Le prime sono dette grandezze scalari: esempi sono la massa, la temperatura, la pressione, il lavoro di una forza ecc... ecc.

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1 CP. - TEORI DEI VETTORI GEOMETRICI &. Introduione L'introduione dei ettori nasce dalla necessità che nelle sciene fisico - matematiche esistono grandee che sono definite solo da un numero, eentualmente con segno, e grandee che per essere definite occorre specificarne anche una direione e un erso. Le prime sono dette grandee scalari: esempi sono la massa, la temperatura, la pressione, il laoro di una fora ecc... ecc. Le seconde sono dette grandee ettoriali: esempi sono la elocità, l'acceleraione, la quantità di moto, il momento di una fora, il momento angolare, ecc...ecc. Per poter operare con queste grandee dobbiamo introdurre nuoi concetti e definire nuoe operaioni. Nel seguito, indicheremo con S il piano euclideo e con S lo spaio euclideo: per questioni che algono sia in S che in S, indicheremo lo spaio con S n. &. - Vettori geometrici applicati Cominciamo col porre la seguente definiione. Def.. Dicesi ettore applicato ogni segmento orientato

2 aente come primo estremo e come secondo estremo B. Il ettore applicato si indica con B e sta ad indicare il segmento aente per estremi e B, al quale è associato il erso di percorrena che, nell ordine, a da a B. Di conseguena, i ettori B e B pur essendo rappresentati dagli stessi segmenti, sono ettori applicati diersi perché dierso è il loro punto di applicaione e dierso è il loro erso di percorrena. In particolare, se B il ettore dicesi ettore nullo e si indica con O. D ora in poi indicheremo con V n l insieme di tutti i ettori applicati dello spaio S n ; in particolare, indicheremo con: V l insieme dei ettori applicati del piano S ; V l insieme dei ettori applicati dello spaio S. Def.. B V, O : n a) dicesi direione di la retta passante per i punti e B, contenente ; b) dicesi erso di la semiretta di origine e contenente l estremo libero B del ettore ; c) dicesi modulo di = B e si indica con o B la misura del segmento non orientato B (rispetto all unità di misura u prescelta). In definitia, possiamo affermare che ogni ettore di V n è completamente indiiduato quando si conoscono: il punto di applicaione, il modulo,

3 la direione, il erso. Per conenione, si assume che il ettore nullo abbia direione e erso indeterminati. Per il modulo ale la seguente proprietà: Prop.. (a) Vn : 0 ; (b) 0 O. Def.. - Ogni ettore di Vn aente modulo uguale a dicesi ersore di V n. Oss. Ogni ettore non nullo di V n ha sempre due ersori ad esso associati, uno parallelo e concorde e l altro parallelo e discorde: il ersore di, aente lo stesso erso, sarà indicato con ers( ). Def..4 Se B ' B' V, si dice che B è parallelo a ' B' e si scrie, n B // ' B' se B e parallele. ' B' hanno la stessa direione oero se le rette B e 'B' sono In particolare, i due ettori si dicono concordi se hanno lo stesso erso, discordi se hanno il erso opposto. Per conenione, si assume che il ettore nullo O dello spaio V n sia parallelo ad ogni ettore di V n.

4 &. - Vettori liberi (o ordinari) - Operaioni con i ettori liberi Se indichiamo con V n l'insieme di tutti i ettori applicati dello spaio, in tale insieme possiamo introdurre una relaione di equialena, detta relaione di equipollena, come segue. Def.. - Due ettori B e direione, lo stesso erso e lo stesso modulo. ' B' di V n si dicono equipollenti se hanno la stessa Si erifica facilmente che tale relaione è una relaione di equialena in V n e ciò ha come conseguena che ogni ettore applicato appartiene ad una ed una sola classe di equialena = equipollena: tale condiione giustifica la seguente definiione. Def.. - Dicesi ettore libero o ettore ordinario di V n l'insieme formato da tutti i ettori fra loro paralleli, appartenenti alla stessa classe di equipollena. Di conseguena, ogni ettore libero può essere rappresentato da uno qualunque degli elementi che appartengono alla stessa classe: il ettore scelto dicesi rappresentante del ettore libero. Di più, se O è l origine di un sistema di riferimento scelto in S n, conerremo di applicare tutti i ettori liberi di V n in O: l'insieme di tali ettori applicati in O sarà indicato con V n O. &.4 I sistemi di riferimento Passiamo ora a introdurre la noione di sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia nel piano ordinario S sia nello spaio ordinario S. Poniamo la seguente definiione. Def. 4. Dicesi sistema di riferimento cartesiano ortogonale in S ogni insieme O i j in cui:. O è un punto di S, detto origine del sistema di riferimento;. i è un ersore applicato in O; 4

