Teoria delle decisioni

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1 A. A Teoria delle decisioni introduzione expected utility prof. ing. Antonio Comi Department of Enterprise Engineering Tor Vergata University of Rome

2 Teoria delle decisioni razionali Teoria delle decisioni razionali in situazioni di rischio o incertezza (con disponibilità di una misura delle probabilità sugli stati): l individuo pone a confronto le conseguenze di tutte le possibili azioni e sceglie l azione che massimizza i benefici (o minimizza i costi). Per poter individuare quale è l azione ottima abbiamo bisogno di associare ad ogni conseguenza un valore reale 2

3 Utilità attesa von Neumann e Morgenstern (1947) hanno mostrato che: nell ipotesi che il decisore rispetti gli assiomi della razionalità, è possibile specificare dei valori numerici che rappresentano i suoi valori personali in modo tale che un opzione con conseguenze probabilistiche venga preferita se, e solo se: Utilità attesa dell opzione/alternativa > utilità attesa delle altre opzioni/alternative non scelte n a a P U c P U c i k j ij j kj j 1 j 1 dove a i a k indica che per il decisore la scelta dell azione a i è più conveniente di a k (o quanto meno non peggiore) se il valore atteso (expected) delle conseguenze dell azione a i è maggiore o eguale al valore atteso delle conseguenze di a k. n 3

4 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 4

5 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 L utilità attesa è: per l alternativa A, EU A = 1000 per l alternativa B, EU B = 1250 La teoria EU indica l alternativa B come alternativa da scegliere. 5

6 Decisioni in condizione di rischio o incertezza su reti stocastiche Esempio (1/2) Dati tre percorsi A, B e C, l utente non sa con certezza quale sarà il tempo che sperimenterà utilizzando uno dei tre. I possibili valori di tempo di viaggio siano due, con assegnate probabilità di verificarsi T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,70 0,30 Percorso B probabilità 0,60 0,40 Percorso C probabilità 0,40 0,60 6

7 Esempio (2/2) d OD = 100 veicoli/ora Generico utente i E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) EU Percorso A probabilità Percorso B probabilità Percorso C probabilità EU i A = 30 * 0, * 0,3 = 33 minuti EU i B = 20 * 0, * 0,4 = 32 minuti i n i i k j 1 jk X jk EU p (E ) U ( ) i i U ( X jk ) Xhjk 1 con EU va scelta B EU i C = 25 * 0, * 0,6 = 37 minuti 7

8 Critiche all Expected Utility (1/3) Esempio 1 Alternativa A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Alternativa B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 Il criterio EU ci dà: per l alternativa A, EU A = 1000 per l alternativa B, EU B =

9 Critiche all Expected Utility (2/3) Esempio 2 Percorso A Percorso B PercorsoC Il criterio EU ci dà: per il percorso A, EU A = 33 minuti per il percorso B, EU B = 32 minuti Per il percorso C, EU B = 37 minuti 9

10 Critiche all Expected Utility (3/3) Sebbene dovrebbe essere scelta l alternativa B, esperimenti indicano che un certo numero di persone scelgono A (oppure C), dunque non vengono rispettate tutte le ipotesi della teoria dell EU. Per tener conto che ci sono dei condizionamenti che possono portare il decisore a non comportarsi in modo razionale, è stato proposto l approccio non-expected Utility (Revised Expected Utility - approccio descrittivo) 10

11 Elicitazione della funzione di utilità Costruzione di una funzione di utilità che rappresenti fedelmente lo schema di preferenze del decisore. caratteristiche e peculiarità più significative ed interessanti 11

12 Elicitazione della funzione di utilità Evidenziare la propensione del decisore nei confronti del rischio dipendenza dalle conseguenze e dal livello degli importi di riferimento 12

13 Propensione o avversione al rischio Definizione dell atteggiamento del decisore nei confronti del rischio Conseguenze, ad esempio, importi monetari 13

14 Avversione e propensione (1/3) Un decisore si dice avverso al rischio se l utilità del valore atteso della lotteria è non inferiore al valore atteso dell'utilità della lotteria (come definito dalla funzione von Neumann-Morgenstern). Una funzione di utilità U è avversa al rischio se e solo se è concava. In maniera opposta si definisce il decisore amante del rischio e la sua funzione di utilità (che è convessa). Sia data la lotteria l: < x1, p; x2, (1-p) > Il valore atteso della lotteria è x x1 p 1 p x2 14

15 Avversione e propensione (2/3) Il decisore risulta avverso al rischio se vale la relazione U x U E l U x p p x U x p p U x cioè se il decisore assegna una utilità maggiore al valore atteso alla lotteria rispetto all utilità attesa dalla lotteria stessa 15

