1. DEFINIZIONI E LEGGI DI KIRCHHOFF

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1 TEOI DEI CICUITI. DEFINIZIONI E LEI DI KICHHOFF La carca elettrca, ndcata con q, è la propretà ntrnseca della matera responsable de fenomen elettrc e magnetc. L untà d msura della carca elettrca è l Coulomb [C]. La carca elettrca è, spermentalmente, sempre assocata a portator d carca dotat d massa. Questo sgnfca ce è possble porre n momento la carca elettrca (nfatt, se la massa è non nulla, applcando una forza esterna al portatore d carca questo subrà una accelerazone, e qund una eloctà, non nulla). Il moto, o meglo lo spostamento, della carca elettrca rcede qund energa (corrspondente al laoro della forza esterna). Queste osserazon gustfcano le seguent defnzon d corrente (elettrca) e tensone (elettrca): La corrente, ndcata con, ce passa attraerso una data superfce orentata è defnta dalla carca elettrca ce attraersa quella superfce nell untà d tempo. L untà d msura della corrente è l mpere []; un ampere è par ad un coulomb al secondo. Il erso della corrente è quello della superfce orentata (ndcato da una frecca). S può dunque esprmere la corrente come: dq/dt () La tensone, ndcata con B, tra due termnal e B n un crcuto è l laoro rcesto per muoere una carca posta untara da (termnale ) a B (termnale ). L untà d msura della tensone è l Volt [V]. S può dunque esprmere la tensone come: B dw B /dq () Un componente (o elemento) elettrco è una regone d spazo accessble soltanto tramte termnal. È qund possble classfcare component sulla base del numero d termnal. Come mostrato nelle fgure e, un componente a due termnal è detto bpolo, uno a tre termnal è detto trpolo, etc., uno a N termnal è detto N-polo. Fgura. Componente a due termnal (bpolo). Fgura. Componente a tre termnal (trpolo). cascun termnale è assocata una corrente ce è unocamente defnta, n alore e segno, una olta ce sa stato arbtraramente scelto l suo erso posto (ndcato dalla frecca): una corrente 5 sgnfca ce una corrente d ntenstà par a 5 mpere entra nel componente attraerso l termnale, ceersa, una corrente 5 sgnfca ce una corrente d ntenstà par a 5 mpere esce dal componente attraerso l termnale. d ogn coppa d termnal è assocata una tensone ce è unocamente defnta, n alore e segno, una olta ce sa stato arbtraramente scelto l termnale d rfermento (ndcato col segno ): una tensone 5 V sgnfca ce l termnale s troa ad un potenzale superore d 5 Volt rspetto a quello del termnale, ceersa una tensone 5 V sgnfca ce l termnale s troa ad un potenzale nferore d 5 Volt rspetto a quello del termnale. Spesso l ndcazone del e del ene sosttuta da una frecca ce ndca l termnale posto. Elettrotecnca T Defnzon -

2 In partcolare, se la tensone tra termnal d un bpolo è nulla ( 0), ess sono collegat tramte una connessone deale (o cortocrcuto) l cu smbolo è mostrato n fgura. Pertanto, per defnzone, non è rcesto laoro per spostare una carca tra termnal d un cortocrcuto. Fgura. Connessone deale ( 0) Un crcuto elettrco (o rete elettrca) a costant concentrate è un nseme d component elettrc collegat tramte connesson deal e soggetto a ncol [defnt nel seguto] not come Legg d Krcoff. Nel seguto, per semplctà, con l termne crcuto elettrco s ntenderà crcuto elettrco a costant concentrate (o). Inoltre, s supporrà ce crcut n esame sano costtut d sol bpol; se cò non fosse ero, s può pensare d rcondurs a tale potes sosttuendo component con pù d due termnal con opportun crcut equalent costtut da sol bpol: cò è scuramente possble medante l'ntroduzone d generator plotat [ed seguto]. Un nodo d un crcuto elettrco è un punto a cu sono collegat due o pù termnal, oppure è un termnale solato. Il crcuto mostrato nella fgura 4 è costtuto da cnque bpol; collegat a 4 nod (, B, C, D). B Una sequenza cusa d nod è una successone d nod tale ce l prmo nodo concde con l'ultmo. (d esempo, sono sequenze cuse, B, BC, BCD, etc.) 4 4 D C 5 Fgura 4. Crcuto costtuto da 5 bpol e 4 nod. 5 La LEE DI KICHHOFF DELLE TENSIONI (LKT) afferma ce per una qualsas sequenza cusa d nod la somma delle tenson tra coppe ordnate d nod success è nulla. Con rfermento al crcuto della fgura 4, applcando la LKT alla sequenza cusa d nod BC s ottene la seguente equazone (*) : B BC C 0 (4) Le tenson d nodo (o potenzal d nodo) d un crcuto sono le tenson d tutt nod rspetto ad un nodo assunto come rfermento, la cu scelta è arbtrara. La LKT permette d esprmere la tensone tra una qualsas coppa d nod del crcuto come dfferenza delle relate tenson d nodo: con rfermento alla fgura 4, supponendo d sceglere l nodo come nodo d rfermento (e posto dunque e 0), ed ndcando con e B ed e C le tenson d nodo de nod B e C (e B B ; e C C ) la equazone (4) permette d screre: BC e B e C (5) La sequenza cusa d nod BCD nddua un percorso cuso attraerso component del crcuto: tratt d tale percorso all'nterno d cascun componente engono dett ram ed l percorso, magla. pplcando la LKT alla magla BCD, tenendo conto de ers post scelt per le ten- (o) Ne crcut a costant concentrate le propretà elettrce del crcuto, come resstenza, nduttanza, capactà [ed seguto] s consderano tutte contenute (concentrate) ne relat component crcutal ed collegament tra component sono realzzat tramte connesson deal pre d resstenza, nduttanza e capactà. Una rappresentazone pù accurata d ogn dsposto reale mostra tuttaa come tal propretà sano dstrbute all'nterno del dsposto e qual sano lmt d applcazone del modello crcutale a costant concentrate (passaggo dalla teora de crcut alla teora de camp). (*) S not ce applcando la LKT alla sequenza cusa d nod s ottene 0, qualunque sa l nodo. Inoltre, applcando la LKT alla sequenza cusa d nod B s ottene B B 0, oero B B. Qund scambare termnal camba segno alla tensone. Elettrotecnca T Defnzon -

