di regioni in cui la curvatura dello spaziotempo è così forte da intrappolare anche la luce.

27 Le conferme sperimentali Buchi neri La singolarità è circondata da una superficie immaginaria, detta orizzonte degli eventi. Se qualcosa (massa o energia) entra all interno di tale superficie, non ne può più uscire.

28 Le conferme sperimentali Buchi neri Tutto ciò che si trova all interno dell orizzonte degli eventi è inaccessibile per sempre dall esterno. L osservatore che attraversa l orizzonte degli eventi non si accorge di nulla di strano e procede verso la singolarità in un tempo finito per il suo orologio. L osservatore lontano dal buco nero vede l'altro osservatore avvicinarsi all orizzonte degli eventi senza mai raggiungerlo (dilatazione del tempo).

29 Le conferme sperimentali Buchi neri In realtà non è vero che niente può uscire dall orizzonte degli eventi. Il fisico inglese Stephen Hawking ha dimostrato nel 1974 che, per effetti quantistici, ii buco nero può emettere radiazione sotto forma di elettroni e fotoni. Se il buco nero non fosse alimentato da altra materia, potrebbe evaporare.

30 Le conferme sperimentali Onde gravitazionali (ipotesi) Possiamo pensare alle onde gravitazionali come increspature nello spazio-tempo che si propagano alla velocità della luce. Lo scambio di energia tra onde gravitazionali e materia è debolissimo. L onda gravitazionale attraversa la materia senza essere significativamente attenuata.

31 Le conferme sperimentali La ricerca delle onde gravitazionali Esistono diversi progetti rivolti alla rilevazione di eventuali onde g r av i t a z i o n a l i. Q u a s i t u t t i s i b a s a n o s u l l a t e c n i c a dell interferometria laser.

32 Le conferme sperimentali LIGO - Livingston Observatory (USA)

33 Le conferme sperimentali VIRGO - Pisa (Italy)

34 Le conferme sperimentali LISA - Laser Interferometer Space Antenna I bracci di LISA potrebbero essere lunghi 5 milioni di Km, permettendo di rilevare anche onde di piccola intensità.

35 La fase di stanca e la ripresa A partire dai primi anni 30, si verificò un marcato calo di interesse da parte di fisici ed astrofisici per la Relatività Generale. La fase discendente della RG durò qualcosa come una trentina d anni. Le sorti della RG mutarono in maniera radicale a partire dal Agli studi teorici si affiancarono veri e propri esperimenti: la RG entrò nei laboratori e coinvolse un numero di fisici sempre maggiore.

36 Altre conferme sperimentali Effetto Lense Thirring (1918) - la RG prevede che i corpi rotanti trascinino lo spaziotempo intorno a loro, dando vita ad un fenomeno chiamato frame-dragging. Red-shift cosmologico (1959) previsto da Einstein nel 1907, fu definitivamente verificato soltanto nel 1959 con l'esperimento di Pound e Rebka che misurò il relativo spostamento verso il rosso di due sorgenti situate in cima e alla base della torre Jefferson alla Harvard University. Effetto Shapiro (1964) un segnale elettromagnetico inviato dalla Terra verso un oggetto (pianeta o altro) e poi da esso riflesso e captato al suo ritorno sulla Terra subisce un certo ritardo calcolabile utilizzando la RG.

37 Accenni alla cosmologia moderna La Relatività Generale pone le basi teoriche della cosmologia moderna. Esiste però anche una cosmologia basata sulla teoria di Newton: - spazio infinito con geometria euclidea - tempo assoluto ed eterno - distribuzione omogenea e isotropa di stelle Paradosso di Olbers: un Universo infinito nello spazio e nel tempo con distribuzione uniforme di stelle implica che la luminosità del cielo notturno sia pari a quella della superficie solare.

