Razionalitá vs irrazionalitá di ipersuperfici di grado basso

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1 Razionalità versus irrazionalità di ipersuperfici algebriche di grado basso DMI-UNICT Caffè Scientifico Accademia Gioenia 15 marzo 2019

2 Geometria (algebrica) per un vasto pubblico Vorrei iniziare con il far mie le parole del Socio dell Accademia Gioenia Giuseppe Marletta, pronunciate nel discorso di apertura dell Anno Accademico 1931/32 dell UNICT:

3 Giuseppe Marletta e Gaetano Scorza, Soci e Maestri Durante le mie ricerche negli ultimi dieci anni ho trovato ispirazione e affinità con questi due grandi Maestri e Soci dell Accademia Gioenia:

4 Giuseppe Marletta e Gaetano Scorza

5 Ricerche ispirate da Gaetano Scorza

6 Ricerche ispirate da Gaetano Scorza

7 Ricerche ispirate da Gaetano Scorza

8 Ricerche ispirate da Giuseppe Marletta

9 Ricerche ispirate da Giuseppe Marletta

10 Geometria e Algebra=Geometria Algebrica Risoluzione di equazioni algebriche: a x = b, a 0 x = b a. a x 2 + b x + c = 0, a 0 x = b ± b 2 4ac. 2a

11 Numeri razionali versus numeri irrazionali Soffermiamoci su un esempio semplicissimo: x 2 = 2 x = ± 2 = ±1, IRRAZIONALITÀ= INCOMMENSURABILITÀ =IMPOSSIBILITÀ di calcolare esattamente le SOLUZIONI Esattamente=esplicitamente (e non approssimativamente...).

12 Numeri razionali versus numeri irrazionali N = {1, 2,...}; numeri INTERI; Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...}; numeri INTERI RELATIVI Q = { a b : a Z, b Z, b 0} numeri RAZIONALI R \ Q = {α R, α Q} numeri IRRAZIONALI ESEMPIO: p N numero primo p R \ Q IRRAZIONALE.

13 Varietà algebriche VARIETÀ ALGEBRICA= soluzioni in Cn (ma anche in R n ) di f 1 (x 1,..., x n ) = 0. f m (x 1,..., x n ) = 0 con f i (x 1,..., x n ) polinomi di grado d i 1 nelle variabili x 1,..., x n e con coefficienti in C (o anche in R oppure Q). Se n = 2 si usano solitamente x, y come variabili e se n = 3 si usano x, y, z. K = C ma anche R o Q. IPERSUPERFICIE ALGEBRICA di EQUAZIONE f (x 1,..., x n ) = 0 (Essere geometrico) si indica con: X = V (f ) = {P K n : f (P) = 0} K n. Grado di X =grado di f (x 1,..., x n ).

14 Esempi di curve e superfici algebriche=ipersuperfici algebriche nel piano R 2 e nello spazio R 3 Immagini curve algebriche singolari Immagini Superfici algebriche singolari Sing(V (f )) = {P V (f ) : f x i (P) = 0 i = 1,..., n} V (f ) sono i punti singolari di X = V (f ). Se Sing(V (f )) =, allora l ipersuperficie X = V (f ) C n si dice ipersuperficie non singolare. Collezione museo della Scienza di Milano

15 La superficie Romana di Steiner, quartica razionale con un punto triplo e tre assi di punti doppi e di equazione: x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 2xyz = 0

16 La superficie Romana di Steiner, quartica razionale con un punto triplo e tre assi di punti doppi e di equazione: x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 2xyz = 0

17 Risoluzione irrazionale di x 2 + y 2 = 1 Per trovare tutte le soluzioni di x 2 + y 2 = 1: possiamo procedere IRRAZIONALMENTE: { x 2 + y 2 = 1 x = α [rette verticali 1 α 1 se K = R] α 2 + y 2 = 1 y = ± 1 α 2 P = (α, ± 1 α 2 ).

18 Risoluzione razionale di x 2 + y 2 = 1 { x 2 + y 2 = 1 y = m(x + 1) [rette per il punto ( 1, 0)] x 2 + 2m2 m x + m2 1 m = 0 (x = 1 e)x = 1 m2 m 2 (y = 0 e)y = m(x + 1) = 2m + 1 m

19 P = ( 1 m2 m 2 + 1, 2m m 2 ) al variare di m K + 1 sono tutte le soluzioni di x 2 + y 2 = 1. Siano p(t) = 1 t 2, q(t) = 2t, r(t) = t polinomi in t con coefficienti in Z. Allora Sostituendo ( ) p(t) 2 + r(t) ( ) q(t) 2 = 1. r(t) t = β Q, α, β Z α e razionalizzando otteniamo le coordinate di TUTTI i punti sul cerchio unitario con entrambe le coordinate razionali P = ( α2 β 2 α 2 + β 2, 2αβ α 2 + β 2 ).