3 son a termnal de component (tenson d ramo) e del erso d crcutazone della magla, s ottene la seguente relazone: 4 0 (6) La LKT applcata ad una magla del crcuto afferma ce la somma algebrca delle tenson d ramo (su ram ce compongono la magla) è nulla. La LEE DI KICHHOFF DELLE COENTI (LKC) afferma ce per ogn superfce cusa (ce non nterseca component) la somma algebrca delle corrent ce la attraersano è nulla. È suffcente defnre una sola corrente n ogn ramo. Infatt, s consder la superfce cusa S ce raccude al suo nterno un solo bpolo (ed fgura 5a). La corrente entra n S, S mentre la corrente esce da S. ssumendo poste le corrent uscent e negate quelle entrant, la LKC afferma qund ce 0, da cu segue ce:. Tenendo conto d cò, con rfermento alla fgura 5b s consder la superfce cusa S ce raccude al suo nterno l ramo. Fgura 5.a Le corrent ce attraersano S sono e 4, ce entrano nella superfce, e la corrente 5, ce ne esce, per cu la LKC applcata a S permette d screre la seguente equazone: (7) S not ce la corrente, essendo all nterno d S, non compare nella (7). S consder ora la superfce cusa S ce raccude al suo nterno solo l nodo B. La LKC applcata a S permette d screre: 5 0 (8) ce s può nterpretare come LKC nel nodo B. 4 4 Fgura 5.b Le LKC applcate a tutt nod d un crcuto non sono ndpendent. 0 pplcando la LKC a tutt quattro nod del crcuto d fgura 5.b s ottengono le quattro equazon a lato. 5 0 Come è mmedato erfcare, la somma delle equazon porta 4 0 ad una denttà (0 0). Tale rsultato generale è douto la fatto ce ogn corrente d ramo k compare esattamente due olte, con segn oppost, nelle LKC relate a nod ce sono termnal del ramo k Una delle equazon è dunque una combnazone lneare delle altre N, e s può omettere. Le rmanent N equazon sono caramente ndpendent n quanto, qualunque sa l equazone omessa (ad esempo la quarta, nodo D), tutte le corrent d ramo present nell equazone elmnata compaono una sola olta nelle restant equazon (ad esempo, 4 ed 5 ). Le equazon LKC ndpendent sono qund N. D S 5 B C S 5 (#) Un nseme d n equazon lnear n m arabl (m n) sono lnearmente ndpendent se la matrce de coeffcent è d rango massmo (oero esste una sottomatrce quadrata n n con determnante non nullo). Oamente, l ndpendenza delle equazon è essenzale per poter ottenere un sstema d equazon unocamente soluble [ed seguto] la cu soluzone permette d determnare alor delle arabl crcutal, coè tenson e corrent. Elettrotecnca T Defnzon -

4 Le due legg d Krcoff, delle tenson e delle corrent, permettono d screre delle equazon lnear tra le tenson e le corrent ce non dpendono dalla natura de component present nel crcuto, ma uncamente da come ess sono collegat tra d loro (topologa del crcuto). Sa dato un crcuto caratterzzato da ram ed N nod (ad esempo per l crcuto d fgura 5.b, N 4 ed 5). Per cascun ramo s assumano ers post per la tensone d ramo e la corrente d ramo assocat secondo la scelta dell utlzzatore, ossa quando la corrente entra nel termnale posto (ed fgura 6.a). I ers d rfermento assocat secondo la scelta del generatore sono llustrat nella fgura 6.b, n cu la corrente esce dal termnale posto. Nel seguto, per semplctà, con l termne ers assocat s ntenderà assocat secondo la scelta dell utlzzatore. Fgura 6.a Vers d rfermento assocat (secondo la scelta dell utlzzatore) per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca ce ndca l termnale posto. Fgura 6.b Vers d rfermento assocat (secondo la scelta del generatore) per la tensone e la corrente d ramo. destra, l ndcazone del e del è sosttuta da una frecca ce ndca l termnale posto. Preso arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, la LKT permette d screre relazon del tpo (5) lnearmente ndpendent ce n forma matrcale assumono la forma: (##) M e (9) doe è l ettore delle tenson d ramo, e è l ettore delle tenson d nodo ed M è una matrce aente rge ed (N ) colonne, l cu generco elemento M k rsulta nullo se l ramo non è collegato al nodo k, uguale a se la corrente del ramo esce dal nodo k, se la corrente del ramo entra nel nodo k. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b, utlzzando ers d rfermento assocat secondo la scelta dell utlzzatore per le tenson e le corrent d ramo e prendendo D come nodo d rfermento (e D 0). S a qund: 4 5 e e e e B C C e e e B B e e e 0 B C M La LKC applcata a tutt nod tranne quello d rfermento permette d screre (N ) equazon del tpo (8) ce n forma matrcale assumono la forma: (##) S not ce n questa forma, ossa defnte su tutt ram utlzzando le tenson d ramo e le tenson d nodo, le LKT sono ndpendent (le colonne della matrce de coeffcent corrspondent alle tenson d ramo costtuscono la matrce denttà, ce a determnante untaro). Per alutare nece quante sano le LKT ndpendent quando sono applcate alle magle (oero quando sono formulate solo n termn d sole tenson d ramo) s utlzzeranno graf orentat [ed seguto]. Elettrotecnca T Defnzon - 4

5 0 (0) doe è l ettore delle corrent d ramo ed è una matrce, camata matrce d ncdenza rdotta, aente (N ) rge ed colonne, l cu generco elemento k rsulta nullo se l ramo k non è collegato al nodo, uguale a se la corrente del ramo k esce dal nodo, se la corrente del ramo k entra nel nodo. ttolo d esempo s consder ancora l crcuto d fgura 5.b. S a qund: sulta qund dalle defnzon ce M è la trasposta d, coè: M T () Facendo rfermento a ers d tensone e corrente assocat secondo la scelta dell utlzzaztore, s defnsce potenza stantanea assorbta da un bpolo n un generco stante t, l prodotto tra la tensone presente a suo termnal all'stante t e la corrente ce lo attraersa n quell'stante: p(t) (t) (t) () Infatt, dalle defnzon d dq/dt e d dw/dq, s a (dw/dq)(dq/dt) dw/dt p. Nel caso n cu ers della tensone e della corrente sano assocat secondo la scelta del generatore, l prodotto defnsce la potenza elettrca erogata dal bpolo. La potenza erogata è l opposto della potenza assorbta: p (erogata) p (assorbta). S not ce termn assorbta ed erogata ndcano l erso d rfermento dello scambo energetco tra l bpolo ed l resto del crcuto a cu è collegato. L untà d msura della potenza è l Watt [W]. d esempo una potenza assorbta p W sgnfca ce l crcuto a cu è collegato trasfersce nel bpolo una energa d Joule al secondo. Vceersa, una potenza assorbta p W ndca ce è l bpolo a trasferre nel crcuto una energa d Joule al secondo, qund n questo caso è pù utle dre ce la potenza erogata dal bpolo è W. Pù n generale, facendo rfermento ad un generco componente con N termnal, la potenza elettrca assorbta da tale componente n un generco stante t è data dalla seguente espressone: N p t kn t k t ( ) ( ) ( ) k doe s è preso l termnale N come termnale d rfermento per le tenson ed ers post delle corrent sono tutt entrant nell'elemento. S può dmostrare ce la potenza elettrca assorbta non dpende dalla scelta del termnale d rfermento. Dalle equazon (9), (0) ed () segue l Teorema d Tellegen ce afferma ce, per un dato crcuto, pres un qualsas ettore d tenson d ramo, ce soddsf le LKT ed un qualsas ettore d corrent d ramo, ce soddsf le LKC, ale la relazone: T 0 () Infatt, s a: T (M e) T e T M T e T e T 0 0 Se s applca la () consderando ettor delle tenson e delle corrent effettamente present nel crcuto, s ottene la relazone (4) ce, sulla base della defnzone (), mostra come la somma delle potenza assorbte da tutt ram d un crcuto è n ogn stante nulla (blanco delle potenze). T k k k k p k 0 (4) Elettrotecnca T Defnzon - 5

