Introduzione. Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione. Semantica di un linguaggio formale. Come attribuire la semantica

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1 Introduzione Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Sistemi di transizioni Rosario Culmone, Luca Tesei Presenteremo una tecnica per definire in maniera formale la semantica di un linguaggio di programmazione Formalismo: sistemi di transizione basati sugli alberi di derivazione dei programmi Linguaggio di riferimento: una versione semplificata di Java Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 1/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 2/78 Semantica di un linguaggio formale È il significato attribuito ad ogni stringa Le stringhe di un linguaggio di per sé non hanno un particolare significato L attribuzione del significato è un passo successivo e indipendente dalla definizione del linguaggio Ad uno stesso linguaggio possono essere attribuite più semantiche Come attribuire la semantica La scelta del metodo è fondamentale: A parole, con una prosa, informalmente Semiformalmente utilizzando la prosa con l aiuto di alcuni strumenti formali In maniera rigorosa e formale, basandosi su una caratterizzazione formale della sintassi Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 3/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 4/78

2 Linguaggi di programmazione Attualmente la caratterizzazione sintattica dei linguaggi di programmazione è quasi sempre formale (Grammatica) Su questa base si poggerebbe in maniera naturale una definizione rigorosa della semantica Nei manuali invece la semantica risulta sempre definita in maniera informale Ciò a scapito della chiarezza, della precisione della definizione e della possibilità di ragionare matematicamente sulla correttezza dei programmi Strumenti In questa parte descriveremo un modo per caratterizzare formalmente la semantica di un certo linguaggio Lo strumento che useremo sono i Sistemi di Transizioni Obiettivo finale: dare un sistema di transizioni in grado di legare ogni programma ben formato di un linguaggio Java semplificato ad un significato preciso Il significato sarà un certo elemento di un dominio semantico definito formalmente Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 5/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 6/78 Sistemi di transizione Sono oggetti matematici molto versatili Possono modellare il concetto di calcolo Possono rappresentare sistemi di dimostrazione Possono modellare processi, ambienti, sistemi complessi Permettono di dare la semantica operazionale di un linguaggio di programmazione... Sistemi di transizioni Possiamo per il momento considerarli come automi evoluti Esprimono una sequenza di azioni che portano ad un risultato Le azioni sono chiamate transizioni Ogni passo ha una configurazione (stato) di partenza e una di arrivo Le configurazioni (stati) possono essere infinite Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 7/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 8/78

3 Un primo approccio Vediamo un semplice sistema di transizioni che modella il calcolo di una somma semplice Il sistema, date due cifre e un riporto, deve calcolare la loro somma come cifra risultato e relativo riporto Ad esempio: 3 + 5, 0 = 8, 0 (si legge con riporto di 0 è uguale a 8 con riporto di 0 ) Ad esempio: 8 + 7, 1 = 6, 1 (si legge con riporto di 1 è uguale a 6 con riporto di 1 ) Modello del calcolo Possiamo pensare a questo calcolo come a una transizione da una configurazione ad un altra Ad esempio 3 + 5, 0 è una configurazione da cui possiamo fare un passo di calcolo e arrivare nella configurazione 8, 0 Nella configurazione 8, 0 non possiamo fare nessun ulteriore calcolo Una configurazione del genere è detta terminale Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 9/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 10/78 Modello del calcolo Rappresentiamo le configurazioni in questo modo: 3, 5, 0 sta per 3 + 5, 0 8, 0 sta per 8, 0 Configurazioni del tipo 10, 0 o 3, 5, 2 non sono contemplate perché non è possibile nel calcolo che stiamo modellando Da una configurazione contemplata che non è terminale è possibile fare, in generale, zero o più passi di calcolo (il sistema può essere non deterministico) Passi di transizione Un passo di calcolo è modellato come un associazione tra una configurazione e un altra Si scrive così: 3, 7, 1 1, 1 Non tutte le configurazioni sono associate! Ad esempio: 3, 7, 1 2, 1 Se lo fosse il sistema potrebbe fare dei calcoli sbagliati Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 11/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 12/78

