Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003

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1 Politecnico di Milano Dipartimento di Elettronica e Informazione prof.ssa Anna Antola prof. Fabrizio Ferrandi Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Matricola Cognome Nome Istruzioni Scrivere solo sui fogli distribuiti. Non separare questi fogli. È vietato portare all esame libri, eserciziari, appunti e calcolatrici. Chiunque venga trovato in possesso di documentazione relativa al corso anche se non strettamente attinente alle domande proposte vedrà annullata la propria prova. Non è possibile lasciare l aula conservando il tema della prova in corso. Tempo a disposizione: 2h:00m. Valore indicativo di domande ed esercizi, voti parziali e voto finale: Esercizio 1 (2 punti) Esercizio 2 (2 punti) Esercizio 3 (3 punti) Esercizio 4 (3 punti) Esercizio 5 (3 punti) Esercizio 6 (2 punti) Esercizio 7 (1 punti) Esercizio 8 (punteggio non preassegnato) Con Soluzioni

2 Esercizio n. 1 Data la seguente espressione logica: abcde+ab+a bc+a bc +a+b c +b c la si semplifichi, utilizzando le proprietà delle algebre di commutazione. ab+ a bc+a bc +a+b c +b c (abcde+ab=ab, assorbimento) ab+a b(c+c )+a+b c +b c (a bc+a bc =a b(c+c ), distributiva) ab+ a b+ a+b c +b c (c+c =1, inverso) ab+a b+a+b (c+c ) (b c +b c=b (c+c ), distributiva) ab+a b+a+b (c+c =1, inverso) a+a b+b (a+ab=a, assorbimento) a+b+b (a+a b=b) a+1 (b+b =1,inverso) 1 (elemento nullo) Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 2 di 11

3 Esercizio n. 2 Data la seguente funzione ad una uscita, non completamente specificata: F(a,b,c,d)= ONset(0,4,5,13,15) DCset(2,8,11,14,10) I) Sulla mappa di Karnaugh individuare gli implicanti primi riportandone la forma algebrica e separando gli implicanti primi da quelli primi ed essenziali. II) Ricavare tutte le forme minime scegliendo una opportuna copertura della funzione sulla mappa, che minimizzi il numero di implicanti utilizzati ed il numero di letterali. III) Ricavare il costo della copertura ottenuta, utilizzando come costo il numero di letterali di ciascun termine prodotto. I) cd ab F B A C E x x x x x D Essenziali: nessuno Primi: A (b d ) B (a c d ) C (bc d) D (ac) E (abd) F (a bc ) II) D+B+C III) La soluzione costa 2(D)+3(B)+3(C)=8, e non è unica (c è anche A,F,E, sempre a costo in letterali uguale ad 8) Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 3 di 11

4 Esercizio n. 3 Data la seguente funzione non completamente specificata a due uscite F1(a, b, c, d)= ON_SET (m0, m2, m4, m5) DC_SET (m9,m11) F2(a, b, c, d)= ON_SET (m0, m2, m4, m10, m14) DC_SET (m5,m8) Calcolare con il metodo di Quine McCluskey gli implicanti primi f1f2 f1f2 f1f2 m v m0m A m0m2m8m F m0m B m v m0m v m v m v m2m v m4m C m v m8m v m v m v m9m D m10m E m v m v A,B,D,E e F sono implicanti primi!!!!!! D non è un implicante primo perchè copre solo DC della funzione F1 Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 4 di 11

5 Esercizio n. 4 Data la seguente tabella di copertura: F1 F2 m X1 m X2 m X3 m X4 m X5 m X6 m X7 m X8 m X9 m X10 m X11 m X12 m X13 m X14 m X16 COSTO A X X X X X X 6 B X X 5 C X X X X X X 4 D X X 4 E X X X X 4 F X X X X X 4 G X X X X 3 H X X 3 I X X X X 3 Si trovi una copertura minima utilizzando il metodo di Quine McCluskey visto a lezione, considerndo con m Xn un generico mintermine. F1= G + A + F F2= A + D + G Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 5 di 11