6 . COMPONENTI IDELI Nel seguto engono descrtte e dscusse le caratterstce e le propretà d alcun tra component deal d mpego pù dffuso n elettrotecnca. In generale component a due termnal (bpol) sono caratterzzat da una relazone (caratterstca o equazone costtuta) tra la corrente ce l attraersa e la tensone tra loro termnal (o) : Caratterstca d un bpolo: f(, ) 0 Un bpolo n cu sa determnable la tensone nota la corrente s dce controllato n corrente (coè, è possble almentarlo con un generatore d corrente con corrente mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della corrente corrsponde un solo alore della tensone); analogamente, un componente n cu sa determnable la corrente nota la tensone s dce controllato n tensone (coè, è possble almentarlo con un generatore d tensone con tensone mpressa qualsas [defnto nel seguto] e ad ogn alore della tensone corrsponde un solo alore della corrente). Infne, due bpol sono equalent se le loro caratterstce sono ugual (ance se anno una struttura nterna dfferente). I component con N termnal sono defnt da N caratterstce (funzone n generale d tutte le tenson e le corrent). Due component sono equalent quando anno le stesse caratterstce (*).. esstore lneare Il smbolo del resstore lneare è ndcato nella fgura 7. Con rfermento a ers assocat d tensone e corrente, la caratterstca del resstore lneare è la seguente: (Legge d Om) o, alternatamente (5.a) (5.b) Fgura 7 esstore lneare doe è una costante posta detta resstenza (msurata n Ω [Om]), è una costante posta detta conduttanza (msurata n S [Semens]) e rsulta /. L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p ( ) / (6.a) o, alternatamente p (/) / (6.b) Se la resstenza è posta, la potenza elettrca assorbta rsulta essere sempre posta, o al pù nulla quando la corrente è nulla; component ce godono d tale propretà engono dett component pass. Come s edrà nel seguto, un flo d rame (con ressttà ρ) d lungezza L e sezone (o) Nella caratterstca compaono tpcamente ance uno o pù parametr, d solto costant. nce l tempo può comparre esplctamente nella relazone caratterstca. In tal caso l componente è detto tempo-arante, altrment l componente è detto tempo-narante. Tutt component trattat nel seguto sono tempo-narant. I ers d tensone e corrente sono defnbl arbtraramente (tuttaa spesso sono assocat con la scelta dell utlzzatore). seconda del tpo d componente, la caratterstca può dpendere da tale scelta. Per semplctà d notazone la caratterstca tensone-corrente è rappresentata come una funzone, ma n generale non lo è; ad esempo, può dpendere dalle derate nel tempo d tensone e corrente (ed nduttore e condensatore, oppure ad un alore d corrente o tensone possono corrspondere nfnt alor d tensone o corrente (ed l dodo deale). (*) La nozone d equalenza è partcolarmente utle nel caso n cu l componente sa lneare. Per componente lneare s ntende un componente con tutte le caratterstce lnear, oero tale ce le caratterstce sono soddsfatte su tutta la lnea congungente due nsem dat d arabl ce soddsfano le caratterstce. Oero, nel caso d un bpolo lneare, se f(, ) 0 ed f(, ) 0, allora f(λ ( λ), λ ( λ) ) 0, per ogn λ costante. Elettrotecnca T Defnzon - 6

7 S può essere modellato per mezzo d un resstore d resstenza ρl/s, n cu la potenza elettrca assorbta ene trasformata n potenza termca per effetto Joule. Dalla (5.a) segue ce, se è posta e fnta, l resstore è un componente controllato n corrente (se è nota la corrente allora è nota ance la tensone). Inoltre dalla (5.b), se è posta e fnta, l resstore è ance un componente controllato n tensone (se è nota la tensone allora è nota ance la corrente). Pertanto, l resstore un resstore lneare d resstenza e conduttanza non nulle è controllato sa n tensone sa n corrente. La connessone deale, llustrata nella fgura ed ance camata cortocrcuto, può essere consderata un resstore lneare d resstenza nulla (o conduttanza nfnta). Come tale è un componente controllato n corrente, ma non n tensone; nfatt ad un unco alore d tensone (zero) corrspondono nfnt alor possbl della corrente. Vceersa, un crcuto aperto, l cu smbolo è rappresentato nella fgura 8, può essere consderato come un resstore d conduttanza zero (o resstenza nfnta) e come tale è un componente controllato n tensone, ma non n corrente: nfatt all'unco alore possble della corrente (zero) corrsponde una nfntà d alor possbl della tensone. Fgura 8. Crcuto aperto ( 0) Due bpol s dcono collegat n sere quando sono percors dalla stessa corrente. In fgura 9.a è llustrata la sere d due resstor. Confrontando le caratterstce s ottene l equalenza con un solo resstore aente una resstenza (equalente) par alla somma delle due resstenze. La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d resstor n sere (per defnzone tutt percors dalla stessa corrente): eq Σ k k. ( ) eq Fgura 9.a esstor collegat n sere Due bpol s dcono collegat n parallelo quando sono soggett alla stessa tensone. In fgura 9.b è llustrato l parallelo d due resstor. Confrontando le caratterstce s ottene l equalenza con un solo resstore aente una conduttanza (equalente) par alla somma delle due conduttanze (*). La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d resstor n parallelo (ce, per defnzone, sono tutt soggett alla stessa tensone): eq Σ k k. eq eq ( ) eq (*) Se s utlzzano le resstenze s ottene eq /( ) Elettrotecnca T Defnzon - 7

8 Fgura 9.b esstor collegat n parallelo Trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella Oltre a sere e parallelo esstono altr scem d connessone. Nella fgura 0.a sono mostrat tre resstor collegat a stella; nella fgura 0.b sono mostrat tre resstor collegat a trangolo. Entramb sstem costtuscono un trpolo ce ene collegato al crcuto esterno attraerso tre termnal, e. Facendo uso delle Legg d Krcoff e delle relazon costtute de resstor è possble dmostrare ce, per quanto rguarda le tenson e le corrent a termnal (, e ), è possble sostture tre resstor collegat a stella con tre resstor, d resstenza opportuna, collegat a trangolo e ceersa. La sosttuzone a ntesa nel senso ce qualunque sa l sstema d tenson applcate a termnal l sstema d corrent assorbto da due carc è lo stesso ( due trpol sono equalent). O Fgura 0.a Stella d resstor Fgura 0.b Trangolo d resstor Con rfermento alle fgure 0.a e 0.b, le espresson delle trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella sono le seguent doe è ndcata con la conduttanza, coè l nerso della resstenza. Trasformazone trangolo-stella Trasformazone stella-trangolo S not ce nel caso partcolare n cu resstor a stella abbano lo stesso alore d conduttanza, oero Y, ance resstor nel trangolo equalente sono ugual fra loro, oero Y /. llo stesso modo, utlzzando le resstenze, s a Y /. Per dmostrare le relazon d trasformazone stella-trangolo s consder la stella d resstor, caratterzzat tramte le rspette conduttanze, mostrata n fgura 0.a. L obetto è determnare una confgurazone d resstor equalente per termnal,,, ce non contenga l nodo centrale O, oero ce contenga solo resstor conness tra ogn coppa d termnal,, (trangolo). Per la stella, la corrente entrante nel generco nodo k è data da: k k (e k e O ). La somma delle corrent entrant da termnal,, dee essere nulla per la LKC n applcata al nodo O. Pertanto: 0 k ke k k k k keo Doe le sommatore s ntendono su,,. La tensone del nodo O rsulta qund: Cambando l ndce d somma (ce è rrleante) e sosttuendo nella relazone tensone-corrente d partenza s a qund: Elettrotecnca T Defnzon - 8 e O k k k e k k

