Teoria delle decisioni

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1 A. A Teoria delle decisioni introduzione prof. ing. Antonio Comi Department of Enterprise Engineering Tor Vergata University of Rome

2 Introduzione Teoria delle decisioni: fornisce un insieme di regole e metodologie per una scelta razionale (ragionata) quando le conseguenze delle scelte sono incerte (non note a priori) 2

3 Introduzione [1/2] Stati di natura e risultati Gli effetti di una decisione dipendono non solo dalla scelta dell alternativa, ma anche da fattori che sono fuori del controllo del decisore. Alcuni di questi fattori esterni possono essere conosciuti in quanto il decisore potrebbe avere memoria su ciò che si è verificato mentre altre no. Ad esempio, dipendono da ciò che faranno gli altri decisori e da eventi casuali fuori dal suo controllo. Ad esempio. Supponiamo di dover decidere se andare o meno ad un concerto all aperto. Il risultato (di essere soddisfatto o meno) dipenderà da eventi naturali (il tempo) e dal comportamento di altre persone (come la band suonerà) 3

4 Introduzione [2/2] Stati di natura e risultati Definiamo stati di natura gli eventi esterni e non conosciuti. Esempio. Consideriamo di dover decidere se portare o meno un ombrello quando andremo fuori domani. L effetto di questa decisione dipenderà se domani pioverà o no. I due casi pioverà o non pioverà sono gli stati di natura 4

5 Informazioni sullo stato di natura Decisione in condizioni di rischio L azione (scelta) è guidata da un insieme di possibili e specifici risultati per i quali è nota con certezza al decisore la probabilità di accadimento Esempio. Guadagnare 10 se dal lancio di una moneta esce testa oppure 5 se esce croce. Certamente, il rischio degenera in condizioni di certezza se le probabilità diventano 0 o 1. 5

6 Informazioni sullo stato di natura Decisione in condizioni di incertezza Se le probabilità di accadimento dei risultati non sono completamente noti DECISIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA 6

7 Informazioni sullo stato di natura Scala di informazione Certezza conoscenza deterministica Rischio completa conoscenza della probabilità Incertezza parziale conoscenza della probabilità Ignoranza nessuna conoscenza della probabilità 7

8 Specificazione del problema decisionale Individuazione delle insieme delle azioni (alternative da scegliere) degli stati di natura possibili delle conseguenze di ciascuna azione in relazione al verificarsi dei diversi stati di natura RAPPRESENTAZIONE DEL PROCESSO DECISIONALE 8

9 Rappresentazione del processo decisionale Indichiamo con A ={A 1,, A m } le possibili azioni S ={S1,, S n } i possibili stati di natura C ={c 11,,c mn } le conseguenze in cui c ij sono funzione di A i e S j c ij = f (A i, S j ) ALBERO O TAVOLA DECISIONALE 9

10 Rappresentazione del processo decisionale Esempio di Tavola decisionale Stati di natura S1 S2 Sn Azioni Prob[S1] Prob[S2] Prob[Sn] A 1 c 11 c 12 c 1n A 2 A m c m1 c mn 10

11 Rappresentazione del processo decisionale Esempio di Albero decisionale Conseguenza c 11 Sj Conseguenza c 1j Conseguenza c 1n Nodo decisionale Azione Ai Sj Conseguenza c i1 Conseguenza c ij Conseguenza c in Conseguenza cm1 Sj Conseguenza c mj Conseguenza c mn 11

12 DECISIONI IN SITUAZIONI DI ESTREMA INCERTEZZA (ignoranza) 12

13 Decisioni in situazioni di completa incertezza Il decisore non è in grado di assegnare una distribuzione di probabilità agli stati Non ha alcuna informazione sugli stati di natura che si potranno verificare 13

14 Decisioni in situazioni di estrema incertezza [1/2] Criterio (del max-min) del pessimista. Il decisore confronta i benefici minimi e sceglie l alternativa con il max di questi minimi a* = max i {min j c ij } Criterio (del max-max) dell ottimista. Il decisore è convinto che qualunque decisone prenda, si realizzerà sempre quello stato che gli permetterà di conseguire il beneficio massimo a* = max i {max j c ij } 14

