Dispense del Modulo di. Elementi di Elettrotecnica T A.A CdS in Ingegneria Civile. Prof. P. L. Ribani

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1 Dspense del Modulo d lement d lettrotecnca T ds n ngegnera le Prof. P. L. ban

2 ND D PTOL - Teora de crcut Metod per l'anals de crcut Grandezze perodche egme snusodale Sstem trfase Trasformator PPND - lettromagnetsmo

3 TO D UT. NTODUZON S consder un sstema elettrco costtuto da un certo numero d component (ed fgura ). ascun componente (,,, D) è racchuso all nterno d un contentore da cu escono de termnal collegat elettrcamente tra d loro medante de fl metallc (,,,, 5). t D t P L L P D S 5 L Fgura Tutto l sstema è mmerso nell ara che è un mezzo solante. La regone costtuta da tutto lo spazo meno quello occupato da component (spazo esterno a component) è una regone a connessone lneare semplce: presa una qualsas lnea chusa che gace n tale regone, esste almeno una superfce che s appogga a tale lnea che gace anch essa tutta all nterno della regone consderata.s supponga che nello spazo esterno a component sa possble consderare nulla la derata temporale della nduzone magnetca e dello spostamento elettrco. S consder qund la crcutazone del campo elettrco relata ad una qualsas lnea chusa L che gace nello spazo esterno a component. sulta: dφ dl () dt L Dalla () segue che la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt qualsas P e P, rmanendo sempre nello spazo esterno a component, non dpende dalla partcolare lnea scelta ma uncamente da punt P e P (s dce che l campo elettrco è conserato) e ene chamata dfferenza d potenzale tra l punto P ed l punto P : P P dl dl P, L P, L S consder una superfce chusa S qualsas che gace nello spazo esterno a component, rsulta : S D J n ds > J n t ds La denstà olumetrca d corrente elettrca, nello spazo esterno a component è nulla ounque tranne che all nterno delle connesson metallche. n partcolare s consder una superfce S che racchude al suo nterno solo un tratto d connessone metallca; dalla () segue che la corrente che crcola n quella connessone, non dpende dal punto consderato della connessone, ma è una caratterstca della connessone. Nessun sstema elettrco reale erfca esattamente le potes assunte per quello sopra descrtto; tal potes sono però soddsfatte con buona approssmazone per molt sstem elettrc real, per descrere qual s fa uso d un modello deale che prende l nome d crcuto elettrco a costant concentrate. n partcolare, per tal sstem, la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt non è ndpendente dalla lnea scelta, ma la dpendenza è così pccola che rsul- S () () Teora de crcut -

4 ta trascurable a tutt gl effett pratc. n tal caso, nece d parlare d dfferenza d potenzale, per ndcare l approssmazone fatta, s prefersce parlare d tensone tra due punt.. DFNZON LGG D KHHOFF Un UTO LTTO OSTNT ONNTT, o rete elettrca, è un nseme d component elettrc deal soggetto a ncol (che saranno enuncat nel seguto) not come Legg d Krchhoff. Nel seguto, per semplctà, con la parola crcuto elettrco s ntenderà crcuto elettrco a costant concentrate. La carca elettrca, ndcata con q, è la propretà ntrnseca della matera responsable de fenomen elettrc e magnetc. L untà d msura della quanttà d carca è l coulomb (). n un crcuto elettrco le carche elettrche possono muoers attraerso component e le connesson metallche. La corrente, ndcata con, che passa attraerso una data superfce (ad esempo la sezone d una connessone metallca) è defnta dalla carca elettrca che attraersa quella superfce nell untà d tempo. L untà d msura della corrente è l ampere (); un ampere è par ad un coulomb al secondo. Possamo dunque esprmere la corrente come: dq dt l moto della carca elettrca attraerso component e le connesson metallche rchede energa. La tensone, ndcata con, tra due termnal e n un crcuto è l laoro rchesto per muoere una carca posta untara da (termnale ) a (termnale ). L untà d msura della tensone è l olt (). Possamo dunque esprmere la tensone come: dw dq Un componente elettrco deale (ed fgura ) è caratterzzato da un numero d termnal, o morsett (soltamente un componente a due termnal è detto bpolo, uno a tre termnal è detto trpolo, etc., uno a N termnal è detto N-polo,). - - Teora de crcut - Fg. omponente a tre termnal cascun termnale è assocata una corrente che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l suo erso posto (ndcato dalla frecca): una corrente sgnfca che una corrente d ntenstà par a mpère entra nel componente attraerso l termnale, ceersa, una corrente sgnfca che una corrente d ntenstà par a mpère esce dal componente attraerso l termnale d ogn coppa d termnal è assocata una tensone che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l termnale d rfermento (ndcato col segno ): una tensone sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale superore d olt rspetto a quello del termnale, ceersa una tensone sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale nferore d olt rspetto a quello del termnale. Talolta l ndcazone del e del ene sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Un componente con due termnal ene chamato bpolo. Nel seguto, per semplctà, s supporrà che crcut n esame sano costtut d sol bpol; se cò non fosse ero, s può pensare

5 d rcondurs alla potes, sosttuendo component con pù d due termnal con opportun crcut equalent costtut da sol bpol: cò è scuramente possble medante l'ntroduzone d generator plotat (che erranno defnt nel seguto). ll nterno del crcuto, termnal appartenent a ders component sono collegat tramte connesson deal, caratterzzate dall'aere una tensone nulla a loro cap (ed fgura ). - Fg. onnessone deale ( ) Un nodo d un crcuto elettrco è un punto a cu sono collegat due o pù termnal, oppure è un termnale solato. l crcuto della fgura è costtuto da cnque bpol; collegat a nod (,,, D). Una sequenza chusa d nod è una successone d nod tale che l prmo nodo concde con l'ultmo. (d esempo, sono sequenze chuse,,, D, etc.) D Fgura. rcuto con 5 element e nod. L LGG D KHHOFF DLL TNSON (LKT) afferma che per una qualsas sequenza chusa d nod la somma algebrca delle tenson (tra due nod success) è nulla. on rfermento al crcuto della fgura, applcando la LKT alla sequenza chusa d nod s ottene la seguente equazone: () Le tenson d nodo (o potenzal d nodo) d un crcuto sono le tenson d tutt nod rspetto ad un nodo assunto come rfermento, la cu scelta è arbtrara (ma a cu soltamente s attrbusce un alore nullo). La LKT permette d esprmere la tensone tra una qualsas coppa d nod del crcuto come dfferenza delle relate tenson d nodo: con rfermento alla fgura, supponendo d sceglere l nodo come nodo d rfermento (e posto dunque e ), ed ndcando con e ed e le tenson d nodo de nod e (e ; e ) la equazone () permette d screre: e e (5) La sequenza chusa d nod D nddua un percorso chuso attraerso component del crcuto: tratt d tale percorso all'nterno d cascun componente engono dett ram ed l percorso, magla. pplcando la LKT alla magla D, tenendo conto de ers post scelt per le ten- Teora de crcut -