9 k k e k k e k p ( e e ) k p k p p ( e e ) Per l trangolo, la corrente entrante nel generco nodo k è data da: k Σ k (e k e ). Per confronto s a qund: k k con, k,, p p La trasformazone nersa (da trangolo a stella) s ottene nertendo queste relazon. Infatt, posto S k k, s a: S, S, ed S. Qund ( ) S Pocé S, s a Infne: S ( )S ( S)( S) S Le altre due relazon s ottengono allo stesso modo permutando gl ndc. k Trasformazone stella-polgono La trasformazone stella-trangolo s può estendere mmedatamente (basta ntendere gl ndc da a n) alla trasformazone stella-polgono. In questo caso la stella (assegnata) è costtuta da n resstor con un termnale comune ed l polgono (con tutte le dagonal) da n(n-)/ resstor. La trasformazone nersa nece non è generalmente possble. ttolo d esempo s consder la seguente stella a 4 termnal (s not ce ance n questo caso la trasformazone elmna l nodo comune O): S S 0.5 S 0.5 S 0.5 S 4 S O S S 0.5 S 0.5 S. Induttore lneare S defnsce nduttore lneare un componente a due termnal l cu smbolo è ndcato nella fgura caratterzzato dalla seguente legge costtuta: d L (7) dt doe L è una costante posta camata nduttanza, msurata n H [Henry]. L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: L Fgura. Induttore lneare d d p L L (8) dt dt Elettrotecnca T Defnzon - 9

10 La (8) mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne W m L / ce assume qund l sgnfcato d energa magnetca mmagazznata nell'nduttore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere po nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l'nduttore. Pertanto, la potenza elettrca assorbta dall'nduttore può assumere alor sa post ce negat. S not ce l alore della corrente nddua unocamente lo stato energetco dell'nduttore; la corrente dunque è la arable d stato dell nduttore. L'equazone costtuta dell'nduttore (7) permette n ogn stante, se è noto l alore della tensone, d calcolare la derata temporale della corrente lascandone però completamente ndetermnato l alore. La corrente all'stante t s ottene ntegrando la (7) nel tempo. Supponendo ce all'stante, quando è stato assemblato l crcuto, la corrente sull'nduttore fosse nulla, s ottene: t ( t) ( ) L τ d τ (9) La (9) mostra ce l alore della corrente all'stante t dpende dal alore della tensone n tutt gl stant precedent. Per ndcare cò s dce ce l'nduttore è un componente dotato d memora. L nduttore, se L è posta, qund è un componente non controllato n tensone né n corrente. Infne, se l nduttore è n regme stazonaro ( ) (o se L è nulla) è equalente ad un cortocrcuto.. Condensatore lneare Il smbolo del condensatore è ndcato nella fgura, la sua legge costtuta è la seguente: d C C (0) dt doe C è una costante posta camata capactà Fgura. Condensatore lneare. del condensatore (msurata n F [Farad]). L espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: dt dt d d p C C () La () mostra come tutta la energa elettrca assorbta dall'nduttore ada ad ncrementare l termne W e C / ce assume qund l sgnfcato d energa elettrostatca mmagazznata nel condensatore; tale energa, una olta mmagazznata, può essere successamente resttuta a component del crcuto cu è collegato l condensatore. La potenza elettrca assorbta dal condensatore può qund assumere alor sa post ce negat. S not ce l alore della tensone nddua unocamente lo stato energetco del condensatore e percò la tensone è la arable d stato del condensatore. [Dal confronto della caratterstca del condensatore (0) con la defnzone d corrente () s deduce ce q C è una carca elettrca. Come s edrà a proposto del condensatore reale, le carce q e q sono accumulate sulle due part ce costtuscono l condensatore stesso (armature). L accumulo d energa s può qund far corrspondere ance all accumulo d carca (W e q /C).] nalogamente all'nduttore, ance l condensatore è un componente con memora; nfatt, ntegrando la (0) dall'stante, n cu è stato assemblato l crcuto ed n cu la tensone sul condensatore s suppone nulla, al generco stante t s ottene: t ( t) ( ) C τ d τ () La () mostra qund ce l alore della tensone n un generco stante t dpende dal alore della corrente n tutt gl stant precedent. Il condensatore, se C è posta, qund è un componente non controllato n tensone né n corrente. Infne, se l condensatore è n regme stazonaro (o se C è nulla) è equalente ad un crcuto aperto. ( ) Un crcuto è n regme stazonaro (o regme DC Drect Current, o n corrente contnua,) se ogn tensone e corrente nel crcuto è costante nel tempo. In tal caso, per defnzone, s a d/dt 0. Elettrotecnca T Defnzon - 0

11 .4 eneratore d tensone E E (a) (b) Fgura. eneratore d tensone: (a) ndpendente, (b) plotato. Il smbolo del generatore ndpendente d tensone è ndcato nella fgura.a, quello del generatore d tensone plotato (o dpendente) nella fgura.b; nel prmo caso la tensone mpressa E del generatore (o forza elettro-motrce del generatore) è una funzone nota del tempo, nel secondo caso dpende dal alore della tensone (generatore d tensone plotato n tensone: TPT) o della corrente (generatore d tensone plotato n corrente: TPC) d un altro ramo del crcuto. Il termnale contrassegnato dal segno ndca l termnale posto della tensone mpressa. Con rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura E (), l'equazone costtuta del generatore d tensone è la seguente: In fgura sono llustrat TPT (caratterstca: k p ) e TPC (caratterstca: r p ) lnear. p p k p r p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla (): p E (4) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda ce la corrente attraers l generatore nel erso assocato o non assocato (secondo la conenzone degl utlzzator) rspetto a quello della tensone mpressa. Il generatore ndpendente d tensone è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della tensone a termnal. Il generatore ndpendente d tensone è un componente controllato n corrente. Il generatore dpendente d tensone non è un componente controllato né n tensone né n corrente..5 eneratore d corrente I I (a) (b) Fgura 4. eneratore d corrente: (a) ndpendente, (b) plotato. Il smbolo del generatore ndpendente d corrente è ndcato nella fgura 4a, quello del generatore d corrente plotato (o dpendente) nella fgura 4b; nel prmo caso la corrente mpressa del generatore (I) è una funzone nota del tempo, mentre nel secondo dpende da un'altra grandezza ce può essere la corrente (generatore d corrente plotato n corrente: CPC) o la tensone (generatore d Elettrotecnca T Defnzon -

