Progetto di Circuiti Aritmetici

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1 Progetto di Circuiti Aritmetici Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1

2 Introduzione Caratteristiche principali di valutazione Velocità Valutata per il caso peggiore Costo Precisione Es., operazioni in virgola mobile Affidabilità Codici di rilevazione e correzione di errore Consumo di potenza Maurizio Palesi 2

3 Realizzazione Due diversi aprocci Approccio hardware Approccio firmware Maurizio Palesi 3

4 Presentazione dei Dati Parallelo Seriale pura Seriale a byte Mista Maurizio Palesi 4

5 Presentazione dei Dati Parallelo Tutti i bit degli operandi sono presentati agli ingressi simultaneamente A ADD S B Maurizio Palesi 5

6 Presentazione dei Dati Seriale pura Alle linee di entrata vengono presentati, sequenzialmente nel tempo (in serie) i bit di pari posizione dei due addendi Presentazione normale (dal meno significativo al più sigificativo) Little endian Sommatori, moltiplicatori Presentazione seriale on-line (dal più significativo al meno significativo) Big endian Divisori A B ADD S Maurizio Palesi 6

7 Presentazione dei Dati Seriale a byte Per byte qui si intende un gruppo di pochi bit (non necessariamente 8) Es., Se i due addendi hanno ognuno 32 bit, questi vengono divisi in otto gruppi di 4 bit Le due coppia di 4 bit di pari posizione vengono applicate contemporaneamente Maurizio Palesi 7

8 Presentazione dei Dati Mista Uno dei due operandi viene presentato con modalità in parallelo, l altro con modalità seriale Maurizio Palesi 8

9 Presentazione dei Dati Parallelo (combinatorio) La più usata per operandi di lunghezza normale (16, 32, o 64 bit) Seriale e mista (sequenziale) Utilizzata per operandi molto lunghi Es., operazioni crittografiche Maurizio Palesi 9

10 Half/Full Adder a b HA s c out a b s cout a b c in FA s c out a b cin s cout Maurizio Palesi 10

11 Sommatore a Propagazione di Riporto b 5 a 5 b 4 a 4 b 3 a 3 b 2 a 2 b 1 a 1 b 0 a 0 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 FA FA FA FA FA HA s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 b 5 a 5 b 4 a 4 b 3 a 3 b 2 a 2 b 1 a 1 b 0 a 0 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c FA FA FA FA FA FA 0 s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 Maurizio Palesi 11

12 Overflow L overflow nella somma di due interi a n bit si ha se il risultato supera 2 n -1 Tale situazione viene segnalata dal valore 1 del riporto in uscita del FA in posizione più significativa Maurizio Palesi 12

13 Differenza A - B = A + (-B) = A + C2(B) C2(B) = NOT(B) + 1 A B A B ADD S Cout Cin Add /Sub Maurizio Palesi 13

14 Overflow nelle Somme Algebriche Dati due numeri a n bit di segno diverso Il risultato è sempre corretto e quindi occorre ignorare il riporto in uscita dello stadio più significativo Se i due numeri hanno lo stesso segno è possibile avere overflow Come capire se c è stato overflow? La somma di due numeri negativi è positiva oppure La somma di due numeri positivi è negativa Overflow = (a n-1 b n-1 )s n-1 + (a n-1 b n-1 )s n-1 Maurizio Palesi 14

15 Velocità del Sommatore a Propagazione del Riporto b 5 a 5 b 4 a 4 b 3 a 3 b 2 a 2 b 1 a 1 b 0 a 0 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c FA FA FA FA FA FA 0 s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 Esiste un percorso dei segnali dalla posizione meno significativa a quella più significativa tramite i segnali di riporto Se è il ritardo di propagazione dagli ingressi alle due uscite del FA, il ritardo di propagazione massimo è n Maurizio Palesi 15

16 Sommatori Carry-Lookahead Nella generica cella i-esima di un sommatore a propagazione di riporto, il riporto in uscita c i+1 deriva da b i Una componente generata localmente c i+1 Vale 1 se i bit i-esimi degli addendi valgono 1 FA E una propagata dovuta al riporto di ingresso Vale 1 se c i =1 e se almeno uno dei bit i-esimi degli addendi è 1 a i s i c i c i+1 = G i + P i c i a i b i a i b i Maurizio Palesi 16

17 Sommatori Carry-Lookahead c i+1 = G i + P i c i = a i b i + a i b i c i Il procedimento può essere iterato su c i c i = G i-1 + P i-1 c i-1 = a i-1 b i-1 + a i-1 b i-1 c i-1 e, riportando questa espressione in quella che fornisce c i+1 si ricava c i+1 = a i b i + a i b i (a i-1 b i-1 + a i-1 b i-1 c i-1 ) e così via fino ad esprimere il riporto c i+1 in funzione dei bit da i a 0 dei due addendi Maurizio Palesi 17

18 Sommatori Carry-Lookahead b 5 a 5 b 4 a 4 b 3 a 3 b 2 a 2 b 1 a 1 b 0 a 0 c out c FA FA FA FA FA FA 0 s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 Maurizio Palesi 18

19 Sommatori Carry-Lookahead b 5 a 5 b 4 a 4 b 3 a 3 b 2 a 2 b 1 a 1 b 0 a 0 c out c FA FA FA FA FA FA 0 s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 Maurizio Palesi 19