Breve Storia della Geometria (TITOLO)
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- Eugenio Cirillo
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1 Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Leione 5 maro 00 Rette nello spaio F. Caliò 1 Bree Storia della Geometria (TITOLO) Leione del 5 Maro 00 1
2 Bree percorso nel mondo della geometria (1/6) La geometria nasce in Egitto aree di figure piane una prima regola per l area del cerchio la conoscena del triangolo di lati 4 5 La geometria egiia è un insieme di conoscene destinate alla risoluione di problemi pratici : è tecnica La geometria presso i Babilonesi e gli Indiani dienta tecnica più raffinata scoperta del triangolo rettangolo Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria presso i Greci VII-VI sec a.c. diiene sciena, cioè organiaione con regole della conoscena e possibilità di dimostrare similitudine di Talete teorema di Pitagora La geometria presso i Greci IV sec. a.c. diiene costruione scientifica organiata, acquisisce cioè carattere sistematico-deduttio Euclide : Elementi (enti geometrici, postulati, regole di deduione logica) 4 Leione del 5 Maro 00
3 Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria chiude la sua epoca d oro con Apollonio, Diofanto, Archimede XVIII XIX sec. discussioni sul V postulato di Euclide: Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte doe gli angoli sono inferiori a due retti tentatii falliti di dimostraione negaione del V postulato Ł geometrie non euclidee 5 Bree percorso nel mondo della geometria (4/6) La geometria analitica nasce in Francia nel XVII sec. legame fra algebra e geometria Cartesio ( ) e Fermat ( ) applicano gli strumenti dell algebra all analisi geometrica degli antichi 6 Leione del 5 Maro 00
4 Bree percorso nel mondo della geometria (5/6) Per risolere un problema geometrico con il metodo analitico: si traduce il problema geometrico in un problema algebrico, associando a ogni ente della geometria il corrispondente ente dell algebra, ad esempio in geometria analitica piana: punto Ł coppia ordinata di numeri (,) retta Ł m + q parabola Ł a + b + c interseione di cure Ł sistema delle equaioni che le descriono si risole il problema algebrico si interpretano, da un punto di ista geometrico, le soluioni algebriche troate 7 Bree percorso nel mondo della geometria (6/6) L aento del calcolo ettoriale e matriciale ha infine permesso di esprimere in modo più duttile e sintetico la geometria analitica che diiene geometria analitica parametricoettoriale Esempio: t + t 4 rappresenta una retta al ariare del parametro t in 5 8 Leione del 5 Maro 00 4
5 Geometria Analitica nello Spaio 9 Assi cartesiani nello spaio REGOLA DELLA MANO DESTRA INDICE POLLICE MEDIO 10 Leione del 5 Maro 00 5
6 Terna destra 11 Piani coordinati PIANO PIANO PIANO 1 Leione del 5 Maro 00 6
7 Coordinate cartesiane nello spaio Quota P 1 (0,,) P (,0,) P (,,) Ascissa Ordinata P (,,0) 1 Concetti Introduttii sui Vettori Geometrici (TITOLO) 14 Leione del 5 Maro 00 7
8 Segmento orientato P P 1 Direione: questa Verso: da P 1 a P Lunghea P 1 P 15 Vettore Geometrico B P B B VETTORE APPLICATO ALL ORIGINE A A A O UNO QUALSIASI DI QUESTI SEGMENTI ORIENTATI RAPPRESENTA LO STESSO VETTORE GEOMETRICO IL MODULO DEL VETTORE È LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO 16 Leione del 5 Maro 00 8
9 Corrispondena fra Vettori Geometrici e Vettori Algebrici (TITOLO) 17 Definiione di Punto Vettore (Punto Rappresentatore) Dato un sistema cartesiano nello spaio ( assi) Punto ettore (o rappresentatore): è il secondo estremo di un ettore applicato all origine P (,,) 18 Leione del 5 Maro 00 9
10 Corrispondena fra Vettore Geometrico e ettore Algebrico Dato un ettore geometrico Prendiamo un riferimento cartesiano con origine in A Il punto rappresentatore B ha coordinate (,,) Corrispondena biunioca fra la terna ordinata (,,) (ettore algebrico a componenti) e il punto B (secondo estremo di ) B(,,) A SONO LE COMPONENTI DI 1 19 Rette nello Spaio (TITOLO) 0 Leione del 5 Maro 00 10
11 Osseraione (1/) Sia 1 il ettore algebrico corrispondente al ettore geometrico applicato in O aente come punto rappresentatore P( 1,, ) e w k k k k 1 il ettore algebrico corrispondente al ettore geometrico applicato in O aente come punto rappresentatore Q( 1 k, k, k) con k R ricordiamo che e w sono paralleli e dunque 1 Osseraione (/) Q( 1 k, k, k) P( 1,, ) 0 O,P,Q sono allineati Leione del 5 Maro 00 11
12 Retta passante per O in forma ettoriale (1/) Un qualunque punto R rappresentatore di un ettore algebrico r 1t r t t t al ariare di t nell insieme dei numeri reali R( 1 t, t, t) P( 1,, ) è allineato a O e P 0 Retta passante per O in forma ettoriale (/) 1t è dunque un ettore parametrico, r t t t R rappresentante una retta passante t per O Il ettore 1 si può assumere come ettore direione della retta 4 Leione del 5 Maro 00 1
13 Parametri e coseni direttori di una retta (1/) Data l espressione ettoriale di una retta: r t 1t t t t R i tre parametri ( 1,, ) ed ogni terna di parametri ad essi proporionali si chiamano: parametri direttori della retta 5 Parametri e coseni direttori di una retta (/) I coseni direttori del ettore di direione della retta r cos cos cos r r r sono i coseni direttori della retta r 6 Leione del 5 Maro 00 1
14 Retta per un punto in forma ettoriale Dato un punto P 0 ( 0, 0, 0 ), applichiamo a P 0 il ettore t 1t t t t t R V (0) 0 P 0 s t t Al ariare del parametro t in R il punto rappresentatore del ettore somma s (0) +t descrie una retta passante per P 0 7 Retta per un punto, in forma ettoriale t r t + t R 0 t + 0 è il ettore parametrico rappresentante una retta passante per P 0 ( 0, 0, 0 ) e aente come ettore di direione 1 8 Leione del 5 Maro 00 14
15 esercii 1) Indiiduare un espressione ettoriale della retta passante per O e di parametri direttori (5, -4,) r 5t 4t t t R )Un espressione ettoriale della retta passante per O e di coseni direttori 1/,1/,1/ è costruibile. Infatti la somma dei quadrati dei coseni proposti è 1. Una espressione ettoriale è: r 1/ t 1/ t 1/ t t R 9 esercii ) I coseni direttori dell asse delle ascisse sono: cos cos 0 1 cos π cos 0 cos π cos 0 e dunque una sua espressione ettoriale è: t 0 0 t R 0 Leione del 5 Maro 00 15
16 esercii 5)Espressione ettoriale della retta passante per P(,4,), Q(1,1,): t (1 ) t + t + r + (1 4) t + 4 4t + 4 t R t 0 ( ) t + t + t t 6)Data la retta r + t 4t possiamo dedurre che: r non passa per O passa per il punto P(-1,,0) Q(1,5,4) appartiene ad r (t1) t R cos cos cos r ha parametri direttori proporionali alla terna (,,4) ha coseni direttori: r r r FINE Leione del 5 Maro 00 16
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