4 Passi di transizione La logica del sistema di transizione, il suo modo di funzionare, è data da tutte le associazioni Ogni associazione modella un possibile passo di transizione Le associazioni, in generale, possono essere infinite Nel nostro esempio sono un numero finito Formalizziamo Un sistema di transizioni S è una tripla Γ, T, Γ è l insieme delle configurazioni T Γ è un sottoinsieme di Γ contenente le configurazioni terminali è un insieme di coppie γ, γ di configurazioni e viene detta relazione di transizione L appartenenza della coppia γ, γ alla relazione si indica così: γ γ Tali coppie sono chiamate transizioni Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 13/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 14/78 Definizione delle configurazioni In genere le configurazioni sono tuple (sequenze di elementi delimitate da e ) Ogni elemento della tupla è un oggetto definito matematicamente Ad esempio: insieme, funzione, relazione, elemento di un insieme, stringa, simbolo di alfabeto,... Nei sistemi che definiremo per dare la semantica operazionale dei linguaggi di programmazione gli elementi saranno spesso alberi di derivazione o alberi sintattici Convenzione In questa prima parte sui sistemi di transizioni adotteremo la seguente convenzione: Se S è un simbolo non terminale di una certa grammatica data allora l espressione x S indica che x è una stringa associata ad un albero di derivazione la cui radice è S Nel seguito vedremo invece che x sarà spesso un albero sintattico astratto la cui radice è S Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 15/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 16/78

5 Nell esempio Consideriamo questa semplice grammatica: Cif ::= Definiamo formalmente il sistema dell esempio Diamo un nome al sistema e alle sue componenti: S cr = Γ cr, T cr, cr Γ cr è l insieme di tutte le configurazioni possibili T cr è l insieme delle configurazioni terminali cr è l insieme delle associazioni (transizioni) che esprimono i calcoli possibili Configurazioni Γ cr = { c, c, r r {0, 1} e c, c Cif} { c, r r {0, 1} e c Cif} T cr = { c, r r {0, 1} e c Cif}. Per esprimere tutte le associazioni tra le configurazioni che modellano il calcolo in questo caso semplice possiamo elencarle: Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 17/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 18/78 Transizioni 0, 0, 0 cr 0, 0 0, 0, 1 cr 1, 0 0, 1, 0 cr 1, 0 0, 1, 1 cr 2, 0 0, 2, 0 cr 2, 0 0, 2, 1 cr 3, , 8, 0 cr 7, 1 9, 8, 1 cr 8, 1 9, 9, 0 cr 8, 1 9, 9, 1 cr 9, 1 Un sistema più complesso Consideriamo la seguente grammatica Num ::= Cif Num Cif Cif ::= Una qualsiasi stringa n Num è la rappresentazione di un numero naturale in base dieci Definiamo un sistema di transizioni che prese due stringhe n e n calcoli una stringa m che rappresenta il numero ottenuto sommando n e n Diamo un nome al sistema: S n+ = Γ n+, T n+, n+ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 19/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 20/78

6 Configurazioni Sicuramente dobbiamo mettere nel sistema delle configurazioni n, n Rappresentano lo stato in cui il sistema si appresta a calcolare la somma tra n e n Potremmo chiamarle configurazioni iniziali Le configurazioni terminali che ci aspettiamo sono i risultati, cioè rappresentazioni (m) di un numero naturale che sarà la somma Sono sufficienti? Strategia Prima di poter rispondere a questa domanda dobbiamo decidere in quale modo fare operare il sistema per ottenere quello che vogliamo Nel sistema precedente il calcolo poteva essere fatto con un solo passo di transizione Un sistema di transizioni in generale può operare facendo diversi passi di transizione in sequenza Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 21/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 22/78 Funzionamento di un sistema È elementare: In ogni momento il sistema si trova o viene posto in una delle sue possibili configurazioni, diciamo γ Il suo compito consiste nel fare un passo di derivazione, se possibile Il sistema determina se c è una configurazione γ associata con γ: cioè vale γ γ Se esiste una (o più) γ di questo tipo allora il sistema compie il passo di derivazione e si porta in γ (una qualsiasi delle possibili, se più di una) Funzionamento del sistema La configurazione γ diventa la configurazione corrente e il sistema si ritrova nella situazione iniziale in cui deve cercare di fare un altro passo di derivazione Continuando questo processo si possono verificare tre situazioni: Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 23/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 24/78

