Scuola Estiva di Fisica Moderna per studenti di scuole secondarie superiori - IDIFO luglio 2011

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1 Scuola Estiva di Fisica Moderna per studenti di scuole secondarie superiori - IDIFO luglio 2011 Laboratorio - Fare scienza con il computer - Meccanica quantistica e probabilità: un approccio numerico SCHEDE DI LABORATORIO G. Pastore e M. Peressi Università di Trieste, Dipartimento di Fisica e Centro Nazionale di Simulazione Numerica CNR-IOM Democritos 27 luglio 2011

2 Scheda di laboratorio n. 1 Variabili casuali con distribuzione uniforme e variabili casuali somma (programmi in Java) Avvio dei programmi Java Il materiale per la generazione di variabili casuali con distribuzione uniforme e variabili casuali somma di variabili casuali è liberamente accessibile su: oppure Per dare la possibilità di capirne i contenuti e di apportare eventuali modifiche, vengono forniti i programmi Java nella versione sorgente. I programmi Java forniti vanno quindi sempre avviati caricando il relativo progetto BlueJ (menu Project e poi Open Project). Se i rettangoli che rappresentano le classi Java nella finestra principale di BlueJ appaiono con un angolo a righe, occorre premere il bottone Compile. Quindi si clicca sull icona della classe di partenza (verrà indicata) col tasto destro del mouse (su alcuni sistemi invece tenendo premuto il tasto ctrl (control) ed usando il tasto sinistro) e si seleziona void main(string[] args). Apparirà una finestra a cui si dà OK e quindi parte l esecuzione dell applicazione Java. Un doppio click sull icona di una classe ne evidenzia il contenuto, permettendo modifiche. Progetto NumeriRandom Il primo progetto fornito è preliminare rispetto all argomento principale dell attività e riguarda la generazione e le proprietà delle distribuzioni di variabili casuali (Progetto NumeriRandom). Si tratta di variabili casuali in generale, e in particolare di variabili casuali somma (indichiamo con x) che si ottengono sommando N.variabili r a loro volta casuali: x = N.variabili i=1 Nel caso presente, la variabile r può assumere N.valori valori differenti, corrispondenti agli interi da 1 a N.valori, con distribuzione di probabilità uniforme. N.conf indica quante configurazioni diverse vogliamo generare in un esperimento, cioè quanti valori della variabile casuale somma x vogliamo ottenere. Infatti, per ottenere risultati che abbiano un valore statistico dobbiamo generare più configurazioni, ottenere più valori (il risultato corrispondente ad una sola configurazione non ha alcun valore). Attiviamo il progetto dalla classe VariabiliCasuali. Premendo più volte il tasto Calcola si otterranno istogrammi relativi ad esperimenti diversi. Per ottenere una buona statistica è opportuno non solo fare un esperimento con più configurazioni, ma anche ripetere l esperimento più volte. 1 r i

3 1. Se N.variabili= 1, il programma puo essere usato per studiare la distribuzione di variabili casuali che possono assumere valori interi tra 1 e N.valori con distribuzione uniforme. Se N.valori= 2, simuliamo il lancio di una moneta (due facce, cui attribuiamo i valori 1 e 2); se N.valori= 6, simuliamo il lancio di un dado. L output del programma sarà l istogramma delle frequenze dei diversi valori ottenuti della moneta o del dado lanciati N.conf volte. Porre dunque N.variabili= 1, N.valori= 2 e N.conf= 20 (il default); premere una volta il tasto Calcola e osservare il risultato (la distribuzione). 2. Confrontare quello che appare sul vostro schermo con quello che appare sullo schermo del vostro vicino se iniziate entrambi da zero l esperimento (subito dopo l apertura dell applicazione BlueJ). Cosa si può dire? 3. Eseguire la serie di 20 lanci virtuali per un certo numero di volte e verificare la variabilità dei risultati. 4. Quante volte mi aspetto di dover fare la serie di 20 lanci (cioè quanti esperimenti) prima di trovare 20 volte 1 o 20 volte 2? (Si suggerisce di provare a stimare il numero prima di iniziare la serie di tentativi... ). 5. Aumentare N.conf (200, 500, 1000, ). Cosa si può dire dell uniformità della distribuzione? 6. Iniziamo ora a lanciare più monete, cioè studiamo la variabile casuale somma dei risultati delle singole monete. Manteniamo dunque N.valori= 2, ma poniamo N.variabili= 2. Cosa ci aspettiamo? Cosa succede qualitativamente? 7. Poniamo ora N.valori= 6 (caso del dado). Esplorare la forma tipica degli istogrammi di frequenza al variare di N.variabili ed N.conf. Interessante vedere ad esempio cosa si ottiene per N.variabili= 500 e N.conf= Valutare qualitativamente come varia il valore medio della variabile casuale somma e la larghezza della sua distribuzione. 9. Entriamo ora nella sorgente del codice (doppio click sull icona della classe VariabiliCasuali). Il metodo Math.random() genera una variabile casuale con distribuzione uniforme nell intervallo [0.0, 1.0[. Tramite semplici elaborazioni possibile generare numeri casuali interi in un intervallo a piacere. Se scriviamo Math.random()*nval+1 generiamo quindi una variabile casuale con distribuzione uniforme nell intervallo [1.0, nval+1[. Poichè abbiamo definito la variabile randomvar come intera, allora l istruzione randomvar+=math.random()*nval+1 costruisce una somma di numeri casuali interi nell intervallo [1, nval]. Modificare il programma in modo da sommare numeri casuali in un intervallo centrato attorno a 0 (ricordarsi poi di ricompilarlo!). Cosa si ottiene per la distribuzione della variabile casuale somma? 10. Per chi desidera cimentarsi ulteriormente con il programma, inserire delle istruzioni in modo che vengano calcolate numericamente la media x e la varianza σ 2 x = x 2 x 2, dove il simbolo di media indica la media effettuata sulle N.conf generate. Si dovrebbe poter verificare numericamente che: x = N r, σ 2 x = N( r 2 r 2 ). 2