6 son a cap de component (tenson d ramo) e del erso d crcutazone della magla, s ottene la seguente relazone: (6) La LKT applcata ad una magla del crcuto afferma che la somma algebrca delle tenson d ramo (su ram che compongono la magla) è nulla. La LGG D KHHOFF DLL ONT (LK) afferma che per ogn superfce chusa che nterseca uncamente le connesson tra component, e non component stess, la somma algebrca delle corrent che attraersano la superfce è nulla. S consder n prmo luogo una superfce chusa che racchuda al suo nterno solo un bpolo (ed fgura 5a). S Fg. 5a. Legge d Krchhoff delle corrent applcata ad un bpolo. La corrente entra nella superfce ndcata con la lnea tratteggata S nella fgura, mentre la corrente esce da tale superfce (d solto s assumono poste le corrent uscent e negate quelle entrant); la LK afferma qund che dee essere, da cu segue che:. Tenendo conto d cò, con rfermento alla fgura 5b s consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano del dsegno è la lnea tratteggata S. S S 5 D 5 Fgura 5b. Le corrent che attraersano tale superfce sono la corrente e la corrente che entrano nella superfce e la corrente 5 che esce, per cu la LK applcata a tale superfce permette d screre la seguente equazone: 5 (7) S consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano della fgura 5b è la lnea tratteggata S : tale superfce racchude al suo nterno solo l nodo e la LK ad essa assocata afferma che la somma algebrca delle corrent de ram che conergono nel nodo è nulla: Teora de crcut -

7 5 (8) pplcando la LK a tutt quattro nod del crcuto d fgura 5.b, ottene qund l seguente sstema d equazon: 5 5 ome è mmedato erfcare, la somma delle equazon porta ad una denttà ( ). Tale rsultato generale è douto la fatto che ogn corrente d ramo k compare esattamente due olte, con segn oppost, nelle LK relate a nod che sono termnal del ramo k. Una delle equazon è dunque una combnazone lneare delle altre N, e s può omettere. Le rmanent N equazon sono charamente ndpendent n quanto, qualunque sa l equazone omessa (ad esempo la quarta, nodo D), tutte le corrent d ramo present nell equazone elmnata compaono una sola olta nelle restant equazon (ad esempo, ed 5 ). Le equazon LK ndpendent sono qund N. Le due legg d Krchhoff, delle tenson e delle corrent, permettono d screre delle equazon lnear tra le tenson e le corrent che non dpendono dalla natura de component present nel crcuto, ma uncamente da come ess sono collegat tra d loro (topologa del crcuto). Sa dato un crcuto caratterzzato da ram ed N nod (ad esempo per l crcuto d fgura 5.b, N ed 5). Per cascun ramo s assumano ers post per la tensone d ramo e la corrente d ramo assocat secondo la scelta dell utlzzatore, ossa quando la corrente entra nel termnale posto (ed fg. 6.a). ers d rfermento assocat secondo la scelta del generatore sono llustrat nella fgura 6.b, n cu la corrente esce dal termnale posto. Fg. 6.a ers d rfermento assocat secondo la scelta dell utlzzatore per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Fg. 6.b ers d rfermento assocat secondo la scelta del generatore per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca che ndca l termnale posto. Preso arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, la LKT permette d screre relazon del tpo (5) lnearmente ndpendent che n forma matrcale assumono la forma: M e (9) Teora de crcut - 5

8 Teora de crcut - 6 doe è l ettore delle tenson d ramo, e è l ettore delle tenson d nodo ed M è una matrce aente rghe ed (N ) colonne, l cu generco elemento M hk rsulta nullo se l ramo h non è collegato al nodo k, uguale a se la corrente del ramo h esce dal nodo k, se la corrente del ramo h entra nel nodo k. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b, utlzzando ers d rfermento assocat secondo la scelta dell utlzzatore per le tenson e le corrent d ramo e prendendo D come nodo d rfermento (e D ). S ha qund: 5 e e e e e e e 5 e e e M La LK applcata a tutt nod tranne quello d rfermento permette d screre (N ) equazon del tpo (8) che n forma matrcale assumono la forma: () doe è l ettore delle corrent d ramo ed è una matrce, chamata matrce d ncdenza rdotta, aente (N ) rghe ed colonne, l cu generco elemento hk rsulta nullo se l ramo k non è collegato al nodo h, uguale a se la corrente del ramo k esce dal nodo h, se la corrente del ramo k entra nel nodo h. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b. S ha qund: 5 5 sulta qund dalle defnzon che M è la trasposta d, coè: M T () Dalle equazon (9), () ed () segue l TOM D TLLGN che afferma che, per un dato crcuto, preso un qualsas ettore d tenson d ramo, che soddsf le LKT (9) per quel crcuto, ed un ettore d corrent d ramo, che soddsf le LK () per quel crcuto, allora ale la seguente relazone: T () nfatt, s ha T (M e ) T e T M T e T e T Facendo rfermento a ers d tensone e corrente assocat secondo la scelta dell utlzzaztore (fg. 6), s defnsce potenza elettrca assorbta da un bpolo n un generco stante t, l prodotto tra la tensone presente a suo termnal all'stante t e la corrente che lo attraersa n quell'stante: p(t) (t) (t) () nfatt, dalle defnzon d dq/dt e d dw/dq, s ha (dw/dq)(dq/dt) dw/dt p. Nel caso n cu ers della tensone e della corrente sano assocat secondo la scelta del generatore, l prodotto defnsce la potenza elettrca erogata dal bpolo.