5 . j è un secondo ersore, pure applicato in O, tale che il ersore i si sorappone a j con una rotaione antioraria di attorno ad O. Nella figura seguente è riportato un esempio di sistema di riferimento cartesiano ortogonale secondo la precedente definiione: Le direioni (le rette) dei ersori i e j sono dette, rispettiamente, asse delle ascisse (o delle ) e asse delle ordinate (o delle ). I ersi di i e j sono detti, rispettiamente, ersi positii dell'asse delle ascisse e dell'asse delle ordinate. Indicheremo con U il punto dell asse aente distana da O (U è l estremo del ersore i ) e con U il punto dell asse aente distana da O (U è l estremo del ersore j ).

6 Il generico sistema di riferimento cartesiano ortogonale di S sarà indicato con RO i j. Tutto ciò premesso, si dimostra facilmente che fra i punti P del piano S, sul quale è stato fissato un arbitrario sistema di riferimento cartesiano RO i j, e le coppie ordinate (,) di numeri reali esiste una corrispondena biunioca, così che ogni punto P indiidua ed è indiiduato da una sola coppia (,) di numeri reali: la coppia di numeri reali associata a P in tale corrispondena dicesi coppia di coordinate cartesiane del punto P e si scrie P(,). In tale corrispondena: è la misura relatia del segmento orientato OP, doe P la proieione ortogonale di P su ; è la misura relatia del segmento orientato OP, doe P la proieione ortogonale di P su. Utiliando le coordinate dei punti di un piano cartesiano è possibile calcolare facilmente, in modo algebrico, la distana di due punti oero la lunghea di un segmento B di estremi e B e le coordinate del punto medio. Sussiste la seguente proprietà. Prop.4. - Se (, ) e se B( B, B ) sono due punti del piano S, sul quale è stato fissato un riferimento cartesiano ortogonale RO i j, allora: ) B ( B ) ( B ) (formula della distana di due punti) 6

7 In particolare, se O(0,0) è l origine del sistema di riferimento e se P(, ), la distana di P da O è data da: OP = ) Se M è il punto medio del segmento B, allora M ha coordinate date da: M ( nche nello spaio ordinario S si può definire un sistema di riferimento cartesiano ortogonale RO i j k. B, B ) tal fine, si pone la seguente definiione. Def Dicesi sistema di riferimento cartesiano ortogonale in S ogni insieme O i j k in cui:. O è un punto di S, detto origine del sistema di riferimento;. i e j sono due ersori applicati in O e ortogonali fra loro;. k è un tero ersore, pure applicato in O, ortogonale al piano contenente i e j e orientato in modo che la terna i, j, k sia una terna leogira nel senso che un osseratore, posto con i piedi in O con la testa orientata nel erso di k, eda il ersore i sorapporsi al ersore j in senso antiorario. Esistono altre regole per definire il erso di k : regola della mano destra, regola della ite. 7

8 Le direioni (le rette) di i, j, k sono dette rispettiamente asse delle ascisse (o delle ), asse delle ordinate (o delle ) e asse delle quote (o delle ). nche Il sistema di riferimento di S può essere definito a partire dagli assi e non dai ersori e può essere indicato con O in luogo di O i j k. nche fra i punti di S e le terne ordinate di numeri reali esiste una corrispondena biunioca così che ogni punto P indiidua ed è indiiduato da una e una sola terna ordinata di numeri reali, che dicesi terna di coordinate cartesiane del punto P e si scrie P(,,). In tale corrispondena,: è la misura relatia del segmento orientato OP, doe P la proieione ortogonale di P su ; è la misura relatia del segmento orientato OP, doe P la proieione ortogonale di P su ; è la misura relatia del segmento orientato OP, essendo P la proieione ortogonale di P su. nalogamente a quanto già detto per i segmenti del piano S, la lunghea di un segmento B dello spaio S, è data da: 8

