G1. Grandezze fisiche

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1 G. Grandezze fisiche Definizione operativa di grandezza fisica Una grandezza fisica è un ente soggetto a misura. Esempi elementari sono la massa, la lunghezza, la durata temporale, la forza, ecc. La definizione operativa di una certa grandezza fisica è un insieme di regole che definiscono il procedimento di misura, permettendo così di associare all ente in questione un valore numerico. Pertanto, una grandezza fisica è definita correttamente solo se viene spiegato in modo dettagliato come determinarne il valore quantitativo. Un affermazione che non permetta tale valutazione non è perciò una definizione operativa! Analizziamo ad esempio la seguente proposizione: La massa è la quantità di materia contenuta in un corpo. Si tratta di una definizione operativa? Certamente no, perché non permette alcuna valutazione numerica. Proposizioni di questo genere non hanno significato per la fisica. Ancora alcune osservazioni di carattere generale: Non tutto ciò che esiste è una grandezza fisica. Ad esempio, la coscienza è qualcosa che esiste, ma non se ne dà una definizione operativa e dunque non è una grandezza fisica. Le definizioni operative non dicono nulla sulla natura ontologica degli enti. La definizione operativa di intervallo di tempo, ad esempio, non sarebbe considerata soddisfacente in ambito filosofico, perché non dice nulla su cosa sia il tempo; si limita infatti a spiegare come usare un cronometro. E tuttavia completamente sufficiente dal punto di vista della fisica. Inoltre, non è assolutamente utile per la fisica stabilire quale sia la natura ontologica del tempo. In estrema sintesi, la fisica moderna si riduce allo studio delle misure delle grandezze fisiche e delle correlazioni che esse manifestano nei fenomeni naturali. La fisica esclude dal proprio ambito qualunque tipo di considerazione su enti dei quali non sia data una definizione operativa. Ogni definizione operativa deve includere alcune nozioni minime. a) un campione omogeneo alla grandezza in esame, che venga considerato come unità di misura; b) un criterio di confronto, che permetta di stabilire se due campioni omogenei abbiano misura uguale; c) un criterio di somma, che permetta di stabilire cosa si debba intendere per somma di due campioni della grandezza in esame, con la condizione che la misura della somma sia uguale alla somma delle misure. Unità di misura Gauss per primo si rese conto del fatto che non sia affatto necessario definire un unità di misura indipendente per ogni grandezza fisica. E invece sufficiente definire alcune unità fondamentali, in base alle quali determinare tutte le altre. Esistono diversi insiemi di unità fondamentali, alcuni dei quali ormai obsoleti. Quello raccomandato dall UE e utilizzato in modo ormai prevalente nel mondo occidentale (con esclusione di alcuni paesi di cultura anglosassone) è il Sistema Internazionale, SI. Il SI (fissato nella XI Conferenza generale dei Pesi e Misure tenutasi a Parigi nel 960) definisce 7 unità come fondamentali e ne conserva i campioni primari, dai quali per confronto si ricavano campioni secondari, ecc., in modo che le unità di misura siano largamente disponibili e riferibili. Questo termine indica in modo rigoroso le procedure di confronto e l affidabilità dei risultati. L elenco delle unità fondamentali e dei loro simboli identificativi è riportato in tabella.

