TOPOGRAFIA E TECNICHE DI RILEVAMENTO

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1 POLITECNICO DI BRI CORSO DI LURE IN INGEGNERI EDILE TOPOGRFI E TECNICHE DI RILEVMENTO FRNCESCO MNCINI f.mncn@lb. NOT: l dsens nende llusrre le enzlà delle msure grfche rdznl e GPS nell rsluzne d lcun rblem c del rlevmen lc ll ngegner. In rclre l dsens è fnlzz ll descrzne del rmen de d senz scendere nel degl dell srumenzne ulzz. Ques er dre ll sudene l ccà d nerrere rsul d un erzne d rlev cnrll, cllud mnrgg n ermn d ccurezz de d, de rsul e d ffdblà cmlessv del lvr svl. VERSIONE.3 DEL //3

2 Smmr RICHIMI UTILI I FINI DEL CORSO... Defnzn generl... L esressne d dsnze ed ngl... 3 CENNI SULL TEORI DEGLI ERRORI... 6 Il cnce d rbblà... 8 Dsrbuzne d Guss er vrbl mndmensnl... 9 Sm de rmer crersc d un vrble ler... Dsrbuzne d Guss er vrbl bdmensnl... 4 Prgzne degl errr... 6 Tes d sgnfcvà: l es... 7 IL METODO DELLE OSSERVZIONI INDIRETTE... CRITERIO DEI MINIMI QUDRTI... PRECISIONE DEI RISULTTI OTTENUTI... 3 Sm serr dell vrnz dell unà d es σ... 4 Equzn lle sservzn nn lner... 4 LE OSSERVBILI IN TOPOGRFI... 6 LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO NELLE SCIENZE GEODETICO-TOPOGRFICHE... 6 Crdne curvlnee sull'ellssde e cresne rdmensnl Sluzn rssme er le suerfc d rfermen LE MISURE TOPOGRFICHE TRDIZIONLI: DISTNZE, NGOLI E DISLIVELLI Msur degl ngl Msur d dsnze Msure de dslvell I METODI DI RILEVMENTO TRDIZIONLI RILIEVO PLNIMETRICO CON MISUR DI NGOLI E DISTNZE Msur delle drezn uscen d un un Med d rcc e rffmen Ulzz delle sservzn ndree ne med d rcc... 5 Ulzz delle sservzn ndree nelle msure d dsnz... 6 Ulzz delle sservzn ndree nelle msure d ngl e dsnze RILIEVO LTIMETRICO Lvellzne gemerc dl mezz Ulzz delle sservzn ndree nelle re lmerche STIM PRIORI DELL MTRICE DI VRINZ COVRINZ Prgezne d re lnmerche VLUTZIONE DELL VRINZ E COVRINZ CON MISURE STRETTMENTE NECESSRIE... 8 INSERIMENTO DELLE MISURE PLNO-LTIMETRICHE IN UN SISTEM DI RIFERIMENTO: MINIMI VINCOLI E VINCOLI SOVRBBONDNTI MISURE PER IL CONTROLLO DEI MOVIMENTI E DELLE DEFORMZIONI MOVIMENTI DEL SUOLO MOVIMENTI O DEFORMZIONI DI STRUTTURE... 9 Cllud d un rve gg... 9 Cllud d n e vd... 9 lr cllud Cnrll n crs d er Cnrll d sblà d edfc regevl Cnrll d mur d ssegn e d versn neress d gllere... 96

3 Ulzz d sensr fbr c FOS I METODI DI RILIEVO TRMITE GPS GLOBL POSITIONING SSTEM Il segmen szle Il Segmen d Cnrll... Il Segmen d Ulzz... IL SEGNLE GPS... 3 L mdulzne del segnle GPS cn cdc C/ e P... 4 OSSERVBILI GPS: CODICI E FSI... 7 IL POSIZIONMENTO SSOLUTO... 8 Psznmen sslu cn msur de cdc... 8 Psznmen sslu cn msur delle fs... ERRORI NEL POSIZIONMENTO GPS... 5 IL POSIZIONMENTO DIFFERENZILE DGPS... 9 DGPS cn ulzz de cdc... 9 DGPS cn ulzz delle fs... Re er l gesne delle crrezn dfferenzl Newrk RTK... 3 IL POSIZIONMENTO RELTIVO... 6 Psznmen relv cn ulzz delle fs... 7 Psznmen relv sc cn l'us delle fs... 9 Psznmen relv cnemc cn l'us delle fs... 3 Trmen de d GPS: clcl de ver bselne Cmenszne delle re GPS cn l med de mnm qudr... 4 ELEMENTI UTILI LL PROGETTZIONE DELLE MISURE GPS... 4 IL SISTEM DI RIFERIMENTO NEL GPS Trsfrmzne r crdne e ssem d rfermen MISURE LTIMETRICHE CON IL GPS RETI DI STZIONI GPS PERMNENTI MONITORGGIO STRUTTURLE CON TECNIC GPS RELTIV... 5 Funznmen del ssem Tes Ul Cn.. Trmen delle msure grfche, er ed esercz. Celd, Trn. Cn.. GPS. Celd, Trn. Bezr G., Mn C., Selvn.. Tgrf generle cn elemen d gedes. UTET, Trn,. 445.

4 Rchm ul fn del crs Rchm ul fn del crs Defnzn generl Essn dverse dsclne che s ccun d rblem cnness cn l deermnzne e rresenzne del mnd rele, delle sue crersche nurl ed nrche e de fenmen che hnn lug sul errr. Tr quese, fn del resene crs, ccrre nrdurre l grf, l gedes e l crgrf. L Tgrf uò cnsderrs cme l'nseme delle rcedure erche ed erve fnlzze l rlev rlevmen d ree d lm esensne e degl gge, nurl ed nrc, nclus. In rclre l ermne rlevmen resune l deermnzne delle szn relve ed sslue d un rresenv dell zn che sn n grd d rresenre l errr e/ gl gge cnenu cn un lvell d degl che è funzne degl sc del rlev sess. Tle degl è d nrm crrel ll scl del rlev dell successv rresenzne. Dll necessà d defnre l szne d un rvers l'ulzz d crdne che s vedrnn derv quell d defnre de ssem d rfermen n cu nqudrre un rlev e sblre r lr le relzn nlche. L Gedes uò nvece essere defn cme l dscln che s ccu d defnre l frm e l dmensne dell err rvers ere e rcedure erve. In quese ulme uò essere cmres l Tgrf. In gn cs l rresenzne d ree ù men esese dell suerfce erresre rchede l dzne d un suerfce d rfermen e d un ssem d crdne n grd d denfcre l szne de un rlev e sblre delle relzn nlche fr gl sess. L suerfce d rfermen d deve resenre lcune crersche fndmenl: essere d semlce frmulzne memc; rssmre nel mglr md ssble l frm e l dmensne dell rzne d suerfce erresre su cu e svl l rlev; cnsenre l dzne d un ssem d crdne er l rresenzne de un rlev sul errr.

5 Rchm ul fn del crs S vedrà cme n funzne degl bev del rlev e sru dell esensne su cu ques s svlge rnn essere scele cme suerfc d rfermen l'ellssde, l sfer lcle un n ngene d un un cnenu nell rzne d errr rlev. L Crgrf è nvece quell dscln che rcerc e sblsce le rcedure che cnsenn d rresenre sul n l suerfce erresre e le crersche degl gge resen. L Crgrf rdznle, rvers med d rduzne, gener delle cre me cn scle e frm dvers. rre dgl nn 9 cmnc l rduzne crgrfc su sur dgle. L Crgrf numerc n ssnz rduce me dgl che sn sml cme cnenu nfrmv quelle rdznl, m che ssn essere vsulzze mnr cn u vngg leg l frm dgle de d. L crgrf numerc s bs sul d verle, che cnrne quell rser. Negl sess nn vene nrd l cnce d Ssem Infrmv Terrrle SIT. rvers ques srumen vengn suere le enzlà dell Crgrf rdznle e d quell numerc, n qun ess revede l gesne d u d errrl n un unc mbene sfwre d lvr. Tuv l crgrf ne su vr frm rresen l bse er l relzzzne de Ssem Infrmv Terrrl. Il SIT rresen qund un cnenre d d cn le ccà ggunve d elbrre le nfrmzn gegrfche d bse secnd dvers lvell d cmlessà e d rdurre nuve nfrmzn ul ll gesne del errr n sens m mbenle, lc, urbnsc, sc-ecnmc ecc.. Gl srumen che cnsenn d crere e gesre un SIT sn chm GIS Gegrhcl Infrmn Ssem. Qund, menre l SIT v nes cme l rd, l GIS rresen l mbene d lvr, vver l lcv sfwre ulzz.