9 B ( B ) ( B ) ( B ) doe (,, ) sono le coordinate di e ( B, B, B ) sono le coordinate di B nel riferimento prescelto RO i j k. In particolare, la distana di P(,,) dall origine O(0,0,0) del sistema di riferimento è data da: OP =. Le coordinate del punto medio M del segmento di estremi (,, ) e B( B, B, B ) sono: B B B M (,, ). &. Operaioni con i ettori ordinari o liberi D ora in poi ci limiteremo a considerare lo spaio ordinario S, sul quale è fissato un riferimento cartesiano RO i j, e i ettori applicati in O di tale spaio: i risultati e le definiioni saranno del tutto analoghi per i ettori dello spaio S. Poiché ogni ettore applicato in O è uniocamente determinato dal suo estremo libero P( P, P ), d ora in poi coneniamo di identificare il ettore OP con la matrice riga ( P P ) formata dalle coordinate di P scriendo OP = ( P P ). La matrice ( P P ) dicesi matrice associata al ettore OP e le coordinate di P, ( P, P ), prendono il nome di componenti cartesiane del ettore OP : è questo il collegamento fra i ettori geometrici e i ettori algebrici dello spaio ettoriale R. Operando con le componenti cartesiane dei ettori geometrici, si possono utiliare tutte le operaioni e proprietà già iste con i ettori algebrici. 9

10 Si noti che nel piano S : il ersore ha componenti (,0); il ersore ha componenti (0,). Nello spaio S : il ersore ha componenti (,0,0); il ersore ha componenti (0,,0); il ersore ha componenti (0,0,). Def.. (Somma di ettori) Se u e sono due ettori di V e se u u e sono le rispettie componenti, dicesi ettore somma di u e il nuoo ettore indicato con u + aente per componenti O u u. Questo metodo è detto metodo della somma per il tramite delle componenti cartesiane. Un metodo geometrico alternatio per ottenere il ettore somma è fornito dalla regola del parallelogramma: Considerato il parallelogramma aente un ertice in O e due lati coincidenti con i ettori applicati u e, allora il ettore somma u + è dato dalla diagonale del parallelogramma uscente da O, OC. 0

11 Def.. Se R e se V O è il ettore aente per componenti ( ) dicesi prodotto scalare di per e si scrie il ettore aente per componenti. Il ettore ha: la stessa direione di ; lo stesso erso di se è positio, il erso opposto a quello di se è negatio; modulo proporionale a quello di secondo il coefficiente, cioè. In maniera del tutto analoga si definiscono le operaioni di somma di due ettori e di prodotto di uno scalare per un ettore in V O. Prop.. - Sussistono le seguenti proprietà: (S), Vn ( O) : (prop. commutatia della somma) (S) u,, Vn ( O) : u ( ) ( u ) (prop. associatia della somma) (S) 0 V ( O) ' V ( O) : 0 0 n n (esistena elemento neutro per +) (S4) V ( O), ' ( ) 0 n (esistena elemento opposto per +) (P) R Vn ( O) : ( ) ( ),

12 (P) ), R Vn ( O) : ( (P) R, Vn ( O) : ( ) (P4) Vn ( O) : Le dimostraioni di tali proprietà sono oie. Pertanto, V O n munito di due tali operaioni è uno spaio ettoriale di dimensione n. Fondamentale è la seguente proposiione. Prop.. Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oi jk nello spaio euclideo S, si dimostra che V ( O),,, R ' i j k. Tale combinaione dicesi espressione cartesiana del ettore : i coefficienti della combinaione si dicono componenti cartesiane del ettore. La dimostraione è oia non appena si tiene conto che è una base di V (O). L uso delle componenti cartesiane permette di eseguire le operaioni fra ettori trattando i ettori come polinomi lineari in i, j, k. Diamo un esempio. Esempio 4. Dati i ettori i j k e i j k, calcolare: a) b) Soluione

13 a) = ( i j k) + ( i j k) i j. b) = ( i j k) - ( i j k) = ( i j k) + + ( 4i j k) i j k. Fondamentali sono le seguenti condiioni algebriche di parallelismo di due ettori e di complanarità di tre ettori geometrici. Sussistono le seguenti proprietà. Prop.. Se e sono due ettori di V (O), con 0, si dimostra che ( // ) ( R ' ) oero se e sono L.D. Ûrang Prop..4 Se u,, sono tre ettori di V (O), con //, si dimostra che u,, sono complanari (, R ' u ) cioè se i tre ettori sono L.D o, equialentemente, se la matrice formata dalle componenti dei tre ettori ha rango o, ancora, se il determinante formato dalle componenti è uguale a ero. Infine sussiste la seguente ulteriore proprietà. Prop.. - Se O i jk è un sistema di riferimento di S e se (,, ), B( B, B, B ), C( C, C, C ), D( D, D, D ) sono 4 punti di S, si dimostra che: ), B, C sono allineati se B B B rang( ) C C C

