Esercizi di Algoritmi e Complessità

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1 Esercizi di Algoritmi e Complessità 1 Gli interrogatori di Montalbano Nel comune di Vigata sono state realizzate recentemente 3 grosse rapine ai 3 principali supermercati. Il commissario Montalbano è convinto che le 3 rapine siano collegate e che degli accurati interrogatori nelle tre zone vicino i supermercati possano portare alla scoperta dei colpevoli. A tal fine la mappa del comune di Vigata viene suddivisa da Montalbano in tre zone nelle quali effettuare le indagini; ogni zona contiene i punti della mappa più vicini a ciascuno dei tre supermercati in cui si sono verificate le rapine. Fazio e Galluzzo si occuperanno delle indagini nelle prime due zone. La terza zona verrà invece affidata al suo vice Mimì Augello. Si immagini la rete stradale del comune di Vigata come un grafo G = (V, E) orientato e pesato, in cui le strade sono rappresentate dagli archi e il peso di ogni arco rappresenta la lunghezza della strada. Siano v 1, v 2 e v 3 i tre nodi corrispondenti ai tre supermercati. Si proponga un algoritmo efficiente per generare una partizione dell insieme dei nodi V, in tre sottoinsiemi V 1, V 2 e V 3 tali che: Ogni nodo del grafo appartenga ad uno ed uno solo dei tre sottoinsiemi; v 1 appartenga a V 1, v 2 appartenga a V 2 e v 3 appartenga a V 3 ; se un nodo v appartiene al sottoinsieme V i, allora il supermercato più vicino a v, in termini di distanza di cammino, è v i Si fornisca lo pseudocodice dell algoritmo descrivendone adeguatamente la struttura. Se ne calcoli la complessità asintotica.

2 2 Gli arancini di Montalbano Per la serata di capodanno il commissario Montalbano è stato invitato a cena dalla sua cameriera Adelina. Il commissario non intende mancare all appuntamento dato che per quella serata Adelina ha previsto di preparare i suoi magnifici arancini. Per ricambiare il gentile invito, Montalbano ha pensato di portare alla cena dei cannoli alla ricotta comprandoli alla rinomata pasticceria Augello, la cui proprietaria è la sorella del suo vice. Il commissario dovrà quindi recarsi alla pasticceria durante il suo percorso verso casa di Adelina. Si immagini la rete stradale del comune di Vigata come un grafo G = (V, E) orientato e pesato, in cui le strade sono rappresentate dagli archi e il peso di ogni arco rappresenta la lunghezza della strada. Siano: c V, il nodo che rappresenta la casa del commissario Montalbano; p V, il nodo che rappresenta la pasticceria Augello; a V, il nodo che rappresenta la casa della cameriera Adelina. Si dia un algoritmo che risolva il problema di identificare il costo del pi corto cammino dal nodo sorgente c al nodo destinazione a, che passi per il nodo p. Che complessità ha l algoritmo trovato? 3 Il pranzo di Montalbano Il 18 di giugno il commissario Montalbano viene convocato d urgenza dal vice questore di Montelusa per delle rogne inerenti un indagine di qualche anno prima. Il rapporto tra il commissario e il vice questore non si può certo dire essere fondato sulla reciproca stima. Il commissario decide quindi di lasciare attendere per qualche ora il vice questore e di recarsi a pranzare in uno dei tanti ristoranti del comune di Vigata. Il commissario ha gi in mente in quali ristoranti recarsi... sa bene che non se ne pentir! Il vice questore pu attendere! Si consideri la rete stradale di Vigata come una grafo G = (V, E) orientato e pesato, dove la presenza di un arco (u, v) indica un collegamento stradale dal punto u al punto v, ed il peso dell arco indica la lunghezza del collegamento. Sia n il numero di nodi nella rete stradale e sia m il numero di collegamenti presenti, con m > logn. Sia inoltre {r 1, r 2,..., r k } V, l insieme dei k ristoranti in cui il commissario Montalbano potrebbe recarsi a pranzare, con k o(n). Sia c V, il nodo della rete stradale che identifica il commissariato di Vigata. Sia q V il nodo della rete che identifica la questura di Montelusa. Definire un algoritmo efficiente che identifichi il pi breve cammino da c a q, passante per almeno uno dei k ristoranti, supponendo che m Ω(k log n). (l algoritmo dovr identificare il ristorante v i, tra le k possibili alternative, che permetta di percorrere il pi breve cammino da c a q, passando per v i )