7 Funzionamento del sistema 1. Il sistema raggiunge una configurazione terminale (dalle quali in genere non è possibile nessun passo di derivazione) e conclude quindi il suo compito 2. Il sistema raggiunge una configurazione non terminale dalla quale non è possibile nessun passo di derivazione. In questo caso la configurazione si dice bloccata. Il sistema ha fallito nel portare a termine il suo compito 3. Il sistema continua a fare passi di derivazione all infinito. Anche in questo caso consideriamo il compito fallito Formalizziamo Dato un sistema di transizioni S = Γ, T, Una derivazione in S è una sequenza (eventualmente infinita) di configurazioni γ 0, γ 1,..., γ i 1, γ i,... tale che per ogni k 1 γ k 1 γ k Una derivazione in S è indicata con γ 0 γ 1... γ i Indicheremo con γ γ l esistenza di una derivazione γ 0 γ 1... γ i in cui γ 0 = γ e γ i = γ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 25/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 26/78 Strategia Una strategia per risovere il problema della somma di numeri naturali si basa sul concetto di derivazione L idea è di svolgere il calcolo per fasi successive seguendo il semplice algoritmo delle addizioni in colonna che abbiamo imparato alle scuole elementari Facciamo un esempio. Supponiamo di voler sommare 54 e 38. Lo stadio iniziale del calcolo lo possiamo rappresentare così: Strategia Il calcolo procede effettuando una somma semplice tra due cifre e calcolando un riporto: poiché 4+8=2 con riporto 1 Il calcolo ha prodotto un risultato parziale, 2, ed un riporto, 1 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 27/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 28/78

8 Modelliamo Possiamo pensare di rappresentare lo stadio iniziale del calcolo, nel sistema di transizioni, con la configurazione 54, 38 Il primo passo di calcolo che abbiamo fatto può essere modellato con una transizione da 54, 38 ad una configurazione intermedia di questo tipo: 5, 3, 2, 1 5 e 3 rappresentano i numeri ancora da sommare, 2 il risultato intermedio e 1 il riporto A questo punto il sistema si trova in questa configurazione e deve continuare con un altro passo di derivazione Strategia Procedendo nell algoritmo di somma in colonna si ottiene: poiché 5+3+1=9 con riporto 0 A questa situazione corrisponde, nel sistema, la transizione da 5, 3, 2, 1 a 0, 0, 92, 0 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 29/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 30/78 Strategia Non essendoci più cifre da sommare, il risultato è 92 A questa situazione corrisponde, nel sistema, la transizione da 0, 0, 92, 0 a 92 Il sistema, in questo caso, ha quindi eseguito la seguente derivazione: 54, 38 n+ 5, 3, 2, 1 n+ 0, 0, 92, 0 n+ 92 Configurazioni Γ n+ T n+ Se vogliamo che il sistema usi questa strategia per calcolare il risultato dobbiamo definire le relative configurazioni possibili: = { n, n n, n Num} { n, n, m, r r {0, 1} e n, n, m Num} {n n Num} = {n n Num} Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 31/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 32/78

