Computer Graphics. vector and point algebra. Rasterization based pipeline. Marco Tarini - Grafica computazionale. Lezione 3 1.

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1 Compter Graphics Leione 3: ector and point algebra Uniersità dell Insbria Corso di Larea in Informatica Anno Accademico 2015/16 Marco Tarini Rasteriation based pipeline pnti in R 3 per ertice Z proiettati pnti in R 2 RASTERIZZAZIONE frammenti candidati piels per frammento screen bffer Leione 3 1

2 Rasteriation based pipeline più in dettaglio 1/2 pnti in R 3 per ertice Z proiettati pnti in R 2 RASTERIZZAZIONE frammenti candidati piels per frammento piel finali otpt combiner screen bffer Rasteriation based pipeline più in dettaglio 2/2 pnti in R 3 per ertice Z proiettati pnti in R 2 Compta per primitia Point Lines Tris rasterier pnti rasterier segmenti rasterier triangoli frammenti candidati piels per frammento piel finali otpt combiner screen bffer qi transform al ideo Leione 3 2

3 Transform Per ogni ertice di ogni primitia: coordinate in ci sono definiti i ertici dell oggetto object coords screen Coordinates Qesta opera è n caso particolare di TRASFORMAZIONE SPAZIALE che edremo Rasteriation based pipeline stage Hard Wired: no flessibilità efficiena ottimi HW pnti in R 3 per ertice Z proiettati pnti in R 2 Compta per primitia Point Lines Tris rasterier pnti rasterier segmenti rasterier triangoli frammenti candidati piels per frammento piel finali otpt combiner screen bffer qi opionalmente qi e qi stage programmabili: engono esegiti dei programmi arbitrari detti shaders. Leione 3 3

4 Shaders Programmi caricati slla scheda ideo erte shader geometr shader fragment shader Esegono le operaioni preposte in ogni stage per es: erte shader: transform dei ertici per es: fragment shader: lighting A basso liello: scritti in n assembler specifico per il lingaggio macchina della scheda ideo che ha n Instrction Set specialiato Li scriiamo in n ling. ad alto liello: es GLSL! errà compilato in qell assembler GLSL fa parte delle specifiche OpenGL Lingaggio alto liello per scriere shaders di ttti i tipi: per-ertice per-frammento Simile al C C-like Sintassi comoda per gestire l algebra di pnti e ettori che stiamo per edere qasi la stessa identica sintassi è adottata da alcne librerie C++ : es. «GLM» e alcni lingaggi simili: HLSL b Microsoft Leione 3 4

5 Algebra per CG Qi per algebra intendiamo alcni insiemi di entità e le operaioni definite s di loro Le nostre entità e operaioni hanno na immediata interpretaione «intitia» «spaiale» in 3D o in 2D si possono edere con gli occhi analitici della matematica o con gli occhi inttii della mente La [ natra ] è scritta in qesto grandissimo libro che continamente ci sta aperto innani agli occhi io dico l nierso ma non si pò intendere se prima non s impara a intender la linga e conoscer i caratteri nei qali è scritto. Egli è scritto in linga matematica. Galileo Algebra per CG Di ogni entità ci interessa: na interpretaione 3D/2D inttia semantica intitia come rappresentarle internamente con qali dati cioè con qale «tipo» rappresentarle in GLSL Di ogni op ci interessa: na interpretaione 3D/2D intitia semantica intitia come sono implementate con qali op matematiche semantica operaionale proprietà notaione: come si scriono «slla carta» na sintassi notaione: come si scriono in GLSL n altra sintassi Leione 3 5

6 Algebra dello Spaio affine Tre entità scalari ettori pnti attribti: lnghea direione nico attribto: la posiione rispetto ad n sistema di riferimento edremo In GLSL float ec3 ec3 tre float componenti: immaginiamoli pre come come campi di tipo float in na classe chiamata ec3 Spaio affine: le de operaioni si pnti Somma pnto ettore pnto pnto a ettore pnto a + Sottraione pnto pnto ettore l op inersa remember: pnta meno coda :- pnto a ettore b a pnto b Leione 3 6

7 Algebra: Spaio ettoriale De entità: scalari ettori Ora concentriamoci solo si ettori e scalari. I ettori formano no spaio ettoriale Operaioni 1/2 somma e prodotto tra scalari oiamente somma fra ettori prodotto ettore scalare ettore commtatio lo spaio ettoriale è chiso rispetto a: somma ettoriale e al prodotto con scalari Operaioni 2/2 Prodotto scalare fra ettori aka prodotto dot dot-prodct o inner-prodct ettore ettore scalare Prodotto ettoriale fra ettori < solo in R 3 aka prodotto cross cross-prodct oter-prodct aka prodotto esterno ettore ettore ettore Norma ettore scalare Normaliaione ettore ettore Leione 3 7

8 Leione 3 8 Prodotto scalare Prodotto Scalare "dot-prodct" "inner prodct": ettore ettore scalare w w w + + commta lineare 1/2 lineare 2/2 Proprietà + + Prodotto scalare Prodotto Scalare "dot-prodct" "inner prodct": ettore ettore scalare Q P Q P Q P nota: qindi per calcolare na distana tra pnti: riscrittra della norma: Proprietà + +

9 Prodotto scalare Prodotto Scalare "dot-prodct" "inner prodct": ettore ettore scalare + + Proprietà molto tilmente: cosθ qindi se e non sono nlli: 0 e ortogonali e se e sono nitari: cosθ Altre operaioni che possono tornare tili anche se non sono canoniche Prodotto componente componente fra pnti e/o ettori component-wise prodct O in effetti qasiasi opera fra scalari esegita componente per componente diisione etc Leione 3 9

10 Sintassi nei lingaggi GLSL e simili es HLSL tipi base: ec3 float pnto o ettore n ett di 3 coordinate no scalare operaioni: ec3 a b ; float k; edi anche note sl sito per più esempi le 3 ec3 c a + b; // somma di ettori ec3 e k * a; // prodotto ettore per scalare ec3 d a * b; // prodotto componente componente float f dot a b ; // prodotto dot Nei lingaggi GLSL e HLSL tipi base: operaioni: ec3 a b ; ec3 float n ett di 3 coordinate sato per pnti o ettori no scalare ec3 d a <op> b; // la <op> fatta comp. per comp. // per es con + - * / float c length a ; // norma eclidea di a ec3 d normalie a ; // normaliaione // diisione per la norma // eqialente a ec3 d a / length a ; Leione 3 10

11 Disegno per eserciio 2 edi note sl sito d -d n n c Una pallina da ping pong con elocità d rimbala s n piano di normale n. Troare la direione post-impatto r. r d r c r d + 2c c k 0 n k 0 d n c Disegno per eserciio 2 edi note sl sito b c a Interseione raggio sfera: e.g. per ra-tracing pnti s raggio: a + k per ogni k >0 pnti s sp. sfera: { q. q c r } task: troare b se esiste: n pnto SIA sl raggio che slla sfera r Leione 3 11