Antonella Negri DI GENERE MASSIMALE

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1 REND. SEM. MAT. UNIVERS. POLITECN. TORINO Vol. 44, 1 (1986) Antonella Negri SULLE RIGATE DI IP 3 DI GENERE MASSIMALE II problema della determinazione delle superficie rigate di IP 3 di genere massimale trova risposta, come specif icheremo meglio in seguito, nei risultati che costituiscono la celebre "Teoria di Castelnuovo". Tale teoria si occupa della limitazione del genere g di una curva X di grado d immersa nello spazio proiettivo w-dimensionale 1P W e della caratterizzazione delle curve di genere massimo rispetto al grado. II problema e stato risolto, come e noto, dallo stesso Castelnuovo e poi ripreso, in epoca recente, da Griffiths, Harris, Eisenbud, Lazarsfeld ed altri, i quali, oltre a dare nuove dimostrazioni del teorema di Castelnuovo, hanno discusso le notevoli applicazioni che di tale risultato possono essere fatte in vari settori della geometria algebrica. Tuttavia era finora passata inosservata un'interessante applicazione fatta da Fano nella sua Tesi di Laurea, su suggerimento dello stesso Castelnuovo, mirante a determinare le superficie rigate di IP 3 di genere massimale interpretandole come curve di IP 5 giacenti sulla quadrica di Klein che parametrizza le rette di IP 3, e quindi sfruttando il teorema di Castelnuovo. Scopo di questo lavoro e di esporre in linguaggio moderno la teoria di Fano-Castelnuovo, dando altresi esplicita descrizione di due congruenze rilevanti ai fini della caratterizzazione delle rigate di IP 3 di genere massimale: la congruenza delle bisecanti di una cubica gobba, identificabile con la superficie di Veronese di IP 5 e la congruenza costituita dalle rette appartenenti ad infiniti fasci aventi i centri su una conica e i piani tutti tangenti ad uno stesso cono quadrico, isomorfa invece alia rigata razionale normale di IP 5. Classificazione per soggeto AMS(MOS, 1980): 14J 25

2 TEOREMA 1. (Castelnuovo). Sia X C W n una curva di grado d e genere g, non contenuta in un iperpiano di IF\ Posto m r e d = win 1) -f 4- e + 1, con 0 < e < n 2, allora il genere g soddisfa la disuguaglianza: g ^ ( 7 )( n ~ 1) + me n(d,n). Inoltre una curva X il cui genere soddisfa Vuguaglianza g = n(d,n) giace su ( ) quadriche linearmente indipendenti di IP". Dimostrazione (cfr. [H], Cap. 3, pag. 87). Utilizzando particolari costruzioni di geometria proiettiva, le cosiddette "costruzioni di Steiner" (cfr. [G-H], Cap. 4, Section 3, pagg ), si possono ricavare interessanti conclusioni riguardanti la generica sezione iperpiana D di X e l'intersezione delle quadriche contenenti X. Precisamente: (n- l)(n~2) (i) Se g = rr(d,n) e d>2n~l, X giace su -z quadriche linearmente indipendenti di IP W e ogni quadrica passante per una tale curva appartiene al sistema lineare di quelle. Inoltre la sezione iperpiana D di X impone esattamente 2n 1 condizioni indipendenti al sistema lineare delle quadriche di IP W_1, \2H n-\\. (ii) Se g = ir(d,n) e d > 2n + 1, la sezione iperpiana D di X sta su una (n - l)(n~2) curva razionale normale C di W n 1 e l'intersezione delle ^ quadriche contenenti X e una super ficie S di grado n~\ di IP W, superficie che e sempre rigata se ni= 5, ma pub non esserlo per n = 5 (e d pari) in quanto in questo caso c'e Vulteriore possibilita che X giaccia sulla superficie di Veronese di IP 5, immagine di IP 2 mediante il sistema lineare delle coniche. 2.- Esponiamo ora alcune generalita sulla geometria della Grassmanniana delle rette di IP 3 e descriviamo due importanti congruenze di rette che ci consentiranno successivamente di concludere il nostro studio sulle rigate di

