Deduzione naturale. Logica Predicativa. Coq. Metodi Formali dell Informatica: Scritto del 30 Giugno Nome e Cognome: Matricola: Corso di Laurea:

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1 Metodi Formali dell Informatica: Scritto del 30 Giugno 2006 Deduzione naturale Nome e Cognome: Matricola: Corso di Laurea: 1. Dare una prova con un albero di deduzione naturale di ((A B) C) (A (B C)). 2. Dare una prova con un albero di deduzione naturale di ( x. ((P x) (Q x))) (( x. (Q x)) ()). Logica Predicativa 1. Mettere la formula ((( x. (P x)) ( x. (Q x))) ( x. (R x))) in forma prenex DNF. Coq La congiunzione e la negazione sono definite come: 1

2 Inductive and: Prop -> Prop -> Prop := conj: forall (A: Prop), forall (B: Prop), A -> B -> (and A B). Inductive False: Prop :=. Definition not: Prop -> Prop := fun (A:Prop) => A -> False. dove (and A B) si scrive (A /\ B) e (not A) si scrive ~A. I numeri naturali sono definiti come: Inductive nat: Set := O: nat S: nat -> nat. Negli esercizi non si devono assumere altre definizioni. 1. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition conj_imp: forall (A: Prop), forall (B: Prop), (A -> B) -> A -> (B /\ A) :=?. 2. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition quand_conj_imp: forall (A: Set), forall (P: A -> Prop), forall (Q: A -> Prop), (forall (x: A), (P x) -> (Q x)) -> (forall (x: A), (P x)) -> (forall (x: A), (P x) /\ (Q x)) :=?. 3. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition nots:? := fun (A: Prop) => fun (B: Prop) => fun (H: A -> B) => fun (H1: ~B) => fun (H2: A) => (H1 (H H2)). 2

3 4. Definire una funzione sdouble di tipo nat -> nat che dato un numero n ritorna 2n + 1. Per esempio (sdouble (S (S O))) restituisce (S (S (S (S (S O))))). 5. La definizione Inductive gt: nat -> nat -> Prop := gt_o : forall (n: nat), gt (S n) O gt_s : forall (m: nat), forall (n: nat), gt m n -> gt (S m) (S n). definisce (a) (b) (c) una funzione gt che calcola il massimo di due numeri naturali. un tipo gt che contiene due numeri naturali. un predicato gt che indica che un numero è strettamente più grande di un altro. 6. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition gt42: (gt (S (S (S (S O)))) (S (S O))) :=?. 7. Dare il principio d induzione gt_ind corrispondente al predicato gt. 3

4 8. Definire un oggetto gt_sn di tipo forall (m: nat), forall(n: nat), (gt m n) -> (gt (S m) n). 4

5 Deduzione naturale Risposte dello scritto del 30 Giugno Dare una prova con un albero di deduzione naturale di ((A B) C) (A (B C)). (A B) C A B B B C B C A A (B C) ((A B) C) A (B C) C B C 2. Dare una prova con un albero di deduzione naturale di ( x. ((P x) (Q x))) (( x. (Q x)) ()). x. ((P x) (Q x)) Logica Predicativa (P a) (Q a) x. (Q x) (Q a) (Q a) (P a) ( x. (Q x)) ( x. ((P x) (Q x))) ( x. (Q x)) () 1. Mettere la formula ((( x. (P x)) ( x. (Q x))) ( x. (R x))) in forma prenex DNF. Coq x. y. z. ((P x) (R z)) ((Q y) (R z)) La congiunzione e la negazione sono definite come: Inductive and: Prop -> Prop -> Prop := conj: forall (A: Prop), forall (B: Prop), A -> B -> (and A B). Inductive False: Prop :=. Definition not: Prop -> Prop := fun (A:Prop) => A -> False. dove (and A B) si scrive (A /\ B) e (not A) si scrive ~A. I numeri naturali sono definiti come: Inductive nat: Set := O: nat S: nat -> nat. Negli esercizi non si devono assumere altre definizioni. 1. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: 1