6 Esercizio n. 5 Utilizzando il modello algebrico, si consideri la rete logica definita dalle seguenti espressioni: q= c+b s= ae c + bc + dec + cd + b d t= ca + ab + de + b + ae v= ca e + b a e + c de + c b + ae c + cd + b d x= q y= s z= t u= v dove {a, b, c, d, e} sono gli ingressi e {x, y, z, u} sono le uscite. 1. si disegni il grafo associato alla rete logica e si calcoli il costo in termini di letterali; 2. si eseguano in sequenza le trasformazioni sotto elencante. Dopo ogni trasformazione è necessario verificare che il costo associato (letterali) alla rete trasformata non sia peggiore di quello prima della trasformazione. Se il costo risulta peggiore, la trasformazione non viene considerata e si passa alla successiva. In caso contrario la trasformazione viene considerata efficace. Nota: il calcolo del costo ad ogni passo deve essere effettuato con espressioni nella forma SOP. (a) Decomporre s, tramite fattorizzazione con algoritmo noto. Le sotto-espressioni derivanti dalla decomposizione possono essere dei vertici già presenti nella rete o dei nuovi vertici. (b) Estrarre da t e v due sotto-espressioni comuni a entrambi (si suggerisce di esaminare t per prima). Tali sotto-espressioni possono essere dei vertici già presenti nella rete o dei nuovi vertici. 3. si disegni il grafo associato alla rete finale trasformata, mettendo in evidenza il costo finale. 1. Soluzione espressione costo q= c+b 2 s= ae c + bc + dec + cd + b d 12 t= ca + ab + de + b + ae 9 v= ca e + b a e + c de + c b + ae c + cd + b d 18 costo totale (a) Soluzione Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 6 di 11

7 espressione costo q= c+b 2 s= rc + qd 4 r= ae + b + de 5 t= ca + ab + de + b + ae 9 v= ca e + b a e + c de + c b + ae c + 18 cd + b d costo totale 38 (b) Soluzione espressione costo q= c+b 2 s= rc + qd 4 r= ae + b + de 5 t= r + qa 3 s= rc + qa e + qd 7 costo totale 21 Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 7 di 11

8 Esercizio n. 6 Eseguire la moltiplicazione A B, utilizzando il numero minimo di bit per rappresentare entrambi, secondo l'algoritmo di Booth dei due seguenti fattori: A= -57 e B= -20. Nello svolgimento si mostrino tutti i passaggi effettuati. -A= A= B= B= B(Booth)= risultato su 14 bit (1140) Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 8 di 11

9 Esercizio n. 7 Fornire la codifica completa in virgola mobile a singola precisione del numero decimale 15,1375. Soluzione 15, = Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 9 di 11

10 Esercizio n. 8 Dato lo schema di un moltiplicatore combinatorio che effettua la somma per diagonali: I) Completare lo schema del moltiplicatore aggiungendo, se è il caso, alcune connessioni e descrivendo il significato di ogni connessione riportata. II) Indicare per le linee di somma e di riporto di ogni e il ritardo di tempo. Si assuma che un e un hanno ritardo pari a T. Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 10 di 11

11 a 3b 1 a 4b 0 a 2b 1 a 3b 0 a 1b 1 a 2b 0 a 0b 1 a 1b 0 a 0b 0 a 4b 1 [1] [1] [1] [1] [1] [1] a 3b 2 a 2b 2 a 1b 2 a 0b 2 a 4b 2 a 3b 3 a 2b 3 a 1b 3 a 0b 3 a 4b 3 a 3b 4 a 2b 4 a 1b 4 a 0b 4 a 4b 4 [9] [7] [6] [5] m 9 m 8 [8] m 7 m 6 m 5 m 4 m 3 m 2 [7] [6] [5] m 1 [1] m 0 Reti Logiche A Prova di mercoledì 12 novembre 2003 Esercizio n pagina 11 di 11