da a a = ʹ = ; ah a(t) a(t) R c (t) T = 2.73 (1±10 5 ) t f ln(a f ) t dec t i ln(a i )

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1 t f dt ʹ = a( t ʹ ) t i T = 2.73 (1±10 5 ) t f t i da a a = ln(a f ) d ln a ; ah ln(a i ) L universo ha un eta finita. I segnali luminosi hanno percorso distanze finite. In un modello di Friedmann la luce non ha percorso distanze sufficientemente grandi da poter rendere conto del fatto che regioni causalmente sconnesse all epoca della ricombinazione hanno temperature simili. L orizzonte comovente all epoca del disaccoppiamento e molto minore della distanza comovente percorsa da un fotone tra l epoca della ricombinazione e quella attuale t dec t dt o dt << t i R c (t) a(t) t dec a(t)

2 Il valore sperimentale del parametro di densita all epoca attuale e vicino ad 1. Nei modelli di Friedmann cio pone FORTI vincoli sul valore iniziale di Ω. a a 2 = 8π 3 Gρ K a Ω 1 = K 2 a 2 H = K 2 a 2 Se l espansione e decelerata allora Ω-1 dovrebbe crescere nel tempo (se non e 0) a 2 H 2 t 1 Ω 1 1 t a 2 H 2 t 2 / 3 Ω 1 1 t 2 / 3 universo di materia universo di radiazione Se all epoca attuale Ω-1 e circa 0 e assumiamo un universo di radiazione Ω al disaccoppiamento (t ~ sec.) Ω all'equivalenza (t ~ sec.) Ω alla transizione EW (t ~ sec.) Ω al tempo di Planck (t ~ sec.)

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4 La soluzione inflazionaria ai problemi della piattezza e dell orizzonte e quella di ipotizzare che l Universo primordiale abbia attraversato (almeno) un BREVE periodo di espansione accelerata. Prima di questo periodo (detto Epoca Inflazionaria) e dopo di esso l espansione dell Universo e avvenuta in modo decelerato, come negli usuali modelli di Friedmann dominati da fluidi con parametro di Zel dovich w>-1/3, fatta salva la recente fase di espansione accelerata indotta, forse, dalla costante cosmologica. L ipotesi inflazionaria richiede quindi che: ( ) 1 a > 0 d ah dt < 0 p < ρ 3 ω < 1 3 Durante il periodo inflazionario, l universo espande in modo accelerato, la pressione del fluido dominante e negativa e la lunghezza di Hubble comovente R c =c/(ah) DECRESCE nel tempo. Il tipo di evoluzione a(t) dipende dal valore di ω. Se ω=-1 si ha il caso e analogo a quello di un universo di de Sitter dominato da una costante cosmologica, ovvero una espansione di tipo esponenziale.

5 L esistenza di un periodo di espansione acelerata risolve il problema dell orizzonte poiche garantisce che l orizzonte comovente all epoca del disacoppiamento sia molto maggiore di quella percorsa da un fotone tra quell epoca ed oggi. t dec dt >> a(t) 0 t 0 t dec dt a(t) In alternativa possiamo dire che, durante l epoca inflazionaria, il raggio di Hubble comovente r H dimunuisce. Ne segue che due punti a distanza comovente l che sono precedentemente entrati in contatto causale, durante l inflazione smettono di esserlo (ma NON escono dall orizzonte delle particelle!). A inflazione conclusa, quando l universo torna ad espandere in maniera decelarata i due punti possono rientrare in contatto causale.

6 L esistenza di un periodo di espansione accelerata risolve anche il problema della piattezza poiche un periodo di espansione accelerata implica che il prodotto ah cresca col tempo. Ovvero durante l epoca inflazionaria Ω tende all unita. Ω 1 = K a 2 H 2 INFLAZIONE d Ω 1 dt = d dt K a 2 H 2 = 2 K a 2 d a dt < 0 a > 0 d(h 1 /a) dt < 0 p < ρ 3

