MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2013/2014 Prof. C. Presilla. Prova B1 13 giugno 2014

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1 MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 23/24 Prof. C. Presilla Prova B 3 giugno 24 Cognome Nome iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto

2 Esercizio Dimostrare che (`, k k ) (`2, k k 2 ). Nel caso degli spazi funzionali (C (), k k )e(c 2 (), k k 2 ) è ancora vera l inclusione C C 2? Dimostrarla o portare un controesempio. [punteggio 5] Sia x =(x,x 2,x 3,...) un arbitrario vettore di (`, k k ), mostriamo che x 2 (`2, k k 2 ), ovvero che risulta x k 2 <. Per ipotesi x k <. Inoltre, poiché ` `, lim k! x k =equindi9n tale che x k < 8k N. isulta allora x k 2 = apple apple NX NX NX x k 2 + x k 2 + x k 2 k=n x k k=n x k 2 + kxk <. Nel caso degli spazi funzionali l inclusione è falsa. Si consideri la funzione f(x) = ovunque ad eccezione di triangoli di altezza k e larghezza k 3 centrati nei punti x = ±k, k =, 2,... Tale funzione è continua in e risulta f(x) dx k 2 <, f(x) 2 dx k =. pertanto f 2 (C (), k k )maf/2 (C 2 (), k k 2 ).

3 un si- cienti Esercizio 2 Sia (V,h, i) uno spazio Euclideo complesso e(u k ) stema ortonormale in V. Determinare, dimostrandolo, per quali coe complessi k, k =,...,n la combinazione lineare S n = k u k approssima in modo ottimale (ha minore distanza da) il generico vettore v 2 V. [punteggio 5] Scelto v arbitrario vettore di V, vogliamo determinare k, k =,...,n,in modo tale che kv Sn k abbia il valore minimo. Poiché kv S n k 2 = hv = hv, vi = kvk = kvk + k u k,v k u k i (hv, k u k i + h k u k,vi)+ k hv, u k i + k hv, u k i + j= k 2 k hv, u k i 2 hv, u k i 2, h k u k, j u j i la distanza tra v e S n risulta minima se k = hv, u k i.

4 Esercizio 3 Determinare in modo diretto, cioè senza appellarsi a teoremi genarali, a quale distribuzione converge nello spazio delle funzioni fondamentali K la successione di distribuzioni regolari (' gn ) n=,doveg n(x) =ne n x. Infine calcolare il limite ne n sin x f(x)dx, f 2K. lim n! [punteggio 6] Si osservi innanzitutto che g n (x) è una funzione continua a tratti, pertanto localmente integrabile, e quindi ' gn è una distribuzione regolare nello spazio delle funzioni fondamentali K. Per ogni f 2Ksi ha ' gn (f) = g n (x)f(x)dx = =e nx f(x) =2f() ne nx f(x)dx + e nx f(x) + + e nx f (x)dx ne nx f(x)dx e nx f (x)dx + e nx f (x)dx e nx f (x)dx Entrambi gli integrali che compaiono in quest ultima espressione si annullano per n!. Si consideri, ad esempio, il primo. isulta e nx f (x)dx apple e nx f (x) dx apple f u n n!!. In conclusione lim ' g n! n (f) =2f() = 2 (f) che, per l arbitrarietà di f 2K,implica ' gn K! 2. Si osservi che ne n sin x = g n (sin(x)) = (g n sin)(x), pertanto ' gn sin K! 2 [sin] = 2 X k2 k in quanto sin x =perx = k, k 2, e sin (k ) =. In conclusione, 8f 2Ksi ha lim ne n sin x f(x)dx =2 X f(k ). n! k2

5 Esercizio 4 Nello spazio vettoriale normato (`2(C), k k 2 ) si consideri l operatore n+ : `2(C) 7! `2(C) di traslazione a destra di n posizioni n+ (x,...,x n,x n+,x n+2,...)=(,...,,x,x 2,...). Determinare norma, nucleo, immagine e aggiunto di Hilbert dell operatore n+. Determinare inoltre, se esiste, l inverso dell operatore n+. [punteggio 5] Per cominciare si osservi che, posto x =(x,x 2,...) 2 `2, siha apple k apple n ( n+ x) k = x k n k n + Per ogni x 2 `2 risulta k n+ xk 2 2 = e pertanto k n+ k = ( n+ x) k 2 = k n+ xk sup 2 =. x2`2, x6= kxk 2 k n+ Poiché n+ x = se e solo se x =, risulta Ker n+ = {x 2 `2 : n+ x =} = {}. Inoltre an n+ = {y 2 `2 : y = n+ x, x 2 `2} x k n 2 = = {y 2 `2 : y k =, apple k apple n} ( `2 x j 2 2 = kxk 2 j= L operatore aggiunto n+ è definito dalla relazione h n+ x, yi = hx, n+ yi 8x, y 2 `2. Poiché h n+ x, yi = ( n+ y) j y j, j= hx, n+ yi = x k ( n+ y) k = k=n+ dall arbitrarietà di y segue che 8x 2 `2 ( n+ x) j = x j+n, j, x k y k n = x j+n y j, cioè n+ = n, con n operatore di traslazione a sinistra di n posizioni. Evidentemente Ker n ) {}, pertanto n+ non ha inverso ( n+ è s u o inverso destro, n n+ = I, ma non sinistro, n+ n 6= I). Alternativamente, tutti i precedenti risultati possono essere ottenuti osservando che n+ =( + ) n e ricordando le proprietà di +. j=