2 Grandezza fondamentale Unità di misura Simbolo della Unità di Simbolo dimensionale misura Durata temporale secondo s T Lunghezza metro m L Massa chilogrammo kg M Intensità di corrente elettrica Ampere A i Temperatura Kelvin K Intensità luminosa candela cd Quantità (numero di oggetti) mole mol Durata temporale. L unità di misura è il secondo, con simbolo s. Originariamente, il secondo fu definito come frazione del giorno solare medio, indicato dal simbolo d : s d. Attualmente il secondo è invece definito come l'intervallo di tempo corrispondente a periodi della radiazione elettromagnetica emessa dal 33 Cs (cioè, dall isotopo di massa 33 dell atomo di Cesio) in una particolare transizione elettronica. La definizione è basata sul fatto che il periodo di tale radiazione è lo stesso per tutti gli atomi di 33 Cs; quindi l unità è largamente disponibile, in campioni che sono tutti identici tra di loro per motivi di carattere fondamentale. Lunghezza. L unità di misura è il metro, con simbolo m., Come per il caso del secondo, la definizione originaria di metro ( il metro è una lunghezza pari a del meridiano terrestre ) è stata abbandonata. Anche il famoso metro campione in lega di PtIr, conservato nel Bureau International des Poids et Mésures di Sèvres, presso Parigi, ha solo interesse storico. La definizione attuale è la seguente: il metro è lo spazio percorso dalla luce, nel vuoto, in un tempo pari a s. Questa definizione è basata dunque sulla definizione di secondo e sul fatto che la velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa, in qualunque condizione sperimentale (cioè, si tratta di una costante universale). E interessante, dal punto di vista metrologico, che, in base alle definizioni di metro e secondo, la velocità della luce 8 resti esattamente fissata al valore c m s -. Il chilogrammo, unità di misura della massa, con simbolo kg, è riferito alla massa di un campione di PtIr conservato al museo di Sèvres. In questo caso, dunque, resta il riferimento a un oggetto ben definito (campione primario). Questa definizione è dovuta al fatto che non è facile introdurre un campione universale, su scala atomica, per le misure di masse macroscopiche. La mole (simbolo mol) è un insieme di N A oggetti. N A è il numero di Avogadro: N A L unità di massa atomica, detta uma, è strettamente legata al concetto di mole. Sperimentalmente, si osserva che la massa di mol di C (l isotopo del carbonio, il cui nucleo contenga 6 protoni e 6 neutroni) è pari a g. 3 Quindi, la massa m di un atomo di g C è m 0 kg. Per definizione, uma m, da cui mol N 0 segue il rapporto di conversione tra uma e kg: uma kg. N 3 A A L unità di misura della corrente elettrica è l Ampère, con simbolo A, definito come quella corrente costante che passando in due conduttori paralleli rettilinei e infinitamente lunghi, di sezione circolare trascurabile, posti ad un metro di distanza nel vuoto, produce tra i due conduttori una forza per unità di lunghezza pari a 0-7 N. m 3 Non è un caso che tale valore sia cifra tonda : storicamente il numero di Avogadro è stato fissato così proprio perché si determinasse questa circostanza.

3 L unità di misura della temperatura è il Kelvin, con simbolo K (senza cerchietto ), definito come la frazione /73.6 della temperatura termodinamica del punto triplo dell acqua misurata con un termometro a ciclo di Carnot. I gradi centigradi si ottengono dalla relazione: T( C)T(K) Per l intensità luminosa l unità di misura è la candela, con simbolo cd, definita come l intensità luminosa di una sorgente che emette radiazione monocromatica di frequenza Hz e potenza per unità di angolo solido 4 data da W P 683 sr Multipli e sottomultipli. Nel SI sono introdotti dei prefissi standard per definire i multipli e i sottomultipli dell unità fondamentale. Multipli Simbolo Fattore moltiplicativo Peta P 0 5 Tera T 0 Giga G 0 9 Mega M 0 6 chilo k 0 3 Sottomultipli Simbolo Fattore moltiplicativo milli m 0-3 micro µ 0-6 nano n 0-9 pico p 0 - fempto f 0-5 Si faccia attenzione al fatto che, per le masse, i prefissi e suffissi si intendono apposti all unità base grammo, e non al chilogrammo. Esempi: 3 pm m 5 ks s 4 µg g kg Scale caratteristiche di lunghezza, massa, intervalli di tempo E utile avere idea delle misure di alcune grandezze caratteristiche, a partire dai più piccoli valori osservabili fino a quelli più grandi. In tabella sono riportati alcuni valori caratteristici. 4 L angolo solido è dato dal rapporto tra l area di una calotta sferica e il raggio della sfera al quadrato. L angolo solido totale, che cioè sottende l intera superficie della sfera, è perciò 4π.