9 Pù n generale, facendo rfermento ad un generco componente con N termnal, la potenza elettrca assorbta da tale componente n un generco stante t è data dalla seguente espressone: N p t kn t k t ( ) ( ) ( ) k (.a) doe s è preso l'ennesmo termnale come termnale d rfermento per le tenson ed ers post delle corrent sono tutt entrant nell'elemento. S dmostra che la potenza elettrca assorbta non dpende dalla scelta del termnale d rfermento, nfatt, facendo uso delle legg d Krchhoff delle tenson prma e della legge d Krchhoff delle corrent po s ottene: N N N ( kn jn ) k knk jn j p p kj k k,k j k,k j k,k j (.b) Se s applca l teorema d Tellegen () consderando l ettore delle tenson ed l ettore delle corrent che effettamente sono present nel crcuto ad un generco stante t, s ottene la relazone () che, sulla base della defnzone (), mostra come la potenza elettrca assorbta da tutt component del crcuto rsult n ogn stante nulla. (t) T (t) (t) (t) (t) (t) p (t) p (t) (). OMPONNT Nel seguto engono descrtte e dscusse le equazon costtute e le propretà fondamental d alcun tra component d mpego pù dffuso n elettrotecnca. n generale component sono caratterzzat da una relazone (caratterstca o equazone costtuta) tra la corrente che l attraersa e la tensone tra loro termnal (o). Un componente n cu sa determnable la tensone nota la corrente s dce controllato n corrente (coè, è possble almentarlo con un generatore d corrente con corrente mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della corrente mpressa corrsponde un solo alore della tensone a termnal); analogamente, un componente n cu sa determnable la corrente nota la tensone s dce controllato n tensone (coè, è possble almentarlo con un generatore d tensone con tensone mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della tensone mpressa corrsponde un solo alore della corrente assorbta). nfne, s premette che due component s dcono equalent quando presentano la stessa caratterstca tensonecorrente (anche se hanno una struttura nterna dfferente). aratterstca del componente: f(, ) Se l componente è controllato n corrente: h() Se l componente è controllato n tensone: g() (o) l tempo può comparre esplctamente nella relazone caratterstca. n tal caso l componente è detto tempo-arante, altrment l componente è detto tempo-narante. Tutt component trattat nel seguto sono tempo-narant. Teora de crcut - 7

10 esstore lneare - Fgura 7 Smbolo del resstore lneare l smbolo del resstore lneare è ndcato nella fgura 7. on rfermento alla scelta dell utlzzatore per ers post d tensone e corrente, la legge costtuta del resstore è la seguente: o, alternatamente G (5.a) (5.b) doe è una costante chamata resstenza (msurata n Ω [Ohm]), G è una costante chamata conduttanza (msurata n S [Semens]) e rsulta G /. L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p ( ) /G (6.a) o, alternatamente p (/) / G (6.b) Se la resstenza è posta, la potenza elettrca assorbta rsulta essere sempre posta, o al pù nulla quando la corrente è nulla; component che godono d tale propretà engono dett component pass. Facendo rcorso alle conoscenze della fsca, s può dmostrare che un flo d rame d lunghezza L e sezone S può essere modellato per mezzo d un resstore d resstenza par a ρl/s, n cu la potenza elettrca assorbta ene trasformata n energa termca medante un fenomeno noto come effetto Joule. Dalla (5.a) segue che se è nota la corrente che crcola sul resstore è nota anche la tensone a suo cap; qund l resstore è un componente controllato n corrente. noltre, se è dersa da zero, quando è nota la tensone è anche nota la corrente, par a /; qund l resstore è anche un componente controllato n tensone. Pertanto, l resstore non nullo rsulta un componente controllato sa n tensone che n corrente. La connessone deale, llustrata nella fgura ed anche chamata corto crcuto, può essere consderata un resstore lneare d resstenza nulla (o conduttanza nfnta). ome tale rsulta essere un componente controllato n corrente, ma non n tensone; nfatt ad un unco alore d tensone (zero) corrspondono nfnt alor possbl della corrente. ceersa, un crcuto aperto, l cu smbolo è rappresentato nella fgura 8, può essere consderato come un resstore d resstenza nfnta (o conduttanza zero) e come tale è un componente controllato n tensone, ma non n corrente: nfatt all'unco alore possble della corrente (zero) corrsponde una nfntà d alor possbl della tensone a suo cap. - Fgura 8 Smbolo del crcuto aperto ( ) Due resstor s dcono collegat n sere quando sono percors dalla stessa corrente (fgura 9); dalle equazon costtute de due resstor s ede che ess sono equalent ad un unco resstore aente una resstenza equalente par alla somma delle due resstenze. La relazone ottenuta è ge- Teora de crcut - 8

11 neralzzable ad un numero qualsas d resstor n sere (per defnzone tutt percors dalla stessa corrente): eq Σ k k. eq ( ) eq Fgura 9 esstor collegat n sere Due resstor s dcono collegat n parallelo quando la tensone a loro cap è la stessa (fgura ); dalle equazon costtute de due resstor s ede che ess sono equalent ad un unco resstore aente una resstenza equalente l cu nerso è dato dalla somma degl ners delle due resstenze (oero, rcordando la defnzone d conduttanza, due resstor n parallelo sono equalent ad un unco resstore aente una conduttanza equalente par alla somma delle due conduttanze: G eq G G.). La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d resstor n parallelo (per defnzone tutt soggett alla stessa tensone): G eq Σ k G k. eq - - Fgura esstor collegat n parallelo eq Dodo deale l smbolo del dodo deale è ndcato nella fgura. La legge costtuta del dodo deale è rappresentata, nel pano tensone - corrente, dal semasse negato delle tenson e dal semasse posto delle corrent (ed fgura ): se la tensone anodo () - catodo (K) è negata, s dce che l dodo è polarzzato n nersa, n questo caso l passaggo della corrente è nterdetto (per qualunque alore d tensone); ceersa, se l dodo è percorso da corrente (dodo n conduzone) la tensone a suo cap è nulla (per qualunque alore d corrente). K Fgura Smbolo del dodo deale Teora de crcut - 9

