Capitolo I: Complementi di geometria vettoriale

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1 Liceo Lugano 1, E (Luca Rovelli) Capitolo I: Complementi di geometria vettoriale 1. Vettori geometrici in V 3 Dal momento che i concetti fondamentali sono già stati approfonditi nel piano, ci limitiamo a fornire un rapido elenco delle nozioni più importanti. Una coppia ordinata (P, Q) di punti dello spazio determina un segmento orientato dello spazio, indicato con P Q. Di un segmento orientato P Q si definiscono il modulo P Q (la distanza tra i punti P e Q), la direzione (cioè la direzione della retta P Q) e il senso o verso ( dal punto P verso il punto Q ). Se P = Q, il segmento orientato P P è un segmento nullo. Due segmenti orientati P Q e RS sono detti equipollenti se possiedono lo stesso modulo (sono cioè isometrici), la stessa direzione (sono collineari) e lo stesso verso (sono equiorientati). In questo caso, scriveremo semplicemente P Q = RS. L insieme (o, meglio, la classe) di tutti i segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento è un vettore geometrico dello spazio. Indichiamo i vettori geometrici con lettere minuscole ( u, v, w ecc.) e con V 3 l insieme dei vettori geometrici dello spazio. La classe contenente tutti i segmenti nulli è detta vettore nullo, e si indica con o. Un segmento orientato P Q nella classe v è un rappresentante del vettore geometrico v. In questo caso, scriveremo semplicemente v = P Q. Il modulo di un vettore v è il modulo di un suo rappresentante (qualsiasi!); direzione e verso si definiscono in maniera analoga. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 1 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

2 L addizione vettoriale di due vettori u e v si definisce tramite la regola della poligonale : si scelgono innanzitutto due rappresentanti AB = u e BC = v, e si definisce u + v = AC. Per sommare più vettori si procede in maniera analoga: Se si ottiene una poligonale chiusa, allora la somma è il vettore nullo: a + b + c + d + e = o L addizione vettoriale possiede le seguenti proprietà algebriche: (A1) È associativa: ( a + b) + c = a + ( b + c) a, b, c V 3 (A) esiste l elemento neutro, il vettore nullo o: a + o = o + a = a a V 3 ; (A3) esiste l elemento simmetrico: a V 3 ( a) V 3 con a + ( a) = ( a) + a = o (se a = P Q, allora si sceglie ( a) = QP ); (A4) è commutativa: a + b = b + a a, b V 3 Dal punto di vista algebrico, l addizione in V 3 si comporta quindi come l addizione in R: si dice che (V 3, + ) ha la struttura di gruppo abeliano (o gruppo commutativo). L esistenza dell elemento simmetrico permette di definire anche la sottrazione vettoriale, tramite a b := a + ( b). Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

3 La moltiplicazione λ v (o semplicemente λ v) di un vettore v con un numero reale λ R (o moltiplicazione scalare ) si definisce come segue: λ o = o, 0 v = o e per v o, λ 0 : (modulo) λ v = λ v ; (direzione) λ v ha la direzione di v; { se λ > 0, λ v ha il verso di v (verso) se λ < 0, λ v ha verso opposto a v Proprietà algebriche: (M1) 1 v = v v V 3 ; (M) (λµ) v = λ (µ v) λ, µ R, v V 3 ; (M3) (λ + µ) v = λ v + µ v λ, µ R, v V 3 ; (M4) λ( v + w) = λ v + λ w λ R, v, w V 3. Le proprietà (A1)-(A4) e (M1)-(M4) si riassumono dicendo che (V 3, +, ) è uno spazio vettoriale reale. Esse permettono in particolare di calcolare con i vettori senza dover ricorrere all interpretazione geometrica.. Dipendenza e indipendenza lineare Siano, v,... v n V 3 e λ 1, λ,... λ n R. Ricorda che il vettore v = λ 1 + λ v λ n v n è una combinazione lineare dei vettori, v,... v n. Il seguente concetto è di importanza fondamentale nel campo della matematica noto come algebra lineare: Definizione 1 (Dipendenza lineare) I vettori, v,... v n sono detti linearmente dipendenti se esistono λ 1, λ,... λ n R non tutti nulli tali che λ 1 + λ v λ n v n = o, cioè se esiste una combinazione lineare nulla di, v,... v n con coefficienti non tutti nulli. Osservazione: supponendo ad esempio λ 1 0, possiamo isolare e scrivere ( = λ ) ( v + λ ) ( 3 v λ ) n v n. λ 1 λ 1 λ 1 Possiamo cioè scrivere come combinazione lineare di v,..., v n : n vettori, v,... v n sono quindi linearmente dipendenti se e soltanto se (almeno) uno di essi è esprimibile come combinazione lineare degli altri. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 3 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