4 Lunghezza (m) Massa (kg) Durata temporale (s) Raggio dell universo 0 6 Distanza della galassia 0 Andromeda Distanza della stella più 0 6 vicina Raggio del sistema solare 0 Raggio della Terra Altezza dell Everest Spessore di un foglio di 0-4 carta Lunghezza d onda della luce visibile Lunghezza di un virus 0-8 Raggio dell atomo di idrogeno Raggio del protone 0-5 Universo 0 53 Via Lattea 0 4 Sole 0 30 Terra Piccola montagna 0 Nave 0 7 elefante 0 3 Un litro d acqua Un acino d uva 0-3 Granello di polvere 0-9 Molecola organica 0-6 Atomo di uranio Protone 0-7 Elettrone Vita del protone 0 39 Età dell universo 0 7 Età delle piramidi egizie 0 Vita umana 0 9 Giorno solare medio Pendolo Giro di una turbina 0-3 Vita media del muone 0-6 Clock di un computer 0-9 Rotazione di una 0 - molecola Impulso luminoso 0-5 ultrabreve Tempo impiegato dalla 0-8 luce per attraversare un atomo Unità derivate Nella maggior parte dei casi, le unità di misura delle grandezze fisiche sono combinazioni delle unità fondamentali. Per definire tali unità, che chiameremo derivate, è necessaria una relazione matematica che leghi la grandezza fisica in questione ad altre, di cui sia nota l unità di misura. Ciò accade in diversi casi: ) La definizione operativa della nuova grandezza è assegnata attraverso operazioni matematiche che coinvolgano grandezze precedentemente definite. Qualche esempio elementare: a) La velocità (scalare) media v è il rapporto tra lo spostamento di una particella, s, e il tempo impiegato : s v b) L accelerazione (scalare) media a è il rapporto tra la variazione di velocità di una particella, v, e il tempo impiegato : v a c) La pressione è il rapporto tra l intensità della forza premente F e l area di appoggio S: F P S d) La potenza è il rapporto tra il lavoro compiuto L e il tempo impiegato : L P ) La grandezza ha una propria definizione operativa sperimentale. Tuttavia, l unità di misura è definita attraverso equazioni che esprimono leggi fisiche, cioè equazioni che mettono in relazione la grandezza in oggetto con altre di cui sia nota l unità di misura. Ad esempio: a) L intensità F di una forza è la grandezza che si misura col dinamometro. L unità di misura è però definita attraverso la II legge di Newton: F m a

5 in cui compaiono massa m e accelerazione a del corpo cui è applicata la forza F; b) La carica elettrica q ha una definizione operativa basata sulla legge di forza di Coulomb. L unità di misura è però determinata dalla definizione di corrente elettrica i che scorre in un circuito: q i dove q è la quantità di carica che attraversa una sezione del circuito nel tempo. 3) La grandezza è una costante di proporzionalità che compare in una legge fondamentale (e allora si tratterà di una costante universale) o empirica. Ad esempio: a) G è la costante universale che compare nella legge di gravitazione universale: m m F G r che esprime la forza di gravitazione F esercitata dalla massa m sulla massa m, quando queste sono poste a distanza r l una dall altra; b) k è la costante elastica di una molla, definita come costante di proporzionalità tra forza applicata F e deformazione della molla x: F k x In questi casi, per definire l unità di misura derivata si ricorre alle equazioni dimensionali. Consideriamo l esempio della definizione di velocità. All equazione: s v associamo l equazione: [ v] [ s] [ ] che come si vede, è ottenuta apponendo parentesi quadre intorno al simbolo di ogni grandezza fisica. Interpretiamo le due equazioni in questo modo: s v è un equazione tra grandezze fisiche; [ v] [ s] [ ] è un equazione tra unità di misura. Leggiamo quindi: l unità di misura di v è il rapporto tra l unità di misura di s e l unità di misura di. Poiché s è una lunghezza, mentre è un intervallo di tempo, si ha: [ s] m e leggiamo: l unità di misura di s è il metro; [] s e leggiamo: l unità di misura di è il secondo; e quindi: m [ v] m s e leggiamo: l unità di misura di v è il metro per secondo a meno uno (oppure, v si misura in metri per s secondi a meno uno, o ancora, v si misura in metri al secondo).

6 Algebra delle unità di misura I simboli che rappresentano le unità di misura seguono un algebra molto semplice. Tuttavia vanno richiamati alcuni punti importanti. Consideriamo tre grandezze, g, g e g. [ g] [ g] a) se g g + g [ g] [ g ] Si possono sommare tra loro solo grandezze omogenee! Quindi g, g, g hanno in questo caso tutte la stessa unità di misura. b) se g g g [ g ] [ g ][ g ] c) se g g g [ ] g [ g] [ g ] d) se [g ] [g ] [ g] [ g ] [ g ] In questo caso diremo che g è una grandezza adimensionale. Attenzione: [] ERRATA [] CORRETTA e) se g g [ ] [ ] g g f) Sia il valore che l argomento delle funzioni trascendenti è numerico. Quindi, ad esempio: [ g] g sen(g ) [ g] Equazioni dimensionali e definizione delle unità di misura derivate Utilizzando le regole esposte, ogni unità di misura derivata può essere determinata in termini di altre unità e in definitiva in termini di unità fondamentali. Ad esempio: F m a [F] [m] [a] Poiché si ha: [m] kg a v [ a] [ v] [ ] m s s m s ne segue che:

