DISPENSA DI GEOMETRIA

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1 Il software di geometria dinamica Geogebra GeoGebra è un programma matematico che comprende geometria, algebra e analisi. È sviluppato da Markus Hohenwarter presso la Florida Atlantic University per la didattica della matematica nella scuola. Da un lato, GeoGebra è un sistema di geometria dinamica: è possibile eseguire costruzioni contenenti, vettori, segmenti, rette, coniche e funzioni e successivamente modificarle dinamicamente. Dall'altro, equazioni e coordinate possono essere inserite direttamente. Quindi, GeoGebra può gestire contemporaneamente variabili numeriche, vettori e, calcolare derivate e integrali di funzioni e dispone di comandi come Radice o Estremo. Questi due di vista sono caratteristici di GeoGebra: un'espressione nella finestra algebra corrisponde a un oggetto nella finestra geometria e viceversa. E' un software open-source rilasciato sotto licenza GNU GPL (General Public Licence); ossia il software può essere scaricato e usato gratuitamente; può anche essere copiato e distribuito liberamente, purché non a scopo di lucro. Si può scaricare dal sito del progetto Per scaricare Geogebra Accedere al sito: cliccare sulla voce Download, nella pagina che segue cliccare sulla voce Download di Geogebra, nella pagina seguente scegliere la piattaforma che si sta usando (Windows, Mac, Linux ) è possibile utilizzare Geogebra portatile. L'interfaccia utente di GeoGebra L'interfaccia utente di GeoGebra consiste in una finestra grafica e una finestra algebra. Da un lato è possibile operare con il mouse, selezionando gli strumenti geometrici in dotazione per creare costruzioni geometriche sul foglio da disegno della finestra grafica. Dall'altro è possibile digitare direttamente comandi e funzioni nel campo di inserimento, utilizzando la tastiera. La rappresentazione grafica di tutti gli oggetti viene visualizzata nella finestra grafica, mentre la rappresentazione algebrica di tali oggetti viene visualizzata nella finestra algebra. (Figura 1) L'interfaccia utente di GeoGebra è flessibile e può essere adattata alle necessità dei vostri studenti. Dalla voce del menù VISUALIZZA è possibile nascondere o rendere visibile la griglia, ovvero la quadrettatura del foglio, e gli assi cartesiani; è possibile ridimensionare lo spazio della finestra grafica e di quella dell algebra semplicemente trascinando la barra verticale.

2 Figura 1 Trascinando questa barra verticale si modifica lo spazio dedicato all area del disegno o dell algebra Utilizzo di base degli strumenti 1. Per attivare uno strumento fare clic sul pulsante contrassegnato dall'icona corrispondente. 2. Per aprire una casella degli strumenti fare clic sul lato inferiore di un pulsante, quindi selezionare uno strumento della casella degli strumenti. Suggerimento: Non è necessario aprire una casella degli strumenti ogni volta che si deve selezionare uno strumento. Se l'icona dello strumento desiderato è già visualizzata sul pulsante, questo può essere attivato direttamente. Suggerimento: Le caselle degli strumenti contengono strumenti simili o strumenti che generano lo stesso tipo di nuovo oggetto. 3. Controllare la guida rapida visualizzata sulla barra degli strumenti in modo da verificare lo strumento attivo e le relative modalità di utilizzo. Usando gli strumenti da disegno posti nella Barra dei Comandi si possono eseguire costruzioni con il mouse nel Foglio da Disegno. Contemporaneamente nella Finestra Algebra compaiono coordinate ed equazioni degli oggetti disegnati. Si può usare la Barra Inserimento per immettere coordinate, equazioni e funzioni che compariranno immediatamente sul Foglio da Disegno e nella Finestra Algebra dopo aver premuto il tasto Invio.