9 Attenzione In questo sistema abbiamo un numero infinito di configurazioni possibili In questo sistema abbiamo un numero infinito di associazioni fra configurazioni da definire affinché il calcolo che abbiamo visto possa avvenire fra due numeri qualsiasi Come fare per definire n+, che è infinita, usando una descrizione finita? Ci vengono in aiuto le regole condizionali Regole condizionali Sono regole scritte in questa forma: π 1 π 2... π n γ γ π 1, π 2... π n sono formule dette precondizioni o premesse della regola γ γ è la conclusione della regola La transizione indicata nella conclusione può essere fatta solo se tutte le premesse π i sono verificate Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 33/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 34/78 Regole condizionali In generale una regola contiene, sia nelle premesse che nella conclusione, variabili che possono assumere valori in un certo dominio del discorso definito a priori In realtà quindi una regola rappresenta un insieme, spesso infinito, di regole che si ottengono sostituendo opportunamente le variabili della regola Formalmente dovremmo quindi parlare di schemi di regole Che tipo di formule possono essere le premesse? Premesse Nel seguito saranno di un tipo tra questi: un uguaglianza del tipo x = t, dove x è una variabile e t è una espressione (termine) costruita a partire da costanti, variabili e operatori elementari un predicato del tipo t r el t, dove t, t sono termini e r el è un operatore di relazione elementare una transizione del tipo δ δ, dove δ, δ sono configurazioni e è la relazione di transizione di un sistema di transizioni (può anche essere il sistema che si sta definendo, che sarà quindi ricorsivo) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 35/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 36/78

10 Lettura delle regole Le regole possono essere lette in maniera logica o dichiarativa: la conclusione è vera se e solo se tutte le premesse sono vere Esiste però anche un tipo di lettura operazionale Noi scriveremo sempre regole che possono avere una corretta lettura operazionale Illustriamo questo modo di procedere scrivendo le regole per il sistema S n+ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 37/78 Scrittura di una regola In generale dobbiamo scrivere un insieme di regole in modo da coprire tutte le possibili configurazioni non terminali In questo modo definiamo cosa fa il sistema in ogni possibile configurazione in cui si può trovare Naturalmente alcune configurazioni potranno essere comunque bloccate se non soddisfano le premesse delle regole Ogni regola gestirà un insieme di configurazioni, mediante l uso di variabili La configurazione γ prima della freccia nella conclusione della regola è il punto di inizio della scrittura Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 38/78 Partiamo con il considerare le configurazioni iniziali { n, n n, n Num} Ci aiuteremo sempre con la definizione della relativa grammatica se nelle configurazioni ci sono stringhe Questo modo di scrivere le regole si chiama guidato dalla sintassi Il caso più semplice di un Num è il caso base della grammatica Cif Consideriamo quindi il caso più semplice di una coppia di Num: { c, c c, c Cif} c Cif, c Cif,? c, c n+? Per evitare di inserire sempre le premesse del tipo c Cif fissiamo delle metavariabili: c, c, c,... stanno per generiche cifre decimali, ovvero elementi della categoria sintattica Cif r, r, r,... stanno per elementi dell insieme {0,1}, i riporti derivanti dalla somma tra due cifre n, n, m,... stanno per generici numeri decimali, ovvero elementi della categoria sintattica Num Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 39/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 40/78

11 π i? c, c n+ γ? Chiamiamo questa regola (i). A questo stadio la lettura operazionale è la seguente: se il sistema S n+ si trova in una configurazione che fa match con c, c allora se si possono rendere vere tutte le premesse π i allora il sistema può effettuare un passo di transizione verso la configurazione γ Lettura operazionale: copertura Le variabili c e c possono essere viste come dei parametri di input Attraverso il pattern matching con la configurazione attuale del sistema, quando la regola verrà usata, esse assumeranno un certo valore Questi valori, tramite il nome delle variabili, possono essere usati nelle premesse per effettuare calcoli e trovare dei valori intermedi legati a nuove variabili Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 41/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 42/78 Lettura operazionale: copertura La struttura della configurazione di arrivo γ (l output ) potrà essere specificata solamente tramite: costanti le variabili di input in γ le variabili inserite nelle premesse per il calcolo dei valori intermedi combinazione di queste con operatori noti c, c n+ γ? Ad esempio rappresenta il seguente calcolo intermedio: > con c = 5, c = 5, c = 1, r = 1 Siccome siamo all inizio del calcolo poniamo il riporto iniziale uguale a 0 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 43/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 44/78