3 4 I semafori di Montalbano I funerali non sono mai piaciuti al commissario Montalbano. Ma a quello della madre del vicequestore di Montelusa lui non poteva mancare: il vice questore l avrebbe presa come offesa alla sua persona. Essendo che la funzione solenne si sarebbe svolta la mattina seguente, alle ore 7:30, presso la chiesa madre di Montelusa, il commissario pens bene di non negarsi un meritato riposo che sarebbe durato fino alle sette. Il commissario tuttavia non aveva riflettuto bene non considerando il fatto che a Montelusa, a differenza di quanto avviene a Vigata, la città è oiena di semafori. Si immagini la rete stradale del comune di Montelusa come un grafo G = (V, E) orientato e pesato, in cui le strade sono rappresentate dagli archi e il peso di ogni arco rappresenta il tempo in secondi necessario a percorrere la strada. Sia s il vertice di partenza del viaggio del commissario Montalbano verso la Chiesa Madre di Montelusa, identificata dal vertice c. Si supponga inoltre che ad ogni nodo v del grafo sia associata una funzione sem : V N il cui valore ha il seguente significato: sem(v, t) = x > 0, se al tempo t il semaforo del vertice v è rosso e bisogna aspettare x secondi prima che diventi verde; sem(v, t) = 0, se al tempo t il semaforo del vertice v è verde. Naturalmente, per un determinato nodo v, la funzione sem(t, v) cambia al variare del tempo, per cui si potrebbe avere sem(v, 2) = 7, sem(v, 3) = 6, sem(v, 9) = 0. Nei nodi v in cui non è presente alcun semaforo si suppone sem(v, t) = 0 per tutti i valori di t. Se il commissario arriva ad un vertice v al tempo t e vale sem(v, t) = x > 0, allora dovrà aspettare x secondi prima di continuare il suo cammino. Supponendo che il commissario inizi il suo cammino al tempo t = 0, si dia un algoritmo che trovi il cammino minimo, in termini di tempo, dal vertice sorgente s al vertice destinazione c. Si fornisca lo pseudocodice dell algoritmo descrivendone adeguatamente la struttura. Se ne calcoli la complessità asintotica.

4 5 La mappa di Catarella Quel giorno Salvo Montalbano arrivò in commissariato di umore nero. Questo perchè il giorno appresso il suo aiutante Catarella era arrivato nuovamente in ritardo per una consegna urgente al comune di Montelusa. Era quindi stato convocato in questura per un richiamo ufficiale. Entrò nell ufficio di Mimì Augello bestemmiando come un diavolo contro Catarella, e ordinò al suo vice di realizzare una mappa del comune che contenesse solo le strade più brevi per raggiungere le varie destinazioni del paese. Da ora in poi Catarella non sarebbe più arrivato in ritardo! Si immagini la rete stradale del comune di Montelusa come un grafo G = (V, E) orientato e pesato, in cui le strade sono rappresentate dagli archi e il peso di ogni arco, definito dalla funzione w : E R, rappresenta il tempo in secondi necessario a percorrere la strada. Definiamo il grafo G = (V, E), detto grafo dei cammini minimi di G, nel seguente modo: V è linsieme dei vertici di G ( uguale a quello di G) E è linsieme di tutti gli archi di G che fanno parte di un qualsiasi cammino minimo nel grafo; in altre parole (u, v) appartiene ad E se e solo se (u, v) appartiene ad E e (u, v) fa parte di una cammino minimo. Fornire un algoritmo che dato un grafo G in input ne calcoli i cammini minimi e ne costruisca il relativo grafo dei cammini minimi. (Non si ha alcuna restrizione sul grafo di input G. Si costruisca il grafo G utilizzando la procedura AddEdge(u, v, G) che aggiunge al grafo G larco (u, v). Notare che per una coppia di vertici si possono avere pi cammini minimi)

