Matematica e code. Dalle code al supermercato alla teoria delle code

Transcript

1 Matematica e code Dalle code al supermercato alla teoria delle code Siamo davanti alle casse del supermercato, e dobbiamo decidere dove convenga metterci in coda. Calcoliamo quante persone ci sono in ogni fila, il volume delle merci nei vari carrelli e decidiamo. Ma inevitabilmente ci saranno code più veloci della nostra. Questa situazione, e altre simili, sono state codificate nelle cosiddette Leggi di Murphy, una delle quali afferma proprio: Scegli la coda che vuoi, non sarà mai la più veloce. E c è anche la legge inversa: Se la tua coda è la più veloce, allora sei nella coda sbagliata. Ovvero, soltanto per errore possiamo aver scelto la coda più veloce.

2 Coda di auto a un incrocio stradale. Il primo esempio, molto semplice, è la coda di auto a un incrocio stradale, dove un semaforo stabilisce i tempi di scorrimento del traffico tra due vie. Su una delle vie il semaforo ha un intervallo di 20 secondi per il verde e di 40 secondi per il rosso, quindi a ciclo fisso con una durata di 60 secondi. Nei 20 secondi di verde, immaginiamo che possano passare 10 auto. Se ogni 60 secondi passano meno di 10 auto, il traffico scorre normalmente. Ma cosa succede quando nei 60 secondi arrivano 11 auto? Di queste ne passeranno soltanto dieci e una rimarrà bloccata. Nel minuto successivo le macchine che non riescono a passare saranno 2, e la coda continuerà ad aumenta ad ogni ciclo del semaforo. Dopo trenta minuti ci saranno 30 auto in coda. Il traffico andrà in tilt quando la coda crescerà fino a raggiungere il semaforo precedente della stessa via, impedendo così alle auto in attesa a quel semaforo di passare. Si creerà un ingorgo impossibile, crescerà il nervosismo degli automobilisti bloccati, con imprecazioni e insulti che naturalmente complicheranno ancor più la situazione. E non è un problema da poco, visto che in Italia, chi vive nelle città con più di abitanti, perde mediamente 177 ore ogni anno, a causa del traffico.

3 Siméon Denis Poisson ( ) è il matematico e fisico francese che ha svolto studi fondamentali in diversi campi e nel calcolo delle probabilità. In particolare, un suo libro sulle statistiche giudiziarie è considerato all'origine della teoria delle code. Poisson presenta una formula che è diventata preziosa. Eccola: dove Pm è la variabile casuale poissoniana che indica la probabilità che un dato evento si verifichi m volte. a è il parametro della legge di Poisson, e rappresenta la frequenza media di accadimento dell'evento osservato. e è il cosiddetto numero di Eulero, un numero trascendente che vale approssimativamente 2, ed è la base dei logaritmi naturali. Un esempio può chiarirci le idee. Pensiamo ancora a un negozio in cui arrivi in media un cliente ogni minuto. Qual è la probabilità che ne arrivino quattro sempre in un minuto? In questo caso a = 1 e m = 4, dalla formula ricaviamo 0,02, ovvero 1 su 50. Una formula utilissima, quindi, che si può applicare a problemi di traffico o di code di qualsiasi tipo

4 Agner Krarup Erlang ( ), un ingegnere danese che, a fine Ottocento, partendo dagli studi di Poisson, elaborò un modello matematico delle telecomunicazioni allo scopo di fissare le dimensioni delle reti telefoniche ai costi più bassi. Per i suoi risultati straordinari Erlang viene considerato il fondatore della teoria delle code e, in suo omaggio, l'unità di misura del traffico telefonico è stata battezzata Erlang. Nella pratica quotidiana, però, in quale considerazione vengono tenute queste teorie? Ritorniamo all'esempio dei semafori. Immaginiamo che un addetto rilevi le auto che passano a un incrocio, che i dati vengano elaborati secondo la teoria delle code e che i tempi dei semafori vengano stabiliti secondo i risultati ottenuti. Questo può accadere, a volte, per le principali vie di comunicazione di una città. Ma nelle normali vie si è ancora fermi ai vecchi semafori a tempi fissi. Peccato che la matematica sia poco amata, potrebbe aiutarci a vivere meglio. Anche la teoria della complessità può essere d aiuto in certi casi. L aeroporto di New York, ad esempio, per risolvere i problemi del grande traffico di aerei in arrivo e in partenza, ha studiato un sistema complesso particolare, uno sciame di un alveare, nel quale sono presenti fino a cinquantamila api che entrano ed escono dall alveare senza creare grandi ingorghi. E sono state proprio le api a suggerire le soluzioni per il traffico dell aeroporto.

5

6 ALCUNI INDICI DI PRESTAZIONE I clienti ritengono fondamentale la riduzione dei tempi d'attesa, mentre il gestore del sistema è probabilmente interessato al massimo sfruttamento delle risorse servitori pur cercando di rispettare le esigenze dei clienti. In questo contesto la Teoria delle Code individua alcuni indici di prestazione direttamente legati ai costi che, quando valgono alcune ipotesi, sono facilmente calcolabili:

7 ESERCIZIO PAG. 446 N. 24 TOMO G TEORIA PAG. 309 IL PROBEMA DELLE CODE

8 Risolvere il seguente problema di coda. L'intensità di traffico al numero verde di assistenza telefonica che una società mette a disposizione della propria clientela è pari a 0,95. Sapendo che il numero medio di chiamate in arrivo è 3 al minuto, calcola la probabilità di trovare subito la linea, il numero medio di utenti in coda il tempo medio di permanenza in coda. Soluzione : probabilità di avere subito la linea 0,05; numero medio utenti in coda 18,05; tempo medio di attesa 6,017 minuti.