20 Ultimo Teorema di Fermat, Andrew Wiles 1993/1994

21 Passaggio ai numeri razionali Se esistessero a, b, c N( a, b, c > 0) : a n + b n = c n ( a c ) n + ( b c ) n = 1 P = ( a c, b c ) con entrambe le coordinate razionali non nulle apparterrebbe alla curva di Fermat di equazione x n + y n = 1. Pertanto l Ultimo Teorema di Fermat è conseguenza di: Teorema (Ultimo Teorema di Fermat 1630, Wiles 1993/94) Per ogni n 3 la curva di equazione x n + y n = 1 non ha punti con entrambe le coordinate razionali non nulle.

22 Intuizione e punti con entrambe le coordinate razionali Figure: 1 1 x 4 + y 4 = 1 e x 5 + y 5 = 1 (nessun tale punto con x y 0, FERMAT) 2 x 2 + y 2 = 3 (NESSUN PUNTO CON ENTRAMBE LE COORDINATE IN Q!) 3 x 2 + y 2 = 5 ( PUNTI CON ENTRAMBE LE COORDINATE IN Q!) Figure: 2 Figure: 3

23 Esercizio Corso di Geometria 2 Esercizio (Corso di Geometria 2, ultimo esercizio, ultima lista) Per ogni d 3 NON esistono p(t), q(t), r(t) polinomi non nulli con coefficienti in Q (e nemmeno in R e nemmeno in C!) tali che ( ) p(t) d + r(t) ( ) q(t) d = 1. r(t) Se esistessero tali polinomi, allora sostituendo t = α β con α, β Z e razionalizzando l espressione avremmo (infinite) soluzioni razionali (e quindi anche intere) non nulle dell equazione di Fermat. Le curve di Fermat x d + y d = 1 sono non singolari e irrazionali per ogni d 3. La curva di Fermat x 2 + y 2 = 1 è razionale.

24 Ipersuperfici razionali X = V (f ) C n di equazione f (x 1, x 2,..., x n ) = 0 si dice IPERSUPERFICIE RAZIONALE se esistono p 1 (t 1,..., t n 1 ),..., p n (t 1,..., t n 1 ), q(t 1,..., t n 1 ) polinomi nelle variabili t 1,..., t n 1 tali che f ( p 1(t) q(t),..., p n(t) q(t) ) 0 t = (t 1,..., t n 1 ) e di modo che le quasi tutte le soluzioni siano espresse come V (f ) P = ( p 1(t) q(t),..., p n(t) q(t) ) per un unico valore dei parametri t = (t 1,..., t n 1 ).

25 Ipotesi di non singolarità, anche all infinito Curve di equazione: y = x d, d 1 P = (t, t n ) sono tutte le soluzioni curve razionali di grado arbitrario d 1. singolari all infinito. y = x d z d 1 y = x d z d 1 = x d Curve di equazione: z d 1 = x d, n 1

26 Risultati generali sulla irrazionalità Se X = V (f ) C n ha grado 1 oppure 2, allora X è RAZIONALE Proposizione SE X = V (f ) C n è non singolare anche all infinito e SE d = deg(f ) = deg(x ) n + 1, allora X è IRRAZIONALE. Teorema (De Fernex, 2013) SE X = V (f ) C n è non singolare anche all infinito, SE n 4 e SE d = deg(f ) = deg(x ) = n, allora X è IRRAZIONALE. Teorema (Schreieder 2018) SE X = V (f ) C 5 è non singolare anche all infinito è MOLTO GENERALE e SE d = deg(f ) = deg(x ) 4, allora X è IRRAZIONALE.

27 Razionalità versus irrazionalità di ipersuperfici cubiche Il primo caso interessante ancora non noto è quello delle ipersuperfici cubiche per n = 5. Infatti per d = 3 abbiamo: n = 2: OGNI curva cubica non singolare anche all infinito è IRRAZIONALE. n = 3: OGNI superficie cubica non singolare anche all infinito è RAZIONALE. n = 4: OGNI ipersuperficie cubica non singolare anche all infinito è IRRAZIONALE (Clemens-Griffiths, 1972). Si congettura che per n = 5 un ipersuperficie cubica non singolare anche all infinito MOLTO GENERALE sia IRRAZIONALE.

28 Congettura Hassett-Kuznetsov Cosa significa MOLTO GENERALE: Congettura di Hassett-Kuznetsov, Nell aperto C di P 55 che parametrizza le cubiche di C 5 non singolari anche all infinito, ci sono infiniti luoghi espliciti chiusi C m C che corrispondono alle cubiche RAZIONALI e che dipendono da numeri interi m > 6 AMMISSIBILI. I numeri interi m > 6 AMMISSIBILI=NON sono divisibili per 4, per 9 e per ogni primo p = 2 + 3r dispari. Quindi m = 14, 26, 38, 42,... Il caso m = 14 era stato finora considerato l unica evidenza per la Congettura e fu dimostrato da Gino FANO nel Professor Hassett (minuto 43) Duke Mathematical Journal

29 Problemi aperti e risultati noti sulle ipersuperfici algebriche di grado basso

30 Problemi aperti e risultati noti sulle ipersuperfici cubiche di C 5

31 Problemi aperti e risultati noti sulle ipersuperfici cubiche di C 5

32 Ricerca di parametrizzazioni esplicite Professor Hassett (minuto 46 circa)