15 Decisioni in situazioni di estrema incertezza [2/2] Criterio (del min-max) del rimpianto. Il decisore cerca di minimizzare i danni di una decisione errata r ij = max h c hj c ij a* = min i {max j r ij } Criterio della ragione insufficiente. Il decisore attribuisce implicitamente la stessa probabilità agli stati di natura a* = max i j y ij 15

16 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 Introduzione di un nuovo prodotto 4 possibili nuovi modelli (azioni): A, B, C, D 3 possibili livelli di domanda (stati ): Basso, Medio, Alto Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C D D è dominata da C, pertanto è scartata Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C

17 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MaxMin (o del pessimista) Criterio di Wald a* = max i {min j c ij } Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = min j c ij A B C C 17

18 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MaxMax (o dell ottimista) a* = max i {max j c ij } Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = max j c ij A B C A 18

19 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MinMax (o del rimpianto) Criterio di Savage La perdita di opportunità della decisione Di se si avvera lo stato Sj a* = min i {max j r ij } r ij = max h {c hj } - c ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C r ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto r i = max j r ij A B C B 19

20 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 ragione insufficiente Criterio di Laplace Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C i n a* max y j 1 ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto y ij A B C C 20

21 Inadeguatezza dei criteri [1/2] MAX MIN Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = min j c ij A B C MAX MAX Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = max j c ij A B C

22 Inadeguatezza dei criteri [2/2] MIN MAX Rimpianto Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = min j c ij A B C opportunità Livello di domanda Modello Basso Medio Alto r i = max j r ij A B C

23 DECISIONI IN SITUAZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 23

24 Decisioni in condizioni di rischio o incertezza Stati di natura S1 S2 Sn Azioni Prob[S1] Prob[S2] Prob[Sn] A1 c11 c12 c1n A2 Am cm1 cmn Probabilità del realizzarsi dello stato di natura S Si ha una stima oggettiva sull accadimento degli eventi futuri Si può avere una stima (oggettiva o soggettiva) sull accadimento degli eventi futuri SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA 24

25 La regola di decisione di Bayes Usando le migliori stime disponibili delle probabilità dei vari stati, si calcola il valore atteso dei guadagni per ogni alternativa possibile. Si sceglie l alternativa con il massimo guadagno atteso 25

26 Decisioni in situazioni di rischio ed incertezza Esempio 1 valore atteso max Livello di domanda Basso Medio Alto Modello 0,1 0,5 0,4 A B C Probabilità del realizzarsi dello stato di natura (livello di domanda) Si sceglie l azione (alternative) che massimizza il guadagno (payoff) medio n E c p i ij j j 1 max E i 26

27 Decisioni in situazioni di rischio ed incertezza Esempio 1 valore atteso max Livello di domanda Basso Medio Alto Modello 0,1 0,5 0,4 Ei A B C

28 Decisioni in situazioni di rischio ed incertezza Esempio 1 valore atteso della perdita di opportunità Livello di domanda Basso Medio Alto Modello 0,1 0,5 0,4 A B C Probabilità del realizzarsi dello stato di natura (livello di domanda) Si sceglie l azione (alternative) che minimizza la perdita media n ER r p i ij j j 1 min ER i 28

29 Decisioni in situazioni di rischio ed incertezza Esempio 1 valore atteso della perdita di opportunità Livello di domanda Basso Medio Alto Modello 0,1 0,5 0,4 ERi A B C

30 Equivalenza tra valore atteso dei guadagni e della perdita di opportunità n n * n * i ij j j ij j j j ij j min ER min r p min c c p min c p c p i i i i j 1 j 1 j 1 n n n n min i c p c p c p min E c p max E i i j 1 j 1 j 1 j 1 con c * j * * * j j ij j j j i j j i h max c hj Esempio = ( * 0, * 0, * 0,4) =

31 Valore dell Informazione perfetta [1/2] Quanto siamo disposti a spendere per sapere con certezza lo stato di natura futuro? Se non abbiamo informazione utilizziamo il valore atteso dei payoff (guadagni) ogni stato di natura ha probabilità p j se lo stato di natura che si verificherà è j il payoff sarebbe c * j = max h (c hj ) n P* c p valore atteso se decidiamo di acquisire l'informazione perfetta j 1 * j j 31

