FUNZIONI DI UTILITA HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion)

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1 FUNZIONI DI UTILITA HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) Le funzioni HARA sono funzioni di utilità GLOBALMENTE AVVERSE AL RISCHIO, in cui il coefficiente di avversione al rischio dipende in modo iperbolico dalla ricchezza. c con Se, allora c decresce al crescere di (vedi Fig. ). Se, allora c cresce al crescere di (vedi Fig. 2). Se, allora c è costante (vedi Fig. 3). Una generica funzione di utilità HARA ha la seguente forma: u con, Per ricavare tale forma si usa il seguente procedimento: Si cerca una funzione di utilità tale che c u, u u ln ln u ln ln Si sceglie u, in modo che ln u ln ln. Si ottiene: ln ln u u Si sceglie u e si ottiene: u Si moltiplica per ricavando: u Esempi di funzioni che appartengono alla famiglia delle funzioni di utilità HARA sono: - L utilità quadratica - L utilità potenza - L utilità esponenziale negativa - L utilità logaritmica

2 UTILITA QUADRATICA Partendo dalla forma generale delle utilità HARA si fissa, u La costante 2 2 si può tralasciare u 2 2 Si divide per ottenendo u 2 2 UTILITA POTENZA Si fissa, u La costante si può tralasciare. Si pone, u UTILITA ESPONENZIALE NEGATIVA Si fissa, c c u c, u u c c ln ln u c Si sceglie u, in modo che ln u ln c e c e c u u c e c c Si sceglie u c Si moltiplica per c u c e c e c UTILITA LOGARITMICA Si fissa c, u

3 u ln ln u ln ln Si sceglie u, in modo che ln u ln ln ln Si sceglie u ln u u u ln ln u ln MISURE DEL RISCHIO Si pensi ad una istituzione che può investire in vari tipi di esposizioni rischiose (es. le compagnie di assicurazione subiscono il c.d. "rischio-polizze", cioè il rischio legato al verificarsi dei danni e dei conseguenti rimborsi, le banche subiscono il rischio di insolvenza dei clienti, gli agenti del mercato subiscono il rischio che il rendimento del portafoglio sia minore del rendimento del titolo certo ecc..). Definiamo: insieme delle posizioni rischiose L variabile aleatoria che rappresenta la singola posizione rischiosa. Pertanto se L si ha una perdita, se L si ha un guadagno. L istituzione (la compagnia di assicurazione, l agente, l autorità di vigilanza ecc..) dà una VALUTAZIONE DELLE ESPOSIZIONI RISCHIOSE attraverso una funzione V : monotona decrescente rispetto a L. Pertanto maggiore è la perdita L, minore sarà il valore V. Precisamente, deve valere: ProbL x ProbL 2 x x VL VL 2 ESPOSIZIONI AMMISSIBILI Sono ammissibili le esposizioni L tali che VL. Per rendere ammissibili le esposizioni in cui VL occorre aggiungere un importo certo (un capitale di garanzia) alla perdita L. Dunque m : è definita da VLmL ml è la MISURA DEL RISCHIO DELL ESPOSIZIONE L (N.B. è un numero, una somma di denaro). L operazione può essere effettuata anche se VL.In questo caso, essendo l operazione L ammissibile, ml sarà un numero negativo.

4 MISURE DEL RISCHIO COERENTI La misura di rischio m : si dice coerente se soddisfa le seguenti proprietà: ) CONSISTENZA mlk ml k Se aumento la perdita di un importo certo, dovrò aumentare della stessa somma anche il capitale di garanzia 2) MONOTONIA ProbL L 2 ml ml 2 Se quasi sicuramente la perdita L è maggiore o uguale di L 2, allora il capitale di garanzia di L dovrà essere maggiore o uguale di quello richiesto per L 2. 3) OMOGENEITA ml ml con 4) SUB-ADDITIVITA ml L 2 ml ml 2 Se diversifico i rischi (es. la banca presta denaro a due clienti anzichè ad uno solo) il capitale di garanzia richiesto sarà minore o uguale della somma dei capitali di garanzia relativi alle singole esposizioni. VAR (VALUE AT RISK) Il VaR è una misura di rischio così definita: VaR L minx/probl x F L Adottando come misura di rischio il VaR si fa sì che la probabilità che l esposizione L ecceda una certa perdita sia minore o uguale di un certo prefissato. Il più piccolo x per cui la disuguaglianza è soddisfatta è il VaR a livello di L. Graficamente il VaR L può essere individuato dal disegno di Fx ProbL x (vedi Fig. 4). Si cerca il valore sull asse delle x corrispondente a sull asse delle ordinate. Se la distribuzione di L non è continua, allora è continua a destra (quando "salta" assume il valore più alto). Se non corrisponde ad un valore di Fx si cerca il più piccolo x per cui PL x Fx, cioè Fx (vedi Fig. 5). Se L è una variabile aleatoria continua, VaR L è la funzione inversa della funzione di distribuzione di L. F L x ProbL x F L VaR L