3 Descrizione della barra degli strumenti Icona Strumento Funzione Muovi Ruota intorno ad un punto Nuovo punto DISPENSA DI GEOMETRIA Permette di spostare un oggetto libero con il mouse, cliccando su di esso e trascinandolo. Premendo il tasto Canc si cancella l oggetto selezionato. Tenendo premuto Ctrl si selezionano più oggetti che possono così essere gestiti assieme. Scelto un punto come centro di rotazione, si possono ruotare gli oggetti liberi attorno a questo punto, cliccando prima sul centro di rotazione e poi trascinando il punto. Cliccando sul foglio da disegno, su un segmento, retta o conica, si crea un nuovo punto. Intersezione di due oggetti Punto medio o centro Segmento tra due Retta per due Segmento di data lunghezza da un punto Semiretta per due Vettore tra due Vettore da un punto Poligono Retta perpendicolare Retta parallela Asse di un segmento Bisettrice di un angolo Rette tangenti Polare o diametro Circonferenza di dato centro Per trovare l intersezione di due oggetti si può cliccare successivamente su ciascun oggetto, oppure direttamente nel punto di intersezione. Permette di trovare il punto medio tra due cliccando su ciascuno di essi; di un segmento cliccando sul segmento, o il centro di una conica cliccando sulla conica. Permette di tracciare il segmento che unisce due cliccando prima su uno poi sull altro, oppure di tracciare direttamente un segmento, cliccando su un estremo, spostandosi fino al secondo e cliccando di nuovo. Cliccare per fissare il primo punto, poi spostarsi e cliccare di nuovo per ottenere la retta. Cliccare per fissare il primo punto, poi nella finestra che si apre digitare il valore della sua lunghezza e cliccare sul pulsante Applica. Cliccare per fissare il primo punto poi spostarsi e cliccare di nuovo per ottenere la semiretta Cliccare sul primo punto, poi spo-starsi sul secondo e cliccare di nuovo. Prendere un punto A ed un vetto-re tra due B e C. Dopo aver preso lo strumento vettore da un punto, cliccare sul punto A e sul vettore BC. Si ottiene il vettore AD avente stesso modulo, direzione e verso di BC Si ottiene un poligono del numero di lati voluto (se si parte dal punto A alla fine cliccare di nuovo su A). Dati un punto ed una retta, clic-care sul punto e sulla retta per ot-tenere la perpendicolare Dati un punto ed una retta, clic-care sul punto e sulla retta per ot-tenere la parallela. Dato un segmento, cliccare sullo stesso per ottenere il suo asse (perpendicolare passante per il punto medio). Cliccando sui tre che for-mano un angolo (quello centrale è il vertice) si ottiene la bisettrice. Cliccando sulle due semirette che formano un angolo si ottengono le due bisettrici (angolo interno ed esterno). Cliccando su un punto A e poi sulla conica c si formano tutte le tangenti alla conica c passanti per A. Il punto A può anche apparte-nere alla conica. Cliccando su una retta r ed una conica c, si generano tutte le tan-genti alla c parallele alla retta r. Cliccando su un punto A e su una conica c per ottenere la polare. Cliccando su una retta o su un vettore e poi sulla conica si ottiene la retta passante per il centro. Cliccare su un punto per definire il centro, spostarsi e cliccare di nuovo fino alla grandezza desiderata.

4 Circonferenza dato centro e raggio Circonferenza per tre Semicirconferenza per due Arco di circonferenza di dato centro e per due Arco circumpolare per tre Settore circolare di dato centro per due Settore circumpolare per tre Conica per 5 Angolo Angolo di data misura Distanza Slider Luogo Simmetrico rispetto a un punto Simmetrico rispetto ad una retta Ruota intorno ad un punto di un angolo. Trasla di un vettore Dilata oggetto da un punto di un fattore k Testo Cliccare su un punto per definire il centro e nella finestra che si apre digitare il valore del raggio. Cliccare successivamente sui tre dati, se sono allineati si ottiene una retta. Cliccare sul primo punto, poi sul secondo. Dati tre A, B e C, cliccare in A, centro dell arco, poi in B e infine in C (C non deve necessariamente giacere sull arco) Cliccare successivamente sui tre dati Dati tre A, B e C, cliccare in A, centro del settore, poi in B e infine in C (C non deve necessariamente giacere sull arco). Dati tre A, B e C, cliccare su ciascuno in successione Cliccare successivamente su 5. La conica è definita se almeno 4 non sono allineati. Fornisce l angolo tra tre (cliccare in senso orario per avere l angolo interno). L angolo tra due segmenti o tra due rette (senso antiorario) e gli angoli interni di un poligono (senso orario ). Dopo aver cliccato su due si apre una finestra nella quale si inserisce il valore dell angolo (compare 45 ). Scegliendo Clo ckwise l angolo viene disegnato in senso orario, con Counter Clockwise in senso antiorario Fornisce la distanza tra due (cliccando su di essi il valore compare nella Finestra Algebra) oppure tra un punto ed una retta o tra due rette. Uno slider è una rappresentazione grafica di un numero o di un angolo e si può creare facilmente cliccando sull oggetto col tasto destro e scegliendo Mostra oggetto. Nella finestra dello slider si può specificare l intervallo o l incremento. Dopo aver cliccato sul punto A il cui luogo deve essere disegnato, cliccare sul punto B da cui A dipende. B deve essere un punto su un oggetto (segmento, conica...) Cliccare sul punto A che deve subire la simmetria e poi su B centro della simmetria stessa Cliccare sul punto A che deve subi-re la simmetria e poi sulla retta Cliccare sul punto A che deve esse-re ruotato e poi sul punto B, centro della rotazione. Nella finestra che si apre scegliere l angolo ed il verso della rotazione. Dopo aver realizzato un vettore tra due A e B, scegliere questo strumento, cliccare prima sull og-getto da traslare e poi sul vettore traslazione Disegnare un poligono e prendere un punto interno od esterno. Scegliere questo strumento e cliccare prima sul poligono, poi sul punto, centro di dilatazione, e nella finestra che si apre inserire il valore numerico del fattore di dilatazione. Si può scrivere semplicemente del testo nella finestra che si apre, oppure eseguire dei calcoli come per esempio l area di un poligono: L area del poligono è= +P (testo dinamico)