16 Avversione e propensione (3/3) U U x p p U x x x1 p 1 p x2 16

17 Propensione o avversione al rischio L atteggiamento dei confronti del rischio è strettamente dipendente dal contesto decisionale e in cui si opera e, in particolare, dall entità delle conseguenze coinvolte nel processo stesso L andamento che generalmente si riscontra nella realtà è una propensione al rischio (più o meno spiccata in dipendenza della condizione personale del decisore) per bassi valori delle conseguenze, mentre si osserva un avversione al rischio per valori elevati 17

18 Paradosso di Allias (1/8) Allais chiese ad un campione di individui di selezionare una tra due prospettive monetarie in due diverse lotterie. L esperimento si svolge in due fasi; la prima scelta è tra un milione di euro con certezza e una distribuzione di probabilità con tre esiti: 1. 5 mil con una probabilità dello 0,10; 2. 1mil con una probabilità dello 0,89; 3. 0 zero con una probabilità dello 0,01. 18

19 Paradosso di Allias (2/8) La seconda scelta è tra una distribuzione di probabilità in cui si può avere 1 ml con una probabilità dello 0,11; 0 ml con probabilità dello 0,89; una distribuzione che dà 5 ml con una probabilità dello 0,1; 0 ml con una probabilità dello 0,9. 19

20 Paradosso di Allias (3/8) Rappresentazione delle due lotterie 0 0% 1 mil 100% 5 mil 0% Lotteria a 0 1% 1 mil 89% 5 mil 10% Lotteria b SCELTA % 1 mil 11% 5 mil 0% Lotteria c 0 90% 1 mil 0% 5 mil 10% Lotteria d SCELTA 2 20

21 Paradosso di Allias (4/8) Rappresentazione delle due lotterie I soggetti a cui sono state sottoposte tali scelte hanno preferito per la maggior parte (negli esperimenti condotti originariamente da Allais intorno al 60%) l'alternativa a) rispetto alla b) l'alternativa d) rispetto alla c). 21

22 Paradosso di Allias (5/8) Risultati delle due lotterie 0 0% 1 mil 100% 5 mil 0% Lotteria a 0 1% 1 mil 89% 5 mil 10% Lotteria b SCELTA 1 Gli individui scelgono l alternativa a) (certa) nonostante la b) (incerta) abbia un valore atteso maggiore (1 vs 1,4 mil) poiché in b) esiste l evenienza di non vincere nulla. Il fatto che la vincita di 5 mil di euro è più probabile di non ottenere niente non è sufficiente per scegliere b). 22

23 Paradosso di Allias (6/8) Risultati delle due lotterie 0 89% 1 mil 11% 5 mil 0% Lotteria c 0 90% 1 mil 0% 5 mil 10% Lotteria d SCELTA 2 Nella seconda coppia di prospettive (prospetti) l individuo, avendo una probabilità decisamente bassa di ottenere un premio, preferisce un premio più alto con una probabilità minore rispetto ad un premio più basso con una probabilità maggiore, e dà quindi più credito al premio che alle probabilità. 23

24 Paradosso di Allias (7/8) Risultati delle due lotterie Allais indicò che queste scelte non sono consistenti con la teoria dell utilità attesa di von Neumann-Morgenstern. SCELTA 1 SCELTA 2 U( d ) U( c ) U( a ) U( b ) U(1 mil) > 0,1 U(5 mil) + 0,89 U(1 mil) + 0,01 0 0,11 U(1 mil) > 0,1 U(5 mil) 0,1 U(5 mil) + 0,0 U(1 mil) + 0,9 0 0,0 U(5 mil) + 0,11 U(1 mil) + 0,89 0 0,1 U(5 mil) > 0,11 U(1 mil) 24

25 Paradosso di Allias (8/8) Risultati delle due lotterie Ma allora, per le scelte degli intervistati, dovrebbero valere entrambe le disuguaglianze, il che è assurdo. Quindi le scelte degli individui risultano incoerenti con la teoria dell utilità attesa. 25

26 Critiche all Expected utility (1/2) Esistono differenti esempi empirici che dimostrarono come le scelte degli esseri umani violano sistematicamente i principi della razionalità economica. Kahneman e Tversky (1979) posero attenzione a due importanti fenomeni psicologici: Contesto Avversione alle perdite 26

27 Critiche all Expected utility (2/2) Effetto contesto il contesto in cui l individuo si trova a operare la scelta, ha un effetto determinante sulla scelta stessa. In particolare, il modo in cui il problema viene formulato influisce sul modo in cui l individuo percepisce il punto di partenza, rispetto a cui valutare i possibili esiti delle proprie azioni. Avversione alle perdite per la maggior parte degli individui la motivazione ad evitare una perdita è superiore alla motivazione a realizzare un guadagno. Questo principio psicologico generale, che è probabilmente collegato ad una sorta di istinto di sopravvivenza, fa sì che la stessa decisione può dare origine a scelte opposte se gli esiti vengono rappresentati al soggetto come perdite piuttosto che come mancati guadagni. Ad esempio è più facile rinunciare a un possibile sconto piuttosto che accettare un aumento di prezzo, anche se la differenza tra il prezzo iniziale e quello finale è la stessa. 27