4 Definizione (Indipendenza lineare) I vettori, v,... v n sono detti linearmente indipendenti se essi non sono linearmente dipendenti, cioè se dall affermazione λ 1 + λ v λ n v n = o segue λ 1 = λ =... = λ n = 0 (l unico modo per scrivere il vettore nullo come combinazione lineare è porre tutti i coefficienti uguali a zero). Valgono le seguenti affermazioni: (i) Se uno dei vettori, v,... v n è nullo, allora, v,... v n sono linearmente dipendenti. Infatti, supponendo ad es. che valga = o, v v n = o è una combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli! (ii) Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti essi sono collineari, cioè rappresentabili su una stessa retta. Infatti vale v = λ λ + ( 1) v = o. (iii) Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti essi sono complanari, cioè rappresentabili su uno stesso piano; (iv) Tre o più vettori di V oppure quattro o più vettori di V 3 sono sempre linearmente dipendenti. Il Teorema seguente, di cui tralasciamo la dimostrazione, riveste un importanza fondamentale nell ambito dell algebra lineare. Teorema 1 (Scomposizione di un vettore) Sia {, v,..., v n } un sistema massimo di vettori linearmente indipendenti (cioè tale che l aggiunta di un ulteriore vettore li rende dipendenti) di uno spazio vettoriale V. Allora ogni vettore v V è esprimibile in un unico modo come combinazione lineare v = λ 1 + λ v λ n v n con λ 1, λ,..., λ n R. Nel caso particolare V = V 3 segue immediatamente il Corollario (Scomposizione di un vettore in V 3 ) Siano a, b e c tre vettori non complanari di V 3. Allora ogni vettore v V 3 è esprimibile in un unico modo come combinazione lineare v = λ a + µ b + ν c con λ, µ, ν R. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 4 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

5 Illustrazione: si tratta di un analogo tridimensionale della regola del parallelogrammo; basta notare che ogni vettore v si lascia rappresentare come diagonale di un parallelepipedo di spigoli collineari ad a, b e c : v = λ a + µ b + ν c ν c µ b c b a λ a Definizione 3 (Base) Un sistema massimo {, v,..., v n } di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V costituisce una base di V. Osservazioni: (i) Ogni elemento di uno spazio vettoriale V è quindi esprimibile in modo univoco come combinazione lineare degli elementi di una sua base, che rappresenta quindi un sistema minimo di generatori (cioè tale che la rimozione di un vettore non permette più di generare l intero spazio V ). (ii) Una base di V è costituita da una coppia { a, b} di vettori non collineari, e una base di V 3 è costituita da una terna { a, b, c} di vettori non complanari. (iii) In algebra lineare, la dimensione dim(v ) di uno spazio vettoriale è pari al numero di elementi di una sua base. Vale quindi dim(v ) = e dim(v 3 ) = 3. Tale definizione 1 rende rigoroso il concetto intuitivo di dimensione come numero di gradi di libertà. 1 per la quale, a dire il vero, occorrerebbe mostrare che ogni base ha lo stesso numero di elementi Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 5 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

6 3. Vettori aritmetici dello spazio Definizione 4 (Base ortonormata) Una base { i, j, k} di V 3 è detta base ortonormata orientata positivamente se vale quanto segue: (i) i = j = k = 1; (ii) i j, i k, j k; (iii) la terna ordinata ( i, j, k) forma un sistema destro (o terna positiva) di vettori, cioè l angolo convesso e orientato tra i e j è positivo se osservato dal semispazio indicato da k. La condizione (iii) può essere sostituita dalla seguente, detta regola della mano destra: (iii) la terna ordinata ( i, j, k) forma un sistema destro (o terna positiva) di vettori, possiamo cioè sovrapporre ai vettori i, j e k rispettivamente il pollice, l indice e il medio della mano destra. Illustrazione: sistema sinistro (terna negativa) sistema destro (terna positiva) Sia quindi { i, j, k} una base ortonormata di V 3. Ogni vettore v V 3 si lascia scomporre in un unico modo come combinazione lineare di i, j, k: v = i + v j + v 3 k Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 6 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

7 Il vettore v è determinato in maniera univoca dai numeri reali, v, v 3. In particolare, la legge v = i + v j + v 3 k v = v v 3 permette di identificare l insieme V 3 dei vettori geometrici con l insieme dei vettori aritmetici dello spazio (che indichiamo con lo stesso simbolo V 3 ): x V 3 = y x, y, z R z. È facile mostrare che l insieme dei vettori aritmetici munito dell addizione vettoriale w 1 + w 1 v + w := v + w v 3 w 3 v 3 + w 3 e della moltiplicazione con un numero reale λ λ v := λv v 3 λv 3 possiede una struttura di spazio vettoriale, compatibile con le corrispondenti operazioni tra i vettori geometrici. Applicazioni: a) Condizione di collinearità tra vettori v = v e w = w : v 3 w 3 v w λ R con w 1 w = λ v w 3 v 3 w 1 λ R con w 1 = λ w = λv w 3 = λv 3 Esempio: i vettori v = 0 e w = sono collineari, dal momento che vale w = v. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 7 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