6 Definition conj_imp: forall (A: Prop), forall (B: Prop), (A -> B) -> A -> (B /\ A) :=?. Definition conj_imp: forall (A: Prop), forall (B: Prop), (A -> B) -> A -> (B /\ A) := fun (A: Prop) => fun (B: Prop) => fun (H1: A -> B) => fun (H2: A) => (conj B A (H1 H2) H2). 2. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition quand_conj_imp: forall (A: Set), forall (P: A -> Prop), forall (Q: A -> Prop), (forall (x: A), (P x) -> (Q x)) -> (forall (x: A), (P x)) -> (forall (x: A), (P x) /\ (Q x)) :=?. Definition quand_conj_imp: forall (A: Set), forall (P: A -> Prop), forall (Q: A -> Prop), (forall (x: A), (P x) -> (Q x)) -> (forall (x: A), (P x)) -> (forall (x: A), (P x) /\ (Q x)) := fun (A: Set) => fun (P: A -> Prop) => fun (Q: A -> Prop) => fun (H1: forall (x: A), (P x) -> (Q x)) => fun (H2: forall (x: A), (P x)) => fun (x: A) => (conj (P x) (Q x) (H2 x) (H1 x (H2 x))). 3. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition nots:? := fun (A: Prop) => fun (B: Prop) => fun (H: A -> B) => fun (H1: ~B) => fun (H2: A) => (H1 (H H2)). Definition nots: forall (A: Prop), forall (B: Prop), (A -> B) -> ((~B) -> (~A)) := fun (A: Prop) => fun (B: Prop) => fun (H: A -> B) => fun (H1: ~B) => fun (H2: A) => (H1 (H H2)). 4. Definire una funzione sdouble di tipo nat -> nat che dato un numero n ritorna 2n + 1. Per esempio (sdouble (S (S O))) restituisce (S (S (S (S (S O))))). Fixpoint sdouble (n: nat) {struct n}: nat := match n with O => (S O) (S n1) => (S (S (sdouble n1))) end. 5. La definizione Inductive gt: nat -> nat -> Prop := gt_o : forall (n: nat), gt (S n) O gt_s : forall (m: nat), forall (n: nat), gt m n -> gt (S m) (S n). definisce (a) (b) (c) una funzione gt che calcola il massimo di due numeri naturali. un tipo gt che contiene due numeri naturali. un predicato gt che indica che un numero è strettamente più grande di un altro. 2

7 6. Quale espressione bisogna mettere al posto del punto interrogativo: Definition gt42: (gt (S (S (S (S O)))) (S (S O))) :=?. Definition gt42: (gt (S (S (S (S O)))) (S (S O))) := (gt_s (S (S (S O))) (S O) (gt_s (S (S O)) O (gt_o (S O)))). 7. Dare il principio d induzione gt_ind corrispondente al predicato gt. forall (P: nat -> nat -> Prop), (forall (n: nat), (P (S n) O)) -> (forall (m: nat), forall (n: nat), (gt m n) -> (P m n) -> (P (S m) (S n))) -> (forall (m: nat), forall (n: nat), (gt m n) -> (P m n)) 8. Definire un oggetto gt_sn di tipo forall (m: nat), forall(n: nat), (gt m n) -> (gt (S m) n). Definition gt_sn: forall (m: nat), forall (n: nat), (gt m n) -> (gt (S m) n) := (gt_ind (fun (m: nat) => fun (n: nat) => (gt (S m) n)) (fun (n: nat) => gt_o (S n)) (fun (m: nat) => fun (n: nat) => fun (H: (gt m n)) => fun (H1: (gt (S m) n)) => (gt_s (S m) n H1))). o Fixpoint gt_sn (m: nat) (n: nat) (H: gt m n) {struct H}: (gt (S m) n) := match H with (gt_o n1) => (gt_o (S n1)) (gt_s m1 n1 H1) => (gt_s (S m1) n1 (gt_sn m1 n1 H1)) end. 3