Problemi decisionali nei trasporti: Vehicle Routing Problems

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1 Problemi decisionali nei trasporti: Vehicle Routing Problems Massimo Paolucci DIST Università di Genova Problemi di Trasporto Problemi di pianificazione e gestione con elevata incidenza sui costi (totali e logistici in particolare) Logistica studio di procedure e metodi per la pianificazione ed il controllo dei flussi di materiali e delle relative informazioni nelle organizzazioni, imprese ed enti erogatori di servizi opera in modo che materiali, materie prime, semilavorati, prodotti finiti e servizi pervengano al posto giusto, al momento giusto ed a un costo ragionevole Sistema logistico: è l insieme delle infrastrutture, attrezzature, persone e politiche operative che permette il flusso di beni e delle necessarie informazioni dall acquisizione delle materie prime sino alla distribuzione dei prodotti finiti ai consumatori (J. Heskett, R. Shapiro, Harward Business School)

2 Problemi di Trasporto I problemi di trasporto sono associati ad altri problemi decisionali quali: localizzazione dei centri logistici allocazione della domanda gestione delle scorte Una molteplicità di problemi decisionali: composizione delle flotte turni dei veicoli e del personale determinazione delle rotte assegnazione dei carichi e loro composizione posizionamento dei veicoli vuoti Due classi principali di problemi: problemi di trasporto a lunga distanza problemi di trasporto a breve distanza Problemi di Trasporto I problemi di trasporto a lunga distanza (long-haul, intercity freight transportation) Viaggi diretti (singola origine-destinazione) da pochi a molti realizzati in proprio dalle ditte produttrici Viaggi indiretti da molti a molti spedizionieri con molteplicità di clienti servizio in linea (orario prestabilito) o su richiesta (allocazione dinamica dei mezzi) In questo contesto si utilizzano modelli decisionali per la progettazione della rete di collegamento (Network Design, ND) ND statico e dinamico Modelli (lineari) di flusso: Min Cost Flow Prob., Max Flow Prob.

3 Problemi di Trasporto I problemi di trasporto a breve distanza (short-haul, local freight transportation) Ambito cittadino o regionale Presenza di uno o più depositi Arco temporale giornaliero Problematiche caratteristiche distribuzione (delivery) raccolta (pick-up) distribuzione e raccolta combinata (pick-up and Delivery) domanda variabile (giornaliera) allocazione dinamica dei veicoli Organizzazione dell attività di raccolta e distribuzione: uno dei problemi più rilevanti del trasporto a breve distanza Vehicle Routing Problem (VRP): definizione delle rotte dei veicoli Problemi statici: richieste di servizio note a priori Problemi dinamici: richieste note anche nel corso delle operazioni (aggiustamento rotte) Vedremo modelli nell ipotesi di staticità e di veicoli omogenei

4 7 Vehicle Routing Problem Formulazione Dato un grafo G=(V,A) generico determinare l insieme di m cicli (rotte) a costo minimo che comprendano U V nodi di servizio (required vertices) e R A archi di servizio (required edges) e che soddisfino ad un insieme dato di vincoli operativi. Costo di una rotta = somma costi degli archi che la compongono Vincoli operativi possibili: ogni rotta deve passare per uno o più nodi stabiliti numero massimo dei veicoli rispetto della capacità dei veicoli (peso, volume) durata massima delle rotte fasce orarie di servizio per i clienti (time windows) richieste di servizio dei clienti soddisfatte da un singoli veicolo 8 Vehicle Routing Problem Localizzazione dei clienti distribuiti in modo discontinuo lungo le vie concentrati nelle località associate ai nodi clienti associati ai nodi di servizio U, R= Node Routing Problem (NRP) distribuiti in modo continuo lungo le vie clienti associati agli archi di servizio R, U= Arc Routing Problem (ARP) Senza vincoli operativi: NRP diventa un Traveling Salesman Problem (TSP) ARP diventa un Rural Chinese Postman Problem (RCPP) ARP con R=A diventa un Chinese Postman Problem (CPP)