6 Rchm ul fn del crs 3 L esressne d dsnze ed ngl Le msure sservzn che vengn relzze durne un rlev grfc sn d due : ngl e dsnze. In generle, un qulss msur è relzz medne l cnfrn fr due grndezze mgenee un delle qul rresen quell d rfermen grndezz cmne. ngl e dsnze sn nche ulzz er esrmere le crdne de un sull suerfce erresre e necessn qund d un rfndmen. Per le lunghezze d esem l grndezz cmne, vver l mer, è denfc n md unvc cme un numer mull dell lunghezz d'nd dell'elemen chmc Cr86. Per rresenre ue le grndezze msurbl rvers l'unà-mer sn defn mull e smull del mer esress rvers l enze del dec: Mull Smull Prefss Fre Smbl Dec D E h Kl 3 K Meg 6 M Gg 9 G Ter T Dec - d Cen - c Mll -3 m Mcr -6 µ nn -9 n c - Per l msur degl ngl ssn essere d ssem nlc e ssem gemerc. Per l lr defnzne cnsderm due semree che hnn rgne d un un e rccm un r d crcnferenze d rgg R che defnsce, dll'nersezne cn le semree, un rc d lunghezz S. Il rr S/R, nn dendene dl vlre del rgg, è un msur dell'ngl nel ssem nlc. Se S=R l'ngl vene defn rdne. Il rdne qund uò essere defn cme l vlre dell'ngl ses d un rc d crcnferenz che resen un lunghezz ugule l rgg dell sess. In ques ssem s h che: ngl gr = π ngl = π ngl re = π/ Il ssem nlc uv nn s res clcl sedv nell defnzne d un ssem d crdne. Nell rc del rlev grfc vene nvece ulzz l ssem gemerc dve un crcnferenze vene suddvs n n r ugul. Nel ssem gemerc, n relzne l numer d suddvsn dell'ngl gr s defnscn ssem sessgesmle e cenesmle. Nel ssem sessgesmle l crcnferenze è suddvs n 36 r ugul l cu mezz rresen l grd sessgesmle. Ogn grd è dvs n 6 rm sessgesml ed gn rm n 6 secnd sessgesml. Le frzn sn nvece decml Esem α = 58 4'38",. Nel ssem cenesmle l crcnferenz vene nvece suddvs n 4 r che rresenn grd cenesml. Ogn grd è dvs n rm cenesml ed gn rm n secnd cenesml esem α = 37 g 5 c 78 cc,. Ques ssem, ur resennd delle fclzn nel clcl rse l recedene, nn cnsene d

7 Rchm ul fn del crs 4 esrmere lcun ngl nevl se nn rvers l'us d numer erdc. I gnmer degl srumen grfc re deu ll msur degl ngl revedn enrmb ssem d msur, nche se quell cenesmle è mggrmene dffus. D cò nsce l necessà d rsfrmre gl ngl d un ssem ll'lr cnsdernd un relzne del : r rdn, r r 57, che rresen l relzne fr grd sessgesml e cenesml e vcevers. Esem S vule rsfrmre l seguene ngl dl ssem sessgesmle nel ssem nlc: α = 3 5''', Cme rm erzne s deve rsfrmre l'ngl n grd e frzn decml. S cnvere nel ssem nlc usnd l crre fre d cnversne fr due ssem. 5, 3 3, r 3,58, Vlend rsfrmre l'ngl nuvmene n grd e frzn decml bs mllcre er l sess fre d cnversne π/36 nver. nlgmene er l rsfrmzne dl ssem nlc l ssem cenesmle s sfru l relzne: r g 4 menre er l rsfrmzne fr ssem sessgesmle e cenesmle g g 36 4 g 9 g Funzn d un ngl Pres un crcnferenz d rgg r ed un drezne uscene che frm un ngl cn l'sse delle scsse, s defnscn lcune fndmenl funzn rgnmerche che srnn ul nell cmrensne de rblem grfc d ffrnre durne l crs. cs r sen r sen g cs sen rcg cs dve g e 9 rcg 9. Inlre s rcrd che l derv rm dell funzne rcg vle d d rcg.

8 Rchm ul fn del crs 5 Rsluzne d rngl n Cnsderm un rngl n d l, b e c cn ngl s l l α, β, e γ ed R l rgg del cerch crcscr. Essn delle relzn che legn l elemen d nevle ulà nell rsluzne de rblem dell grf. 8 relzne fr ngl nern b c R sen sen sen erem de sen bcs ccs erem delle rezn b c bccs erem d Crn Quese frmule cnsenn l rsluzne d rngl n se re elemen, r cu lmen un l, sn n. Precsne ed ccurezz delle sservzn Sn due ermn sess cnfus m che hnn un sgnfc dfferene. In generle l recsne qunfc l ccà d reere un sservzne un msur senz dscsrs ml dll recedene. L ccurezz nvece qunfc l ccà d un sservzne d un msur d vvcnrs l vlre rele dell grndezz rcerc. Cnsderm l esem del bersgl l qule s sr er un cer numer d vle. Cl ml vcn r lr srnn ndce d recsne menre cl che cdn n rssmà del cenr del bersgl ndcn un esecuzne ù men ccur. S ssn resenre le seguen suzn:

9 Rchm ul fn del crs 6 Cenn sull er degl errr L deermnzne d un grndezz fsc e d grndezze derve d lre è semre sgge d un sere d errr che dendn n re dll medlg ulzz ed n re dll'erre che esegue l erzne. Gl errr relv d un msur ssn essere suddvs n ssemc e csul. I rm s resenn n gn deermnzne "ssemcmene", vver l mdfcn semre dell sess qunà bs. In grf un errre d ques uò dervre d un dfe srumenle dll ncrre refc delle r csuen. Ques errre è d dffcle ndvduzne e nn uò essere denfc rre dlle msure esegue che ne rmngn ffee. L'errre csule, d dll smm d n fr cncmn, s resen d gn deermnzne ssndl dl vlre ver che rmne urmene erc. Le bs ssche su cu s fnd l nls de d grfc revedn nrmlmene msure sggee sl errr csul. Quell ssemc, leg sru ll rc erv del rlev, s cnsdern d scrs enà se rlev vengn esegu cn u gl ccrgmen del cs. Dsnend d n msurzn cn ugul recsne dell grndezz è ssble defnre un med d, ndc cn, cme vlre endble dell sess n n n n Le msure esegue dell grndezz frnscn nche l d d renz er l sm dell'errre csule ssc ll sess. In rclre s defnsce vrnz d un msur l qunà n n L vrnz d un grndezz uò essere ssun cme l'errre ssc d un deermnzne. ll'umenre del vlre dell vrnz crrsnde n generle un mnre recsne nell deermnzne dell grndezz. Nell'equzne sr cmre l ermne che vene chm scr dll med dfferenz fr l sngl deermnzne ed l vlre med. L vrnz dell med vle nvece n n L rdce qudr dell vrnz d un msur rresen l scr qudrc med sess dscrs er l scr qudrc med dell med. n n In resenz d msure d grndezze d dvers recsne ccrrerà ssegnre un es mggre lle msure cn mggre recsne. In ques md gn msur recerà

10 Rchm ul fn del crs 7 l clcl de rmer ssc cn "l gus mrnz" che derv dll recsne ssc ll msur sess. S defnsce es dell deermnzne -esm l rr dve è un vlre rbrr chm vrnz dell'unà d es. In resenz d msurzn cn dvers es d esem dvue ll us d srumen dvers vlr dell med e dell vrnz d un msurzne dvenn rsevmene n n 3... n n n n n Nel cs d msure d dvers recsne l vrnz dell med dven n Le frmule en dscusse sn relve d un sngl vrble che rresen l grndezz rcerc. Ne rblem del rlevmen grf, gedes, rlevmen sellre GPS, fgrmmer.. s msurn dverse grndezze sservzn er deermnre rmer ncgn del rblem che nrmlmene sn delle crdne de un. Tl grndezze nn ssn essere re snglrmene s cus dell effe che hnn l un sull lr s er l dendenz ssc resene r le grndezze. Un vrble muldmensnle è esress rme l nseme d dverse grndezze mndmensnl, gnun crerzz d rmer ssc en vs. Occrre nrdurre l cnce d cvrnz e l defnzne d ceffcene d crrelzne. L cvrnz msur l grd d crrelzne r ce d grndezze due due che defnscn un vrble n-dmensnle. L cvrnz r ed vle: n n e uò ssumere un qulss vlre r + e -. Per un vrble n-dmensnle vlr d vrnz delle grndezze e cvrnz r le grndezze sn nrmlmene rgnzze nelle mrc d vrnz-cvrnz che qund cnengn nfrmzn cmlee sugl errr ssc lle vrbl sme lr vl sm de vlr rel nn msurbl dremene. Prendm d esem l cs dell vrble rdmensnle. L mrce d vrnz-cvrnz cvrnce mr è l seguene: L f,, z C L z z z z z