12 c, c n+ γ? La premessa è una transizione del sistema S cr La configurazione di partenza della transizione è costruita con i valori delle variabili di input, che avranno un valore definito quando la regola verrà applicata La configurazione di arrivo contiene le nuove variabili c e r Il loro valore dipende dal comportamento di S cr Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 45/78 Transizioni nelle premesse Se una premessa è una transizione di un sistema di transizioni (anche lo stesso): La configurazione di partenza deve essere completamente specificata con costantim variabili di input, o comunque variabili coperte, e applicazioni di operatori noti a queste La premessa è soddisfatta se il sistema richiamato (si individua dal nome della freccia), posto nella configurazione specificata può effettuare una transizione Nella lettura operazionale il processo può essere visto come una chiamata di funzione/procedura dell altro sistema (ricorsiva se è lo stesso) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 46/78 Transizioni nelle premesse Se il sistema interpellato può effettuare la transizione allora le nuove variabili nella configurazione di arrivo assumeranno un valore e risulteranno coperte Le variabili coperte possono giocare lo stesso ruolo delle variabili di input Nel caso non ricorsivo c è una relazione gerarchica fra il sistema chiamante e quello chiamato Il sistema chiamato nelle premesse viene detto sottosistema c, c n+ 0, 0, c, r Costruiamo la configurazione di arrivo del sistema S n+ : nei casi corrispondenti alla configurazione di partenza che fa match con c, c in base ai valori calcolati dal sistema S cr in corrispondenza della relativa configurazione c, c, 0 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 47/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 48/78

13 Abbiamo trattato, con la scrittura di questa regola, 100 possibili configurazioni (2 cifre da 0 a 9) iniziali del sistema S n+ Le possibili configurazioni sono infinite! La prossima regola che scriviamo tratta infiniti casi Seguendo sempre l approccio guidato dalla sintassi dobbiamo trattare ora il caso in cui il primo numero della configurazione di S n+ è del tipo nc, cioè sia una stringa composta da più di una cifra Corrisponde al caso sintattico Num ::= Num Cif π i? nc, c n+ γ? Chiamiamo questa regola (ii). Deve trattare, ad esempio, questo caso: > Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 49/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 50/78 Basta di nuovo chiamare il sistema S cr per fare un passo di calcolo elementare e scrivere la configurazione di arrivo di S n+ di conseguenza: nc, c n+ n, 0, c, r Manca il caso sintattico simmetrico al precedente e quello in cui entrambi i numeri di partenza sono formati da più di una cifra: c, c, 0 cr c, r c, nc n+ 0, n, c, r nc, n c n+ n, n, c, r Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 51/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 52/78

14 Mettendo tutto insieme: c, c n+ 0, 0, c, r nc, c n+ n, 0, c, r c, c, 0 cr c, r c, nc n+ 0, n, c, r nc, n c n+ n, n, c, r (i) (ii) (iii) (iv) Abbiamo trattato tutte le possibili configurazioni iniziali di S n+ La prova sta nel fatto che abbiamo trattato tutti i casi sintattici della grammatica Le stringhe nelle configurazioni sono tutte e sole quelle generate dalla grammatica Dobbiamo ora occuparci delle configurazioni intermedie del tipo n, n, m, r Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 53/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 54/78 Configurazioni intermedie Nelle configurazioni intermedie ci troviamo nella stessa situazione di quelle iniziali Abbiamo due stringhe n e n di Num, una terza stringa m e una cifra di riporto Le variabili che guidano il calcolo sono sempre n e n, mentre m e il resto sono accumulatori di comodo per i valori intermedi c, c, r cr c, r c, c, m, r n+ 0, 0, c m, r Gestisce il calcolo intermedio in cui sono rimaste due cifre da sommare: r r 0c ---> 0 0c m c m Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 55/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 56/78