5 9 TSP (NRP senza vincoli operativi) Singolo veicolo Soluzione: rotta a costo minimo che tocca tutti i nodi (un deposito) = sequenza di nodi G=(V,A) G =(V,A ) completo (orientato) c ij (i,j) A costo minimo in G per andare da i a j Soluzione ammissibile: ciclo orientato hamiltoniano in G TSP asimmetrico c ij c ji (ATSP) TSP simmetrico c ij =c ji (STSP) 0 Il TSP è un problema NP-hard molto studiato La più grande istanza risolta: Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (00). città in Germania The solution of the,-city traveling salesman problem was accomplished in several phases in 000/00, and used a total of. years of computer time, adjusted to a 00 MHz, EV Alpha processor. The initial tour-finding and cutting-plane phases were run on a cluster of Compaq ES0 Alphaservers consisting of EV (00 MHz) nodes and EV7 (7 MHz) nodes (

6 Le soluzioni al TSP si cercano nella pratica utilizzando euristiche La formulazione matematica è utile per determinare dei lower bound, quindi una stima della bontà delle soluzioni sub-ottime Z Z * TSP LB Z * LB In genere si usano approcci distinti tra caso simmetrico ed asimmetrico ATSP Formulazione: G =(V,A ) orientato completo x ij = se il nodo j segue immediatamente il nodo i nel tour min cijxij (i,j) A' xij = i V'\{j} xij = j V'\{i} xij XSTE xij B j V' i V' (i, j) A' alternativi xij S i S j S due classi di subtour elimination constraints xij i S j S S V', S S V', S

7 ATSP Rilassamento: Assigment Problem (AP) min cijxij (i,j) A' xij = i V'\{ j} j V' xij = j V'\{i} i V' xij B se la matrice dei costi è fortemente asimmetrica Z * Z * TSP AP < % Z * TSP STSP Formulazione G =(V,A ) non orientato completo x ij = se l arco (i, j) è nel tour x ij i,j V i<j (una var. per arco) min cijxij i V' j V' j > i xiv + xvi = i V' i V' i< v i> v xij XSTE xij B i, j V' i < j v V' alternativi xij + xij i S j S i S j S i < j i < j xij i S j S i < j S V', S S V' / S V', S V' / 7

8 STSP Rilassamento : Min r-span. Tree (r-st) min cijxij i V' j V' i< j xir + xri = i V' i V' i< r i> r xij + xij i S j S i S j S i< j i< j xij = V' i V' j V' i< j xij B i, j V' i < j S V', S V' / r = 8 Euristiche per il TSP: costruttive (costruiscono il ciclo hamiltoniano) di miglioramento (partono da un ciclo e ne producono uno migliore) Euristiche costruttive: patching method (ATSP) si trovano le soluzioni rilassate (subtour) e si combinano a costo minimo sino a determinare un unico subtour insertion (ATSP) si inserisce un nodo alla volta congiungendolo a costo minino nel ciclo nearest neighbour (STSP) si inserisce ad ogni passo il nodo più vicino (greedy alg, scadente) algoritmo di Christofides (STSP) costruisce lo spanning tree minimo, lo trasforma in un grafo euleriano e da questo ottiene un ciclo hamiltoniano 8

9 7 Euristiche di miglioramento (local search) -OPT (-OPT) si migliora il ciclo scegliendo il miglior -scambio (si rimovuono archi nel ciclo sostituendoli con altri due in modo da ottenere un ciclo) (molto valide) Lin-Kernighan esegue k-scambi con k variabile sino a che scopre che con k+ scambi non si migliora 8 NRP con vincoli operativi Magazzino B rete iniziale Magazzino A 8 Magazzino B soluzione Magazzino A 8 9

10 9 NRP con vincoli operativi M-TSP: M commessi (senza vincoli di capacità) Single Depot Multiple Vehicle NRP Multiple Depot Multiple Vehicle NRP La presenza dei vincoli complica la formulazione La soluzione è costituita da K tour (K veicoli) Euristiche: classiche ( 0-90) - semplici metaeuristiche (dal 90) - complicate 0 NRP con vincoli operativi - Euristiche classiche Cluster first, route second nella prima fase associano ad ogni veicolo un sottinsieme di nodi (clienti) e nella seconda fase risolvono per ogni veicolo un TSP sul sottografo indotto dai nodi scelti Route first, cluster second nella prima fase viene risolto un TSP rilassando i vincoli (in genere non ammissibile per il NRP) e nella seconda fase il ciclo è decomposto in k K tour ammissibili Algoritmo dei risparmi si parte da una serie di soluzioni ammissibili per NRP (tour) che si fondono progressivamente per ottenere soluzioni migliori pur restando ammissibili (inizializzazione: ogni cliente è servito da un veicolo diverso) 0