11 Rchm ul fn del crs 8 Se le grndezze dell vrble n-dmensnle sn ndenden r lr nessun crrelzne l mrce dven dgnle qund cmn sl le vrnze. C L z dg,, z Prreà dell mrce d vrnz-cvrnz L mrce d vrnz-cvrnz cnene ue le nfrmzn necessre er l vluzne degl errr ssc d un qulunque vrble n-dmensnle. lcune rreà dell mrce d v-c sn le seguen:. l mrce è smmerc;. gl elemen dgnl sn sv; 3. l mrce nn deve essere snglre vver l mrce deve essere nverble, vver l deermnne deve essere. Ques è necessr n qun ne clcl gedec è necessr nverre l mrce. Il ceffcene d crrelzne dmensnle nvece msur l frz dell crrelzne r due vrbl e s esrme cme Vlgn le seguen rreà: = nn crrelzne = + crrelzne sv = - crrelzne negv Un crrelzne sv r due vrbl ndc che l crescere dell un l'lr ende ugulmene crescere menre un crrelzne negv ndc che l crescere d un delle vrbl l'lr ende decrescere. I vlr + e - del ceffcene d crrelzne ndcn l resenz d un crrelzne lnere es. Il cnce d rbblà L rbblà d un even vene defn, secnd un clssc cncezne, cme l rr r l numer d cs fvrevl ed l numer d cs ssbl. Ques defnzne resen due lm; l rm è che l numer d cs ssbl deve essere fn, l secnd è relv l f che gl even devn essere equ-rbbl. Un defnzne mglre f rfermen l cnce d frequenz d un even. Izznd l rezne d un msur er un grn numer d vle, l frequenz relv dell even sess ende sblzzrs. numer frequenz even d even n cu s verfc numer d relchel l cs n f n n ll umenre del numer d relche le vlre ende sblzzrs regl dl verfcrs d sl errr csul. S dce che l vlre ende ll rbblà dell even []. Un defnzne d rbblà dell even uò essere: lm n f d esem, le crdne d un un bdmensnl rdmensnl clcle sull bse d vre sservzn renrn n ques cs.

12 Rchm ul fn del crs 9 Cnsdernd due even ed nn crrel che ssn verfcrs cn rbblà rsevmene d e, s defnsce PROBBILIT TOTLE l verfcrs d un de due [+ = + ] e PROBBILIT COMPOST l verfcrs d enrmb gl even [ = ]. Dsrbuzne d Guss er vrbl mndmensnl L sud dell dsrbuzne nrmle d Guss vene ulzz er l sud degl errr csul e l sm de rmer med e vrnz che rresenn l grndezz n esme. Inf s uò dmsrre che gl errr ccdenl d msur rengn d un dsrbuzne gussn del N, σ, vver cn med e vrnz σ. Qund le msure rerrnn d un dsrbuzne gussn del N, σ cn l sess vrnz ed cme vlre med. L funzne che rresen l dsersne d msure sggee d errr ccsnl vene chm densà d rbblà f e L curv nrmle rresen l rbblà d un cer even e gde delle seguen rreà: l vlre med è nche l vlre ù rbble; h due fless n crrsndenz de un ; l crescere d σ deermnzn men recse l curv s sce; l funzne è le che f d Ques curv cnsene nche d clclre l rbblà che un msur cd B nell nervll de vlr -B rvers l negrle P B f B f f d.

13 Rchm ul fn del crs In generle er ques dsrbuzne s uò dre che P, e d rbblà degl nervll rclr P, P, P3 3, 3 68,7% 95,45% 99,73% cn Ques negrle s uò clclre m deve essere relv ll funzne d rbblà secfc del cmne d msure. S rcede llr ll sndrdzzzne dell funzne cn l nrduzne d un nuv vrble u ndendene d vlr d med e vrnz u vrble sndrdzz f u e u u G, L nuv dsrbuzne sndrdzz equvle d un vrble nrmle cn med null e vrnz unr. Le sluzn relve lle rbblà ssce ll vrble sndrdzz sn bule e nn rchedn clcl rclr. Qund l rbblà che l vrble cd n un nervll d ± vle u P [, ] e du e crrsnde l vlre d 68,7% end rslvere l sess negrle er qulunque nervll grze vlr bul e rfer rr ll dsrbuzne sndrdzz. d esem, nell mb d un cmne d sservzn remm cnsderre ffee d errre grssln quelle sservzn che s dscsn r dl cmne. Cnsdernd che l nervll ±3 cmrende l 99,73% del cmne, l cndzne d esclusne s uò scrvere cme 3. L llernz fss è r l rl dell s.q.m. Sm de rmer crersc d un vrble ler Msure dell sess es sess recsne Dsnend d un sequenz d msure relve d un sess grndezz s ne l rblem d smre: l vlre d ssegnre ll grndezz sess quell ù lusble, l vrnz d ssegnre d gn sngl msur, l vrnz del vlre ù lusble. Quese sme devn essere esegue sull bse delle n msure che csuscn l cmne dsnble n rresen l gl del cmne. L vrble ler qund è rresen dgl n vlr ssun,... n dve le deermnzn sn ue ndenden e sggee sle fluuzn csul. Ques cmne uò essere cnsder cme un vrble ler n-dmensnle l ennul d msure rresen qund un esrzne cs dell lzne n-dmensnle.

14 Rchm ul fn del crs L funzne densà d rbblà d ques v.. n-dmensnle rende nche l nme d funzne d versmglnz ed esrme l rbblà che le even s mnfes cme rbblà cms delle sngle vrbl ndenden: n n n n f f f f L dve le sngle funzn d rbblà cnengn vvmene vlr d med e vrnz del cmne. UTILIZZO DEL CRITERIO DI MSSIM VEROSIMIGLINZ Pres un cmne..., n n rresennz dell vrble, l densà d rbblà l funzne d versmglnz ssc le cmne è funzne dell sess vrble e de vr rmer ncgn med e vrnz. Il crer d mssm versmglnz revede l clcl de rmer ncgn che mssmzzn l funzne d versmglnz. Il crer d mssm versmglnz qund cnsene d clclre med e vrnz rre dlle sngle densà d rbblà delle vrbl. Inf, er l rnc delle rbblà cmse, l densà d rbblà d u l sere d msure srà ugule l rd delle sngle rbblà e l funzne d mssmzzre srà: /...,,... n n n n n n e e e e P I vlr d med e vrnz che mssmzzn ques funzne s ssn rvre d vere rsfrm l funzne nell frm lgrmc n n n P ln ln ln che è sremene crescene n qun lgrm. I vlr cerc s rvn uguglnd zer le derve rzl d lnp rse e. n n n P P n n 4 ˆ ln ln che vengn chme rsevmene med cmnr e vrnz cmnr. Quese qund sn delle sme d mssm versmglnz d med e vrnz d un v.. che segue l dsrbuzne gussn. Dll equzne dell densà d rbblà s vede che l sm dell med è enble rvers l med de mnm qudr. Inf l funzne d mssm versmglnz h l su mssm qund l ermne Ques equvle d ffermre che l cmne dsnble dlle msure effeue è nche quell ù lusble rbble. In lre rle rmer dell dsrbuzne d rbblà d un sere d msure devn essere l d rendere mssm l rbblà dell sere sess. S rcrd che le sngle msure devn renere ll sess dsrbuzne d rbblà vver devn essere d egul recsne. In ques cs rmer d smre sn sl due, med e vrnz. Se le msure sn d dvers recsne l vlre med srà semre un sl m le vrnze d smre srnn n.