15 Gli altri casi sintattici si ripetono in maniera analoga: c, c, r cr c, r nc, c, m, r n+ n, 0, c m, r c, c, r cr c, r c, nc, m, r n+ 0, n, c m, r c, c, r cr c, r nc, n c, m, r n+ n, n, c m, r Terminazione A questo punto abbiamo trattato tutte le possibili configurazioni, ma... In nessun caso il sistema va a finire in una configurazione terminale! Con le regole attuali il sistema continua a fare passi intermedi all infinito aggiungendo delle cifre 0 alla sinistra del risultato: > 0 ---> 0 ---> m 0m 00m Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 57/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 58/78 Terminazione Dobbiamo fare in modo che quando il sistema ha concluso il calcolo faccia una transizione verso la configurazione che contiene solo la stringa risultato Tutte le configurazioni in cui questo deve accadere sono della forma 0, 0, m, 0 Aggiungiamo quindi questa regola, che non ha premesse: 0, 0, m, 0 n+ m Terminazione Con questa nuova regola il sistema può decidere, in una configurazione 0, 0, m, 0, di fermarsi Tuttavia, nella stessa configurazione è ancora applicabile la regola: c, c, r cr c, r c, c, m, r n+ 0, 0, c m, r Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 59/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 60/78

16 Non determinismo Quando ci sono più regole applicabili il sistema può sceglierne una qualsiasi In altre parole i sistemi di transizioni possono essere non deterministici Per i nostri scopi cercheremo sempre di definire sistemi deterministici Se le grammatiche che usiamo non sono ambigue e se trattiamo ogni configurazione in un unica regola il sistema sarà deterministico In casi come questo ci può essere la necessità di porre delle condizioni per ottenere il determinismo Condizioni di applicazione Vogliamo escludere la possibilità che il sistema applichi la regola che fa un passo intermedio nella configurazione 0, 0, m, 0 Per far questo basta aggiungere una condizione logica o nelle premesse o a destra della regola In questo caso poniamola a destra per mettere in evidenza che si tratta di una condizione di applicabilità sulla configurazione: c, c, r cr c, r c, c, m, r n+ 0, 0, c m, r se c, c, r 0, 0, 0 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 61/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 62/78 S n+ completato S n+ completato c, c n+ 0, 0, c, r nc, c n+ n, 0, c, r c, c, 0 cr c, r c, nc n+ 0, n, c, r nc, n c n+ n, n, c, r (i) (ii) (iii) (iv) 0, 0, m, 0 n+ m (v) c, c, r cr c, r se c, c, r 0, 0, 0 (vi) c, c, m, r n+ 0, 0, c m, r c, c, r cr c, r (vii) nc, c, m, r n+ n, 0, c m, r c, c, r cr c, r (viii) c, nc, m, r n+ 0, n, c m, r Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 63/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 64/78

17 S n+ completato Derivazioni c, c, r cr c, r nc, n c, m, r n+ n, n, c m, r (ix) Proviamo adesso a porre il sistema in una certa configurazione e ad applicare le regole Eseguiamo tutte le transizioni passo dopo passo costruendo una derivazione Alla fine il sistema si troverà in una configurazione terminale Per operare dobbiamo istanziare le regole che abbiamo scritto e fare delle sostituzioni Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 65/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 66/78 Esempio di derivazione Supponiamo di porre il sistema S n+ nella configurazione 927, 346 e facciamo il primo passo di transizione: 927, 346 n+ {(iv), 7, 6, 0 cr 3, 1 } 92, 34, 3, 1 È stata applicata la regola (iv) Il matching con la configurazione implica: n = 92, c = 7, n = 34, c = 6 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 67/78 Sostituzione Sostituendo i valori nella configurazione della premessa otteniamo: 7, 6, 0 cr c, r Il sistema S cr associa a quella configurazione di partenza la configurazione di arrivo 3, 1 Quindi, per rendere vera la premessa della regola (iv), dobbiamo porre c = 3 e r = 1 In questo modo c e r divengono coperte, cioè vengono associate a valori intermedi del calcolo Otteniamo quindi la configurazione risultato sostituendo i valori alle variabili nella configurazione di arrivo della regola (iv) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 68/78