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8 Ovviamente il problema della piattezza e risolto in modo tanto piu efficace quanto maggiore e il grado di piattezza raggiunto durante l epoca inflazionaria. Come abbiamo visto, in un universo alla Friedmann il grado di piattezza richiesto nelle condizioni iniziali (diciamo all epoca di Planck) e molto grande. Si richiede quindi che un simile grado di piattezza sia ottenuto dall inflazione. Assumendo per semplicita ω=-1 e sapendo che in questo caso H e costante abbiamo che Ω-1 decresce come a 2. La condizione che si richiede per avere una inflazione efficace nel risolvere il paradosso della piattezza e quindi la seguente: Ω 1 a 2 Ω 1 fine <<10 60 a 2 f 2 a >>1060 a f >>10 30 a i i Questo numero di MINIMO di e-folding e altresi quello minimo necesario a risolvere il problema dell orizzonte. Un tale aumento del fattore di scala risolve ANCHE il problema dell orizzonte cosmologico.

9 Sia Φ il valore di aspettazione di un campo scalare con Lagrangiana L Φ = 1 Φ 2 2 V(Φ,T) A tale campo sono associate una densita di energia ed una pressione Φ 2 + V (Φ,T), p Φ = 1 2 Φ 2 V (Φ,T) ρ Φ = 1 2 In generale questo fluido non e descritto da una equazione di stato ρ(p). Lo e se il termine cinetico e trascurabile rispetto a quello potenziale (o viceversa). Quando l universo e dominato da un campo φ (ρφ), l evoluzione del sistema e regolata dalle seguenti equazioni : 8π a 2 + Kc 2 = a 2 3 Gρ a = 4π 3 G ρ + 3 p a c 2 a ρ + 3 a ρ + p = 0 c 2 H 2 = 8πG V (Φ) + 1 Φ a = 8πG V (Φ) 1 Φ a Φ + 3HΦ = V Φ V ʹ I Eq. Friedmann. II Eq. Friedmann. Adiabaticita'.

10 Condizione per avere inflazione: a > 0 p < ρ 3 Φ 2 < V (Φ,T) Inoltre V deve avere un minimo in cui l inflazione termina V Φ = 0 a f In questo caso le equazioni precedenti si semplificano. H 2 = 8πG [ V (Φ)] I Eq. Friedmann. 3 a = 8πG [ V (Φ)]a II Eq. Friedmann. 3 Φ + 3HΦ = V Φ V ʹ Adiabaticita' Per risolverle facciamo l ulteriore approssimazione di slowroll, ovvero la presenza di un minimo piatto che consenta una lenta evoluzione di Φ(t): Φ = 0

11 La condizione di lenta evoluzione semplifica ulteriormente le equazioni H 2 8πG V I equazione di Friedmann 3 3H φ V ʹ Adiabaticitita' Definendo i parametri di slow roll come: ε = 1 16πG V ʹ V 2, η = 1 16πG V ʹ ʹ V Le condizioni ε<<1, η <<1 (minimo piatto) sono necessarie (ma non sufficienti) per avere slow-roll

12 Manipoliamo ora la condizione di accelerazione positiva: a a = H H + H 2 > 0 H < πG V ʹ V Dove nell ultimo passaggio si e utilizzata la condizione di slow-roll. 2 ε <1 Ne consegue che Slow-Roll! Inflazione L inverso non e sempre valido anche se, in pratica: Inflazione! ε<1 Inflazione Prolungata! η<1 Quando φ si avvicina al minimo, comincia ad oscillare e la densita di energia del campo viene convertita in materia convenzionale (le particelle acquistano massa). Questo e il fenomeno del Reheating

13 Durante l inflazione: N = ln a f a i t Φ = f e Hdt 8πG Vʹ dφ > 70 V t i Φ i L inflazione estende su scala cosmologica le fluttuazioni quantistiche, creando cosi i presupposti per la crescita delle strutture cosmiche.

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15 Inizio: ~300 MeV Fine: ~130 MeV Fotoni, leptoni + neutrini, barioni (n+p) Pioni annichilano/decadono Fotoni, Leptoni, Gluoni, Antileptoni, quarks, antiquarks Il rapponto numero neutroni/protoni all equilibrio e dato da ([µn-µ p ]/T 0) : n p(n) m p(n )T 2π n n m n n p m p 3 / 2 3 / 2 exp m p(n ) µ p(n) T exp m m n p T Pioni (dominanti), protoni, antiprotoni, neutroni, antineutroni, fotoni leptoni carichi e loro neutrini Confinamento Quarks n p + e + ν ν + n p + e e + + n p + ν µ n + µ ν = µ e + µ p Per T>>Tpn=mn-mp=1.3 MeV il numero di neutroni e sostanzialmente identico a quello dei protoni.