12 Dodo n conduzone, ( > ) Dodo n nterdzone, ( < ) aratterstca con > dodo n conduzone ( ) Fg. aratterstca del dodo deale oppure < dodo nterdetto ( ) ome s può edere dalla caratterstca del dodo, l dodo non è controllato né n corrente, perché quando la corrente è nulla la tensone può assumere una nfntà d alor (tutt quelle negat), ne n tensone, perché quando la tensone è nulla la corrente può assumere una nfntà d alor, tutt quell post. seconda qund che l dodo deale sa polarzzato n dretta od n nersa, può essere consderato rspettamente un corto crcuto od un crcuto aperto; n ogn caso la potenza elettrca assorbta dal dodo è nulla. Un dodo reale è generalmente realzzato a partre da un crstallo d materale semconduttore (ad esempo S, appartenente al gruppo della taola perodca degl element) drogandolo con mpurtà d tpo p (ad esempo, appartenente al gruppo) e d tpo n (ad esempo P, appartenente al gruppo), come llustrato nella fgura. La caratterstca tensone - corrente della gunzone p-n così ottenuta è rappresentata, nella fgura. Nella sua espressone analtca, sempre rportata nella fgura, k è la costante d oltzman (.8 - J/K), T la temperatura n K, q la carca (n modulo) dell elettrone (.6-9 ) ed la corrente nersa d saturazone, che è una corrente (tpcamente molto pccola) caratterstca del dsposto. Quando l dodo reale è n conduzone, è presente a suo cap una tensone posta ( d ) ed l dodo reale assorbe una modesta potenza elettrca dalla rete cu è collegato. Quando l dodo è polarzzato n nersa, fntanto che la tensone è nferore, n alore assoluto, ad un alore lmte (tensone d rottura o breakdown b ) crcola una pccola corrente nersa (dal catodo all'anodo) ( ). Pertanto, anche n nterdzone l dodo reale assorbe una potenza d modesta enttà. l superamento, n alore assoluto, della tensone d breakdown l dodo s dannegga rreparablmente, consentendo la crcolazone d una ngente corrente nersa. l dodo reale può essere consderato come un resstore non lneare, la cu resstenza è una funzone della corrente. b Fg. p n d q kt e K Struttura e caratterstca d un dodo reale nduttore lneare Teora de crcut -

13 S defnsce nduttore lneare un componente a due termnal l cu smbolo è ndcato nella fgura caratterzzato dalla seguente legge costtuta: L - Fgura Smbolo dell nduttore L d (7) dt doe L è una costante chamata nduttanza dell'nduttore (msurata n H). L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: d d p L L (8) dt dt La (8) mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne m L che assume qund l sgnfcato d energa magnetca mmagazznata nell'nduttore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l'nduttore durante un transtoro successo. La potenza elettrca assorbta dall'nduttore può qund assumere alor sa post che negat. Un aolgmento costtuto da N spre fnemente aolte sopra un nucleo torodale d materale ferromagnetco dolce, qualora l'ntenstà della corrente che lo percorre non sa troppo eleata, n modo da poter trascurare la saturazone del materale ferromagnetco, può essere modellato come un resstore ed un nduttore collegat n sere (ed fg. 5). L - Fgura 5 nduttore reale l campo magnetco H prodotto dalla corrente, a causa dell'eleato alore della permeabltà magnetca (µ) del materale d cu è costtuto l nucleo torodale dell'aolgmento, tende a concentrars n tale regone. S può dmostrare che, trascurando fluss dspers, l alore della nduttanza dell'nduttore è defnto dalla relazone: L µ H d (9) toro La potenza elettrca assorbta dall'nduttore reale, ene n parte trasformata n energa termca per effetto Joule ed n parte mmagazznata nel campo magnetco presente all'nterno del nucleo Teora de crcut -

14 torodale. Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca m è assocato un campo magnetco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa magnetca mmagazznata nell'nduttore. L'equazone costtuta dell'nduttore (7) permette n ogn stante, se è noto l alore della tensone a suo cap, d calcolare la derata temporale della corrente che lo attraersa lascandone però completamente ndetermnato l alore. l alore della corrente nddua unocamente l'energa magnetca mmagazznata nell'nduttore e dpende dal transtoro subìto dalla corrente nel perodo precedente all'stante d tempo che s consdera. nfatt, ntegrando nel tempo la (7), supponendo che all'stante, quando è stato assemblato l crcuto ed è nzato l transtoro, la corrente sull'nduttore fosse nulla, s ottene: t ( t) ( ) L τ d τ () La () mostra che l alore della corrente all'stante t dpende dal alore della tensone n tutt gl stant precedent. Per ndcare cò s dce che l'nduttore è un componente dotato d memora. l alore della corrente che attraersa l'nduttore nddua unocamente l'energa magnetca mmagazznata al suo nterno e percò costtusce la sua arable d stato. ondensatore lneare l smbolo del condensatore è ndcato nella fgura 6, la sua legge costtuta è la seguente: d dt () doe è una costante chamata capactà del condensatore (msurata n F). - Fgura 6 Smbolo del condensatore L espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: d d p () dt dt La () mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne e che assume qund l sgnfcato d energa elettromagnetca mmagazznata nel condensatore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l condensatore durante un transtoro successo. La potenza elettrca assorbta dal condensatore può qund assumere alor sa post che negat. Un clndro ed una corona clndrca coassal, costtut d materale conduttore, separate da una corona clndrca, coassale con le precedent, costtuta d materale solante, formano un condensatore clndrco che può essere modellato con buona approssmazone medante un condensatore deale (ed fg. 7). Teora de crcut -

15 Fgura 7 - ondensatore clndrco Quando una carca q ene spostata tramte una connessone elettrca dalla armatura esterna (collegata al termnale ) a quella nterna (collegata al termnale ), la regone d spazo occupata dall'solante nterposto tra le armature del condensatore è sede d un campo elettrco. Trascurando l campo elettrco all'esterno d tale regone, l alore della capactà del condensatore è defnto dalla relazone: ε d () solante doe ε è la costante delettrca dell'solante. La potenza elettrca assorbta dal condensatore clndrco ene mmagazznata nel campo elettrco presente nell'solante tra le armature del condensatore. Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca e è assocato un campo elettrco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa elettrca mmagazznata nel condensatore. Le relazon (,, ) mostrano come essta una relazone d dualtà tra l condensatore e l'nduttore; nfatt è possble ottenere le relazon caratterstche d un componente da quelle dell'altro, scambando tra d loro smbol della tensone con la corrente, dell'nduttanza con la capactà, del campo magnetco con l campo elettrco e della permeabltà magnetca con la costante delettrca. nalogamente all'nduttore, anche l condensatore è un componente con memora; ntegrando la () dall'stante, n cu è stato assemblato l crcuto ed n cu la tensone a cap del condensatore s è supposta nulla, al generco stante t s ottene: t ( t) ( ) τ d τ () La () mostra che l alore della tensone n un generco stante t dpende dal alore della corrente n tutt gl stant precedent. l alore della tensone a cap del condensatore nddua unocamente l'energa elettrca mmagazznata al suo nterno e percò rappresenta la sua arable d stato. nfne, dalla, s rconosce anche che la carca Q presente sull armatura posta (coè quella collegata al termale posto) è legata alla tensone dalla relazone Q. Generatore d tensone Teora de crcut -