4 Scheda di laboratorio n. 2 Uso di Gnuplot Vedere la Web page per scaricare liberamente il programma (esiste per moltissimi sistemi operativi, incluso Windows, Linux, MacOsX...) e per ulteriori dettagli. Questi appunti servono per dare i più semplici comandi Gnuplot in modalità di linea, per poter fare un grafico dei vostri dati. Per gli esercizi che seguono vi forniamo già dei comandi (macro) pronti, quali ad esempio plotta.gn, cosicchè basta scrivere : $ gnuplot plotta.gn e dare enter. Oppure, al prompt scrivete: $ gnuplot e dare enter e poi: gnuplot> load plotta.gn Ma vediamo i comandi principali per capire cosa c è nelle macro. Provate innanzitutto a scrivere: gnuplot> p sin(x) Cosa vedete? Supponiamo invece che abbiate un file di dati dati.dat del tipo: # prima riga di commento # seconda riga di commento Il primo semplice comando è: gnuplot> plot dati.dat Le righe che iniziano con # (vedi esempio) sono interpretate come commenti. Per default la prima colonna di dati è presa come x e la seconda come y. Se avete più colonne di dati, specificate QUALI volete usare come x e come y. Se non specificate niente, è sempre sottinteso: gnuplot> plot dati.dat u 1:2 Se però avete e volete usare ad es. la colonna 4 come x e la 6 come y, scrivete: gnuplot> plot dati.dat u 4:6 Potete fare più curve sullo stesso grafico anche a partire dallo stesso file di dati, ad esempio: gnuplot> plot dati.dat u 1:2, dati.dat u 1:3, dati.dat u 1:4 3

5 Se non specificate la colonna usata come x, gnuplot prende di default l indice del dato (quindi 1,2,3,...). Potete dire di fare un plot con punti (with points, abbreviato anche con w p; ps e pt specificano eventualmente size e type diversi) che è il default; oppure con linee (with lines, abbreviato con w l): gnuplot> plot dati.dat u 4:6 w l Potete dire di fare un plot raggruppando i dati in blocchi separati da due linee vuote; sono indicizzati 0, 1, 2...; se non specificate nulla, vengono usati gli stessi simboli (linee/colori/punti) ma ogni blocco viene plottato separatamente (quindi ad es. l ultimo punto del blocco 0 NON e unito al primo punto del blocco 1). Dopo plot, il comando più importante è forse set. Provate a scrivere: gnuplot> help set Per plottare i vostri dati in un file grafico, dovete usare il comando set. Set cosa? Ad esempio TERM. Facendo partire gnuplot, automaticamente il term è settato come finestra x11. Per cambiarlo e forzarlo ad essere ad esempio un png, scrivete: gnuplot> set term png Adesso settiamo il file dell output. Dobbiamo dare un nome al file. Ad esempio plot.png, allora scriviamo: gnuplot> set output plot.png Attenzione a usare la virgoletta semplice in alto: filename per identificare tutti i nomi di files! A questo punto si può riplottare dati e funzione:. gnuplot> plot f(x), dati.dat Se volete continuare a fare altri plot su una finestra x11, dovete resettare il TERM come x11, riscrivendo il comando: gnuplot> set term x11 Se volete fare plot in 3D il comando è: gnuplot> splot "dati.dat" Molti altri dettagli li troverete dall help-on-line: gnuplot> help 4