12 corrente plotato n tensone: CPT) d un altro componente del crcuto. La frecca cno al smbolo del generatore d corrente ndca l erso della corrente mpressa. Con rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura, l'equazone costtuta del generatore d corrente è la seguente: I (7) In fgura sono llustrat CPT (caratterstca: g p ) e CPC (caratterstca: p ) lnear. p p g p p L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: p I (8) La potenza elettrca assorbta rsulta qund posta o negata a seconda ce la tensone a termnal del generatore abba erso assocato o non assocato (secondo la conenzone degl utlzzator) rspetto a quello della corrente mpressa. Il generatore ndpendente d corrente è qund n grado d assorbre od erogare, n dpendenza dalle condzon d laoro del crcuto, una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della corrente ce lo attraersa. Il generatore ndpendente d corrente è un componente controllato n tensone. Il generatore dpendente d corrente non è un componente controllato né n tensone né n corrente. Le nozon d sere e parallelo sono applcabl a ogn bpolo, qund ance a generator. In fgura 5.a è llustrata la sere d due generator ndpendent d tensone. Confrontando le caratterstce s ottene l equalenza con un solo generatore ndpendente d tensone aente una tensone mpressa (equalente) par alla somma delle due tenson mpresse. La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d generator ndpendent d tensone n sere (per defnzone tutt percors dalla stessa corrente): E eq Σ k E k. E E E eq E E Fgura 5.a E E (E E ) E eq enerator d tensone ndpendent collegat n sere. nalogamente, n fgura 5.b è llustrato l parallelo d due generator ndpendent d corrente. Confrontando le caratterstce s ottene l equalenza con un solo generatore ndpendente d corrente aente una corrente mpressa (equalente) par alla somma delle corrent mpresse. La relazone ottenuta è generalzzable ad un numero qualsas d generator ndpendent d corrente n parallelo (per defnzone tutt soggett alla stessa tensone): I eq Σ k I k. Elettrotecnca T Defnzon -

13 I I eq I I I Fgura 5.b I I I eq enerator d corrente ndpendent collegat n parallelo. Le equalenze mostrate nelle fgure 5.a e 5.b mostrano come la procedura per determnare l bpolo equalente d una sere o d un parallelo sa sempre lo stessa: sosttuzone delle caratterstce f (, ) 0 ed f (, ) 0 de bpol nella opportuna LK (LKT per la sere e LKC per l parallelo) ed dentfcazone del componente equalente dalla sua caratterstca f(, ) 0. Tuttaa, questa procedura non porta sempre alla determnazone d un componente equalente. parte l caso n cu non essta un componente elementare corrspondente alla caratterstca f(, ) 0 (o), s possono ottenere nconsstenze oero crcut nammssbl (o patologc). d esempo, se s cerca d porre n parallelo due generator ndpendent d tensone o d porre n sere due generator ndpendent d corrente con grandezze mpresse derse (oo) le LK sono olate, come mostrato n fgura. Pertanto due scem rappresentat, seguendo la defnzone data precedentemente, non sono crcut elettrc. (ooo) E I I E pplcando la LKT alla magla costtuta da due generator s a: 0 E E 0. La LKT è olata: l crcuto è nammssble. pplcando la LKC al nodo n comune a due generator s a: 0 I I 0. La LKC è olata: l crcuto è nammssble. enerator real Un generatore d tensone reale può essere modellato elettrcamente medante lo scema llustrato nella fgura 5, costtuto da un resstore e da un generatore ndpendente d tensone collegat n sere. Il generatore d tensone permette d smulare la trasformazone energetca (ad esempo per le celle elettrocmce da energa cmca n energa elettrca e ceersa) ce aene all'nterno del dsposto reale; la tensone mpressa E 0 è par alla tensone a termnal del bpolo durante l funzonamento a uoto (quando non eroga corrente). La resstenza del resstore permette d smulare la dsspazone d potenza elettrca n potenza termca ce ene ceduta all'ambente crcostante. La (o) d esempo, la sere d un resstore lneare (con resstenza ) e d un nduttore (con nduttanza L). In tal caso s a: L d/dt e la caratterstca f(, ) 0 così defnta non corrsponde a nessun componente elementare. (oo) Se le grandezze mpresse sono ugual crcut sono ammssbl (come s deduce mmedatamente, due generator ndpendent d tensone con la stessa tensone mpressa E n parallelo sono equalent ad un solo generatore ndpendente d tensone con tensone mpressa equalente E ed, analogamente, due generator ndpendent d corrente con la stessa corrente mpressa I n sere sono equalent ad un solo generatore ndpendente d corrente con corrente mpressa equalente I) ma non sono unocamente solubl [ed seguto]. (ooo) Questa stuazone è soltamente l rsultato d un eccesso d dealzzazone nel modello del dsposto fsco studato. d esempo, è certamente possble collegare n sere o n parallelo due generator real. In tal caso tuttaa è essenzale consderare le resstenze nterne (spesso trascurate n prma approssmazone) per etare le nconsstenze nelle LK. Elettrotecnca T Defnzon -

14 caratterstca tensone-corrente del bpolo d fgura 6.a è llustrata n fgura 6.b. Il generatore d tensone reale è un componente controllato sa n tensone ce n corrente. E 0 E 0 / E 0 E 0 Fgura 6.a Modello crcutale del generatore reale. Fgura 6.b Caratterstca del generatore reale. S può rappresentare l generatore reale ance tramte un derso scema crcutale. tal fne è suffcente esplctare la corrente n funzone della tensone. tal fne posto / ed I 0 E 0 / s a: / E 0 / I 0 In questo modo la corrente entrante nel bpolo è nterpretable come la somma d due termn (oero d due corrent su due ram n parallelo). Il prmo termne, ce è proporzonale alla tensone, è un resstore d conduttanza ; l secondo termne, ce è noto, è un generatore d corrente ndpendente. E 0 I 0 Fgura 7. Crcut equalent del generatore reale. L equalenza llustrata n fgura 7 è possble, oamente, solo se sono soddsfatte le condzon / ed I 0 E 0 / (l caso 0 è qund escluso) o le loro nerse / ed E 0 I 0 / (l caso 0 è qund escluso). L equalenza tra bpol asscura (per defnzone) l uguaglanza delle caratterstce e qund ance la potenza assorbta da due bpol è la stessa: p E 0 ( I 0 ) / ( I 0 ) I 0 / I 0 I 0 / I 0 I 0 / I 0 [S not tuttaa ce la potenza assorbta dal resstore d resstenza nello scema d snstra (p ) è generalmente dersa dalla potenza assorbta dal resstore d conduttanza nello scema d destra (p ). Questo è partcolarmente edente se s consderano bpol a uoto ( 0): nel bpolo a snstra E 0, p 0, n quello d destra I 0 / E 0, p I 0 /]..6 Dodo deale Il smbolo del dodo deale è ndcato nella fgura 8.a. Con ers ndcat n fgura, la caratterstca del dodo deale è rappresentata, nel pano tensone - corrente, dal semasse negato delle tenson e dal semasse posto delle corrent (ed fgura 8.b): se la tensone anodo () - catodo (K) è negata, s dce ce l dodo è nterdetto e la corrente è nulla; ceersa, se l dodo è percorso da corrente da a K (dodo n conduzone) la tensone è nulla. Fgura 8.a Dodo deale K Elettrotecnca T Defnzon - 4