32 Valore dell Informazione perfetta [2/2] Ipotizzando che il costo dell acquisizione dell informazione perfetta non deve superare il vantaggio che ne deriva si può essere quindi disposti a spendere P* E i che è uguale alla perdita di opportunità 32

33 Utilizzo di informazioni campionarie Esempio Una ricerca di mercato fornisce informazioni sullo stati di natura più probabile Da ricerche analoghe possiamo costruirci la matrice delle probabilità q ij = prob[si/sj], cioè la probabilità che la ricerca indichi come stato più probabile lo stato Si se lo stato vero è Sj prob[si/sj], probabilità condizionata Si utilizza l informazione campionaria per modificare la probabilità associate agli stati di natura. Se la ricerca indica come stato più probabile θ, si sostituisce p[sj] con p[sj/ θ] TEOREMA DI BAYES 33

34 Teorema di Bayes [1/4] Intuitivamente, il teorema descrive il modo in cui le opinioni nell osservare A siano arricchite dall aver osservato l evento E. Si consideri un insieme di alternative A1,, An che partizionano lo spazio delle prove Ω p A i / E p E / A p A p E / A p A i i i i n p E p E / A p A j 1 j j p[ai] = probabilità a priori (cioè non tiene conto di alcuna informazione riguardo ad E) p[ai/e] = probabilità condizionata di Ai, noto E. Probabilità a posteriori. p[e/ai] = probabilità condizionata di E, noto A p[e] = probabilità a priori di E. 34

35 Teorema di Bayes [2/4] Esempio Si consideri una scuola che ha il 60% di studenti maschi e il 40% di studentesse. Le studentesse indossano in egual numero gonne o pantaloni; gli studenti indossano tutti quanti i pantaloni. Un osservatore, da lontano, nota un generico studente coi pantaloni. Qual è la probabilità che quello studente sia una femmina? Soluzione Il problema può essere risolto con il teorema di Bayes, ponendo l evento A che lo studente osservato sia femmina, e l evento E che lo studente osservato indossi i pantaloni. 35

36 Teorema di Bayes [3/4] Esempio Per calcolare P(A E), dovremo sapere: P(A), ovvero la probabilità che lo studente sia femmina senza nessun altra informazione. Dato che l osservatore vede uno studente a caso, ciò significa che tutti gli studenti hanno la stessa probabilità di essere osservati. Essendo le studentesse il 40% del totale, la probabilità risulterà 2/5. P(A'), ovvero la probabilità che lo studente sia maschio senza nessun altra informazione. Essendo A' l'evento complementare di A, risulta 3/5. P(E A), ovvero la probabilità che uno studente femmina indossi i pantaloni (ossia la probabilità che, verificato l evento che lo studente sia femmina, si verifichi l evento che indossi i pantaloni). Poiché indossano gonne e pantaloni in egual numero, la probabilità sarà di 1/2. P(E A'), ovvero la probabilità che uno studente indossi i pantaloni, noto che lo studente è maschio. Tutti gli studenti maschi indossano i pantaloni, quindi vale 1. P(E), ovvero la probabilità che uno studente qualsiasi (maschio o femmina) indossi i pantaloni. Poiché il numero di coloro che indossa i pantaloni è di 80 (60 maschi + 20 femmine) su 100 studenti fra maschi e femmine, la probabilità P(E) è di 80/100 = 4/5. 36

37 Teorema di Bayes [4/4] Esempio p A / E p E / A p A p E prob. che uno studente femmina (A) indossi i panatloni (E) prob. che lo studente osservato sia femmina (A) 1 / 2 2 / 5 1 / 4 25% 4/ 5 n j 1 p E / A p A j j 37