18 Istanza della regola La regola che abbiamo applicato è la (iv): nc, n c n+ n, n, c, r La sua istanza effettivamente applicata si ottiene sostituendo alle variabili tutti i valori che abbiamo loro associato: 7, 6, 0 cr 3, , 34 6 n+ 92, 7, 3, 1 Derivazione La configurazione in cui siamo arrivati non è terminale, continuiamo con altri passi: 92, 34, 3, 1 n+ {(ix), 2, 4, 1 cr 7, 0 } 9, 3, 73, 0 n+ {(vi), 9, 3, 0 cr 2, 1 } 0, 0, 273, 1 n+ {(vi), 0, 0, 1 cr 1, 0 } 0, 0, 1273, 0 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 69/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 70/78 Derivazione Siamo nella configurazione immediatamente precedente a quella terminale: n+ 0, 0, 1273, {(v)} Il sistema, dopo la derivazione, si trova nella configurazione terminale 1273 Copertura: definizione formale Data una configurazione γ di un sistema di transizioni o un termine t costruito usando costanti, variabili e operatori: V a r s (γ) (risp. V a r s (t)) indica l insieme di tutte e sole le variabili che compaiono γ (risp. t) Data una regola condizionale R: V a r s (R) è l insieme di tutte e sole le variabili che compaiono in R Data una R: π 1 π 2...π n γ γ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 71/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 72/78

19 Copertura: definizione formale Sia x V ars(r). Diciamo allora che x è coperta in R se e solo se vale una delle seguenti condizioni: (1) x occorre in γ (2) esiste in R una premessa π i del tipo y = t tale che y è coperta in R e x V ars(t) (3) esiste in R una premessa π i del tipo x = t tale che tutte le variabili in V ars(t) sono coperte (4) esiste in R una premessa π i del tipo δ δ tale che tutte le variabili in δ sono coperte in R e x V ars(δ ) Copertura Se in una regola ci sono variabili non coperte allora la regola può essere priva di significato operazionale:, p, k > 0, p = k + 1 nc, n c n+ n, n, c, r Le variabili p e k non sono coperte e difatti non sono logicamente legate al significato della regola Noi considereremo solo regole in cui le variabili che appaiono sono tutte coperte Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 73/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 74/78 Sostituzione: definizione formale Sia V = {x 1,..., x n } un insieme di variabili distinte e sia c 1,..., c n una sequenza di costanti L insieme di associazioni ϑ = {c 1 /x 1,..., c n /x n } è detta sostituzione per le variabili in V Esempio: ϑ 1 = {92/n, 7/c, 34/n, 6/c, 3/c, 1/r} Applicazione di sostituzione Sia X un termine o una configurazione e sia V = V ars(x) l insieme delle variabili che vi compaiono Sia inoltre ϑ una sostituzione per le variabili in V L applicazione di ϑ a X, denotata da (X)ϑ, è il termine o la configurazione che si ottiene rimpiazzando in X ogni variabile x con la costante c tale che c/x ϑ Il termine o configurazione (X)ϑ verrà detto istanza di X via ϑ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 75/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 76/78

20 Applicazione di sostituzione Sia R una regola condizionale, sia V = V ars(r) l insieme di tutte e sole le variabili che occorrono in R e sia ϑ una sostituzione per le variabili in V L istanza di R via ϑ è la regola condizionale che si ottiene applicando ϑ a tutti i termini e a tutte le configurazioni che occorrono in R Esempio: applicando alla regola (iv) la sostituzione ϑ 1 si ottiene 7, 6, 0 cr 3, , 34 6 n+ 92, 7, 3, 1 Regole e relazione di transizione Sia S = Γ, T, un sistema di transizioni la cui relazione di transizione è definita mediante un insieme finito di regole condizionali (r 1 ),..., (r n ) Date due configurazioni γ, γ Γ, la coppia (γ, γ ) appartiene alla relazione se e soltanto se esiste una sostituzione ϑ per le variabili in V ars(r i ), con 1 i n, tale che: tutte le premesse di (r i )ϑ sono soddisfatte la conclusione di (r i )ϑ è γ γ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 77/78 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni p. 78/78