6 Esercizio 5 Sia U l operatore in (C 2 ([, 2 ]; C), k k 2 )definitoda (Uf)(x) =e ix f(x). Dimostrare che U è unitario, cioè U U = UU = I, e determinare il suo spettro. [punteggio 6] L operatore aggiunto U è definito dalla relazione hu f,gi = hf,ugi 8f,g 2 C 2 ([, 2 ]; C). Poiché hu f,gi = 2 (U f)(x)g(x)dx hf,ugi = 2 f(x)(ug)(x)dx = 2 f(x)e ix g(x)dx dall arbitrarità di g segue che (U f)(x) = e ix f(x) 8f 2 C 2 ([, 2 ]; C). Pertanto (UU f)(x) =(U Uf)(x) =f(x) 8f 2 C 2 ([, 2 ]; C), cioè U U = UU = I. Per determinare lo spettro di U, iniziamo a studiare Ker(zI U) ={f 2 C 2 ([, 2 ]; C) : (zi U)f =}. L equazione agli autovalori (zi U)f = fornisce (z e ix )f(x) =, x 2 [, 2 ]. Se z 6=, l equazione ammette la sola soluzione banale f =. Se z =e i con 2 [, 2 ], la soluzione è f(x) =perx6=. Per la continuità di f si deve ammettere che l unica soluzione possibile è ancora f =. In conclusione Ker(zI U) ={} 8z 2 C, cioèzi U è sempre iniettivo e p(u) =;. Per determinare lo spettro continuo, studiamo an(zi U) ={g 2 C 2 ([, 2 ]; C) : g =(zi U)f, f 2 C 2 ([, 2 ]; C)}. Deve risultare f(x) = g(x), x 2 [, 2 ]. z eix Se z =e i con 2 [, 2 ], risulta f non continua in x = se g non si annulla in questo punto. Dunque zi U è iniettivo non suriettivo. Se z 6=, an(zi U) =C 2 ([, 2 ]; C) equindizi U è invertibile. Concludiamo che c(u) ={z 2 C : z =}.

7 Esercizio 6 Sia f :[, ] 7! con f(x) = x. Stabilire a quale valore convergono puntualmente in x = i tre sviluppi in serie di Fourier in [, ] corrispondenti a basi ortogonali costituite da a) sole funzioni seno, b) sole funzioni coseno, c) funzioni seno e coseno. Dei tre sviluppi determinare esplicitamente quello che converge puntualmente a f(x) 8x 2 [, ]. [punteggio 6] a) Lo sviluppo converge puntualmente alla funzione ottenuta prolungando f in modo dispari da [, ]a[, ] e quindi prolungando la funzione così ottenuta a tutto con periodicità 2. In x =laserie converge a (f() f())/2 =. b) Lo sviluppo converge puntualmente alla funzione ottenuta prolungando f in modo pari da [, ]a[, ] e quindi prolungando la funzione così ottenuta a tutto con periodicità 2. Inx = la serie converge a(f() + f())/2 =. c) Lo sviluppo converge puntualmente alla funzione ottenuta prolungando f periodicamente da [, ]atutto. In x = la serie converge a (f() + f( ))/2 = /2. Lo sviluppo che converge puntualmente a f(x) 8x 2 [, ]èquellointermini di sole funzioni coseno con f(x) =â 2 + X â k cos(kx) â k = 2 isulta â = 2 eperk> f(x) cos(kx)dx. ( x)dx =2, â k = 2 ( x) cos(kx)dx = 2 sin(k ) k sin(k ) + cos(k ) k k 2 = 2( ( )k ) k 2. In conclusione f(x) = = 2 + X 2( ( ) k ) k 2 cos(kx) 2 + X 4 cos((2n + )x). (2n + ) 2 n=