3 IP 3 di genere massimale. E noto che, mediante l'embedding di Plucker (cfr. [G-H], Cap. 1, Section 5) p: G(l,3) IP(A 2 <C 4 ) = IP 5 la varieta delle rette di IP 3 puo essere immersa in IP 5 come ipersuperficie quadrica. Le sue sottovarieta di dimensione tre, due, uno corrispondono a sistemi di rette rispettivamente tridimensionali, bidimensionali, unidimensionali, detti complessi di rette, congruenze di rette, superficie rigate,. Essendo G(l,3) una varieta fattoriale (risultato dovuto a Severi), le sue sottovarieta di dimensione tre sono intersezioni complete di G(l,3) con un'ipersuperficie di IP 5 di un certo grado d > 1 (detto grado del complesso). Per quanto riguarda le congruenze, se indichiamo con o 2 (p) e o iti {h) i due generatori di dimensione due dell'anello di omologia integrale di G (1, 3) (rispettivamente il ciclo delle rette di IP 3 passanti per il punto p G IP 3 e il ciclo delle rette di IP 3 giacenti nel piano h C IP 3 ), una congruenza risulta omologicamente equivalente ad un ciclo del tipo mo 2 (p) + no ltl (h)> con evidente significato dei coefficienti: m e il numero delle rette della congruenza passanti per p (detto ordine della congruenza) e n e il numero delle rette della congruenza giacenti in h (detto classe della congruenza) e dove la somma m + n da il grado della congruenza. Una classica costruzione (cfr. [J], Art. 236) associa ad una congruenza X irriducibile un insieme F, costituito al piu da due componenti irriducibili A e B, detto insieme focale di X. Esplicitamente F e l'insieme dei punti p G IP 3 per i quali passa un numero inferiore ad m di raggi della congruenza. Ricordiamo ancora che se X e una congruenza irriducibile e x G X un suo punto, una direzione tangente a X in x e detta nulla se la retta di IP 5 che rappresenta questa direzione e contenuta nella quadrica G (1,3) C IP 5. E stata fornita da Goldstein in [Gl] una classificazione delle congruenze, costituita da quattro classi mutuamente disgiunte caratterizzanti completamente la loro geometria. Rimandiamo al lavoro citato [Gl] per i dettagli su tale classificazione, ricordando soltanto, poiche saranno utilizzati nelle dimostrazioni che seguiranno, i risultati sulle congruenze appartenenti alia quarta classe: (i) Siano A e B due sottovarieta irriducibili di IP 3. Una congruenza X nella 4 a classe e una componente dell'insieme delle rette che u toccano" A e B. Per esempio, se A = B e una curva, X e la congruenza delle bise- 71

4 72 canti di A; se A B delle bitangenti ad A. e una superficie, X e una componente deh'insieme i\\) Inoltre per una congruenza appartenente alia 4 a due tangenti nulle in un generico x EX. classe ci sono sempre Infine se <f>: C >G(1,3) e un'applicazione di una curva C nella Grassmanniana, allora rimmagine ^(C) si puo considerare come superficie rigata di IP 3, S = U l$ (0) descritta dalla famiglia delle rette l$ (p), parapec metrizzate dalla curva C (dove con l$( P ) si indica la retta di IP 3 corrispondente al punto $(p) G G (1,3)) e avente, per definizione, lo stesso grado e lo stesso genere della curva che rappresenta. 3.- Ci proponiamo ora di dimostrare due proposizioni che caratterizzano le congruenze corrispondenti alle due superficie non singolari di IP 5 di grado 4: la superficie di Veronese, immagine di IP 2 mediante il sistema lineare delle coniche, e la rigata razionale normale del 4 ordine, unione delle rette congiungenti punti corrispondenti di due coniche di IP 5. PROPOSIZIONE 2. La congruenza di IP 3 corrispondente alia superficie di Veronese di IP 5 e la congruenza di tipo (1,3) delle corde di una cubica gobba e viceversa ogni tale congruenza (o il suo sistema duale costituito dalle rette intersezioni delle coppie di piani osculatori alia stessa cubica) e isomorfa alia superficie di Veronese. PROPOSIZIONE 3. La congruenza X di IP 3 corrispondente alia rigata razionale normale del 4 ordine di IP 5 e quella cost costruita: sia Q C IP 3 una conica e k G IP 3 un punto non appartenente al piano determinato da Q. Per ogni t G <2 sia IP 2 il piano descritto da k e dalla tangente a Q in t f IP Q, e sia l t = {IP 1 C IP 3 / G IP 1 C IP 2 }. Poniamo X U l t. Viceversa ogni congruenza costituita da un sistema unidimensionale di fasci di raggi coi centri su una conica Q e i piani tutti tangenti ad uno stesso cono quadrico, di vertice k non giacente nel piano della conica, e isomorfo alia rigata razionale normale del 4 ordine di IP 5.