38 Utilizzo di informazioni campionarie Esempio Stati di natura Basso Medio Alto Esito ricerca 0,1 0,5 0,4 Basso 0,6 0,3 0,1 Medio 0,2 0,3 0,2 Alto 0,2 0,4 0,7 Pr ob Basso 0, 6 0, 1 0, 3 0, 5 0, 1 0, 4 0, 25 Pr ob Basso / Basso Pr ob Basso Pr ob Basso / Basso 0, 6 0, 1 / 0, 25 0, 24 Pr ob Basso Pr ob Basso / Medio Pr ob Medio Pr ob Medio / Basso 0, 3 0, 5 / 0, 25 0, 60 Pr ob Basso Pr ob Basso / Alto Pr ob Alto Pr ob Alto / Basso 0, 1 0, 4 / 0, 16 Pr ob Basso 38

39 Utilizzo di informazioni campionarie Esempio Livello di domanda (BASSO) Basso Medio Alto Ei Prodotto 0,24 0,60 0,16 A B C Livello di domanda (dopo la ricerca) Basso Medio Alto Prodotto A B C

40 Esempio Supponiamo di dover prendere il treno per recarci ad una riunione di lavoro. Abbiamo individuato due possibili alternative di viaggio: Treno A + Treno B: coincidenza di 15 minuti; costo 65. Treno C: nessun cambio; costo 85. Nel 20% dei casi il Treno A arriva in ritardo e si rischia di perdere la coincidenza (salta la riunione). Il Treno C è quasi sempre in orario. Solo nell 1% dei casi arriva con un ritardo elevato (tale da far saltare la riunione). CHE SCEGLIERE? E opportuno associare una «quantità» che descriva il guadagna dell azione (scelta) 40

41 Utilità soggettiva ed oggettiva [1/5] Supponiamo di partecipare a questo gioco: «lanciamo una moneta finché non esce testa» Se esce testa al primo lancio vinciamo 1 Se esce testa al secondo lancio vinciamo 2 Se esce testa al terzo lancio vinciamo 4 Se esce testa al n-esimo lancio, vinciamo 2 n La vincita attesa è pari a ½*1 + ¼ * 2 + 1/2 n * 2 n-1 + = infinito 41

42 Utilità soggettiva ed oggettiva [2/5] Questo è noto come paradosso di «San Pietroburgo» ed è tale perché essendo il valore atteso della vincita infinito, un giocatore dovrebbe essere disposto a pagare somme molto elevate pur di partecipare al gioco. Bernoulli ha cercato di risolvere il paradosso proponendo il concetto di funzione di utilità (soggettiva), che le persone utilizzerebbero per valutare gli esiti. L utilità ad avere un guadagno non cresce in modo lineare con la somma di denaro vinta, ma piuttosto crease secondo un tasso descrescente. Vincere 1000 ha più valore rispetto a vincere 1000 se sei già milionario 42

43 Utilità soggettiva ed oggettiva [3/5] Secondo Bernoulli, gli esiti del paradosso di San Pietroburgo dovrebbero essere valutati: Non in modo oggettivo... Ma in base al valore personale che la somma assume per il decisore. 43

44 Utilità soggettiva ed oggettiva [4/5] Il contributo fondamentale di Bernoulli è stato quello di ipotizzare che il denaro vinto avesse un utilità marginale decrescente. 44

45 Utilità soggettiva ed oggettiva [5/5] Il concetto di utilità marginale decrescente indica che: l utilità non dipende in modo lineare dai valori oggettivi degli esiti. Incrementi successivi di pari entità hanno un utilità sempre minore per l individuo. Utilizzando questa funzione di utilità il Valore Atteso del paradosso di San Pietroburgo non è più infinito. Il Valore Atteso del gioco dipende dalla particolare funzione di utilità che viene usata. 45

46 Concetto di utilità von Neumann e Morgenstern hanno (1947): portato alla definizione di una serie di principi di razionalità permesso di misurare (come utilità) il valore dato dal decisore alle conseguenze delle sue decisioni stabilito il criterio della massimizzazione dell utilità attesa come standard per valutare le decisioni delle persone. 46