14 4 ), B, C, D sono complanari se rang( ) D D D C C C B B B. Questioni metriche dei ettori ordinari: Prodotto scalare, prodotto ettoriale, prodotto misto, componente di un ettore lungo una direione e proieione di un ettore lungo una direione &.6 Prodotto scalare di due ettori Def. 6. Dati i ettori geometrici di V (O) k j i e k j i, dicesi prodotto scalare di e il numero reale <, > = = + + Prop. 6. Sono immediate le seguenti proprietà del prodotto scalare: a) b) k k j j i i c) 0 k j k i j i Dalla definiione di prodotto scalare conseguono le seguenti proprietà. Prop. 6. R O V u ) (,, si ha: (PS) = (prop. commutatia) (PS) u ( + ) = u + u (prop. distributia rispetto alla somma) (PS) ( u ) = ( u ) (prop. associatia di uno scalare rispetto al prodotto di ettori)

15 (PS4) 0 (il prodotto scalare è definito positio) (PS) = 0 0 Il prodotto scalare permette di calcolare facilmente le componenti di un ettore rispetto agli assi del sistema di riferimento. Infatti, se V ( O ) risulta:, i, j, k così che ogni ettore può così esprimersi: i j k =, i i +, j j +, k k. Def.6. (ngolo di due ettori) Se u e sono due ettori di V n (O), dicesi angolo dei due ettori u e i) l angolo di ertice O, interno al triangolo formato da O e dagli estremi liberi u e, se u // ; ii) iii) l angolo nullo se u e sono paralleli e concordi; l angolo piatto di misura π se u e sono paralleli e discordi. D ora in poi indicheremo con la misura in radianti dell angolo /\ u. Prop. 6. Se u e sono due ettori di V n (O) e se è l angolo formato dai due ettori u e, si dimostra che:

16 u u cos Di conseguena, l angolo di due ettori è dato da: cos( ) u u u u u u arccos( u ) u u arccos( u u u ). Il prodotto scalare permette di calcolare la componente di un ettore lungo una direione, la proieione ortogonale di un ettore lungo una direione e la componente di un ettore perpendicolare ad una direione. Infatti, con riferimento alla figura seguente indicato con l angolo formato dai ettori u e, si ha che: ) la componente di u su è: u u u// u cos( ) u cos( ) ) la proieione di u su è il ettore 6

17 7 u u ers u u ) (. ) Si noti che poiché u u u O V u // : ) (, si ha che la componente perpendicolare al ettore è data da: u = u u. Prop. 6.4 (Condiione di perpendicolarità fra ettori non nulli) u O V u : 0 ) (, 0 u Dim. u O V u : 0 ) (, 0 ) cos( 0 ) cos( u u. &.7 Prodotto ettoriale di due ettori Si pone la seguente definiione. Def. 7. Se k j i e k j i sono due ettori di V (O), dicesi prodotto ettoriale di e il ettore di V (O) così definito k j i ) ( ) ( ) ( equialentemente, in modo più semplice facendo uso dei determinanti: k j i o, ancora, in forma matriciale: k j i. In particolare, osserato che i ersori dei tre assi hanno componenti

18 i,0,0, j 0,,0, k 0,0, si ha: ) i i j j k k 0 ) i j k ; j k i ; k i j ) j i k ; k j i ; i k j Proprietà del prodotto ettoriale sono espresse dalla seguente proposiione. Prop u,, V ( O) e R : n (PV) (prop. anticommutatia) (PV) u u (prop. distributia a destra del prodotto ettoriale rispetto alla somma) (PV) u u (prop. distributia a sinistra del prodotto ettoriale rispetto alla somma) (PV4) ( ) ( ) Le dimostraione di tali proprietà sono immediate. Prop. 7. Sussistono le seguenti proposiioni: i., V ( O) : // 0 n ii., Vn ( O) ' // : è un ettore che ha: a) direione perpendicolare al piano che contiene i due ettori e b) erso tale che la terna (,, ) sia leogira; c) modulo sen( ^ ) 8