15 Rchm ul fn del crs mn, er cu l derv rse l vlre dell med frnsce nuvmene l equzne rv er l med cmnr. L sm dell vrnz en effeu v crre l denmnre n qun gl scr rse ll med nn sn u ndenden r lr, m un d ess uò essere clcl d u gl lr. I grd d lberà sn qund n- e l sm crre dell vrnz cmnr dven ˆ n s menre l vrnz dell med srà ˆ n n s Msure d es dvers dvers recsne vle le msure effeue nn sn dell sess recsne cus dell ulzz d srumenzne dvers, er l vrzne delle cndzn d msur ure er le dverse mdlà d msur esegue. In ques cs l vlre med d smre rmne l sess m l vrnz vr d msur msur. In lre rle le msur rengn curve gussne cn dvers dsersne de d, m cenre sul medesm vlre med. n n n n n e e e P.....,...,,,... Vs che /, sunend d cnscere le vrnze delle sngle msure s h che / e ssuend nell recedene s ene n n n n n e P / /...,...,,,... nlgmene qun f recedenemene s ssn deermnre le sme d mssm versmglnz d med nder e vrnz dell unà d es 3 sm. S ene: ˆ ˆ n s S uò dmsrre che l vrnz dell med vle n s ˆ 3 Inf nell equzne cmre l vrnz dell unà d es d l ssuzne de vlr delle sngle vrnze.

16 Rchm ul fn del crs 3 Esem numerc: sn dsnbl msure d dsnz lle qule vengn ssegne de es Pes v v v v 45.8 cn med. 7 e l s.q.m. dell unà d es s. 6. n 9 Vlend gl sqm delle sngle msure s vrà

17 Rchm ul fn del crs 4 Dsrbuzne d Guss er vrbl bdmensnl Prendm due vrbl csul d nrmle e r lr ndenden. L rbblà cms de due even è d dl rd delle sngle rbblà,,, e e e f In relà è ml frequene l cs d vrbl crrele. In effe rr le crdne d un un ssn essere re cme un vrble bdmensnle e l lr deermnzne, rme msure e successv clcl, nrduce delle crrelzn rr n funzne delle mdlà erve svle. Qund l frmulzne dell densà d rbblà cmb cn nrduzne del ceffcene d crrelzne nn s vedrà l funzne L dsrbuzne nrmle due dmensn rende l seguene frm nlgmene l cs mndmensnle vle l negrle, dd f. Per le lczn d neresse l rlevmen è ule nlzzre le curve che s engn dll nersezne dell suerfce cn n z = f, = csne. S uò dmsrre che, n resenz nche delle cvrnze rscure nell frmulzne, l fgur d nersezne è un ellss l cu dmensne dende dll defnzne del n z csne. Un rclre ellsse d neresse è quell sndrd cu semss mggre e mnre e b sn frn dlle relzn 4 4 b dve vlr ssn essere derv dll mrce d vrnz e cvrnz rd cme mdell scsc d clcl. L evenule resenz d un renmen dell ellss dendene dll resenz dell cvrnz e uò essere deermn dll relzne

18 Rchm ul fn del crs 5 σ rcg σ σ dve rresen l ngl snsrgr che l sse delle frm cn l semsse mggre dell ellsse. Occrre fre enzne l qudrne d rfermen d verfc de segn ssc l numerre ed l denmnre. Cme bbm vs l cvrnz uò ssumere vlr sv negve. S ssn resenre seguen cs Vlre d Qudrne + + < < 45 I < < 9 I - + < < -45 II < < -9 II Grfcmene qur cs s resenn cme segue. Qund r le vrbl nn v è crrelzne l ellsse resenerà gl ss rllel gl ss crdn. Dl un d vs ssc l ellsse sndrd rresen l re ll nern dell qule s h l 39% dell rbblà d un ndvdu esr cs er quell lzne d vrbl bdmensnl. Se l ellsse h semss d l rbblà sle l 86% menre er ellss cn semss rl ques dven del 99%. Qund, un md crre d rresenre su un n cresn, su quell crgrfc, un vrble P bdmensnle srà l seguene Il vlre med delle cmnen ed szn l vrble sul n menre l ellss cenr sul un cnsenrà d defnre l rbblà che l un cd effevmene ll nern dell ellss sess. Ques cnsene d qunfcre l recsne del clcl e qund l sgnfcvà delle msure.

19 Rchm ul fn del crs 6 Prgzne degl errr L rgzne grc degl errr delle vrnze cnsene d vlure gl errr d vrbl enue dll cmbnzne d lre vrbl d esem vlr msur lr vl sgge d errr nell deermnzne. L'lczne funzn lner d vrbl ndenden è del : bz c b z c Vedrem che le equzn genere dll msur d un dslvell rengn ques. Per funzn nn lner s deve nvece rcedere ll lnerzzzne, rse lle vrbl sggee d errre, enend: f, z, f f f z z Se erò le vrbl nn sn ndenden ccrre cnscere d l vrbl nn sl l vrnz m nche l cvrnz che leg le vre ce d vrbl ques cssc srà mess. Le equzn genere dll msur d ngl e dsnze rengn l cs d nn-lnerà.. L rgzne degl errr s uò rsferre nche cnsderzn d qulv che vengn sess effeue sservnd delle sere d d. Inf qund deducm qulcs rre d nfrmzn che sn sggee d un mrgne d ncerezz, vrem un nuv nfrmzne ll qule v ssegn un mrgne d errre che dende dlle nfrmzn rgnre l rgzne d un errre lung un frmul un crer cmr un umen dell ncerezz fnle.

20 Rchm ul fn del crs 7 Tes d sgnfcvà: l es Il es del ch-qudr è un es ssc ulzz er verfcre se l dsrbuzne ssc d un grndezz msur è smle n mner sgnfcv d un cer dsrbuzne erc er esem quell gussn. Il es ch-qudr c ermee d ccere rfure l es d smglnz r dsrbuzne sscnd ques scel un defn lvell d rbblà. S frmul un es nzle H es null n mer l d dsrbuzne es er un v.. msur, ure rmer dell dsrbuzne sess, e s cnrll ques es su bse ssc rvers un es d sgnfcvà. Il es uò vere due es: negv sv l es H vene rge; l es H vene cce. Il rsul frn dl es nn è scur l % m, cme de sr, vene ssc d un lvell d sgnfcvà d sl ugule,5, vver 5% % rsevmene che ndvdu un regne crc er l es nzle. In snes l es d sgnfcvà uò rre lle seguen decsn: l es null H vene rge, l lvell d sgnfcvà, se l vrble ulzz dl es cde nell regne crc. In cs d es lernve quese srnn ccee; b l es null H vene cce, l lvell d sgnfcvà -, se l vrble ulzz cde fur dll regne crc. Nel cs v è un rbblà ugule d d rfure un es ver, cn errre d decsne d I sece, menre l cs b uò essere sgge d errre d decsne d II sece, qund s cce un es che erò è fls. L vrble d ulzzre nel es d sgnfcvà dvrà qund ncludere rmer ssc delle due dsrbuzn d cnfrnre; quell erc sus rme l es nzle H e quell rele cn rmer deermn rme le msure. Ques nuv vrble vene defn e msr un ndmen che è funzne nche del numer relv grd d lber d, ssc l rblem. Ques sn defn cme numer d sservzn m numer d ncgne n d clclre. Sln m-n sservzn srnn lbere d ssumere vlr ndenden le lre sservzn srnn nvece vncle. L funzne ch-qudr qund cmb n funzne de grd d lberà. ll umenre de grd d lberà l funzne ssume le frme d fgur

21 Rchm ul fn del crs 8 Qund un frm ù cnvenene er l clcl del ch-qudr quell n cu l nuv vrble vene dvs nrmlzz er l vlre d de g.d.l. Per dre un sgnfcvà l rsul del es ccrre fssre un lvell d rbblà d sscre l rsul del es sess. D sl ques lvell vene s l 5%,,5 rsevmene. ESEMPIO vend clcl l vlre ~ dlle nsre sservzn dvrem cnfrnrl cn l vlre erc n bell ~ d, rfer grd d lber d ed l lvell d rbblà scel. Drem che l vlre clcl ~ è n dsccrd sgnfcv es d rgere se ~ P ~ d, 5% ESEMPIO: Vglm deermnre l vlre d ~ d, dell vrble ch-qudr cn grd d lberà le che ~ ~ P,.5 5%. L vrble ~,.5 vene le nell bell n crrsndenz dell rg de g.d.l. e dell clnn relv d un re r,5 5%. Il vlre rv er ~,. 5 è 8,3. Qund ~ P Vlr mggr d 8.3, rcden nell re grg dl grfc, srnn d cnsderre sse l lvell d sgnfcvà del 5%.