7 [F] kg m s - Talvolta si scrive anche: [F] [M] [L] [T] - In questa equazione, compaiono i simboli M, L, T che indicano una generica massa, lunghezza, intervallo di tempo, rispettivamente. Le equazioni tra unità di misura prendono il nome di equazioni dimensionali. Ad esempio le equazioni [F] kg m s - ; [F] [M] [L] [T] -, sono equazioni dimensionali. L uso di un equazione dimensionale permette di determinare l unità di misura incognita di una certa grandezza che compare in un equazione. Si voglia ad esempio determinare l unita di misura della costante di gravitazione universale G m m dall equazione di Newton F G. Si procede così: r ) dall equazione per le grandezze, si determina un equazione dimensionale apponendo parentesi quadre intorno a ciascun membro dell equazione, per poi procedere utilizzando le regole dell algebra delle unità di misura: m m m F G [ ] m F G [ ] [ ] [ m ][ ] m F G r r [ r] ) si ricava algebricamente il valore dell incognita [G]: [ ] G [ F][ r] [ m ][ m ] 3) si sostituiscono infine le unità di misura note nell equazione: [F] kg m s - ; [r] m ; [m ] kg ; [m ] kg ottenendo il risultato cercato: kg m s kg m [ ] ( ) 3 G kg m s Analisi dimensionale Ogni equazione della fisica deve generare un equazione dimensionale corretta. Questo criterio permette di verificare se un equazione possa avere significato fisico. Ad esempio, si considerino le due equazioni: v a s ; v a t nelle quali v rappresenta una certa velocità, a un accelerazione, s uno spostamento, t un tempo. A prescindere dal fenomeno considerato, si vede a colpo d occhio che la seconda equazione è errata! Infatti, l equazione dimensionale che ne deriva non è corretta:

8 v a t [ v ] [ a t ] [ a t] [ ][ a][ t] ( m s ) s m s Attenzione, d altro canto, al fatto che l analisi dimensionale non può permettere di stabilire se, per il fenomeno in questione, l equazione corretta sia v a s oppure v a s Dal punto di vista dimensionale, le equazioni sono entrambe consistenti, ma dal punto di vista quantitativo sono evidentemente diverse: una sarà forse corretta, l altra certamente no; e potrebbero comunque essere errate entrambe. Conversioni da unità pratiche Per diversi motivi, non tutte le misure sono valutate in termini delle unità del SI. Alcune unità continuano a essere utilizzate per motivi storici (e possono essere genericamente considerate unità pratiche); altre fanno parte di altri sistemi di unità, o hanno definizioni indipendenti dal SI. Si pone dunque, con una certa frequenza, il problema della conversione delle misure, da un unità generica a quella corrispondente del SI, o viceversa. Ciò è possibile quando siano note le relazioni tra unità, come in questi esempi: h 3600 s d s mi.6 Km in cui h, d, mi rappresentano l ora, il giorno solare medio, il miglio anglosassone, rispettivamente. Le equazioni sopra riportate permettono di definire dei fattori unitari, come in questo esempio: h 3600 s h 3600 s ; 3600 s h Tali fattori prendono il nome di fattori di conversione. Il modo in cui i fattori possono essere usati risulta chiarito da un esempio. Sia v 00 Km h -. Per determinare v nell unità SI, si introducono fattori unitari nell equazione, come segue: v 00 km h 00 km h km 00 h 000 m km h 3600 s m 8 m s 3600 s Fattori di conversione di uso frequente Nella tabella che segue sono riportati alcuni fattori di conversione per le grandezze della Meccanica.

9 Lunghezza metro m m 39,37 in 3,8 ft,09 yd inch (pollice) ", in in 0,054 m foot (piede) ', ft ft in yard (iarda) yd yd 3 ft miglio marino naut mi naut mi,853 km miglio terrestre US mi mi,609 km Area ettaro ha ha 0'000 m² acre ac ac 4'046,86 m² Volume litro l l 0-3 m 3 centimetro cubo cm³, cc cm³ m l gallon UK gal UK gal UK 0,00455 m³ Velocità chilometri all'ora km/h km/h 0,78 m/s mile per hour mi/h mi/h 0,447 m/s Portata litri al minuto l /min l /min m 3 /s Frequenza giri al minuto giri/min giro/min 0,067 Hz Forza chilogrammo forza; chilogrammo peso kg f ; kg p kg f kg p 9,8 N Pressione pascal Pa Pa N/m² bar bar bar 0 5 Pa millimetri di mercurio mm Hg mm Hg 33,3 Pa atmosfera tecnica kg f /cm² at, kg/cm² at kg f /cm² 98066,50 Pa Lavoro, energia chilocaloria kcal kcal J chilowatt per ora kw h kw h J Potenza cavallo HP HP,04 CV 735 W kilocaloria all'ora kcal/h kcal/h. W British thermal unit per hour BTU/h btu/h 0.9 W