16 (a) (b) Fgura 8 Sm bol del generatore d tensone smbol che engono utlzzat per l generatore ndpendente d tensone sono ndcat nella fgura 8a, quell utlzzat per l generatore d tensone plotato (o dpendente) nella fgura 8b ( due smbol engono usat nella letteratura scentfca con uguale frequenza e sono del tutto equalent);. Nel caso del generatore d tensone ndpendente, la tensone mpressa del generatore (o forza elettro-motrce del generatore) è una funzone nota del tempo, nel caso del generatore d tensone plotato, la tensone mpressa dpende dal alore della tensone (generatore d tensone plotato n tensone: GTPT) o della corrente (generatore d tensone plotato n corrente: GTP) d un altro ramo del crcuto. on rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura 8a, l'equazone costtuta del generatore d tensone ndpendente è la seguente: (5) n fgura sono llustrat generator plotat GTPT e GTP aent caratterstca lneare. p k p p k p GTPT GTP aratterstca: k p aratterstca: k p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p (6) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda che la corrente attraers l generatore nel erso assocato o non assocato secondo la conenzone degl utlzzator rspetto a quello della tensone mpressa. l generatore ndpendente d tensone è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della tensone a suo cap. l generatore ndpendente d tensone è un componente controllato n corrente. l generatore dpendente d tensone non è un componente controllato né n tensone né n corrente. Teora de crcut -

17 Una battera (generatore d tensone reale) può essere modellata elettrcamente medante lo schema llustrato nella fgura 9, costtuto da un resstore e da un generatore ndpendente d tensone collegat n sere. Fgura 9a Modello crcutale d una battera l generatore d tensone permette d smulare la trasformazone d energa chmca n elettrca e ceersa che aene all'nterno della battera; la tensone mpressa è par alla tensone a cap della battera durante l funzonamento a uoto (quando non eroga corrente). La resstenza del resstore, ene detta resstenza nterna della battera e permette d smulare la dsspazone d energa elettrca, per effetto Joule, n calore che ene ceduto all'ambente crcostante, che accompagna l passaggo della corrente nella battera. questa dsspazone è assocata una caduta d tensone. La caratterstca tensone-corrente del bpolo d fgura 9a è llustrata n fgura 9b. l generatore d tensone reale (la battera) è un componente controllato sa n tensone che n corrente. / Fgura 9b aratterstca tensone-corrente d un generatore d tensone reale (battera). Generatore d corrente (a) (b) - Fgura Smbol del generatore d corrente Teora de crcut - 5

18 smbol che engono utlzzat per l generatore ndpendente d corrente sono ndcat nella fgura a, quell che engono utlzzat per l generatore d corrente plotato (o dpendente) nella fgura b ( due smbol engono usat nella letteratura scentfca con uguale frequenza e sono del tutto equalent). Nel caso del generatore ndpendente la corrente mpressa () è una funzone nota del tempo, mentre nel caso del generatore plotato dpende da un'altra grandezza che può essere la corrente (generatore d corrente plotato n corrente: GP) o la tensone (generatore d corrente plotato n tensone: GPT) d un altro componente del crcuto. on rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura, l'equazone costtuta del generatore d corrente è la seguente: (7) n fgura sono llustrat generator plotat GPT e GP aent caratterstca lneare. p k p GPT p k p GP aratterstca: k p aratterstca: k p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p (8) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda che la tensone a cap del generatore abba erso assocato o non assocato (secondo la conenzone degl utlzzator) rspetto a quello della corrente mpressa. l generatore ndpendente d corrente è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della corrente che lo attraersa. l generatore ndpendente d corrente è un componente controllato n tensone. l generatore dpendente d corrente non è un componente controllato né n tensone né n corrente. dfferenza de component st n precedenza, non esste un componente elettrco reale che enga modellato elettrcamente, con buona approssmazone, da un solo generatore d corrente. l generatore d corrente nterene nece nel crcuto elettrco equalente de dspost elettronc. d esempo, è possble realzzare un crcuto complesso che modella un transstore npn n cu sono present due generator d corrente plotat n corrente. l trasformatore deale l trasformatore deale è un doppo bpolo l cu funzonamento è descrtto dalle seguent relazon lnear: K (9.a) K (9.b) Doe la costante K è detta rapporto d trasformazone. l smbolo del trasformatore deale è ndcato nella fgura. S not che n fgura una coppa d termnal è segnata con un punto, ndcando qund ers d rfermento post delle tenson e delle corrent per cu le equazon costtute () sono corrette. n fgura 6 è mostrato noltre uno de possbl crcut equalent del trasformatore deale. S not anche che, poché l trasformatore deale è un componente deale defnto dalle (), le relazon tra tenson e corrent a prmaro e secondaro sono alde per tutte le forme d onda (ncluso qund l regme stazonaro). Teora de crcut - 6

19 aratterstche K : K K K K Fgura - Trasformatore deale e crcuto equalente. La potenza assorbta dal trasformatore deale è nulla; nfatt, con rfermento a ers d rfermento post delle tenson e delle corrent defnt n fgura, s ha p( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( K( t) ) K ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) Qund la somma delle potenze assorbte a prmaro e secondaro è complessamente nulla, oero la potenza assorbta a prmaro dal trasformatore deale (p ) rsulta n ogn stante uguale a quella erogata al secondaro (p ). nche se non assorbe potenza, l trasformatore deale muta parametr (tensone e corrente) con cu la energa elettrca ene assorbta a prmaro ed erogata a secondaro: la tensone ene rdotta (od aumentata) d un fattore par al rapporto d trasformazone del trasformatore K mentre la corrente ene aumentata (o dmnuta) dello stesso fattore. Quando a secondaro d un trasformatore deale è collegato un resstore d resstenza, l prmaro s comporta come un resstore d resstenza equalente K. Tale equalenza è llustrata nella fgura e prende l nome d rduzone da secondaro a prmaro. La dmostrazone è mmedata: (t) K (t) K [ (t)] K [ K (t)] K (t) K : e K Fgura - duzone da secondaro a prmaro. Teora de crcut - 7