38 Accenni alla cosmologia moderna Nel 1917 Einstein propone un modello di Universo basato sulle equazioni della RG modificate con l aggiunta della costante cosmologica : - statico - curvatura costante positiva - illimitato - densità uniforme di materia-energia La costante cosmologica svolge il ruolo di termine repulsivo al fine di controbilanciare l azione della gravità. Nel 1917 W. De Sitter propone un modello di Universo spazialmente piatto che trascura la materia ordinaria; la dinamica dell Universo è dominata dalla costante cosmologica, che ne determina il tasso di espansione.

39 Accenni alla cosmologia moderna Nel 1922 Alexander Friedmann abbandona l ipotesi che l Universo sia statico ed eterno. Scopre che le soluzioni delle equazioni della RG indicano che l Universo ha avuto un inizio in uno stato infinitamente denso e che da allora si sarebbe espanso. Nel 1927, in modo indipendente, il prete belga Georges Lemaître giunge alle medesime conclusioni. Nel 1929 queste ipotesi ricevono una clamorosa conferma sperimentale: Edwin Hubble scopre che le galassie si allontanano da noi ad una velocità proporzionale alla loro distanza (legge di Hubble).

40 Accenni alla cosmologia moderna Lo spostamento verso il rosso degli spettri di emissione delle galassie (redshift cosmologico) viene interpretato come conseguenza dell espansione dell Universo. Nel 1932 Lemaître ipotizza che l Universo sia nato da un atomo primordiale, esploso al momento della creazione. Nello stesso anno Einstein e De Sitter propongono un nuovo modello di Universo a curvatura nulla e senza costante cosmologica. Ipotizzano l esistenza di una singolarità iniziale (la costante di Hubble doveva diminuire nel tempo).

41 Accenni alla cosmologia moderna Principio cosmologico perfetto: su larga scala l Universo appare omogeneo, isotropo e identico in qualsiasi epoca. Nel 1948 F. Hoyle, T. Gold e H. Bondi formulano la teoria dello stato stazionario. Assumendo il principio cosmologico perfetto, si ipotizza la creazione continua di materia per compensare l espansione dell Universo. Nello stesso anno G. Gamow, R. Alpher e H. Bethe formulano la teoria del Big Bang e spiegano l origine degli elementi chimici per successive catture neutroniche in condizioni di temperatura attorno ai 10 milioni di gradi. Gamow teorizza l esistenza di una radiazione cosmica di fondo a microonde come residuo del Big Bang.

42 Accenni alla cosmologia moderna Nel 1964 Arno Penzias e Robert Wilson scoprono la CBR (cosmic background radiation). Negli anni 60 si sviluppa il modello standard del Big Bang che prevede l esistenza di una singolarità iniziale; qui le leggi fisiche perdono di validità. Negli anni 70 il modello del Big Bang si affermò sempre più, ma emersero anche alcune lacune: - problema dell orizzonte: due regioni di cielo sufficientemente lontane fra loro non possono essere entrate in contatto prima dell epoca alla quale la CBR è stata emessa, per cui non possono aver raggiunto un equilibrio termico (medesima temperatura).

43 Accenni alla cosmologia moderna - formazione delle galassie: le fluttuazioni della CBR sono molto più piccole di quanto sarebbe necessario per spiegare la formazione delle galassie in un tempo più breve dell età dell Universo. Soluzione al primo problema: Alan Guth propone la teoria dell inflazione cosmica (1981): pochissimi istanti dopo il Big Bang, l Universo avrebbe attraversato una fase di espansione estremamente accelerata. La soluzione al secondo problema: la materia oscura. Una forma di materia elettricamente neutra. Poiché la materia oscura non sarebbe influenzata dalla CBR, essa avrebbe potuto iniziare il suo collasso gravitazionale (dal quale sarebbero nate le galassie) molto prima della materia ordinaria.

44 «Ci sono capolavori assoluti che ci emozionano intensamente: il Requiem di Mozart, l Odissea, la Cappella Sistina [ ]. Coglierne lo splendore può richiedere un percorso di apprendistato, ma il premio è la piena bellezza. E non solo: anche l aprirsi ai nostri occhi di uno sguardo nuovo sul mondo. La Relatività Generale, il gioiello di Albert Einstein, è uno di questi capolavori.» Carlo Rovelli