22 Rchm ul fn del crs 9

23 Il med delle Osservzn Indree Il med delle sservzn ndree Sn n un cer numer d grndezze fsche nn msurbl dremene ncgne e l m le grndezze sservzn che legn rmer ncgn cn m n. Le sservzn fe srnn lege lle ncgne nn necessrmene ue n relzne l med d msur ulzz. Ognun delle m sservzn gener un equzne dve cmn le ssbl ncgne. Se l ssem è lnere s rà scrvere cme... n n l.. m m... mn n lm l mn sn ceffcen n che dendn dl rclre legme funznle e qund dl med d msur ulzz, n sn le ncgne del rblem e l m le sservzn dsnbl. Nell frm mrcle l ssem s uò esrmere cme.. m.. m m n n n.. mn.. n.. n m l l l m rng = n = numer delle ss. ndenden Nell cndzne m=n l sluzne del ssem s ene mmedmene rcvnd l vere delle ncgne d nversne dell mrce, l. Invece nel cs d mn nn esserà lcun sluzne che sddsf cnemrnemene ue le equzn delle sservzn fe. Inf, vend dsszne un ec vere delle sluzn,... d ssure nel ssem delle equzn, vene gener un vere de n v v, v... vm resdu... n n lms v.. m m... mn n lmms vm lms v Mdell Funznle I resdu nscn dl f che le sservzn sn sggee d errre e qunfcn gl errr cmmess nell sservzne crrsndene. In ssenz d errr nn vrem resdu e l legme funznle srebbe del f=. S uò nche dre che l l v. Il Mdell Funznle qund revede m equzn le sservzn e m+n ncgne vere delle ncgne e de resdu cn n sluzn ssbl. ver ms

24 Il med delle Osservzn Indree Crer de Mnm Qudr Occrre qund dre un crer er seleznre un sluzne dlle nfne ssbl. Il crer scel è quell de mnm qudr lc resdu che cnsene d rvre l sluzne er vere delle ncgne le che l smmr de resdu qudrc rsul mnm. vend che fre cn ver e grndezze d un cer es, l cndzne uò essere scr nell frm T T v Pv l P l mn ms ms dve P mm è l mrce de es che vle P Mdell Scsc C l ms cn C l ms mrce d vrnz-cvrnz delle msure. Se le msure nn sn crrele r lr l mrce de es è dgnle e l rblem de mnm qudr uò essere semlfc nell frm q m m vˆ ˆ... ˆ l mn. n n ms S rcverà r l sluzne nel cs generc d vrbl crrele e qund mrce de es nn dgnle T T dnd uncmene l nzne mrcle. Prend dll equzne v Pv l P l, che vˆ ms ms rresen n frm mrcle l esressne s rcede ll svlu dell equzne enend ms T T T ms T T T ms q l P l P l P l Pché ms T T T ms T T ms T ms ms T T T P T Pl ms l T ms P l Pl è un sclre, rsul che Pl l P che ssu nell esressne recedene T T ms T T T frnsce q P Pl Pl l Pl N Pl l Pl dve N è l mrce nrmle defn cme N P. L mrce nrmle n,n è smmerc e qudr. ms T ms T T T ms T ms ms T ms Pl ms L cndzne de mnm qudr lc ll funzne mrcle q s uò scrvere cme q / che dven T ms T T Nˆ Pl Nˆ Pl che rresen l Ssem Nrmle gà vs. S uò dmsrre ms che rng N = rng P n. Qund l mrce N è nn snglre ed nverble. Il ssem nrmle dven un ssem d n equzn lner nelle n ncgne ˆ mnm qudr che s ssn enere dll frmul fnle T ˆ P T Pl ms N T Pl ms che frnsce l sm delle ncgne rvers le sservzn ndree. L sluzne del mdell funznle vle qund ncgne sm T ˆ P Pl. T ms T T P ˆ Pl e l vere delle ms L qunà T P è defn Mrce Nrmle N. Il ssem ˆ N T Pl ms è defn Ssem Nrmle

25 Il med delle Osservzn Indree Inrducend le ncgne ˆ N T Pl ms en sme nel mdell funznle s engn le sme mnm qudr vˆ de resdu erc v. S vrà che vˆ ˆ lms. Vs che resdu sn nche gl errr ssc lle msure ssm rcvre vlr delle msure crree degl errr sess che sn en s sm. Nelle scenze del rlevmen ques vlr vengn defn cmens. l cm l ms vˆ In defnv vlr cmens sn ulerr sme ù recse delle msure effeue delle grndezze sserve. Rssumend l rcedmen en ess cmr:. Clcl del vere delle ncgne cndzne de MQ lc resdu;. Clcl de resdu d ssuzne delle ncgne nel mdell funznle; 3. Clcl de vlr cmens delle sservzn.

26 Il med delle Osservzn Indree 3 Precsne de rsul enu Cme vs s ssn enere delle ndczn sull recsne de rsul rvers l clcl dell mrce d vrnz-cvrnz ssc de rmer sm. l mmen erò ques rsul essere ncr scnscu. S re dll equzne ˆ N T Pl ms e s lc l legge d rsfrmzne dell mrce d vrnz-cvrnz de ver ler C ˆ T N P C N P dve lms T T C ˆ è l mrce d v-c del vere delle ncgne; C quell relv lle msure esegue. l ms S è gà vs che l errre sulle msure è n relzne cn es, delle msure sesse, è cn l vrnz dell unà d es. In frm mrcle è s nche defn l mdell scsc dl qule s h che l P e qund l equzne recedene dven C ms ˆ T C N PP P N T T T T Cnsdernd che l mrce P è smmerc cme nche l nvers dell mrce nrmle s ene C T T T T ˆ N PP P N N PN dve T P N e NN I In cnclusne s h l frmul fnle T C ˆ N rng n L deermnzne dell mrce d vrnz cvrnz delle msure cmense segue l sess rnc m rend dll frm ˆ ˆ. lcnd ncr l legge d rsfrmzne dell mrce d vrnz-cvrnz dmsrzne mess s ene T C ˆ C ˆ che, n bse ll sluzne recedene s uò scrvere l cm l cm C ˆ N l cm T rng n Infne s uò dmsrre che l mrce d vrnz-cvrnz de resdu effev è esress dll seguene frm C vˆ C C l ms lˆ cm rng m n Che s ene cme ne cs receden rre dll frm sesse regle dmsrzne mess. Dll equzne sr s vede che vˆ ˆ l e lcnd le ms lˆ cm l ms vˆ vver s dmsr che l recsne ssc vlr cmens sme de vlr ver è semre mggre d quell delle msure effeue.

27 Il med delle Osservzn Indree 4 Sm serr dell vrnz dell unà d es σ L lczne del crer dell mssm versmglnz cnsene d rcvre un sm dell vrnz dell unà d es -serr, vver bs su vlr cmens. Ques rresen un sm del vlre che venv effeu sull bse d es -rr. Ques sm vle s vˆ m n che s uò scrvere nche cme s T vˆ Pvˆ m n dve l denmnre cmn grd d lberà che rresenn nche l numer d scr ndenden. L frmul è del u smle quell gà vs nell defnzne d vrnz er msure d ugul recsne, m qu cmn resdu cmens. In resenz d un dsrbuzne gussn delle msure effeue due vlr d vrnz -rr e -serr dvrnn essere sml r lr, lrmen s rebbe ffermre che le es nzl fe sulle sservzn nn sn ceren cn rsul effevmene enu. L verfc dell smglnz r le due dsrbuzn s uò effeure rvers l defnzne dell nuv vrble ler s / e l lczne del Tes Ch-qudr dve cmn ncr grd d lberà. mn s m n Equzn lle sservzn nn lner Il cs ess sn d r revede delle funzn, che legn sservzn ed ncgne, d lnere. S vedrà che, re le msure d lvellzne, le sservzn grfche e gedeche cmrn delle relzn nn lner r le m sservzn e le n ncgne d smre. Qund l ssem d equzn che nsce srà del f.. f, m,... n,... n l l m F l Occrre llr lnerzzre le funzn delle sservzn rm d lcre le regle vse er l sluzne del rblem rvers le sservzn ndree. L lnerzzzne rchede l cnscenz de vlr -rr delle ncgne n md d rcedere nell nrn de un rcerc. Ques vlr rr delle ncgne ssn essere dsnbl er v srumenle lcun srumen frnscn n v relmnre un ec rsul sull bse d clcl relmnr ure ssn essere clcl -serr rvers rcedure gemerche che nn cmrn necessrmene l cmenszne de vlr. S sfruerà l sere Tlr er funzn generche del f d lnerzzre nell nrn del un. df h d f f f... d n! d h R h