6 Scheda di laboratorio n. 3 Metodo rifiuto-accettazione per generare distribuzioni in 1D (programmi in C++) Il codice distribuzione.cpp in C++ genera una variabile casuale x con distribuzione di probabilità data f(x) in un intervallo [a, b]. Si può vedere e modificare con qualunque editor di testo, e compilare con comando di linea g++ (scrivere: g++ distribuzione.cpp). La funzione rand() ritorna un valore numerico intero della variabile casuale compreso in [0.0, RAND MAX[ con distribuzione uniforme. Quindi myrand()= ((double)rand()/(double)rand MAX) ritorna un valore compreso in [0.0, 1.0[. Vogliamo una distribuzione proporzionale a f(x) = e (x/h)2, che nel codice è scritta come: exp(-pow(x/h,2)) (h va inserito in input da tastiera). f(x) vale al massimo 1, allora va bene considerare M=1 (vedere slides). La funzione f(x) è definita per x in ], + [ ma ovviamente ci limitiamo a studiarla in un intervallo finito [-maxl/2, +maxl/2[, con maxl che è messo nel codice pari a 4 h (ma si può cambiare anche questo). Per semplicità di programmazione, la variabile casuale x viene generata in un intervallo traslato di maxl/2, quindi si generano valori di (x,u) nel rettangolo [0, +maxl[ e [0.0, 1.0[ rispettivamente. Si confronta f(x) con u e si accetta il punto (x,u) generato solo se u < f(x), incrementando il contatore hist nel canale opportuno ibin. Per il grafico, si ritraslano le variabili nell intervallo di partenza. Nel file random1.txt è listata la sequenza dei N valori di x generati e accettati; nel file histogram.txt i valori dell istogramma di tali punti. 1. Compilare con g++. Si produce un file eseguibile a.out che si esegue con il comando di linea:./a.out. Studiamo prima il caso (1). Occorre immettere da tastiera quante coppie (x,u) estrarre (N) e quanti canali per fare l istogramma (nbin). N dev essere ben maggiore del numero nbin di canali per avere una statistica significativa. Ad es.: N=1000, nbin=10, h=1. Il programma chiama direttamente Gnuplot per i grafici dei risultati, ma si può rigenerare i grafici anche una volta terminato il programma, rilanciando Gnuplot e usando la macro plotta distribuzione.gn. Il primo grafico che si ottiene corrisponde all istruzione (gnuplot> plot random1.txt ) (in ascissa il numero progressivo nella sequenza, in ordinata il valore di x) e mostra qualitativamente come sono distribuiti i punti ottenuti. Cosa si nota? Si riesce a prevedere come sarà l istogramma? 2. Dando un comando enter da tastiera si passa al secondo grafico (l istogramma) che corrisponde all istruzione (gnuplot> plot histogram.txt ). Cosa si osserva? 3. Fare vari esperimenti numerici cambiando i parametri (uno alla volta!) N, nbin, h (input da tastiera), nonchè quelli fissati dentro il codice (maxfun, maxl). 4. Cosa si può dire nel caso in cui maxfun sia doppio o triplo dell effettivo valore massimo della funzione? (quanti punti generiamo e quanti ne accettiamo...?) 5. Usare ora il codice per altra distribuzione (caso (2)). Ripetere gli esperimenti numerici secondo le linee guida precedenti (usiamo pure un numero alto di punti ( ) e di nbin ( 200); h=3 ad es.). La macro è la stessa del caso precedente. 5