5 6 L appuntamento di Lola e Ugo Lola deve recapitare un messaggio di importanza vitale a Ugo. Anche Ugo deve consegnare un messaggio importante a Lola. Entrambi non desiderano che i loro messaggi vengano intercettati da Bill. Decidono quindi di organizzare un incontro lontano da occhi indiscreti. Si supponga che Lola, Ugo e Bill siano tre nodi in un grafo orientato e pesato G = (V, E), con valori di peso non negativi. Si proponga un algoritmo efficiente che sia in grado di individuare il punto di incontro ottimale tra Lola e Ugo in modo che la somma dei cammini percorsi da entrambi sia minimizzata. I due percorsi non devono passare per il nodo di Bill. Il punto di incontro non deve essere il nodo in cui risiede Bill. Fornire e commentare il codice dell algoritmo proposto e calcolarne la complessità asintotica. 7 L appuntamento di Lola e Ugo (II parte) Ugo deve dire una cosa molto importante a Lola. Anche Lola deve comunicare una cosa molto importante a Ugo. Entrambi vorrebbero dare la loro comunicazione nel più breve tempo possibile. Tuttavia la loro città fatta di luoghi rossi e luoghi neri. Ugo può camminare solo sui luoghi neri mentre Lola può camminare solo sui luoghi rossi. In un Grafo rosso-nero ad ogni nodo è assegnato un colore: un nodo v G è rosso o è nero. Un cammino rosso in G è un cammino in cui i nodi interni sono tutti rossi. Analogamente un cammino nero in G è un cammino in cui i nodi interni sono tutti neri. Si supponga che Lola e Ugo siano due nodi in un grafo rosso-nero orientato e pesato, con valori di peso positivi. Lola Ugo devono incontrarsi per scambiarsi delle informazioni. Si proponga un algoritmo efficiente che determini se sia più conveniente, in base ai pesi del grafo, un cammino rosso che porti da Lola a Ugo, o un cammino nero che porti da Ugo a Lola. Fornire e commentare il codice dell algoritmo proposto. Calcolarne in seguito la complessità. 8 Il grafo con due soli cicli Sia G = (V, E) un grafo non orientato e pesato con funzione peso w. Si supponga che G contenga solo due cicli senza archi in comune. Proporre un algoritmo efficiente in grado di calcolare l albero di copertura minimo di G. Si calcoli la complessità dell algoritmo proposto e si dimostri la sua correttezza.

6 9 Il grafo con i pesi ridotti Sia G = (V, E) un grafo non orientato e pesato con funzione peso w, e dia T = (V, E ) un albero di connessione minimo di G. Si supponga che la funzione peso w subisca un deterioramento dei suoi valori. In particolare si supponga che se (u, v) E il valore di w(u, v) venga decrementato di una costante k N. Proporre un algoritmo efficiente per calcolare un albero di connessione minimo di G dopo il deterioramento della funzione w, avendo a disposizione anche l albero T. Calcolare la complessità dell algoritmo proposto e dimostrarne la correttezza. 10 Il grafo con i pesi ridotti (II parte) Sia G = (V, E) un grafo non orientato e pesato con funzione peso w, e dia T = (V, E ) un albero di connessione minimo di G. Si supponga che la funzione peso w subisca un deterioramento solo per uno dei suoi valori. In particolare si supponga che il valore di w(u, v), per un solo arco (u, v) E, venga decrementato di una costante k N. Proporre un algoritmo efficiente per calcolare un albero di connessione minimo di G dopo il deterioramento della funzione w, avendo a disposizione anche l albero T. Calcolare la complessità dell algoritmo proposto. 11 Il grafo con un nodo in più Sia G = (V, E) un grafo non orientato e pesato con funzione peso w, e dia T = (V, E ) un albero di connessione minimo di G. Si supponga che un nuovo nodo v venga aggiunto all insieme V e che alcuni archi adiacenti a v vengano aggiunti all insieme E. Proporre una procedura efficiente per calcolare un albero di connessione minimo del nuovo grafo così ottenuto, avendo a disposizione anche l albero T. Calcolare la complessità della procedura proposta. La procedura proposta potrebbe essere utilizzata per la realizzazione di una algoritmo che calcoli un albero di copertura minimo in modo incrementale (partendo da un grafo senza nodi e senza archi). Descrivere più formalmente l algoritmo e calcolarne la complessità asintotica.