28 Il med delle Osservzn Indree 5 Nrmlmene è suffcene nerrmere l sere l rm grd vver rscurre l res dell sere senz cmrmeere l ccurezz del clcl. L lnerzzzne qund vvene rn vlr rssm T n,.. n md che ver, dve sn le crrezn d rre l vlre rssm. Fermndc l rm rdne s h m n n n m m n m n n n n l f f f l f f f..., ,... e defnend f ceffcen crrezn f l b dscrenze s ene l ssem nell frm lnere m n mn m n n b b che vrà due sluzn ssbl n m b n m Pb P T T n relzne l numer d sservzn ed quell delle ncgne. In enrmb cs s uò lcre l med delle sservzn ndree cn l dfferenz che nel rm cs nn s rcederà ll cmenszne. L sluzne frnsce l vere delle ncgne, vver le crrezn d lcre l vlre rssm er enere quell ver.

29 Le sservbl n grf 6 Le sservbl n grf Le suerfc d rfermen nelle scenze gedecgrfche L defnzne d un suerfce d rfermen nsce dll necessà d vere un sur memc su cu svlure l rlev esegu sull suerfce erresre. Tle suerfce deve essere esrmble rvers un frmulzne memc semlce l che rende ssble l'esecuzne d clcl su d ess e rresenre nel mglr md ssble l rele frm dell suerfce erresre. L defnzne d le suerfce ss rvers un sere d cnsderzn e semlfczn che rn dll sud del cm grvznle erresre. E' n cme l sfer erresre resen un legger schccmen l e ru cn velcà nglre ω rd/sec rn ll'sse lre. Ques mvmen d rzne rduce er u un un'ccelerzne cenrfug che snge l un vers l'esern. r dve r rresen l dsnz del un dll'sse d rzne erresre. Ques ccelerzne rduce un frz lung l sess drezne che srà f m m r cn m che rresen l mss cncenr nel un cnsder. Sull sess mss gsce nche un frz d rzne grvznle dre vers l cenr d mss erresre M mm F K d dve K è l csne d Newn, M l mss erresre e d l dsnz fr un n cu s cnsdern cncenre le due msse. L rsulne d quese due frze vene chm frz d grvà g che uò essere nche cnsder un ccelerzne essend le cnsderzn vlde nche nel cs d mss unr. Vs che le frze n gc sn vrbl d un un dell mss erresre nche g vrà vlr vrbl. lle nsre ludn un vlre rresenv è 9,8 m/s. S uò sub nre che l l frz d grvà srà mssm n qun nn è resene l cmnene cenrfug cnrsre quell grvznle. L sfer, sgge quese frze rsuln, ende llr schccrs e d ssumere l frm d un ellssde d rzne.

30 Le sservbl n grf 7 Ques drezne che rresen l lne d frz dell grvà erresre nel un è fndmenle nell rc erv n qun lung d ess s ren l fl mb ulzz er l mess n szne degl srumen nel rlev grfc. L'nseme d l lnee d frz del cm d grvà defnscn un l cm grvznle l qule mmee un enzle grvznle W. Ess frnsce un sere nfn d suerfc cn l rreà d vere l vercle n gn un nrmle ll suerfce sess. Ognun d quese suerfc è defn equenzle d lvell. Il gede e l sferde Prend dl resus che un lqud n quee s dsne secnd un suerfce equenzle, è ssble mmgnre l suerfce erresre nermene csu d un suerfce mrn dele vver rv d m e crren ss uncmene ll frz d grvà. Tle mss s dsrrebbe secnd un delle suerfc equenzl W csne scel n md d essere ssne er un deermn un n un deermn sne. Su le suerfce, chm gede, srebbe ercmene ssble rrre le szn de un m ques dvrebbe essere n, vver dvrebbe essere n l vlre d rzne grvznle n gn un. Ques nn è ssble n qun rchederebbe l cnscenz dell dsrbuzne delle msse n gn un e qund dell densà erresre. Nell frmulzne del gede nf cmre l ermne relv ll mss cnvl. W dm r,, z G csne T dve: 8 3 G csne d Guss = 6.67 cm gr sec dm = un elemen d mss; = velcà nglre rd/sec Un'rssmzne che uò essere f è quell che cnsder un dsrbuzne smmerc dell mss rse l'sse d rzne erresre. In ques cs s engn delle suerfc equenzl d frm rssm quell sferc denmn sferd. L dffclà d defnre nche ques frm er l clcl d lcune crdne h r d ulerr semlfczn che s vedrnn. V rm de, erò, che le que de un n genere vengn defne cme l lunghezz dell'rc d lne d frz dell grvà cmres r l un ed l gede. Que defne n ques md sn dee rmerche sul lvell del mre. V secfc che un gcen sull medesm suerfce equenzle nn hnn l sess qu rmerc essend l lnee nn rllele fr lr. Rresenzne dell qu rmerc d un un su su d un suerfce equenzle

31 Le sservbl n grf 8 L'ellssde erresre L suerfce rssm mggrmene ulzz è nvece l ellssde d rzne l cu defnzne nn rchede es sull dsrbuzne dell mss erresre. L frm d un ellssde d rzne è defn unvcmene d: semsse mggre, semsse mnre b, schccmen. Cn rfermen d un ssem d ss cresn l'ellssde uò essere esress rme l'equzne z b menre l schccmen e l rm eccenrcà e ne defnscn l frm b e b Gl ellssd d mggre ulzz, deermn cn vr d msure nel em, sn seguen Ellssde Bessel m /99, Clrke m /95,5 Helmer m /98,3 Hfrd m /97, WGS m /98,3 I un gcen sull suerfce ellssdc sn rresen rvers le crdne ellssdche gegrfche ludne φ e lngudne λ che vengn defne cme: Ludne φ: ngl d nclnzne frm dll nrmle ssne er un un P ed l n equrle; Lngudne λ: ngl dedr frm fr un n d rfermen che cnene l'sse d rzne ed l n cnenene l un P e l'sse d rzne. Se l qu è defn su le suerfce s rl d qu ellssdc. In l cs l dsnz fr l un e l suerfce d rfermen è msur lung l nrmle ssne er l un generc P. Dlle defnzn de nscn quelle d merdn e rllel:

32 Le sservbl n grf 9 Merdn: lnee sull'ellssde che hnn l crersc d vere lngudne csne; Prllel: crcnferenze enue secnd l'ellssde cn n nrml ll'sse d rzne e crerzze dll medesm ludne. Il merdn d rgne è quell d Greenwch lngudne. L crdn lngudnle s cn nrmlmene d vers 8 d Es Oves dl merdn d rfermen. Il rllel d rfermen è rresen dll'equre ludne. L crdn ludnle s cn dll'equre vers 9 Nrd e Sud.

33 Le sservbl n grf 3 Rgg rncl d curvur dell ellssde Per gn ellssde è ssble defnre de rgg d curvur che descrvn l suerfce n un deermn un. Ques vlr vengn ulzz n dverse lczn grfche er dmensnre l suerfce d rfermen qund nn c s rv nell'rssmzne n. In rclre due rgg d curvur fndmenl sn ndvdubl glnd l suerfce ellssdc cn le csddee sezn nrml rncl ssn er un generc un P. Cn rfermen ll fgur s defnsce rm rgg d curvur ρ l rgg d curvur del merdn ssne er un un P. Tle rgg vrà, vvmene, vlr dvers n funzne dell ludne ed è cnenu nel n merdn cnenene l merdn ssne er P e l sse d rzne. S uò dmsrre che ρ vle e e sen lr rgg d nevle mrnz è l Grnnrmle N enu secnd l'ellssde cn un n cnenene l nrmle ll'ellssde er l un P che rsul nche erendclre l n merdn. Tle vlre vle N e sen Il rgg del rllel ssne er un un P è nvece defn cme r N cs e 3 cs sen Il rgg med d curvur è defn cme l rgg dell sfer ngene ll'ellssde, n un un, che megl l'rssm nell'nrn del un sess. Il rgg R dell "sfer lcle" è d d R / e N e sen

34 Le sservbl n grf 3 Gedec Le gedeche sn lnee che cngungn due un sull suerfce ellssdc e gdn dell rreà d vere, n gn un, l nrmle cncdene cn l nrmle ll suerfce. Rresen nche l mnm dsnz fr due un s su un suerfce, vver un re nel cs d un suerfce n ure un rc d cerch mssm su un suerfce sferc. Le due sezn nrml revedbl sn quelle rfere un e B. Quese s engn nersecnd l ellssde cn n cnenene l nrmle d ed l un B e B cnenene l nrmle B ed l un e nn sn cncden vend rreà dverse. L gedec cngungene e B dsegn, nvece, sull'ellssde un fgur cme quell che s msr.

