1 1 2 Il complemento algebrico dell'elemento a 3 2 = 0 è C 2,3 = ( 1) = 1. a j i C i,j. Valutiamo i complementi algebrici C 3,2, C 3,3 :

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1 Esercizi di Geometria 1 1. Si calcoli il determinante della seguente matrice, utilizzando il metodo di Laplace: B = Richiamo Sia A = (a j i ) i,j {1...n} matrice in M n (C). Allora, per ogni i, j {1... n}, si denisce complemento algebrico dell'elemento a j i il determinante della sottomatrice che si ottiene eliminando i-sima riga e j-sima colonna, moltiplicato per ( 1) i+j. Esempio Sia A = Il complemento algebrico dell'elemento a 3 2 = 0 è C 2,3 = ( 1) = 1. ( ) a b Supponiamo A M 2 (C); quindi A è del tipo A =. c d Allora risulta det(a) = a d b c. Se la matrice A è di ordine n 3 è possibile calcolare il determinante della matrice A utilizzando lo sviluppo di Laplace: si procede scegliendo arbitrariamente una riga, la i-sima (oppure una colonna), quella contenente più zeri; allora risulta det(a) = j=1 a j i C i,j dove C i,j denota il complemento algebrco dell'elemento a j i. Per calcolare lo sviluppo di Laplace della matrice B scegliamo la terza riga poichè è quella contente il maggior numero di zero. Allora det(b) = 0 C 3,1 4 C 3,2 + 1 C 3,3 = 4 C 3,2 + 1 C 3,3. Valutiamo i complementi algebrici C 3,2, C 3,3 : C 3,2 = ( 1) = 1; C 3,3 = ( 1) = 3 Otteniamo quindi det(b) = = 7. 1

2 2. Considerato lo spazio vettoriale complesso C 3, si verichi che i vettori v 1 = (1, 0, i), v 2 = (i, 0, 1), v 3 = (1, i, 0) sono linearmente indipendenti. Sia 1 i 1 B = 0 0 i i 1 0 la matrice avente come colonne i vettori v 1, v 2, v 3. Vericare che i tre vettori sono linearmente indipendenti equivale a vericare che il rango della matrice A è massimo, cioè uguale a tre. Richiamo Il rango di una matrice A M m n (C) è si denota con rg(a) ed è l'ordine massimo di minore non nullo, dove per minore di ordine di j si intende una sottomatrice quadrata di A di ordine j. Consideriamo ad esempio la matrice A = Per valutare il rango della matrice procediamo nel seguente modo: - Consideriamo un minore M 1 non nullo della matrice; nel nostro caso consideriamo M 1 = det(a 1 1) = 1. Essendo M 1 0 risulta rg(a) 1; - Cerchiamo, se esiste, un minore di ordine 2 contenente M 1. Prendiamo ad esempio M 2 = = 4 0. Essendo M 2 0 risulta rg(a) 2; - si noti che non è possibile considerare una sottomatrice quadrata di A di ordine 3 contenente M 2 ed avente determinante non nullo. Ciò ci porta a concludere che rg(a) = 2. Calcoliamo il determinante della nostra matrice utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima seconda riga: detb = i ( 1) i i 1 = 2i detb 0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti. 2