15 Il dodo deale non è controllato né n tensone (quando la corrente è nulla la tensone può assumere tutt alor negat) né n corrente (quando la tensone è nulla la corrente può assumere tutt alor post). seconda qund ce l dodo deale sa n conduzone od nterdetto, può essere consderato rspettamente un corto crcuto od un crcuto aperto [Il dodo deale qund è un componente non-lneare ce tuttaa è lneare a tratt]; n ogn caso la potenza elettrca assorbta dal dodo deale è nulla. dodo nterdetto 0, 0 dodo n conduzone 0, 0 Fgura 8.b Caratterstca del dodo deale, purcè ers d tensone e corrente sano scelt come n fgura 8.a (la caratterstca dpende dalla scelta de ers). N-polo In generale component a N termnal (N-pol) sono caratterzzat da N relazon (caratterstce o equazon costtute) tra le corrent e le tenson defnbl a termnal. Per defnre unocamente rferment, s consder l termnale N come termnale d rfermento per le tenson e s consderno come ers post delle corrent quell entrant nel componente: f (, K,, K, ) 0 n N N N, N, con n,..., N Naturalmente, dato ce la LKC mpone ce la somma d tutte le corrent è nulla, è sempre possble esprmere una d esse come opposto della somma d tutte le altre, coè esprmere le caratterstce n funzone d solo N corrent. Per ottenere un crcuto equalente costtuto solo da bpol (ma non è l unco modo) è suffcente collegare tutte le coppe d termnal (k, N) con k,..., N ad un bpolo con caratterstca f k 0 (nfatt, due component sono equalent se le loro caratterstce sono ugual). In fgura è mostrato l crcuto equalente costtuto solo da bpol d un trpolo generco costruto n questo modo. Se s consdera uno specfco componente è possble ance utlzzare component elementar. d esempo, n fgura è mostrato l crcuto equalente d una stella d resstor. f 0 f 0 f 0 f 0 N N..... ( ) ( ) Elettrotecnca T Defnzon - 5

16 N-porte Un componente a N termnal n cu sa possble dentfcare N coppe d termnal con le stesse corrent entrant/uscent (condzon d porta) è caratterzzato da N relazon (caratterstce o equazon costtute) tra le corrent e le tenson defnbl a termnal d ogn porta, dentfcat come -',..., N-N'. Per defnre unocamente rferment, s consderno termnal,..., N come termnal d rfermento post per le tenson e s consderno ers assocat per le corrent: f (, K,,, ) 0 K n N N, N, con n,..., N Infatt consderando l N-porte come un N-polo, esso sarebbe defnto da N caratterstce; tuttaa N d esse sono condzon d porta (la coppa d termnal N-N' è automatcamente una porta se lo sono tutte le altre, graze alla LKC). Per ottenere un crcuto equalente costtuto solo da bpol (ma non è l unco modo) è suffcente collegare ogn porta k (con k,..., N) ad un bpolo con caratterstca f k 0. Dopp bpol ( porte) Nel seguto engono descrtte e dscusse le caratterstce e le propretà d alcun de dopp bpol d mpego pù dffuso. Un doppo bpolo è defnto da due relazon caratterstce (o relazon costtute) ce possono essere espresse n funzone delle tenson e delle corrent defnte a termnal delle porte (s not ce le tenson e le corrent anno un solo ndce, quello della porta): ' N N ' N' N... Caratterstce d un doppo bpolo: f f (,,, ) (,,, ) 0 0 Lmtandoc a dopp bpol lnear, omogene e temponarant, le relazon costtute (lnear, a coeffcent costant e omogenee, come per generator plotat lnear TPT, TPC, CPT, e CPC), possono essere espresse come a destra (le due caratterstce deono essere lnearmente ndpendent, oero l rango della matrce de coeffcent dee essere ). Questa forma delle caratterstce è detta rappresentazone mplcta del doppo bpolo Caratterstce d un doppo bpolo lneare, omogeneo e tempo-narante: a a a a a a S defnsce rappresentazone esplcta (o semplcemente rappresentazone) del doppo bpolo una ersone delle equazon costtute n cu due arabl sono espresse esplctamente n funzone delle altre due. Sono possbl se rappresentazone (ance se, per un specfco doppo bpolo, alcune d esse possono non essere ammssbl). Cascuna rappresentazone mpone due relazon tra le quattro arabl,, e. Sotto opportune condzon tal relazon possono essere nertt algebrcamente e due qualsas delle arabl possono essere espresse n funzone delle altre due. seconda del tpo d rappresentazone s defnsce una matrce ce permette d calcolare le arabl dpendent a partre dalle arabl ndpendent. Le matrc [], [], [H], [H'], [T] e [T'] prendono l nome rspettamente d matrce d resstenza, d conduttanza, brda dretta, brda nersa, d trasmssone dretta, d trasmssone nersa. a 4 a Elettrotecnca T Defnzon - 6

17 appresentazone Controllata n corrente (tramte matrce []) r r r r Controllata n tensone (tramte matrce []) g g g g Ibrda dretta (tramte matrce [H]) Ibrda nersa (tramte matrce [H']) Trasmssone dretta (tramte matrce [T]) t t t t Trasmssone nersa (tramte matrce [T']) t t t t Varabl Dpendent Varabl Indpendent,,,,,,,,,,,, Dato qund un doppo bpolo lneare omogeneo e scelta una rappresentazone, coeffcent d matrce s possono calcolare specalzzando le caratterstce (annullando una delle arabl ndpendent). d esempo, per calcolare coeffcent della matrce [] è suffcente rsolere due crcut n fgura: 0 ) posto 0, l prmaro è almentato con una corrente arbtrara. solto l crcuto per determnare e, s a qund: r, r ) posto 0, l secondaro è almentato con una corrente arbtrara. solto l crcuto per determnare e, s a qund: r, r 0 0 Le rappresentazon d un doppo bpolo tramte matrce d resstenze, d conduttanze, brda dretta ed brda nersa possono essere scematzzate ance tramte un crcuto equalente. ( resstor ne seguent quattro scem sono defnt n termn d resstenza) r r [] r r Elettrotecnca T Defnzon - 7

18 [] /g g /g g [H] / [H'] ' /' ' ' Due dopp bpol e B s dcono n sere quando sa le porte d ngresso sa quelle d uscta sono collegate n sere (oero la stessa corrente crcola su prmar e la stessa corrente crcola su secondar). Tale collegamento da luogo ad un doppo bpolo equalente la cu matrce delle resstenze è data dalla somma delle matrc delle resstenze d e d B: [ eq ] [ ] [ B ]. Infatt: B B ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B B eq [ ] [ eq ] B [ B ] B Due dopp bpol e B s dcono n parallelo quando sa le porte d ngresso ce quelle d uscta sono collegate n parallelo (oero prmar sono soggett alla stessa tensone ed secondar sono soggett alla stessa tensone ). Tale collegamento da luogo ad un doppo bpolo equalente la cu matrce delle conduttanze è data dalla somma delle matrc delle conduttanze d e d B: [ eq ] [ ] [ B ]. Infatt: B B ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B B eq Elettrotecnca T Defnzon - 8