16 Inizio: ~130 MeV Fine: ~0.5 MeV Fotoni, leptoni, barioni, neutrini disaccoppiati Fotoni, leptoni (e,µ), neutrini, barioni (n,p) Annichilazione e + e - I muoni si annichinano I neutrini si disaccoppiano Decadimento Pioni Nel corso dell era Leptonica il peso statistico effettivo cambia: Inizio : g ˆ = (elettroni, muoni, neutrini e fotoni) = = /8 + N ν 2 2 7/ Fine : g ˆ = ( fotoni) = 2 All inizio dell era tutte le componenti hanno τcoll<<τh e sono quindi in equilibrio. Quasi subito i muoni si annichilano. Mentre l annichilazione delle coppie elettrone-positrone segna la fine dell era Leptonica

17 Durante l evoluzione dell universo si assume che l entropia sia conservata per le componenti in equilibrio termodinamico. All entropia in un volume V contribuiscono essenzialmente solo le componenti relativistiche (ρ + p)v S = = 4 ρv T 3 T = 4 g 3 ˆ σt 3 V 2 Se si verifica un annichilazione di coppie al tempo t allora il pero statistico cambia: 3 V 2σT S ( ) = g ˆ ( ) ( ) 3 2σT = g ˆ (+) (+) 3 Dove (+) e (-) indicano tempi posteriori (anteriori) all epoca dell annichilazione. Dal momento che le coppie particella-antiparticella, annichilando, escono dal 1/ 3 bilancio termico: g ˆ ( ) > ˆ g (+) T (+) = T ( ) Ovvero il fluido di particelle accoppiate si riscalda. L andamento di T per t>tplanck e descritto dalla legge: T = T P a(t P ) a(t) 3 V ˆ g ( ) ˆ g (+) g ˆ (T P ) g ˆ (T) = S (+) 1/ 3 > T ( )

18 Prima dell annichilazione dei µ a T~130 MeV i neutrini sono in equilibrio grazie a reazioni di scattering del tipo: ν e + µ ν µ + e,ν µ + µ + ν e + e +,... I cui tempi scala sono dettati dalla sezione d urto σ WK, delle interazioni deboli. τ H = ȧ a 2t πGρ n L 0.1g L k B T!c I valori di τh e di τcoll sono uguali alla temperatura Quando T diventa inferiore a Tνd i neutrini si disaccoppiano. In quest epoca le coppie muone-anti muone sono gia annichilate, mentre le coppie elettronepositrone annichilano piu tardi quando 1/ 2, τ coll 3, ρ g ˆ σt n L σ WK c T νd = K T e + e = K (= 511 KeV )

19 Quando si disaccoppiano i neutrini hanno la stessa temperatura delle altre specie in equilibrio termodinamico. A quel punto i neutrini relativistici espandono adiabaticamente con legge: T ν = T dν a dν /a La stessa legge e seguita dal gas di fotoni, elettroni e positroni fino all epoca dell annichilazione elettroni-positroni. Quando çio avviene il peso statistico effettivo cambia (da 2+2x2x7/8=11/2 a 2) e la temperatura dei fotoni aumenta, dovendo l entropia rimanere costante: T γ = 11 1/ 3 T 4 ( ) 1.4T ( ) 1.4T ν Dopo di che il gas di fotoni/barioni espande adiabaticamente: T γ = T e + e a e + e /a Ovvero i fotoni hanno una temperatura 1.4 volte superiore a quella dei neutrini. n 0ν = N ν 2 g ν 3ζ(3) 4π 2 ρ 0ν = N ν 2 g ν 7 8 T 0ν = / 3 k B T 0ν!c T 0γ 1.9 K 3 N ν 108 cm -3, n 0γ 3.7N ν 1 n 0ν σt 4 2c 2 N ν gcm -3, ρ 0γ 4.8N ν 1 ρ 0ν