3 Sia V = {(x, y, z) R 3 x z = 0} Si verichi che V è un sottospazio vettoriale di R 3 Si trovi una base per V Si dimostri che R 3 = V U dove U = (1, 1, 0). Determinare un supplementare di U diverso da V. Utilizziamo la seguente caratterizzazione: Proposition 0.1. Sia V spazio vettoriale reale e W V, W. Allora W è sottospazio vettoriale di V se e solo se a w 1 + b w 2 W per ogni a, b R e per ogni w 1, w 2 W. Siano a, b R e w 1 = (x 1, y 1, z 1 ), w 2 = (x 2, y 2.z 2 ) V. Allora otteniamo e risulta aw 1 + bw 2 = (ax 1 + bx 2, ay 1 + by 2, az 1 + bz 2 ) ax 1 + bx 2 (az 1 + bz 2 ) = a(x 1 z 1 ) + b(x 2 z 2 ) = 0. Quindi aw 1 + bw 2 V. Troviamo un sistema di generatori per V : V = {(x, y, z) R 3 x z = 0} = {(x, y, x) x, y R} = {x (1, 0, 1) + y (0, 1, 0) x, y R}. Siano v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 0). Quindi risulta V = v 1, v 2. I vettori v 1 e v 2 sono linearmente indipendenti, infatti la matrice , contenente i vettori v1 e v 2, ha rango massimo essendo = 1 0. Quindi una base per V è B 1 = {v 1, v 2 }. Dobbiamo vericare le seguenti due proprietá: - U V = {0}; - U + V = R 3. - Sia u U ; allora esiste a R tale che u = (a, a, 0). Allora u V se e solo se a = 0. Segue che l'intersezione è ridotta al solo 0. - Vericare la seconda proprietà equivale a dimostrare che B = {B 1 (1, 1, 0)} è un sistema di generatori, e quindi una base per R 3. 3

4 Siano Sia v 3 = (1, 1, 0). Proviamo che i vettori v 1, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti: risulta = 1 ( 1) = 1 0. Quindi i vettori di B sono tre vettori linearmente indipendenti di R 3 e quindi B risulta essere una sua base. Per trovare un supplementare di U completiamo la base B 2 = {v 3 } ad una base B di R 3. Utilizziamo la base canonica, B c = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. Risulta v 3 = e 1 + e 2, e dunque B = {v 3, e 2, e 3 } è ancora una base per R 3. Un supplementare di U è dato da W = e 2, e 3. Si noti che W V infatti e 3 / V. U = {(x, y, z, t) R 4 x + z = 0, y = 0} V = (0, 2, 1, 0), (1, 2, 0, 3) (1, 4, 1, 3). Si determini dimensione e una base per ognuno dei seguenti sottospazi U, V, U V, U + V. - Costruiamo un sistema di generatori per U U = {(x, y, z, t) R 4 x + z = 0, y = 0} = {(x, 0, z, x) x, z R} = {x(1, 0, 0, 1) + z(0, 0, 1, 0) x, z R} Quindi u 1 = (1, 0, 0, 1) e u 2 = (0, 0, 1, 0) costituiscono un sistema di generatori per U. Essi ( sono linearmente ) indipendenti, infatti il rango della matrice è massimo essendo = 1 0 Quindi U ha dimensione due e base B U = {u 1, u 2 } Valutiamo il rango della matrice B = , contenente i generatori di V. M 1 = a 1 2 = 1; (1) M 2 = = 2 0 (2) 4

5 Si noti che = = 0. Quindi il sottospazio vettoriale V ha dimensione due. Due vettori linearmente indipendenti sono quelli che individuano il minore M 2, ossia v 1 = (1, 2, 0, 3) e v 2 = (1, 4, 1, 3). Quindi una base per V è B V = {v 1, v 2 }. - Sia v V ; allora esistono a, b R tale che v = av 1 + bv 2 = (a + b, 2a + 4b, b, 3a + 3b). Risulta che v U se e solo se { a + 2b = 0 2a + 4b = 0 e quindi a = 2b. Da ció otteniamo U V = {b( 1, 0, 1, 3) b R} = ( 1, 0, 1, 3). Quindi U V ha dimensione 1 e una sua base è B U V = {( 1, 0, 1, 3)}. Per determinare la dimensione sfruttiamo la seguente formula di Grassmann dim(u + V ) = dimu + dimv dim(u V ). Da tale formula otteniamo dim(u + V ) = = 3. Una base è costituita dai vettori linearmente indipendenti di B U B V = {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 3), (1, 4, 1, 3)}. Consideriamo la matrice e individuiamo un minore di ordine 3: risulta M 3 = = 2. Quindi una base per U + V è B U+V = {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 3)}. 5