20 MTOD P L'NLS D UT Nel seguto engono llustrat, medante esemp, alcun tra metod pù utlzzat per l'anals de crcut elettrc. l problema che s uole rsolere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse da generator ndpendent present, n generale funzon qualunque del tempo, s uole calcolare l'andamento temporale delle corrent e delle tenson n tutt ram del crcuto. ome gà detto, s suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre alla potes medante l'ntroduzone d crcut equalent de component a pù d due termnal. Gl esemp llustrat s rferscono, per semplctà, a crcut n regme stazonaro (o regme d corrente contnua), defnto dalla condzone d/dt. n tal caso, ogn grandezza nel crcuto s suppone tempo-narante. D UT GF È possble assocare ad ogn crcuto un enttà matematca G chamata grafo, formata da un nseme d nod N (nod del crcuto) e da un nseme d ram (ram del crcuto) che collegano nod tra loro. Notamo che s è così edenzata la struttura topologca del crcuto, coè l modo n cu sono conness component tra loro, senza preoccupars delle caratterstche de component stess. d ogn ramo sono assocat una corrente d ramo ed una tensone d ramo. È possble assocare ad ogn nodo un potenzale (tensone d nodo) defnta come tensone esstente tra l nodo n esame e l nodo d rfermento, l cu smbolo è, scelto arbtraramente. Una propretà del crcuto che s trasfersce al corrspondente grafo è la propretà d connessone, secondo la quale tutto l crcuto è connesso elettrcamente, e qund per ogn nodo del crcuto è possble troare un percorso che, seguendo ram del grafo, connetta tale nodo al nodo d rfermento (nel caso n cu l crcuto non sa connesso edremo che è sempre possble connetterlo nterponendo un collegamento tra ogn coppa d crcut non conness). Ogn ramo del grafo dee essere orentato, ottenendo così un grafo orentato: questa orentazone corrsponde al erso posto della corrente n quel ramo. L orentazone della tensone del ramo può essere fatta ndpendentemente da quella della corrente. Tuttaa, usualmente la tensone sarà orentata secondo la conenzone degl utlzzator n modo che la corrente ada dal termnale posto a quello negato. on questa conenzone, la potenza p(t) (t) (t) è assorbta se posta, erogata se negata. Se la tensone è orentata n senso opposto (conenzone de generator), allora la potenza è assorbta se negata, erogata se posta. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura (N nod, 6 ram), doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat per tenson e corrent d ramo medante la scelta dell utlzzatore. l grafo orentato corrspondente è llustrato n fgura.a. 5 D 5 6 Fgura D 6 Fgura.a Metod per l anals de crcut -

21 Le Legg d Krchhoff (delle Tenson e delle orrent) c permettono d screre delle equazon che descrono la topologa del crcuto, oero l modo n cu component sono conness tra loro: La Legge d Krchhoff delle orrent (LK) afferma che la somma algebrca delle corrent n un nodo è nulla n qualsas stante d tempo. - quazone per un nodo (LK n ): r La Legge d Krchhoff delle Tenson (LKT) può essere formulata n due mod equalent tra loro: - La somma algebrca delle tenson d ramo su ram d una magla è nulla per qualsas stante d tempo; - quazone per una magla (LKT m ): - Ogn tensone d ramo è data dalla dfferenza de potenzal d nodo de suo termnal. - quazone per un ramo (LKT r ): e e (.c) n r m r r (.a) (.b) Scramo le equazon LK e LKT utlzzando l grafo assocato al crcuto. Supponamo che l grafo assocato abba N nod e ram orentat. on rfermento al grafo d fgura.a, N (,,, D) e 6. S scelga ad esempo l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento (e D ). Le equazon LKT r e LK n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): LKT r : e e e e e e 5 6 e e e (una equazone per ogn ramo, qund n generale equazon n cu compaono tenson d ramo ed N potenzal d nodo; nell esempo n oggetto possamo qund screre 6 LKT r n cu compaono 6 tenson d ramo ed potenzal d nodo) LK n : 6 5 (una equazone per ogn nodo, meno quello d rfermento, qund n generale N equazon n cu compaono corrent d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre LK n n cu compaono 6 corrent d ramo). È oamente possble screre una ulterore LK n applcata al nodo d rfermento ( 6 5 ), ma è facle mostrare che è una combnazone lneare delle precedent N. nfatt, tale equazone s ottene sommando le (.). S not che le (.) e le (.) sono N equazon n N ncognte (tenson d ramo, potenzal d nodo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. (.) (.) Metod per l anals de crcut -

22 La LKT può essere enuncata consderando le magle del crcuto (secondo la formulazone.b). Per questo, ntroducamo l concetto d albero T assocato ad un grafo G:. T è un sottografo d G con tutt nod e una parte de ram; ogn ramo consera la sua orentazone;. T è connesso;. T non ha magle: c è un solo percorso che collega ogn coppa d nod. Oamente, ad ogn grafo è assocato pù d un albero. omunque, ogn albero T ha N ram. ram d G appartenent a T sono chamat ram dell albero, mentre rmanent sono chamat ram del coalbero (e sono N ). Se aggungamo un ramo del coalbero a T, creamo una magla che è formata da ram dell albero e da quell unco ramo del coalbero (magla fondamentale). Per ogn ramo del coalbero, possamo rpetere l operazone formando ogn olta una magla dersa, ndpendente da tutte le altre (*). S può allora dmostrare che l numero d magle ndpendent d un crcuto (coè l nseme delle magle fondamental) è par a ram del coalbero, e precsamente (N ) N. ttolo d esempo s consder l grafo llustrato nella fgura.a; uno de possbl alber è llustrato n fgura.b (ram, e ). ram tratteggat sono quell d coalbero (ram, 5 e 6). Le magle ndpendent sono qund N, (n partcolare a, b D6, c D5D). a b c 5 D 6 Fgura.b pplcando la LKT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: LKT m : 6 (.) 5 (una equazone per ogn magla ndpendente qund n generale N equazon n cu compaono tenson d ramo; nell esempo n oggetto possamo qund screre LKT m n cu compaono 6 tenson d ramo) S not che le (.) e le (.) sono equazon n ncognte (tenson d ramo e corrent d ramo): per rsolere l crcuto dobbamo aggungere ancora equazon, e precsamente modell de component. Operatamente, per troare le magle ndpendent d un crcuto, s dee assocare un albero T al grafo G del crcuto, qund screre la LKT m per ogn magla assocata ad un ramo del coalbero. (*) Un nseme d m magle s dce ndpendente se le m equazon ottenute applcando la LKT ad ognuna d esse sono lnearmente ndpendent. Pertanto, una magla è ndpendente da altre se la relata equazone LKT è ndpendente dalle equazon LKT delle altre. Metod per l anals de crcut -