5 Dimostrazione (della Prop. 2). Proviamo innanzitutto che il tipo (m,n) della congruenza e (1,3). Proiettando la cubica da un punto p esterno ad essa su un piano non passante per p, si ottiene una cubica piana birazionalmente equivalente a quella data, pertanto anch'essa di genere zero e percio con un punto doppio (traccia della corda passante per p). II numero m delle rette della congruenza passanti per p e allora 1 (la retta congiungente p con il punto doppio). Un generico piano h C IP 3 taglia la cubica in tre punti e quindi le corde della cubica giacenti in h sono le tre rette congiungenti a due a due tali tre punti. Pertanto n = 3 e il grado della congruenza e m 4 n 4. Sia ora v 2 ' IP 2 X C G(l, 3) C IP 5 l'applicazione che immerge la superficie di Veronese X v 2 (HP 2 ) in G(l,3) definita da: v 2 (r,s,t) = (r 2, rs, s 2 -rt, rt, st, t 2 )'. Nell'insieme aperto r = 1 il piano tangente a X in un suo punto z e descritto da: z = (1, s, s 2 -t, t, st, t 2 Y -^ = (o,i,25,0,t,oy dz =(0,0, -1,1,5, 2tY. Le rette tangenti nulle a X in z sono della forma z /\v y con v =. dz dz,., s = x^7 + "^r ei ' eg < 1 ' 3) - Pertanto: z> = (0, A, 2s\-/z,M, tx + M5, 2tM) f e \(t\ 4 sn)~ JJL(2S\ ~M) = 0. Cioe-. tx 2-5\M 4 M 2 = 0. Poiche il discriminante 5 2 4t di questa forma quadratica e diverso da zero, ci sono due rette tangenti nulle in un generico punto di X e pertanto X appartiene alia 4 a classe. Per determinare l'insieme focale di X poniamo X = 1, ottenendo cosi: (*) t-sp 4/x 2 = 0. Inoltre osserviamo che i raggi z e v sono descritti dalle colonne delle 73

6 74 due matrici (utilizzando coordinate pluckeriane) 1 0 \ / 1-2 _ e che un punto p E IP 3 coordinate comune a questi due raggi consecutivi di X' avra 1 cioe, utilizzando la (*) : p = (l,h,fi 2,li*y. Pertanto l'insieme focale di Z e irriducibile ed e costituito dai punti di una cubica gobba; segue percio che la congruenza X e l'insieme delle secanti tale cubica. Viceversa, vogliamo provare che la congruenza duale di X, quella cioe costituita dalle rette intersezioni a due a due delle coppie di piani osculatori alia cubica gobba, coincide con la superficie di Veronese. A tale scopo sia x = t y = t 2 z = t 3 l'equazione della cubica; allora il piano osculatore alia curva in un punto di parametro a. ha equazione: x a y-ol 2 z a 1 lot 3 a a = 0 cioe: 3 _ 3orx - 3 ay + z - a 5 = 0. Pertanto la retta generica della congruenza, intersezione di due piani osculatori, avra equazione:

7 75 3 a 2 x - 3 ay ce 3 = 0 3j3 2 * - SPy +z-j3 3 =0 dove j3 e il parametro di un altro punto della cubica. Le coordinate pliickeriane della nostra retta saranno proporzionali ai minori estratti dalla matrice dei coefficienti dei due piani, tutti proporzionali ad (a- 3). Quindi: #12 : #13 : #14 : #23 : #24 : #34 = = 3Q! 2 j8 2 : 3ce/3(ce 4- /3) : (a 2 4- a(3 4- j3 2 ): 9cej3 : - 3 (a + j8): 3. Ponendo: ( a 3 = u si ha: #12 : #i3 : #i4 : #23 : #24 : #34 = Su 2 :~3uv: v 2 - u \ 9u:~3v: 3. Interpretando le coordinate di retta q^ come coordinate proiettive omogenee in IP 5, non e difficile vedere che quella scritta non e altro che l'equazione della superficie di Veronese. Dimostrazione (della Prop. 3). In questo caso si ha m = n = 2. Sia p G IP 3 un punto generico e k' la proiezione di k da p sul piano della conica. Indichiamo con k\ e k' 2 i due punti di contatto delle due tangenti alia conica condotte da k r. Allora le rette della congruenza passanti per p sono le congiungenti p con &i e k' 2. Pertanto m = 2. Inoltre un generico piano h C IP 3 taglia la conica in due punti 1 1 e t 2. Allora le rette della congruenza giacenti in h sono le intersezioni dei due piani dei fasci di centri rispettivamente t x e t 2 col piano h. Pertanto n 2 e il grado della congruenza e 4. Osserviamo che essendo isomorfa a IP 1 x IP 1, X e non singolare e ha grado 4 in IP 5. Dovendo escludere la superficie di Veronese che non contiene rette (mentre nel nostro caso a ogni fascio di rette in IP 3 corrisponde una retta di IP 5 ), segue necessariamente che X coincide con la rigata razionale normale del 4 ordine di IP 5. Viceversa vogliamo provare che la generica retta della rigata razionale normale di IP 5 e una retta della nostra congruenza. Siano allora 7i,72-' IP 1 > IP 5 le due applicazioni che definiscono lo

8 76 scroll di IP 5, X 4 (cfr. [G3], pag. 190): yi(s,t) = (s 2,2st,2t 2, 0,0,0) 7 2 (s,0 = (0,0,0,5 2,2s*, It 2 ). Poiche X 4 = U l\{s,t) /\y 2 (s,t), un suo punto generico ha coor-,. s,te IP 1 dinate: p = (\s 2,2\st,2\t 2,vs 2,2nst, 2^t 2 )ew 5 e appartiene a G(l, 3) come si verifica facilmente. Pertanto deve esistere una retta di IP 3 che ha come coordinate pluckeriane le coordinate di p. Tale retta risulta intersezione dei due piani di equazioni: 2\stx l 4- ixs 2 x 2-2nt 2 x 4 = 0 2Xs #! -f (X 4- yi)s 2 x 2 + 2\stx 3 + 2(X - ix)t 2 x 4 = 0 ( x i,, x 4 coordinate proiettive omogenee di IP 3 ). Combinando opportunamente le due equazioni si ottiene il sistema equivalents : 2\stx l + yts 2 x 2 2jjit 2 x 4 = 0 iti s 2 x 2 + 2stx 3 + 2t 2 x 4 = 0 ir 2. Osserviamo innanzitutto che al variare di s, t il piano ir 2 passa sempre per il punto (1,0,0,0) e contiene i punti 2 della conica C del piano x x = 0 diequazione: x x = 0 X 2 At X 3 St x 4 s 2. Poiche inoltre -r = (0, 0,-2, 2s) e -~ = (0, 4, ~2s, 0) appartengono a 7r 2, segue che il piano ir 2, sempre al variare di s,, contiene la retta tangente alia conica C in un suo punto variabile. Concludiamo che la retta trovata come intersezione del piano n i (generico) col piano ir 2 (avente le proprieta sopra descritte) e la retta generica della congruenza di tipo (2,2) dell'enunciato. Pertanto tutto e provato.