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20 CP. - ESERCIZI SUI VETTORI ) OPERZIONI CON I VETTORI LIBERI ) Fissato un sistema di riferimento O i jk nello spaio S, si considerino i ettori i j k e i j k. Calcolare e. Soluione ( i j k) + ( i j k) i j ; ( i j k) - ( i j k) ( i j k) + ( 4i j k) i j k. ) Dati i ettori u i j k e i j k dello spaio ettoriale V (O), calcolare: ) u ) u ) l angolo formato da u e 4) la proieione di u su, u // ) la componente di u perpendicolare a, u 6) erificare che il ettore i j dello spaio V è complanare con u e. Soluione ) u u u u ( ) ( ) ( ) 6 i j k ) u i j k i j k 0

21 u ) cos( ) arccos( ) u arccos( 6 ) 66) u 4) u // = i j k i j k 6 6 ) Poiché u // u = u u = u u // ( i j k) (i j k) i j 0 6) i j è complanare con u e 0 : Verifica: 0 ( ) ( ) 0 Dunque, è complanare con u e. Verificare che i ettori di V (O): i j k e i j k 6 sono paralleli ed esprimere come multiplo di. Soluione I due ettori sono paralleli se h R ' h cioè se le coordinate dei due ettori sono proporionali. Nel nostro caso:

22 // 6 e, inoltre, è. 4 Determinare λ e µ in modo che i due ettori di V (O), di coordinate rispettie (,,-) e (,λ,µ), risultino paralleli. Soluione I due ettori sono paralleli se le coordinate sono proporionali:. Dati i ettori di V (O), i j, i j i j determinare λ, λ tali che sia. Soluione Poiché V è uno spaio ettoriale di dimensione, i tre ettori sono sicuramente L.D. per cui esistono λ, λ tali che sia una combinaione di e : calcoliamo λ, λ. La relaione ettoriale, si traduce nelle tre relaioni scalari:

23 6 7 7 Osseriamo che, sono una base di V e che di nella nuoa base,. 6 7 sono le coordinate 7 Verificare che i tre ettori di V (O): i j k, i j k, i j k sono complanari e calcolare λ, λ tali che sia. Soluione I tre ettori sono complanari se det det 0 Infatti: det = ( 6 ) ( 0 7) Dunque, i tre ettori sono complanari e quindi, R. ' Calcoliamo λ, λ :

24 4 Poiché la matrice dei coefficienti ha rango, uguale al rango della matrice completa ' il cui determinante del ordine è nullo, il sistema è determinato e ammette una sola soluione data dal sistema: pplicando Cramer, si ha: Quindi:. 6 Determinare il alore del parametro a in modo che il ettore = (,a,-a) sia complanare con i due ettori = (,,-) e = (,,). Soluione

25 Determinare a in modo che sia complanare con e equiale a determinare a in modo che sia una combinaione lineare di e, cioè che: = λ + λ. Da questa relaione ettoriale si ricaano tre relaioni scalari: a a 7 a Dunque, per a = 7/ risulta = Esprimere il ettore = (,-,) come somma di un ettore parallelo al ettore = (0,,) e di un ettore complanare con i ettori = (,,0) e = (,0,). Soluione Poiché // = λ e poiché è complanare con e = λ + λ risulta = + = λ + λ + λ Tale ultima relaione ettoriale si traduce nelle tre relaioni scalari:

26 0 0 6 Si ricaa, allora, che: = ; le sue coordinate sono: ( 0,, ) ; = ; le sue coordinate sono: (,, ) ;. 7. Nello spaio ettoriale euclideo V (O), siano dati i ettori = i + j e = i + j. Calcolare:. le componenti del ersore di e del ersore di ;. l angolo dei due ettori e. Soluione a) Il modulo di è:. Ne segue che il ersore di è: u = i j i j le componenti di u sono (, ). nalogamente, il modulo di è: 0. 6

27 Ne segue che il ersore di è: u = i j 0 i 0 0 j le componenti di u sono (, ). 0 0 b) cos( /\ )=cos(u ^u )=u u = (, ) (, ) = 0 0 = 0 0 /\ = 4. 8 Nello spaio ettoriale V (O), è dato il ettore = i j. Determinare: a) i ettori di modulo paralleli al ettore ; b) le componenti del ersore perpendicolare a e formante un angolo acuto con il ettore u = i + j. Soluione a) Il generico ettore // è = h = h(i - j) = hi hj. Le componenti di sono (h, -h). Imponiamo che il modulo di sia h 4h h 4 h. Dunque, i ettori richiesti sono e hanno componenti: 4 4,,,. b) Ricordiamo che = 0. Di conseguena, supposto che = (,), dee aersi: (,) (,-) = 0 0 Inoltre, poiché è un ersore, dee essere 7