23 UT P D MMO crcut pr d memora sono quell n cu tutt component del crcuto sono pr d memora ossa le loro caratterstche tensone-corrente stablscono un legame stantaneo tra le due grandezze che non dpende da alor da esse assunte n precedenza. n tal caso l sstema rsolente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon algebrche ed l alore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del alore delle grandezze mpresse del crcuto n quello stesso stante. nals d Tableau l metodo pù generale, per l'anals d un crcuto qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), consste nel consderare come ncognte del sstema le corrent d ramo, le tenson d ramo e le (N ) tenson d nodo rspetto ad un nodo arbtraramente scelto come nodo d rfermento. l sstema rsolente ene qund ottenuto da equazon LKT r (una per ogn ramo), da N equazon LK n (una per ogn nodo, tranne quello d rfermento) e da equazon costtute de component. ttolo d esempo s consder l crcuto llustrato nella fgura, doe non sono stat ndcat ers post delle tenson d ramo, perché s suppone d consderare comunque ers d rfermento assocat con la regola dell utlzzatore per tenson e corrent d ramo. 5 6 D Fgura S scelga arbtraramente l nodo D come nodo d rfermento per le tenson e s ndchno con e, e ed e le tenson de nod, e rspetto al nodo d rfermento. Le equazon LKT r e LK n assumono allora la forma rspettamente delle (.) e (.): e e ( 6 equazon LKT r n cu compaono come ncognte 6 tenson d ramo ed N potenzal d nodo) e e e e 5 6 e e e (.) Metod per l anals de crcut -

24 (N equazon LK n n cu compaono come ncognte 6 corrent d ramo) 6 5 l sstema ene qund chuso dalle seguent equazon costtute de component: ( 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte 6 tenson d ramo ed 6 corrent d ramo) l sstema costtuto dalle equazon (.), (.) e (), doe sono note le grandezze,,,, ed, costtusce un sstema d 5 equazon nelle 5 ncognte del problema che sono rspettamente e, e, e,,,,, 5, 6,,,,, 5, 6. l sstema d equazon rsolente è non lneare per la presenza del dodo che è un componente non lneare (ultma equazone delle ()). l procedmento llustrato è completamente trasferble su un computer e la soluzone (o le soluzon matematcamente possbl, poché n generale, essendo l sstema non lneare, può esstere pù d una soluzone) può essere ottenuta numercamente. n questo caso la soluzone può essere ottenuta elmnando la non lneartà del sstema, consderando separatamente due cas possbl: dodo n conduzone ( 6 >, 6 ) oppure dodo nterdetto ( 6, 6 < ). Dodo n conduzone. Ponendo 6 nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d equazon lnear nelle ncognte e, e, e,,,,, 5,,,,, 5, 6, la cu soluzone è la seguente: e e e ; ; ; ; 5 6 ; ; ; 5 ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo n conduzone dee essere 6 > e qund, dalla ultma delle () dee essere: (.) () () (5) Metod per l anals de crcut - 5

25 Dodo nterdetto. Ponendo 6 nelle (.) ed elmnando contemporaneamente l'ultma equazone delle () che è dentata una denttà, s ottene un sstema d equazon lnear nelle ncognte e, e, e,,,,, 5, 6,,,,, 5, la cu soluzone è la seguente: e ; e ; e ; ; ; ; ; ffnché la soluzone troata non contraddca l'potes d dodo nterdetto dee essere 6 < e qund dalla ultma delle (6) dee essere: (6) (7) Dal confronto della (5) con la (7) s ede che, una olta assegnat alor d, ed, una sola delle due soluzon è accettable. assumendo, per applcare l metodo d Tableau ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s prende arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, s applca la LKT r ad ogn ramo del crcuto, s applca la LK n a tutt nod tranne quello d rfermento e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: equazon LKT r M e N equazon LK n equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), e è l ettore delle tenson d nodo (dmensone N ), M è una matrce costante (N ) ed è una matrce costante (N ) [ome s è gà sto, rsulta che M è la trasposta d, coè: M T ]. n generale la funzone f può dpendere anche dalla arable temporale t, ma tale dpendenza, per semplctà d notazone, non è esplctamente ndcata. l sstema rsolente contene dunque N equazon n N ncognte. Nel caso partcolare n cu tutt component sano resstor lnear, generator ndpendent d tensone e d corrente oppure generator plotat con caratterstca lneare, la rete s defnsce lneare e le equazon delle caratterstche possono essere scrtte nella forma equazon caratterstche H K S doe H è una matrce costante, K è una matrce costante ed S è l ettore d dmensone che contene le tenson e le corrent mpresse da generator ndpendent (su ram n cu sono present e zero altroe). n tal caso l sstema rsolente è lneare ed è possble esprmere ogn a- Metod per l anals de crcut - 6

26 rable come combnazone lneare delle sole tenson e corrent mpresse da generator ndpendent. on rfermento alla corrente sul k-esmo ramo potremo qund screre: k k n gen. nd. tensone g, ns, n αk, ms, m per ogn k m gen. nd. corrente Tale relazone è l enuncato del Prncpo d Sorapposzone degl ffett: n una rete lneare la corrente n un generco ramo (effetto) è uguale alla somma algebrca delle corrent che sarebbero prodotte da sngol generator ndpendent present nella rete se agssero separatamente. Lo stesso ale per le tenson d ramo e d nodo (o). lmnazone delle tenson d nodo Le soluzon () e (6) sono state ottenute rsolendo un sstema d equazon lnear n ncognte. Tale soluzone, anche se la matrce del sstema è sparsa, può rsultare complessa. L ordne del sstema rsolente può essere rdotto osserando che è possble ottenere un sstema d equazon ndpendent nelle sole tenson e corrent d ramo ncognte. S consder nfatt la fgura n cu sono ndcate ( N rsulta n questo caso uguale a ) magle ndpendent del crcuto ndduate n fgura.b. pplcando la LKT m alle magle così defnte s ottene l seguente sstema d equazon lnear n cu compaono solo le tenson d ramo: ( N equazon LKT m n cu come ncognte compaono 6 tenson d ramo) 6 5 (.) (o) solere una rete lneare con l prncpo d sorapposzone degl effett sgnfca allora scomporre la rete orgnara n tante rete parzal quant sono generator ndpendent, calcolare la corrente ne ram per ognuna d queste ret, e sommare algebrcamente le corrent parzal. S calcol ad esempo la corrente nella resstenza della rete d fgura. S ha: Ponendo ; s ha, doe ' ed '' sono le corrent nelle due sottoret: ' ' '' '' La prma è la rete che s ottene da quella orgnara, annullando l'azone del generatore ndpendente d corrente, la seconda quella n cu è annullata l'azone del generatore ndpendente d tensone. La fgura llustra l concetto mostrando, nel contempo, n che modo s esclude l'azone de generator: generator ndpendent d tensone nulla sono equalent a cortocrcut, generator ndpendent d corrente nulla sono equalent a crcut apert. Metod per l anals de crcut - 7

