G. Parmeggiani 3/6/2019. Algebra e matematica discreta, a.a. 2018/2019, Scuola di Scienze - Corso di laurea:

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1 G. Parmeggan 3/6/9 Algebra e matematca dscreta, a.a. 8/9, Scuola d Scenze - Corso d laurea: parte d Algebra Informatca ESERCIZIO TIPO Sa A(α) α, dove α è un numero reale non negatvo. (a) Per qual α real non negatv la matrce A(α) è dagonalzzable? (b) Per qual α real non negatv la matrce A(α) è untaramente dagonalzzable? (c) Sa A A() la matrce che s ottene ponendo α. dagonalzzazone untara A UDU H per A. S trov una (d) Sa A A() la matrce che s ottene ponendo α. S scrva A nella forma A λ P + λ P, con λ e λ autovalor d A, e P e P matrc d proezone su E A (λ ) ed E A (λ ) rspettvamente. (a) Una matrce è dagonalzzable se e solo se cascun suo autovalore ha le due molteplctà, algebrca e geometrca, ugual tra loro. Calcolamo gl autovalor d A(α) e le loro molteplctà. Il polnomo caratterstco d A è: p A (x) x α Det(A xi 3 ) Det x 3 x ( ) x α ( ) 3+3 ( x)det x ( x)[( x) ( α) ] ( x)(x + 4 α) ( x)(x 4α) ( x)( α x)( α x).

2 Qund gl autovalor d A(α) sono: λ, λ α e λ 3 α. Dal momento che α è un numero reale non negatvo, allora λ λ, λ λ 3 α, λ λ 3 α. matrce autovalor molteplctà algebrche molteplctà geometrche A(α) λ m d α {, } λ α m d λ 3 α m 3 d 3 A() λ m d λ m d A() λ m d λ m d Qund se α {, } allora A(α) è dagonalzzable, noltre: A() è dagonalzzable d dm(e A() ()) m, A() è dagonalzzable d dm(e A() ( )) m.

3 d dm(e A() ()) dm(n(a()) [numero d colonne d A()] rk(a()) 3 rk(a()) d dm(e A() ( )) dm(n(a() + I 3 ) [numero d colonne d A() + I 3 ] rk(a() + I 3 ) 3 rk(a() + I 3 ) Da una E.G. su A(): A() E ( )E3E( )E, per cu rk(a()), e qund d dm(e A() ()) 3. Dunque A() non è dagonalzzable. Da una E.G. su A() + I 3 : A() + I 3 + I 3, per cu rk(a() + I 3 ), e qund d dm(e A() ( )) 3. Dunque A() è dagonalzzable. In conclusone (essendo α reale non negatvo): E( )E( ) A(α) è dagonalzzable α R con α >. 3

4 (b) Abbamo: A(α) è untaramente dagonalzzable A(α) è normale A(α)A(α) H A(α) H A(α). Calcolamo A(α) H tenendo conto che α α, essendo α R: A(α) H Qund α α α. A(α)A(α) H A(α) H A(α) α α α per cu, essendo α un numero reale non negatvo, α 4α α, 4 A(α) è untaramente dagonalzzable α α. (c) Abbamo vsto che A A() ha due autovalor: λ con molteplctà m d e λ con molteplctà m d. Cerchamo bas ortonormal degl autospaz d A. E A (λ ) E A ( ) E A() ( ) N(A() + I 3 ), 4

5 e pochè abbamo vsto che è una forma rdotta d Gauss per A() + I 3, allora e qund E A (λ ) E A ( ) N( ) { h h h, k C }, k { v ; v } è una base d E A (λ ) E A ( ). N.B.: In questo caso non occorre applcare l algortmo d G.S. a {v ; v }: v H v, per cu {v ; v } è gà una base ortogonale d E A ( ) Per ottenere una base ortonormale d E A ( ), normalzzamo v e v. per cu v v H v ( ) + v v H v ( ) { v v ; v v è una base ortonormale d E A (λ ) E A ( ). } E A (λ ) E A () E A() () N(A() I 3 ). Da una E.G. su A() I 3 : A() I 3 4 E ( 4 )E 3E ( )E ( ), 5

6 segue che E A (λ ) E A () N( ) { h h h C }, { e qund w } è una base d E A (λ ) E A (). N.B.: Pochè ha un unco elemento, {w } è gà una base ortogonale d E A (). Per ottenere una base ortonormale d E A (), normalzzamo w. per cu w w H w ( ) + { w w } è una base ortonormale d E A (λ ) E A (). Dunque se α, una dagonalzzazone untara d A A() è: A UDU H D U con λ λ λ ( v v v v w w ) ed. (d) Abbamo vsto che A A() ha due autovalor: λ con molteplctà m d e λ con molteplctà m d. 6

7 Dunque A λ P + λ P P + P dove P e P sono le matrc d proezone su E A (λ ) E A ( ) ed E A (λ ) E A () rspettvamente. Per, s ha: P Q Q H dove Q la matrce che ha per colonne gl element d una base ortonormale d E A (λ ). Dal momento che d, convene calcolare P (Q ha un unca colonna!) e rcavare P I 3 P (E A (λ ) E A (λ ) perchè A è untaramente dagonalzzabe ed ha esattamente due autovalor dstnt: λ e λ ). Abbamo vsto che { w w } è una base ortonormale d E A (λ ) E A (). Dunque Q w w P Q Q H w w, per cu w H w ( ) P I 3 P. e 7