19 [ ] B B [ eq ] [ B ] Due dopp bpol e B s dcono n sere-parallelo quando porte d ngresso sono collegate n sere e quelle d uscta sono collegate n parallelo. Tale collegamento da luogo ad un doppo bpolo equalente la cu matrce brda dretta è data dalla somma delle sngole matrc brde drette, ossa: [H eq ] [H ] [H B ]. La dmostrazone è analoga a cas precedent. Due dopp bpol e B s dcono n parallelo-sere quando le porte d ngresso sono collegate n parallelo e quelle d uscta sono collegate n sere. Tale collegamento da luogo ad un doppo bpolo equalente la cu matrce brda nersa è data dalla somma delle sngole matrc brde nerse, ossa: [H' eq ] [H' ] [H' B ]. La dmostrazone è analoga a cas precedent. Due dopp bpol e B s dcono n cascata quando la porta d ngresso dell uno è collegata a quella d uscta dell altro. Tale collegamento da luogo ad un doppo bpolo equalente la cu matrce d trasmssone dretta è data dal prodotto delle sngole matrc d trasmssone: [T eq ] [T ] [T B ]. Infatt: B B [ T ] [ T ] [ T ][ T ] [ T ][ T ] [ T ] B B B B eq B B [T ] B [T B ] [T eq ] B Per quanto rguarda dopp bpol non omogene, se sono rappresentabl n tramte matrce d resstenze, d conduttanze, brda dretta od brda nersa termn not possono essere consderat come un generatore ndpendente d tensone n sere alla porta (se la arable dpendente è una tensone) o come un generatore ndpendente d corrente n parallelo alla porta (se la arable dpendente è una corrente): e e r r r r e [] e Elettrotecnca T Defnzon - 9

20 I I g g g g g g I g [] I g e Ig e [H] I g Ig e I g [H'] e Dato qund un doppo bpolo lneare non omogeneo e scelta una rappresentazone, termn not s possono calcolare specalzzando le caratterstce (annullando le arabl ndpendent). d e- sempo, per calcolare le tenson e ed e n un doppo bpolo controllato n corrente è suffcente rsolere l crcuto n fgura: 0 0 Posto 0, e rsolto l crcuto per determnare e, s a qund: e 0, e 0.7 Il trasformatore deale Il trasformatore deale è un doppo bpolo (oero un quadrpolo n K (9.a) cu è possble dentfcare una coppa d termnal n cu entra ed esce la stessa corrente) defnto dalle seguent relazon lnear: K (9.b) La costante K è detta rapporto d trasformazone [Il trasformatore deale ammette qund le rappresentazon tramte matrce brda dretta, brda nersa, d trasmssone dretta e d trasmssone nersa. Non sono nece possbl le rappresentazon tramte matrce d resstenze o d conduttanze.]. Il smbolo del trasformatore deale è ndcato nella fgura 9. S not ce una coppa d termnal è segnata con un punto, ndcando qund ers d rfermento post delle tenson e delle corrent per cu le (9) sono corrette. In fgura 9 è mostrato noltre uno de possbl crcut equalent del trasformatore deale. S not ance ce, pocé l trasformatore deale è defnto dalle (9), le relazon tra tenson e corrent a prmaro e secondaro sono alde n ogn condzone (ncluso qund l regme stazonaro). Il trasformatore deale è ndcato n letteratura ance con altr smbol, tuttaa, nel seguto s utlzzerà sempre l smbolo d fgura 9, dato ce l smbolo alternato è smle a quello ce rappresenta gl nduttor accoppat (ce saranno ntrodott pù aant). Elettrotecnca T Defnzon - 0

21 Caratterstce K K K : Fgura 9 - Trasformatore deale e crcuto equalente. K K La potenza assorbta dal trasformatore deale è nulla; nfatt, con rfermento a ers d rfermento delle tenson e delle corrent defnt n fgura 8, s a p(t) (t) (t) (t) (t) {K (t)}{ (t)/k} (t) (t) 0 Qund la somma delle potenze assorbte a prmaro e secondaro è complessamente nulla, oero la potenza assorbta a prmaro dal trasformatore deale (p ) rsulta n ogn stante uguale a quella erogata al secondaro (p ). nce se non assorbe potenza, l trasformatore deale muta parametr (tensone e corrente) con cu la energa elettrca ene assorbta a prmaro ed erogata a secondaro: la tensone ene rdotta (od aumentata) d un fattore par al rapporto d trasformazone del trasformatore K mentre la corrente ene aumentata (o dmnuta) dello stesso fattore. Quando a secondaro d un trasformatore deale è collegato un resstore d resstenza, l prmaro è equalente a un resstore d resstenza equalente K. Tale equalenza è llustrata nella fgura 9 e prende l nome d rduzone da secondaro a prmaro. La dmostrazone è mmedata: (t) K (t) K [ (t)] K [ K (t)] K (t) eq (t) K : eq K Fgura 9.a - duzone da secondaro a prmaro d un resstore. Naturalmente s può effettuare ance la rduzone da prmaro a secondaro. nalogamente al caso precedente s a: (t) (/K) (t) (/K) [ (t)] (/K) [( /K) (t)] (/K ) (t) eq (t) K : eq /K Fgura 9.b - duzone da prmaro a secondaro d un resstore. Se a secondaro d un trasformatore deale è collegato un generatore reale con tensone mpressa E e resstenza, l prmaro è equalente a un generatore reale con tensone mpressa KE e resstenza equalente K. La dmostrazone è mmedata: (t) K (t) K [E (t)] KE K [ K (t)] KE K (t) E eq eq (t) Elettrotecnca T Defnzon -

22 K : E E eq KE eq K Fgura 0 - duzone da secondaro a prmaro d un generatore reale..8 mplfcatore Operazonale deale Ingresso nertente Ingresso non nertente d Termnale dell almentazone Uscta Termnale dell almentazone (a) 0 Massa 0 (c) Fgura - mplfcatore operazonale [Un smbolo d.o. ce è molto utlzzato n pratca mostra solo tre termnal, omettendo l termnale d massa. Cò è douto al fatto ce l termnale d massa n fgura.b non esste fscamente come pedno ma puttosto ene creato esternamente tramte l almentazone. S è preferto edenzare esplctamente l termnale d massa percé altrment l applcazone della LKC arebbe fornto la relazone errata 0 0.]. L amplfcatore operazonale (.O.) è un componente atto (coè n grado d erogare potenza), progettato per essere ottenere specfce operazon d elaborazone delle arabl crcutal (segnale). lcun.o. possedono pù d sette termnal. Tuttaa, per la maggor parte delle applcazon solo cnque termnal ndcat nel smbolo d fgura.a sono essenzal (ngresso nertente, ngresso non nertente, uscta, termnale dell almentazone, termnale dell almentazone). I termnal aggunt sono soltamente collegat ad alcun crcut estern d compensazone per mglorare le prestazon dell.o.. Le almentazon engono utlzzate per polarzzare l.o.; n altr termn, le almentazon consentono l nstaurars d certe condzon ce sono essenzal al corretto funzonamento dell.o.. Dopo l collegamento dell almentazone (e dopo ce l crcuto d compensazone è stato collegato ad ogn termnale aggunto) solo quattro termnal restano dsponbl per collegament estern. Qund, dal punto d sta crcutale, l.o. è un dsposto a quattro termnal. Tale dsposto è traccato all nterno del trangolo tratteggato d fgura.b e sarà nel seguto ndcato con l smbolo llustrato n fgura.c, doe ed denotano rspettamente la corrente entrante dal ngresso nertente e da quello non nertente dell.o. nalogamente, e 0 denotano la tensone rspetto a massa de termnal, e uscta, rspettamente. La tensone d è detta tensone d ngresso dfferenzale. E E Massa (b) Per ottenere un esatta caratterzzazone d un.o. sarebbe necessaro analzzare l ntero dsposto, la cu struttura è molto complessa. Tuttaa per le applcazon a bassa frequenza, le corrent e le tenson a termnal dell.o. obbedscono alle seguent relazon approssmate: doe f( d ) denota la caratterstca d trasfermento da d a f d ( ) Elettrotecnca T Defnzon -