7 Scheda di laboratorio n. 4 Metodo rifiuto-accettazione per generare la distribuzione elettronica nell atomo di idrogeno (programmi in C++) Si tratta di generare punti (x, y, z) nello spazio 3D con distribuzione di probabilità data corrispondente a ψ(x, y, z) 2. Il codice Horbitals.cpp è scritto in C++. Si può vedere e modificare con qualunque editor di testo, e compilare con comando di linea g++. Valgono le spiegazioni della scheda precedente per quanto riguarda il significato di myrand() e istruzioni che lo contengono. In questo caso la distribuzione è 3D, quindi si tratta di generare N terne di variabili casuali (x, y, z) entro un cubo di lato L (da dare in input) e di accettarle con probabilità ψ(x, y, z) 2 confrontando tale valore con una quarta variabile casuale u. I parametri da dare in input sono: N: numero di quaterne (x,y,z;u) da generare; L: lato del cubo dove si generano (x, y, z) (in Angstrom); scelta: indice che corrisponde ad un determinato stato quantistico (descrizione dettagliata dentro il codice, con la specificazione di numeri quantici n e l); per semplicità qui sono implementati solo alcuni (14) casi, corrispondenti agli stati elettronici ad energia piú bassa. Il programma restituisce il numero di posizioni generate e accettate e le scrive su un file (posizioni.txt, prime 3 colonne), assieme al valore della funzione ψ(x, y, z) (nota bene: non ψ(x, y, z) 2, quindi la funzione può assumere valori negativi e positivi). Queste posizioni si possono visualizzare nel cubo con il sofware gnuplot (comando splot). 1. Compilare e lanciare l eseguibile. Si suggerisce di cominciare a studiare l orbitale più semplice (1s, indicato come stato 1); come indicazioni utili, si può partire chiedendo di generare punti in un cubo di lato 2 (angstrom=10 10 m). Quanti punti vengono accettati? Visualizzare il risultato ad esempio usando la macro plotta.gn). 2. Si può dire qualcosa (cosa?) se generiamo pochi punti? 3. Si suggerisce di aumentare il numero dei punti per ottenere una migliore descrizione della distribuzione di probabilità. Stabilito il numero di punti accettati soddisfacente, fare un po di esperimenti numerici variando L. Discutere cosa si ottiene se L è piccolo (es. L=0.2) o grande (es. L=10)? Cosa si può dire circa l efficienza dell algoritmo di generazione dell orbitale? 4. Lanciare l eseguibile per studiare altri orbitali. Si suggerisce di confrontare ad esempio gli stati con diverso n ma con l = Gli stati con l 0 non hanno simmetria sferica, ed è interessante vedere che regioni diverse della distribuzione corrispondono a valori di ψ(x, y, z) positivi o negativi. Provare ad esempio a studiare il caso 3 (uno degli stati con n=2, l=1). Per visualizzare in modo diverso i punti dove ψ(x, y, z) è positiva o negativa, usare la macro plotta colori.gn. 6. E particolarmente interessante modificare il codice per far calcolare la posizione media della distribuzione dell elettrone e la varianza: < r > e < r 2 > < r > 2 6

8 Scheda di laboratorio n. 5 Metodo rifiuto-accettazione per generare la distribuzione elettronica nello ione molecolare H + 2 (programmi in C++) Analogamente al caso precedente, i codici H2.cpp e H2bond.cpp sono scritti in C++. Costruiscono la distribuzione elettronica nello stato ad energia più bassa dello ione molecolare idrogeno H + 2, costituito cioè da due protoni (a e b, a una certa distanza R tra loro) e da un solo elettrone. Lo stato (orbitale molecolare) è calcolato in modo approssimativo secondo uno schema noto come LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals). La distribuzione di probabilità per l elettrone corrisponde a ψ 2 dove ψ (e ra + e r b ) dove ra e r b sono le distanze dell elettrone dai protoni a e b rispettivamente, e viene generata come nel caso precedente con l algoritmo rifiuto-accettazione. Si consiglia di prendere prima familiarità con il codice H2.cpp. Si generano punti in un cubo di lato L come nel caso precedente. Rispetto al caso atomico, qui c è da inserire anche la distanza tra i due protoni. Si sa (sperimentalmente) che è circa 1 angstrom nel caso della configurazione in cui lo ione H + 2 è legato. Usare questa informazione per decidere come scegliere ad esempio il lato del cubo. Dove viene accumulata la carica elettronica? Rispondere qualitativamente. Cambiare la distanza tra i protoni (ad es. L=0.1,..., 2, 3, 4) (ed eventualmente di conseguenza il lato del cubo) e descrivere ciò che si osserva. Il codice H2bond.cpp rispetto a H2.cpp ha implementato il calcolo della frazione di carica elettronica contenuta tra due piani passanti per i due protoni e ortogonali all asse che li congiunge. Fare qualche esperimento numerico e notare come questa frazione e considerevole, soprattutto per distanze prossime a quella sperimentale. Inoltre, H2bond.cpp confronta con il caso in cui anzichè considerare l elettrone distribuito nell orbitale prima citato, si consideri semplicemente la sovrapposizione di due distribuzioni di tipo atomico centrate sui singoli protoni. Se si considera invece ψ (e ra e r b ) cosa si trova? 7