27 5 a b c 6 Fgura Le LKT m (.), le LK n (.) e le relazon costtute () costtuscono un sstema d equazon, rsolendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. (N equazon LK n n cu compaono come ncognte 6 corrent d ramo) ( 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte 6 tenson d ramo ed 6 corrent d ramo) D nfne, per tutt component controllat n tensone (n questo esempo l ramo 5) o n corrente (n questo esempo ram,,, e ), è possble sostture le equazon costtute nelle LKT m ed LK n. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a (Numero d component non controllat né n tensone né n corrente), n altrettante arabl (tenson o corrent d ramo). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo è l unco componente presente non controllato né n tensone né n corrente) l seguente sstema d 7 equazon nelle ncognte 5, 6,,,,, 6 : ( N equazon LKT m ) (N equazon LK n ) (equazone costtute de component non controllat né n tensone né n corrente) (.) () (.) (.) 6 6 (.) assumendo, per applcare l metodo dell elmnazone delle tenson d nodo ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s applca la LKT m ad ogn magla ndpendente del crcuto, s applca la LK n a tutt nod tranne uno e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: Metod per l anals de crcut - 8

28 N equazon LKT m N equazon LK n equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), è una matrce costante ( N ) ed è una matrce costante (N ). l sstema rsolente contene dunque equazon n ncognte. Tuttaa, se tutt component sono controllat n tensone o n corrente è possble sostture le caratterstche nelle LKT ed LK, gungendo ad un sstema rsolente d equazon n ncognte. Metodo de Tagl Fondamental Una dfferente semplfcazone del sstema rsolente (.), (.), () s può ottenere osserando che le LK permettono d esprmere la corrente n cascun ramo d albero come una combnazone lneare delle corrent su ram d coalbero. nfatt, dato che l albero assocato al grafo è, per defnzone, pro d magle, è sempre possble assocare ad ogn ramo d albero una superfce chusa (superfce d taglo) che ntersech, oltre ad esso, solo ram d coalbero. L nseme de ram ntersecat da tale superfce chusa prende l nome d taglo (la rmozone del taglo separa l grafo n due sotto-graf non conness). Se l taglo contene un solo ramo d albero, esso prende l nome d taglo fondamentale relato a quel ramo e a quell albero. n fgura.b sono llustrat tre superfc che ndduano tagl fondamental assocat a ram d albero (tagl fondamental: [,, 6], [, 6], [, 5, 6]) da cu è possble rcaare le (8) applcando la Legge d Krchhoff delle orrent su tal superfc (LK t ). 5 6 D Fgura.b (N equazon LK t n cu compaono come ncognte 6 corrent d ramo) (una relazone per ogn ramo d albero qund n generale N relazon che esprmono le N corrent d albero n funzone delle N corrent su ram d coalbero; nell esempo n oggetto possamo qund screre relazon che esprmono le corrent d albero, e n funzone delle corrent su ram d coalbero, 5 e 6 ) (8) Metod per l anals de crcut - 9

29 Dato che le (8) sono state ottenute applcando la Legge d Krchhoff delle orrent, esse rsultano equalent alle (.) (nfatt sosttuendo le (8) nelle (.) s ottengono tre denttà ). noltre, per tutt component su ram d albero è possble sostture le relazon (8) nelle relazon costtute de component. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N, n altrettante arabl (tenson d ramo e corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund l seguente sstema d 9 equazon nelle ncognte,,,, 5, 6,, 5, 6 : ( N equazon LKT m n cu come ncognte compaono 6 tenson d ramo) ( 6 equazon costtute de component n cu compaono come ncognte 6 tenson d ramo ed N corrent d coalbero) ( ) 6 ( ) (.) nfne, per tutt component controllat n corrente (n questo esempo ram,,, e ), è possble sostture le equazon costtute nelle LKT m. Tale sosttuzone porta ad un sstema contenente un numero d equazon par a N (Numero d component non controllat n corrente), n altrettante arabl (tenson d ramo o corrent d coalbero). Nell esempo n oggetto otterremo qund (dato che l dodo ed l generatore d corrente non sono controllat n corrente) l seguente sstema d 5 equazon nelle ncognte 5, 6,, 5, 6 : ( N equazon LKT m ) ( 6 ) ( 6 ) 6 ( 6 5 ) ( ) (equazone costtute de component 5 non controllat n corrente) (8.) (8.) (8.) S not che rsulta conenente, se possble, sceglere ram dell albero escludendo quell contenent generator d corrente ndpendent. n tal caso nfatt, s ottengono drettamente delle equazon del tpo 5 (relazone costtuta del generatore d corrente), che consentono d rdurre drettamente l ordne del sstema. assumendo, per applcare l metodo de Tagl fondamental ad un crcuto connesso qualunque ( numero d ram del crcuto, N numero d nod del crcuto), s defnsce un albero (ed un coalbero), s applca la LKT m ad ogn magla fondamentale, s applca la LK t ad ogn taglo fondamentale e s chude l sstema con le equazon costtute (caratterstche) de component: N equazon LKT m N equazon LK t ed N denttà Q c equazon caratterstche f (, ) doe è l ettore delle tenson d ramo (dmensone ), è l ettore delle corrent d ramo (dmensone ), c è l ettore delle corrent de ram d coalbero (dmensone N ), è una ma- Metod per l anals de crcut -