23 La caratterstca d trasfermento è una funzone dspar della tensone d ngresso dfferenzale, come llustrato n fgura. Inoltre tale funzone è puttosto nsensble alle arazon della corrente d uscta 0. S nota ce:. n un ntorno dell orgne (regone lneare) l rapporto tra tensone d uscta e tensone dfferenzale è crca costante: 0 / d. La costante, tpcamente almeno 0 5, ene detta guadagno d tensone n anello aperto.. ll aumentare d d la caratterstca satura a 0 ± E sat (regon d saturazone e ) egone lneare E sat 0 f ( d ) egone d saturazone egone d saturazone E sat Pendenza 0 5 Fgura Caratterstca d trasfermento. In consderazone de alor tpc d, la precsone s rduce poco assumendo per la caratterstca d trasfermento una rappresentazone lneare a tratt. Tale semplfcazone conduce al modello d.o. a guadagno fnto mostrato n fgura.a e.b. S nota ce la caratterstca d trasfermento è stata approssmata con tre segment (a meno ce non sa specfcato dersamente, nel seguto s farà rfermento a tale modello d.o.) Il modello d.o. a guadagno fnto può essere descrtto analtcamente come segue: 0 (0.a) 0 (.b) (egone d saturazone ) 0 E sat, d < E sat / (0.c) (egone lneare) 0 d, E sat / < d < E sat / (0.d) (egone d saturazone ) 0 E sat, d > E sat / (0.e) d d (a) 0 E sat / 0 d 0 E sat 0 E sat d E sat / (b) Fgura Modello d.o. a guadagno fnto È molto pù pratco tuttaa rappresentare cascuna regone tramte un semplce crcuto equalente, come llustrato nelle fgure 4.a, 4.b e 4.c. S not ce tre crcut equalent contengono esattamente la stessa nformazone della (0). In partcolare, quando l.o. opera nella regone lneare (soltamente la condzone d progetto) s rduce a quello della fgura 4.b, corrspondente alle (0.a), (0.b) e (0.d). In tal caso la tensone d uscta è proporzonale alla tensone d ngresso dfferenzale n ogn stante ed l modulo della tensone d uscta è nferore alla tensone d saturazone. d 0 0 E sat 0 0 d 0 0 d 0 0 d 0 0 E sat 0 0 (a) (b) (c) Fgura 4 Crcut equalent dell.o. a guadagno fnto: (a) per la regone d saturazone negata; (b) per la regone lneare; (c) per la regone d saturazone posta. Elettrotecnca T Defnzon -

24 In consderazone de alor tpc d, è spesso possble assumere. Tale semplfcazone conduce al modello d.o. deale mostrato n fgura 5.a e 5.b. Per edenzare ce nella regone lneare, s è aggunto l smbolo all nterno del trangolo, dstnguendo così l smbolo d.o. deale d fgura 5.a da altr modell. S not ce quando l.o. deale opera nella regone lneare la tensone d ngresso dfferenzale è ncolata ad essere zero n ogn stante (cortocrcuto rtuale) ed l modulo della tensone d uscta è nferore alla tensone d saturazone [S not ce mentre l.o. a guadagno fnto nella regone lneare è equalente a un TPT, l.o. deale non lo è. Tuttaa, come doppo bpolo è rappresentable (nella regone lneare) tramte la matrce d trasmssone dretta (n questo caso nulla)]. d (a) Fgura 5 d 0 0 E sat Modello d.o. deale. Il modello d.o. a guadagno nfnto può essere descrtto analtcamente come segue: 0 (.a) 0 (.b) (egone d saturazone ) 0 E sat, d < 0 (.c) (egone lneare) d 0, E sat < 0 < E sat (.d) (egone d saturazone ) 0 E sat, d > 0 (.e) 0 0 E sat d (b). COMPONENTI ELI Premesso ce component deal non esstono, cò ce dfferenza component real, coè quell acqustabl a catalogo da costruttor, da component deal (ce ne rappresentano l modello pù semplce) sono: - lmt operat. Ogn componente reale può funzonare solo n certe condzon predefnte d tensone, corrente, potenza assorbta (e temperatura). I lmt operat specfcat dal costruttore defnscono qund alor massm e mnm entro qual l componente dee funzonare. seconda del tpo d componente possono essere present solo alcun d tal lmt (ad esempo per un resstore lneare con resstenza nota è suffcente specfcare un solo lmte superore tra tensone, corrente o potenza assorbta). Se s superano lmt operat, l componente reale dea dal funzonamento presto con est ders (ad esempo se s supera l lmte sulla tensone massma s può passare da una caratterstca lneare ad una non-lneare oppure s può aere la rottura dell solamento). - gl effett termc. Ogn componente reale è soggetto a perdte (oero alla conersone d parte della potenza elettrca assorbta o erogata n potenza termca. Tal perdte proocano nel funzonamento a regme un aumento della temperatura nel componente fno a quando non s raggunge l equlbro termco con l ambente. I parametr ce defnscono component real sono funzon della temperatura (medata nel olume del componente). Soltamente s suppone un andamento lneare ed è qund suffcente defnre un coeffcente d temperatura. d esempo per un resstore lneare s può assumere una resstenza, alla temperatura T entro opportun lmt, par a (T) (T 0 ) [ α (T T 0 )], doe T 0 è una temperatura d rfermento (d solto la temperatura ambente). Il coeffcente d temperatura α (msurato n C ) dpende da materal mpegat e dalla tecnologa costrutta. seconda del componente è possble ance una arazone nel tempo del alore de parametr del componente (stabltà termca) tanto pù rapda quanto maggore è la temperatura d laoro del componente (ad esempo per condensator cò è douto all'neccamento [defnto nel seguto] del materale delettrco). - gl effett parasst. Con questo termne s ntendono tutt gl effett ders da quello rappresentato dal componente deale. Sono effett soltamente trascurabl n prma approssmazone e t- Elettrotecnca T Defnzon - 4