Algoritmi online per sistemi metrici di servizi

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1 Università degli studi di Roma La Sapienza - Facoltà di Ingegneria Corso di Informatica Teorica Algoritmi online per sistemi metrici di servizi Vincenzo Bonifaci

2 Problemi online In alcuni problemi di ottimizzazione occorre iniziare a fornire una soluzione anche se non tutti i dati di ingresso sono ancora noti Es.: gestione degli investimenti, paginazione nei sistemi operativi, scheduling dei processi Occorre prendere decisioni in condizioni di incertezza

3 Approcci possibili Analisi di competitività: rapportiamo il costo dell algoritmo a quello di un ideale algoritmo offline Ottimizzazione stocastica: assumiamo una particolare distribuzione degli ingressi Simulazione: implementiamo un modello di simulazione e testiamo l algoritmo

4 Analisi di competitività Il rapporto di competitività di un algoritmo A è definito come: dove σ varia su tutti i possibili ingressi Permette di confrontare tra loro gli algoritmi online Può essere visto come il risultato di una partita tra un giocatore online e un avversario offline

5 Problema della CNN CNN: una troupe della Cnn gira per le strade di Manhattan e deve riprendere gli avvenimenti agli incroci. Il costo è dato dal movimento della troupe. L algoritmo online deve decidere come muovere la troupe senza conoscere gli avvenimenti futuri 1

6 Problema della CNN CNN: una troupe della Cnn gira per le strade di Manhattan e deve riprendere gli avvenimenti agli incroci. Il costo è dato dal movimento della troupe. 1

7 Problema della CNN CNN: una troupe della Cnn gira per le strade di Manhattan e deve riprendere gli avvenimenti agli incroci. Il costo è dato dal movimento della troupe. 2 1

8 Problema della CNN CNN: una troupe della Cnn gira per le strade di Manhattan e deve riprendere gli avvenimenti agli incroci. Il costo è dato dal movimento della troupe. 2 A(σ) = 3+3 = 6 1

9 Problema della CNN CNN: una troupe della Cnn gira per le strade di Manhattan e deve riprendere gli avvenimenti agli incroci. Il costo è dato dal movimento della troupe. 2 A(σ) = 3+3 = 6 opt(σ) = 5+0 = 5 1 Per questa sequenza σ, il rapporto è pari a 6/5

10 Sistemi metrici di servizi: definizione Uno spazio metrico è un insieme S su cui è definita una funzione distanza d(x,y) tra coppie di punti Un sistema metrico di servizi è uno spazio metrico più un insieme di possibili richieste Ogni richiesta r è un sottoinsieme di S L algoritmo online deve muovere il servente s ogni volta in un punto appartenente alla richiesta Il costo è dato dalla distanza percorsa x s d(x,y) y r S

11 Sistemi metrici di servizi: applicazioni I sistemi metrici di servizi rappresentano una classe molto generale di problemi online: Paginazione, paginazione pesata Scheduling di dischi a più testine Scheduling di dischi RAID 1 Problemi di esplorazione (robot mobili, ecc.)

12 Problemi paradigmatici PONTE: un esploratore deve trovare un ponte lungo un fiume senza conoscerne né la distanza né la direzione. Si vuole minimizzare il rapporto tra il suo spostamento e quello ottimale. Si dimostra che il rapporto di competitività è pari a 9. k-prp: è un sistema metrico di servizi in cui ogni richiesta è un insieme di cardinalità al più k. Il rapporto di competitività è compreso tra Ω(2 k ) e O(k2 k )

13 Relazioni tra problemi

14 CNN vincolato agli assi Nella variante CNNVA del problema della CNN, il servente è vincolato agli assi del piano di Manhattan Contiene il problema del PONTE Teorema: lower bound di 9 sul rapporto di competitività E riducibile al problema 2-PRP Teorema: upper bound di 9 sul rapporto di competitività

15 CNN vincolato alla frontiera di un rettangolo Nella variante BOXCNN del problema della CNN, il servente è vincolato alla frontiera di un rettangolo Contiene una versione limitata di CNNVA Teor.: lower bound sul rapporto di competitività che tende a 9 quando le dimensioni del rettangolo aumentano E riducibile al problema 4-PRP Teor.: upper bound di sul rapporto di competitività

16 Algoritmi pigri (1) Nel problema della CNN, un algoritmo pigro effettua un solo tipo di movimento (orizzontale o verticale) alla volta Gli algoritmi pigri sono efficaci? Teorema: per ogni algoritmo A per CNN esiste un algoritmo pigro A tale che per ogni σ: Possiamo considerare pigro anche OPT

17 Algoritmi pigri (2) Si può estendere il concetto di algoritmo pigro a sistemi metrici di servizi qualunque? Definizione: un punto ydominaun punto x rispetto ad s se: d(s, x) = d(s, y) + d(y, x) Sia Λ(s, r) l insieme dei punti della richiesta r non dominati da nessun altro rispetto ad s Definizione: un algoritmo è pigro se muove solo in Λ(s, r) quando il servente è in s e la richiesta è r Teorema: per ogni algoritmo A per un SMS esiste un algoritmo pigro A tale che:

18 Valutazione automatica di R [Chrobak & Larmore, 1992] descrive un algoritmo che decide se un sistema metrico di servizi finito è c-competitivo Si è implementato questo algoritmo Si è usato l algoritmo per stimare il valore del rapporto di competitività dei problemi considerati su spazi finiti

19 Risultati Problema R stimato Err. Problema R stimato Err. CNNVA PRP(line 3 ) CNNVA PRP(line 5 ) CNNVA PRP(line 7 ) BOXCNN PRP(line 9 ) BOXCNN servente(U 3 ) BOXCNN servente(U 4 ) CNN servente(U 5 ) CNN serventi(line 5 ) CNN serventi(U 5 )

20 Conclusioni Analisi di algoritmi per problemi online Molti problemi e applicazioni Analisi teoriche (competitività) e simulazioni al calcolatore Per ulteriori informazioni: bonifaci@dis.uniroma1.it