47 Assiomi del comportamento razionale Assiomi di comportamento razionale (von Neumann and Morgenster, 1947) Confrontabilità date due conseguenze a e b, il decisore o preferisce debolmente l alternativa a oppure l alternativa b ad a Transitività date tre conseguenze a, b e c, se il decisore preferisce debolmente l alternativa a e preferisce debolmente l alternativa b a c, allora segue che preferisce debolmente l alternativa a a c Coerenza tra preferenza debole e indifferenza date due conseguenze a e b, se il decisore preferisce debolmente l alternativa a a b e l alternativa b ad a, allora l alternativa a e b forniscono al decisore lo stesso beneficio Coerenza tra preferenza debole e preferenza forte date due conseguenze a e b, se il decisore preferisce strettamente l alternativa a allora non preferirà debolmente b ad a 47

48 Funzione di utilità Si può dimostrare che se un decisore agisce conformandosi agli assiomi del comportamento razionale, allora esiste una funzione (funzione di utilità) a valori reali U( ), unica a meno di una trasformazione monotona crescente, definita sull insieme delle conseguenze C tale che: n a a P U c P U c i k j ij j kj j 1 j 1 dove a i a k indica che per il decisore la scelta dell azione a i è più conveniente di a k (o quanto meno non peggiore) se il valore atteso (expected) delle conseguenze dell azione a i è maggiore o eguale al valore atteso delle conseguenze di a k. n 48

49 Esempio Supponiamo di dover prendere il treno per recarci ad una riunione di lavoro. Abbiamo individuato due possibili alternative di viaggio: Treno A + Treno B: coincidenza di 15 minuti; costo 65. Treno C: nessun cambio; costo 85. Nel 20% dei casi il Treno A arriva in ritardo e si rischia di perdere la coincidenza (salta la riunione). Il Treno C è quasi sempre in orario. Solo nell 1% dei casi arriva con un ritardo elevato (tale da far saltare la riunione). 49

50 Esempio Specificazione del problema decisionale Azioni (scelte) Alternativa 1: Treno A + Treno B Alternativa 2: Treno C Stati di natura In orario Ritardo (la riunione salta) A + B C 80% 20% 99% 1% In orario Ritardo In orario Ritardo 50

51 Esempio Specificazione del problema decisionale Per poter rispondere al quesito è utile associare una utilità che ne traiamo in seguito all esito dell evento 80% In orario U1 A + B 20% 99% Ritardo In orario U2 U3 Scegliamo in funzione del valore atteso dell utilità associata alle due azioni (scelte) C 1% Ritardo U4 EU A B p in orario U1 p ritardo U 2 EU C p in orario U 3 p ritardo U 4 51

52 Esempio Calcolo dell utilità attesa Costruiamo l utilità soggettiva del decisore ipotizzando l importanza soggettiva, per il decisore, di ogni caratteristica degli esiti Immaginiamo, come è «plausibile», di dare un peso maggiore al fatto di riuscire a svolgere la riunione piuttosto che al prezzo del biglietto (pesi decisionali) Peso biglietto 0,1 ed utilità legata al costo del biglietto -10 (alternativa A+B), -20 (alternativa C) Peso riunione 0,9 ed utilità legata alla riunione -80 (se salta), +80 (se si fa) 52

53 Esempio Calcolo dell utilità attesa Utilità soggettiva dei due esiti per l alternativa A+B Ritardo: (0,10 * - 10) + (0,90 * - 80) = -73 In orario: (0,10 * - 10) + (0,90 * 80) = 71 UTILITÀ SOGGETTIVA A+B = (-73 * 0,20) + (71 * 0,80) =42,2 Utilità soggettiva dei due esiti per l alternativa C Ritardo: (0,10 * - 20) + (0,90 * - 80) = -74 In orario: (0,10 * - 20) + (0,90 * 80) = 70 UTILITÀ SOGGETTIVA C = (-74 * 0,01) + (70 * 0,99) = 68,7 53

54 Riferimenti bibliografici Sven Ove Hansson (1994). Decision Theory - A Brief Introduction. Department of Philosophy and the History of Technology, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm. Chiandotto, B. (2015). Cap. 7 Teoria statistica delle decisioni. Inferenza Statistica (Note didattiche). Dell Amico, M. (2009). Teoria delle Decisioni. Giudizio, decisione e violazione degli assiomi di razionalità. Ce.R.D. - Centro di Ricerca sul Rischio e la Decisione, Padova. 54