5 COME SI COSTRUISCE IL VAR Si pensi ad un agente che investe la propria ricchezza, pari a unità, in un titolo rischioso per un periodo di tempo unitario. Il rendimento del titolo rischioso è rappresentato dalla variabile aleatoria R. Alla fine del periodo l agente otterrà R R. L agente vuole che la probabilità di perdere una certa parte del suo capitale sia inferiore ad un certo (es. %). Si definisce la valutazione VL ProbR. Se VL l investimento è ammissibile. Per avere un investimento ammissibile l agente, anzichè investire tutta la ricchezza nel titolo rischioso, ne investe una parte nel titolo rischioso e una parte nel titolo certo con rendimento r. Poniamo: X ricchezza investita nel titolo rischioso. X ricchezza investita nel titolo certo. Il portafoglio, con rendimento R, è pertanto così definito: X, X Se l agente investe la sua ricchezza nel portafoglio,al termine del periodo otterrà: R X R X r R X R X rr Si cerca il più alto X investibile nel titolo rischioso che garantisca VL ProbR maxx /ProbR maxx /ProbX R X rr max X /Prob R X r X Si definisce L R, Y X. Si cerca pertanto il più piccolo Y da investire nel titolo certo. Si definisce z Y r Y. min Y /Prob L Y r Y minz/probl z VaR L IL VAR NON E UNA MISURA DEL RISCHIO COERENTE Il VaR non è una misura di rischio coerente in quanto non soddisfa la sub-additività. CONSISTENZA Il VaR è consistente ml VaR L minx/probl x minx k/problk x k minx/probl x k VaR Lk VaR L k

6 MONOTONIA Il VaR è monotono ProbL L 2 ProbL x ProbL 2 x F x F 2 x x VaR L minx/ F x VaR L 2 minx/ F 2 x VaR L VaR L 2 (vedi Fig. 6) VIOLAZIONE DELLA SUB-ADDITIVITA Nel VaR la sub-additività può essere violata se il portafoglio è costituito da tante esposizioni con bassa probabilità di avere un alta perdita. Esempio. Si consideri una banca che concede prestiti pari a euro al tasso del 5%. La variabile aleatoria L i rappresenta la perdita associata al singolo cliente e si distribuisce come segue: L i con prob.. 5% il cliente è totalmente insolvente 2 con prob. 9. 5% il cliente è parzialmente insolvente con prob. 3% il cliente restituisce solo il capitale 5 con prob. 6% il cliente restituisce anche l interesse VaR.99 L i 2 i VaR.99 L i 2 ProbL......L 3. VaR.99 L......L 3 VaR.99 i L i i VaR.99 L i ADATTAMENTO DEL VAR PER AVERE UNA MISURA DI RISCHIO COERENTE Una misura di rischio coerente è data dall Expected Shortfall, ES L, definito come il valore atteso delle perdite che superano il VaR. ml ES L EL L VaR L

7 L Expected Shortfall è una misura di rischio coerente; il capitale di garanzia ml richiesto sarà maggiore rispetto a quello richiesto dal VaR. Partendo dalla variabile aleatoria L, con distribuzione continua, si considera la variabile aleatoria così definita: L L se L VaR L se L VaR L ES L EL FVaR L Si pone u Fx, x F u, du fxdx EL EL F udu VaR u Ldu VaR L xfxdx PRINCIPI PER IL CALCOLO DEL PREMIO ASSICURATIVO Il premio applicato da una compagnia assicurativa è una misura del rischio associato al cliente assicurato. Per calcolare i premi assicurativi la compagnia può seguire vari principi; di seguito si riportano alcuni fra i principali. ) PRINCIPIO DEL VALORE ATTESO PL EL con 2) PRINCIPIO DELLA VARIANZA PL EL VarL con 3) PRINCIPIO DELLA DEVIAZIONE STANDARD PL EL DSL con 4) PRINCIPIO DELL UTILITA PL EuPL L u con u funzione di utilità crescente e strettamente concava (la compagnia è avversa al rischio)

8 Esempio ux e cx, u e PL Ee cpll E e cpl e cl, e cpl Ee cl e cpl Ee cl, cpl ln Ee cl PL c ln Ee cl M L c Ee cl è la funzione generatrice dei momenti PL c ln M L c