35 Le sservbl n grf 3 Ondulzne del gede Dll defnzn d gede ed ellssde derv dremene quelle d nrmle e vercle er un un. L nrmle v nes n sens gemerc sull suerfce ellssdc menre l vercle rresen l drezne dell grvà n un un nrmle l gede. Quese due drezn crerzzn gl scsmen fr le suerfc ellssdche e gedche. L'ngl fr nrmle e vercle n un un è chm devzne dell vercle cn vlr che nell nrm sn dell'rdne d qulche secnd. S defnsce ndulzne del gede N l dfferenze r l qu ellssdc H e quell rmerc h. In fgur cmre l ndulzne del gede rse ll ellssde WGS84 s vedrà vn ulzz cme rfermen nel sznmen sellre. N = H h Il vlre d ndulzne er l Il è n cn un mrgne d errre vrble n relzne l rclre ellssde scel. Cmunque ques vlre è nrmlmene n cn un ccurezz d un decn d cenmer ù. L rsfrmzne r le due lge d que uò essere effeu slmene cn ques lvell d recsne.

36 Le sservbl n grf 33 Crdne curvlnee sull'ellssde e cresne rdmensnl Sull ellssde ssn essere defn dvers ssem d crdne curvlnee n qun renen d un suerfce nn n. Renrn r ques nche le crdne esresse cme ludne e lngudne. lr ssem d crdne curvlnee sn seguen: Crdne gedeche lr: un un P vene deermn, n ques ssem, rse d un rgne O ed l merdn che er ess ss rvers l msur dell'rc d gedec s e dell'zmu cn n sens rr dl merdn d rfermen. Crdne gedeche rgnl 4 : un un P vene deermn, rse d un rgne O ed l merdn er ess ssne, dll'rc d gedec cnd d P nrmlmene l merdn e dell'rc d merdn =OP'. 4 Le crdne gedeche rgnl sn ll bse dell crgrf csle Iln che resen emnzn rgn vre sul errr.

37 Le sservbl n grf 34 Crdne cresne rdmensnl: un un P vene deermn rse d un rgne semlcemene n bse ll ern cresn ndvdu dl ssem d rfermen scel. Tle ssem è gg ulzz nell mb dell gedes szle GPS ed lre ecnche nche er renre ellssd d rfermen vld lvell glble. Relzne fr crdne gedeche e cresne Orennd un ellssde rse d un ern d ss cresn, ssn essere sble le seguen relzn fr crdne gedeche e crdne cresne. r cs N cs cs r sen N cs sen z e sen N / e sen e sen Quese frmule sn fclmene nverbl. Dlle crdne cresne, e Z è fcle rvre e nf: g ed è fcle rcvre l vlre d rend dll equzne dell z e d un delle lre due d vere ssu l vlre d. Le crdne gecenrche sn suffcen nche defnre l szne rdmensnle d un un dell suerfce fsc enend n cnsderzne l qu relv ll'ellssde d. Le frmule sr dvenn: z N h cs cs N h cssen N e hsen

38 Le sservbl n grf 35 Per clclre ludne, lngudne e qu ellssdc dll ern cresn s deve nverre l ssem. Il rblem nn h un sluzne dre e s deve rcedere rvers un clcl erv che s msr l d esercz. S re cnsdernd l dsnz r un generc un P e l'sse z del ssem d rfermen: P N h cs Trsfrmnd l secnd ermne n Z N h Ne sen e dvdend er P s ene, Z P N hsen Ne N hcs N h sen Ne g cs N h Dll, n cu l rm ermne è n, è ssble rcvre un rm vlre d, rssm, nend h=, e 3 Z rcg P le ludne crrsnde un vlre d N: N / e sen 4 che ssu nell frnsce un rm sluzne er l qu h. Inf s ene P N h cs. Inrducend dess vlr enu er N ed h nell s ene un vlre d. Or s clcl N dll 4 e qund un secnd vlre d h dll.. ecc. S engn vlr d e h er l un P. L lngudne s rcv semre dll relzne: g

39 Le sservbl n grf 36 Sluzn rssme er le suerfc d rfermen Ne clcl grfc le re suerfc, ellssdc, sferc e n, ssn essere ulzze er rssmre l rele frm erresre cn semlfczn che umenn nell'rdne. Per gn lg d rlev, ed n rclre n relzne ll'esensne rele ed ll recsne rches, srà ssble sceglere l'un l'lr suerfce d rfermen cn l ccrezz che ques scel nn cmrme l qulà del rlev sess e del rd fnle. Ovvmene le frmulzn nlche srnn v v semlfce ssnd d un gemer ellssdc quell d un n dve s ssn, er esem, ulzzre le ben ne equzn dell rgnmer n. Per qun rgurd l'esensne del rlev s cnsdern lcl quelle erzn che hnn cme fnlà l rresenzne d gge lme rzn d errr mnuf, ccle ree nsedve, scv rchelgc, nfrsruure d esensne ml rd, crersche mrflgche del errr grnde scl... Nell mggr re d ques cs l'rssmzne n è vld. Le grnd re grfche lnlmerche d rlev er l relzzzne d ere nfrsruurl esese sul errr devn, nvece, essere necessrmene essere rgee su un suerfce ellssdc. Essend ne ue le equzn cnvle nelle re rssmzn ce è ssble sblre enr qule dsnz l scel d un suerfce rssm cmr un errre nel clcl delle szn e delle grndezze gemerche cceble cnsder gl bev del rlev. Tle cnsderzne ndrà dsn ne cs del rlev lnmerc deermnzne delle crdne lnmerche ed lmerc deermnzne dell qu, essend ques ulm mggrmene nfluenz dll curvur erresre. Cm grfc e cm gedec Il lme enr l qule un suerfce d rfermen rssm uò essere d l s dell'ellssde d rzne vene sbl n bse cnsderzn che rgurdn l mglr recsne rggungble nell msur d ngl e dsnze. Nell msur delle dsnze s uò rggungere un recsne dell'rdne d mm/km, vver un errre relv dell'rdne d un mlnesm r -6. Nelle msure nglr l recsne rggungble è nvece dell'rdne d,",5-6 rd. nche nell deermnzne delle dfferenze d que s ssn fre cnsderzn nlghe cn recsn che rggungn mm d dslvell er un dsn km errre d -6 nel rr errre n qu/dsnz. Essend qund dell'rdne d -6 l mglre rssmzne delle msure esegue srà lec dre, ne clcl grfc, un suerfce dvers dll'ellssde sl se ques nn cmr errr che suern le lme. S defnsce: Cm grfc: l dsnz mssm enr l qule l dfferenz relv r le crdne d un un su un n ngene ll'rgne e le sesse crdne sull'ellssde d rfermen nn suer l vlre d -6. Tle dsnz è d crc 5 km nel cs lnmerc e d crc mer n quell lmerc. Cm gedec: l dsnz mssm enr l qule l dfferenz relv r le crdne d un un su un sfer lcle ngene ll'rgne e le sesse crdne sull'ellssde d rfermen nn suer l vlre d -6. Ovvmene ques rresen un mglre rssmzne dell recedene. In effe le dsnz vle nche km nel cs lnmerc e - km nel cs lmerc.