11 NRP con vincoli operativi - Euristiche classiche Algoritmo dei risparmi si calcolano i risparmi e si introduce quello più conveniente ammissibile c 0i i c i0 risparmio s ij =c i0 +c 0j -c ij c 0i i c ij 0 c 0j c j0 j 0 c j0 j Scambi (local search) adattamento delle k-opt al NRP (scambio di clienti nella rotta o tra rotte) che richiedono le verifiche di ammissibilità NRP con vincoli operativi - Metaeuristiche Tabù Search si cerca una soluzione ottima locale, si generano delle soluzioni nell intorno accettando peggioramenti ed anche soluzioni non ammissibili, quindi riparte alla ricerca di una soluzione localmente ottima ammissibile per evitare di restare bloccati in un ciclo di soluzioni si utilizza la lista delle soluzioni tabù ci si ferma dopo un numero massimo di iterazioni o di non miglioramenti Simulated annealing simile alla tabù search, esplora un intorno di una soluzione accettando anche soluzioni peggiorative. l ampiezza dell esplorazione e la propensione all accettazione dei peggioramenti si riduce progressivamente (raffreddamento)

12 Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi) Singolo veicolo Tutti gli archi richiedono servizio (altrimenti si ha il Rural CPP) Soluzione: rotta a costo minimo che attraversa tutti gli archi almeno una volta G=(V,A): euleriano se esiste un ciclo che passi per tutti gli archi una sola volta è la soluzione ottima non euleriano almeno un arco attraversato due volte G orientato e connesso è euleriano se ogni nodo ha tanti archi entranti quanti uscenti (simmetrico) G non orientato e connesso è euleriano se ogni nodo ha grado pari Il CPP è un problema facile (P) se G è orientato o non orientato Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi) G misto (archi sia orientati e non caso realistico nei centri urbani) G misto è euleriano se: il numero totale di archi incidenti nei nodi è pari per ogni insieme di nodi S V la differenza tra il numero di archi orientati che attraversa il taglio (S, V\S) nei due sensi è minore o uguale al numero di archi non orientati del taglio V\S V\S V\S S S S euleriano euleriano non euleriano

13 Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi) Se G è misto il CPP è NP-hard La soluzione nel caso di G non orientato: G euleriano: si trova il circuito euleriano partendo da un nodo qualsiasi scegliendo un arco da percorrere che non sia bridge (eliminando gli archi percorsi non si disconnette il grafo ancora da visitare) G non euleriano: si rende il grafo euleriano duplicando alcuni archi. Prima si determinano i percorsi minimi tra ogni coppia di nodi con grado dispari (che sono in numero pari), poi si trova l accoppiamento tra tali nodi a costo minimo risolvendo un problema di matching binario Il Postino Cinese Rurale (RCPP) (ARP senza vincoli operativi) Alcune strade non debbono essere servite ma sono solo di collegamento Il procedimento di soluzione si basa sulla costruzione di un grafo euleriano che comprende gli archi da servire e quelli di collegamento necessari a costo minimo quindi sulla costruzione del ciclo euleriano arco di servizio arco di collegamento

14 7 Il Postino Cinese Rurale (RCPP) (ARP senza vincoli operativi) Il RCPP è NP-hard anche per grafi orientati e non orientati (se il numero di componenti connesse del sottografo indotto dagli archi da servire è maggiore di ) ARP con vincoli operativi Necessari in genere più veicoli Si usano algoritmi simili a quelli per il NRP, ad esempio: Route First, Cluster Second Path Scanning (si procede sino a che la capacità del veicolo lo consente poi si rientra al dep. per il percorso più breve) Alg. di Christofiedes: simile al path scanning ma si procede sino a che è possibile rientrare con un percorso a richiesta minima Casi più complessi possono richiedere il trasferimento dei carichi tra veicoli (eg. raccolta rifiuti)