5 Inserisci immagine Relazione tra due oggetti Muovi il foglio da disegno Zoom avanti Inserisce il vertice inferiore sinistro dell immagine nel punto del foglio da disegno dove si clicca. Fornisce la relazione esistente tra due oggetti. Se ad esempio sono state disegnate 2 rette parallele, cliccando con questo strumento su ciascuna di esse, compare una finestra con la scritta retta a e retta b: parallela Permette di spostare il foglio da disegno, cliccando e trascinandolo dove voluto Permette di ingrandire la visualizzazione di un oggetto Zoom indietro Mostra/nascondi oggetti Mostra/ nascondi etichetta Copia stile visuale Cancello oggetto Permette di ridurre la visualizzazione di un oggetto Permette di nascondere o mostrare un oggetto precedentemente nascosto. Una volta cliccato con questo strumento sull oggetto da nascondere si deve cliccare sul comando Muovi Permette di nascondere l etichetta associata a un punto, agli estremi di un segmento. Cliccando di nuovo con tale strumento su una etichetta nascosta, ricompare. Permette di copiare le caratteristiche visuali di un oggetto per riportarle su un altro oggetto Cancella gli oggetti sui quali si clicca una volta scelto questo strumento Tanto per prendere confidenza con questo ambiente di lavoro si possono proporre queste semplici schede.

6 Schede di lavoro : conoscere l ambiente di lavoro Obiettivi Operare le prime semplici istruzioni con il software Geogebra, familiarizzare con la finestra grafica e quella dell algebra, comprendere la differenza tra oggetti liberi e oggetti indipendenti, cominciare ad apprezzare la funzione di trascinamento muovi. Strumenti necessari muovi Nuovo punto Punto medio o centro Seguire le istruzioni passo dopo passo Segmento tra due 1. Disegnare due A e B attraverso la funzione a. cosa appare nella finestra algebra?.. b. In quale sezione compaiono le informazioni? Tracciare il segmento AB utilizzando la funzione a. Cosa si è aggiunto nella finestra algebra?... b. In quale sezione è comparsa la nuova informazione?... Osservazioni: 3. Individuare un punto sul segmento AB con la funzione. a. Di che colore è il punto C?... b. In quale sezione della finestra algebra appaiono le coordinate del punto C? c. Utilizzando la funzione muovi prova a spostare il punto A o il punto B. In quante direzioni puoi farlo?. d. Utilizzando ancora la funzione prova a spostare il punto C. Cosa osservi? Quali conclusioni puoi trarre? Individua il punto medio del segmento AB utilizzando la funzione e prova a muoverlo attraverso la funzione. Cosa osservi? Sai darne una spiegazione? Prova ora a muovere nuovamente un estremo del segmento AB, cosa osservi?......

7 Obiettivi Utilizzare la casella di input del comando, introdurre il concetto di parametro, definire un segmento di lunghezza dipendente dal parametro. Disegnare una retta passante per due e individuare su tale retta un segmento di specifica lunghezza. Strumenti necessari Muovi Nuovo punto Segmento di data lunghezza da un punto Segmento tra due Retta per due Circonferenza di dato centro e raggio Intersezione tra oggetti Seguire le istruzioni passo dopo passo 1. Disegnare un punto A attraverso la funzione 2. Nella campo d inserimento in basso inserire la seguente istruzione k = 1. In questo modo avete introdotto un nuovo oggetto che ha il valore pari a 1. a. In quale sezione della finestre dell algebra compare k? Cliccare sul cerchietto bianco, nella finestra algebra, accanto al parametro k, in modo che diventi azzurro. Sull area grafica compare un segmento come in figura e muovendo il punto nero puoi far variare il valore del parametro k dal -5 a +5. È possibile modificare il range di variabilità di k visualizzando la finetra della proprietà dell oggetto k. Selezionare l oggetto k e premere il tasto destro del mouse, apparirà il menù contestuale riportato qui a destra dove è possibile scegliere una serie di opzione tra le quali: mostra oggetto, rinomina, elimina e proprietà. Selezionando proprietà si visualizza la finestra riportata qui a sinistra fornita di cinque schede per impostare le proprietà grafiche dell oggetto. In

8 particolare nella scheda Slider è possibile indicare il valore min e max che può essere assunto dal parametro k. Prova ad esplorare le schede fondamentali, colore e stile! 4. Disegnare utilizzando la funzione un segmento che parte da A e ha lunghezza k. Selezionare l icona su indicata e cliccare sul punto A, apparirà a video la finestra di dialogo per impostare la lunghezza. Come indicato inserire la lettera k nella casella lunghezza. a. Con la funzione muovi, fai variare il valore di k. Cosa osservi? b. In quale direzione è apparso il nuovo segmento? c. Provare a muovere l estremo B con la funzione, cosa osservi? Pensando a quanto hai osservato finora e utilizzando anche le funzioni presenti nella lista degli strumenti necessari risolvere la seguente sfida. e SFIDA! Disegnare ora un punto C, diverso da B, e con la funzione la retta passante per A e C. Come potresti individuare su tale retta un segmento che parta da A e che abbia lunghezza k? Attenzione però, se modifico il valore di k, deve cambiare automaticamente anche il segmento!