40 Le sservbl n grf 37 Le msure grfche rdznl: dsnze, ngl e dslvell Il rlevmen grfc rdznle, d esclusne qund d med ù recen qul l GPS e le ecnche lser scnner eree e erresr, è bs sull deermnzne d lcune grndezze fndmenl che sn dsnze, ngl e dslvell. Quese grndezze, che vengn msure grze ll srumenzne ulzz, sn ll bse dell rsluzne de rblem grfc e vengn defne nche sservbl. D segu srnn descre le rncl msure grfche cn lcun ccenn lle rcedure erve ed gl srumen ulzz. Obev de rgrf successv è qund quell d llusrre le sservbl dsnbl nell rsluzne de rblem grfc, menre er un degl delle ecnche grfche d msur s vedrnn cl successv delle dsense. Dell srumenzne ulzz vengn slmene ccenn rnc d funznmen menre er un descrzne rfnd de vr mdell dsnbl s rmnd d lr merle. Msur degl ngl Gl srumen er l msur d ngl renrn nell clsse de gnmer ed gg sn dsnbl ne edl elernc che cnsenn l sl msur d ngl e nelle szn l che cnsenn l msur cnemrne d ngl e dsnze semre er v elernc. D ques srumen ne essn d vr secnd delle crersche csruve e delle recsn che ssn rggungere nell deermnzne dell msur. S cnsder un un O d rgne sul qule s'nende fre szne er deermnre l'ngl s l qule s sservn un e. S defnsce l n d cllmzne cme quel n cnenene l vercle ssne er l'rgne O ed un de un cllm. In ques cnfgurzne ssn essere defne le due grndezze sservbl che s ssn msurre: - ngl zmule r le drezn e e msur dll'rgne O è l sezne re dell ngl dedr frm d due n cnenen l vercle er O e ssn rsevmene er e B n d cllmzne. Ques ngl uò essere cnsder cncdene cn l ngl cmres fr le due sezn nrml rfere ll suerfce d rfermen d esem l ellssde; - ngl zenle dsnz zenle è l ngl che l lne d mr frm cn l vercle er O. Nelle mderne msure grfche le msure degl ngl sn semre ssce quelle delle dsnze n qun le szn l sn rcmene le unche ulzze ne rlev. Tuv fn de clcl grfc le due sservbl ssn nche essere ulzze sermene. Nell msur d ngl, csì cme d ue le lre grndezze, l scel degl srumen d ulzzre srà semre funzne dell recsne rches dl rlev s n ermn d recsne dell sngl msur s del rsul fnle. Un rnc generle è che rlev d ccle esensn rchedn srumen men sfsc. Fnn eccezne lczn ngegnersche che rchedn l recsne nell msur delle grndezze. Tr quese s

41 Le sservbl n grf 38 ssn cre cllud d nfrsruure, le verfche d sblà d edfc end ecc.. dve mvmen rcerc sn nche dell'rdne d ch mm. Le leure degl ngl zmul e zenl vengn effeue d due gnmer resen ll'nern dell srumen. In fgur un rresenzne schemc d le leur dve z rresen l drezne vercle ed e B ndcn le due drezn d cllmzne. : ngl zenle : ngl zmule L msur degl ngl, ne edl elernc mdern ed nche nelle szn l, è nermene ges dll elernc del ssem che frnsce vlr degl ngl zenl ed zmul dremene sul dsl d l leur umc su cerch che sn cdfc. Negl srumen mdern ques leur uò vvenre er v ncremenle sul cerch vene cnegg l rzne effeu d cnncchle bse er effeure l cllmzne grze d un cdfc sm sul gnmer s r d un sece d cdce brre che vene nerre dl ssem d leur. Le szn l l sn, negre rresenn l srumen ù ulzz nelle erzn grfche mderne e sru n mb edlz e cmunque u cner che revedn un cnnu mnrgg d r e sruure. Cme gà de esse unscn le due funznlà d msurre d ngl e msurre d dsnz. Nelle versn clssche l erre deve cllmre l gge e l msur d ngl e dsnze vene frn sul dsl. Inlre l sfwre nsll è n grd d cmere un rm elbrzne de d n relzne lle funznlà dsnbl. Essn nche versn d szn l che esegun n md umc le msure grze ssem rbzz d cllmzne. Quese szn sn rclrmene ul nelle erzn d mnrgg d nfrsruure fse d esecuzne cllud qund le msure devn essere reue nel em e dven css l resenz d un erre.

42 Le sservbl n grf 39 Msur d dsnze L msur d dsnze r un rgurd s l deermnzne delle bs gedeche fcen re delle re grfche nznl cn lunghezze d decne d chlmer s quell r un ml vcn fr lr cme d esem ne rlev lcl dsnze d ch mer nche men. Le dsnze vengn gg msure cn srumen elernc bs sull'emssne d nde elermgneche che vengn genercmene chm dsnzmer 5. Essn dsnzmer d nde e d muls che esegun msure dell dsnz cmres r l cenr gemerc dell srumen e l gge cllm. Un msur d ques vene defn ncln e, er essere ulzz ne clcl grfc, deve essere rcnd ll suerfce d rfermen scel. Ques rcedur vene defn d rduzne delle dsnze nclne e r ll deermnzne dell dsnz rzznle che rresen l sservble dsnz. L dsnz rzznle srà su vl un rc d gedec che cngunge le rezn d e B sull suerfce d rfermen. Prnc d funznmen de dsnzmer elernc Cme de dsnzmer generlmene s suddvdn n due grnd cegre: dsnzmer d nde e dsnzmer d muls. Ne dsnzmer d nde l msur dell dsnz s effeu ccnd un dsnzmer d un rsm rerrfleene. I due vengn s, su due reed, lle esremà dell bse che s vule msurre e qund vrnn un cer qu rse l erren, megl, rse l csld d rfermen. Il segnle gener dl dsnzmer vene rfless dl rsm e rn l dsnzmer che s ccu d regsrrl e clclre l dsnz essene r l cenr dell srumen e l cenr del rsm. Il clcl dell dsnz è ssble grze d un msur d sfsmen r l segnle n usc ed l segnle n rrv. 5 I dsnzmer ssn csure un srumen sngl ure essere re delle szn l negre gà vse.

43 Le sservbl n grf 4 L rgzne delle nde elermgneche è rresenble rvers un nd snusdle d frequenz f, mezz, frequenz nglre e fse nzle del f sen. Il segnle emess ll'sne nzle u vrà equzne: f u sen u menre l su rrn l dsnzmer d un em nd e rrn del segnle, s vrà: l sfsmen r nd rsmess ed nd rcevu srà r f sen u r u nt T T dve T rresen l erd dell'nd em meg er cmere un ccl. ques cme s vede vene ggun un qunà T crrsndene ll frzne dell'nd regsr n rrn ll srumen. Se ndchm cn d l dsnz dsnzmer-rsm rem scrvere l seguene relzne d n L d n L dve n rresen l numer ner d lunghezze d nd cnenue nell dsnz d msurre ed L l frzne d lunghezz d nd rmnene. Qund se l'emere rsmee un cer lunghezz d'nd l msur dell dsnz è n men delle grndezze n ed L. Quese grndezze vengn rsle rsevmene grze ll'ulzz d un segnle due frequenze ed ll msur dell sfsmen fr l segnle rcevu e l su relc. L recsne d un dsnzmer è esrmble nel seguene md, D bd dve l csne ene cn dell ccà del dscrmnre d fse nell esegure l cnfrn r l segnle n ngress e quell relc dll srumen e l secnd b è funzne dell dsnz msur. I rsm rerrfleen sn csu d ù rsm rerdrev. Il cmmn c sulle fcce de rsm f s che l dsnz msur s generlmene mggre d quell effev: d cò s ene cn rvers l csne del rsm. In rc d gn dsnzmer è ssc un rclre rsm e l msur d dsnz effeu vene crre n umc essend n le csne. Ne dsnzmer d muls nn è rches l'us d un rsm e ssn essere cllm un nurl r d mnuf generlmene r d fcce e rclr d ccl gge d rlevre. Ques srumen revedn l msur del em che meg un muls ercrrere l ercrs d nd e rrn r srumen ed gge cllm. L recsne del med è qund leg dll ccà d re dell srumen d dscrmnre un em. D ques msur, n ssenz d effe msferc, s deduce l dsnz v D Cn v s nende l velcà d rgzne dell muls e cn l em msur. Occrre secfcre che er rggungere recsn mllmerche nell msur d dsnze è necessr msurre l em cn un recsne d - sec c-secnd. D nrm gl muls ulzz vengn emess d un dd lser.