9 OSSERVAZIONE. Si puo notare che la congruenza X di cui sopra ha, come superficie nella Grassmanniana, il fibrato normale NX non ampio. Geometricamente questo equivale a dire che X possiede una retta d'ampiezza, cioe una retta / C X tale che il piano tangente a X in x /, D* 2, X e contenuto, per ogni x di /, nel 3-piano P C IP 5 intersezione di tutti i 4-piani tangenti a G(l,3) in un punto di /. E chiaro dalla costruzione della congruenza X che ogni retta l t e di ampiezza per X. A questo proposito Goldstein ha dimostrato che se XC G(l,3) e una superficie con infinite rette d'ampiezza, allora X e o un IP 2, oppure una trasformata g(x 4 ) della rigata razionale normale del 4 ordine di IP 5 mediante un elemento del gruppo speciale ortogonale SL(6,C) (cfr. [G2] e [G4]) Concludiamo quindi enunciando il risultato finale che caratterizza le superficie rigate di IP 3 di genere massimale. Utilizzando la rappresentazione delle rette di IP 3 mediante i punti della quadrica G(1,3)CIP 5, ad una curva C sulla Grassmanniana corrisponde una rigata S di IP 3 avente lo stesso ordine e lo stesso genere della curva C che rappresenta. Nel caso specifico di una curva C di IP 5 di grado d>2*5-l = 9 e genere massimo g = ir(d,5), deduciamo dal teorema 1 di Castelnuovo che C giace su sei quadriche linearmente indipendenti di IP 5, una delle quali puo essere identificata con la Grassmanniana delle rette di IP 3. Inoltre ognuna delle altre cinque quadriche del sistema taglia su G(l,3) una sezione rappresentata a sua volta da un complesso quadratico di rette. Pertanto per la rigata 5 di IP 3 corrispondente alia curva C di Castelnuovo, e quindi anch'essa di grado d>9 e genere massimo g = ir(d,5) e non contenuta in un complesso lineare, passano sempre almeno cinque complessi quadratici e ne passano esattamente tanti se d>2' 5 -\- 1 = 11. In questo caso la rigata S e contenuta in una congruenza di rette comune a tutti questi complessi, corrispondente alia superficie del 4 ordine di IP 5 intersezione delle sei quadriche su cui giace la curva C di grado d > 11 e genere massimo g = ir(d, 5). Poiche tale superficie e la rigata razionale normale del 4 ordine di IP 5 oppure la superficie di Veronese, possiamo caratterizzare nei seguenti due tipi distinti la congruenza in esame:

10 78 (a) Se il grado della rigata e dispari, la congruenza di tipo (2,2) costituita da una serie oo 1 di fasci di raggi coi centri su una conica e i piani tutti tangenti ad uno stesso cono quadrico (corrispondente per quanto provato nella Prop. 3 alia rigata razionale normale di IP 5 ). (b) Se il grado della rigata e pari, oltre alia congruenza del tipo (a), puo essere la congruenza di tipo (1,3) delle corde di una cubica gobba o il sisteme duale delle rette i.ntersezioni delle coppie di piani osculatori alia stessa cubica (corrispondente per quanto provato nella Prop. 2 alia superficie di Veronese di IP 5 ). Notiamo infine che per la rigata di genere massimo e ordine d = 10 il teorema non e piu vero. Questa rigata, di genere g = 7r(10, 5) = 6, si puo invece ottenere come intersezione di un complesso quadratico e di una congruenza di grado 5 e genere 1, precisamente una congruenza di tipo (2,3) o (3,2) (cfr. [F], pag. 148). Infatti la curva canonica di genere 6 e grado 10 di IP 5, riferibile ad una sestica piana con quattro punti doppi, e contenuta in una superficie di Del Pezzo del 5 ordine ed e precisamente intersezione di questa superficie con una quadrica non passante per essa. BIBLIOGRAFIA [F] Fano G., "Studio di alcuni sistemi di rette considerati come superficie dello spazio a cinque dimensioni", Annali di Matematica, Tomo XXI (1893), [J] Jessop C, "A treatise on the line complex", Cambridge University Press, [Gl] Goldstein N., "The Geometry of surfaces in the 4-quadric", Rend. Sem. Mat. Univ. Polit. Torino, 43 (1985), to appear. [G2] Goldstein N., "Manifolds having non-ample normal bundles in quadrics", Proc. Conf. on Combinatorial Methods in Alg. Geom. and Topology, Univ. of Rochester, In Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc. To appear. [G3] Goldstein N., "Examples of non-ample normal bundles", Compositio Math. To appear. [G4] Goldstein N., "A special surface in the 4-quadric", Duke Math. J., (1983),

11 79 [G-H] Griffiths P., Harris J., "Principles of Algebraic Geometry", New York, John Wiley & Sons, [H] Harris J., "Curves in Projective Space",, Les Presses de I'Universite de Montreal, ANTONELLA NEGRI - Dipartimento di Matematica, Universita di Torino, Italia. Lavoro pervenuto in redazione il 28/1/1985

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