28 + =. Risolendo il sistema della due condiioni si ha: 0 Quindi, si hanno due soluioni: =, e =,. Vediamo quale dei due ettori forma un angolo acuto con il ettore u. Poiché, soluione del problema. 4 7 ^u è acuto e è una, 0 Poiché, 4 7 ^u è ottuso e non, 0 è una soluione del problema. 9 Nello spaio ettoriale euclideo V (O), sono dati i ettori = i + j e = i j Calcolare: a) La componente ortogonale di su ; b) Le componenti del ettore proieione ortogonale di su. Soluione a) Per definiione, la componente ortogonale di su è: 8

29 r = ers( ) = (,) (, ) 4. b) Il ettore proieione ortogonale di su è dato per definiione da: = r ers( ) = i j i j (, ). 0 Dati i ettori = i j + k e =-i + k, a) determinare le componenti del ettore = ; b) erificare che è perpendicolare a e. Soluione a) Il ettore, prodotto ettoriale dei ettori e, è dato da: = i j k i j k i j k Le componenti di sono (-,-,-). b) = (-,-,-)(,-,) = = 0. nalogamente: = (-,-,-)(-,0,) = = 0. Nello spaio ettoriale euclideo V (O), sono dati i ettori = (-,,0) e i j k (,, ). Determinare: a) le componenti dei ersori di e di ; 9

30 b) l angolo dei due ettori e ; c) le componenti del ettore proieione ortogonale di su. Soluione a) Il modulo del ettore è. Quindi, il ersore di è u i j e le componenti sono:,, 0. nalogamente, Il modulo del ettore è 4 6. Quindi, il ersore di è u i j k 6 e le componenti sono:,, b) L angolo dei due ettori e è uguale all angolo dei due ersori di e ; quindi: cos( ) u u,, 0,, = 0 =. 6 0

31 c) La proieione ortogonale di su è data dal prodotto della componente ortogonale di su per il ersore di : r ers( ). Poiché: (,,0)(,,) ; 4 6 si ha: 6 (,,) (,, ) i j k. Dati i ettori di V (O), i j k e i k, calcolare le componenti del ettore, prodotto ettoriale di e. Soluione Considerata la matrice formata dalle componenti dei due ettori e, 0, si ha: ( ). i 0 j k 0 Dunque: (,, ).

32 Nello spaio V (O), sono dati i ettori (,,), (,,0 ), (0,, ). Calcolare il prodotto ettoriale misto e interpretare geometricamente il risultato ottenuto. Soluione Il prodotto misto è uguale al determinante le cui righe sono ordinatamente le componenti dei tre ettori, e : 0 0 (4 0 ) (0 0 ) Poiché il prodotto misto è nullo, i tre ettori sono complanari. 4 Determinare le coordinate dei ettori complanari sia con (,0,) e (,,) sia con (,,-) e 4 (,,). Soluione Sia (,,) il ettore complanare sia con (,0,) e (,,) sia con (,,-) e 4 (,,). Poiché (,,) è complanare con (,0,) e (,,), risulta: h h (,, ) ( h h,0 h, h h h h ) h h h ( h h, h, h h ).

33 Ora imponiamo che sia complanare con (,,-) e 4 (,,), e 4 siano L.D. h h h 0 ( h h ) h ( h h ) 0 h h 0 h 6h h h h 0 h h R. Quindi i ettori complanari con ( (,0,), (,,)) e con ( (,,-), 4 (,,)) sono: = (h,0,h ), h R. Verificare che i tre ettori (,,), (,0,) e (,,0) sono complanari. Stabilire, poi, se (,,) può esprimersi come loro combinaione lineare. Soluione I tre ettori sono complanari se 0 0 : ciò è certamente ero non appena 0 si ossera che la a riga è una combinaione lineare delle altre due righe. Inoltre, poiché (,,) = (,,) + (,0,), risulta: = h + h + h doe h = h = e h = 0. E lasciato al lettore di risolere i seguenti esercii: 6 Esprimere il ettore (,,-) come somma di tre ettori paralleli, rispettiamente, a (,0,), (0,,) e (,,0). 7 Stabilire se il ettore (,,) può esprimersi come somma di un ettore parallelo al ettore (,0,) e di un ettore complanare con (,,-) e (0,,).

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