8 b) Condizione di complanarità tra 3 vettori u = u, v = v e w = w : u 3 v 3 w 3 } λ, µ R con u, v, w λ, µ R con u sono 1 w 1 λu 1 + µ = w 1 λ u complanari +µ v = w λu + µv = w u 3 v 3 w 3 λu 3 + µv 3 = w 3 I tre vettori sono quindi complanari (cioè linearmente dipendenti) se e soltanto se il sistema di 3 equazioni λu 1 + µ = w 1 λu + µv = w λu 3 + µv 3 = w 3 nelle incognite λ, µ possiede (almeno) una soluzione. 3 1 Esempio: i vettori u = 3, v = e w = 3 sono complanari? 1 4 Occorre stabilire se il sistema 3 1 3λ µ = λ 3 + µ = 3 3λ + µ = λ + µ = 4 possiede o meno soluzioni; un modo conveniente di procedere è la risoluzione del sistema parziale formato da due delle equazioni e la successiva verifica nella terza. In questo caso, sottraendo la prima equazione dalla seconda otteniamo u 1 w 1 3µ = 1 quindi µ = 1 3 e λ = 1 3 (µ ) = 7 9 ; sostituendo λ = 7 9 e µ = 1 3 nella terza equazione abbiamo λ + µ = = Di conseguenza, il sistema non possiede soluzioni e i vettori u, v e w non sono complanari. Essi formano quindi una base di V 3. più tardi impareremo a studiare la dipendenza lineare di tre vettori in modo più efficiente grazie al determinante Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 8 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

9 c) Scomposizione di un vettore a = (non complanari) u = numeri reali λ, µ, ν tali che u 1 u u 3, v = a 1 a a 3 come combinazione lineare di tre vettori v v 3 e w = a = λ u + µ v + ν w, w 1 w : dobbiamo ricavare tre w 3 ovvero a 1 u 1 a = λ u + µ v + ν w a 3 u 3 v 3 w 3 w 1 λu 1 + µ + νw 1 = a 1 λu + µv + νw = a λu 3 + µv 3 + νw 3 = a 3 Si tratta di un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite λ, µ, ν; se i vettori u, v e w formano una base di V 3 esiste sempre una e una sola soluzione. 4 Esempio: scrivi il vettore a = 9 come combinazione lineare dei vettori u, v e 19 w dell esempio in b). Dal momento che { u, w, w} è una base di V 3 (v. sopra) l esercizio possiede certamente un unica soluzione. Risolviamo quindi il sistema λ µ ν = 4 9 = λ 3 + µ + ν 3 3λ + µ 3ν = λ + µ + 4ν = 19 Dalla prima equazione ricaviamo µ = 3λ ν 4; sostituendo nella seconda e nella terza { { 3λ + (3λ ν 4) 3ν = 9 9λ 7ν = 1 λ + 3λ ν 4 + 4ν = 19 5λ + ν = 3 Dalla seconda equazione ricaviamo ν = 5λ + 3, e sostituendo nella prima 9λ + 35 λ 161 = 1 53λ 161 = 53λ = 159 λ = 3 e quindi, sostituendo a ritroso, ν = = 4 e µ = = 3. Vale quindi, com è facile verificare, a = 3 u 3 v + 4 w. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 9 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

10 4. Il prodotto scalare nello spazio Definizione 5 (Prodotto scalare) Siano v, w due vettori geometrici di V 3 ; il loro prodotto scalare v w è il numero reale definito come segue: se v = o oppure w = o, allora v w = 0 ; se v o e w o, allora si definisce v w = v w cos α, dove α è l angolo (solitamente positivo e convesso) tra due rappresentanti di v e w uscenti da uno stesso punto. Osservazione: dal momento che vale cos(α) = cos( α) = cos(π α), la condizione α positivo e convesso può anche essere tralasciata. Illustrazione: sia w la proiezione ortogonale di w su v; allora w cos α = ± w ; w w α w v in particolare, vale v w = v w se α è acuto e v w = v w se α è ottuso. Analogamente a quanto visto in V, il prodotto scalare di due vettori aritmetici possiede una semplice espressione: Teorema 3 (Prodotto scalare di vettori aritmetici) Applicazioni: w 1 w v w = w 1 + v w + v 3 w 3. v 3 w 3 a) Modulo di un vettore aritmetico: dal momento che v v = v v } cos {{ 0} = v, 1 v = v v 3 = v v = α v 1 + v + v 3. v Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 10 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

11 Ad esempio, per il vettore v = 1 4 vale v = = 81 = 9. 8 b) Angolo tra vettori aritmetici: dalla definizione ricaviamo immediatamente cos α = v w v w = w 1 + v w + v 3 w 3 v 1 + v + v 3 w 1 + w + w 3 1 Ad esempio, per i vettori v = 4 e w = 3 vale 8 6. α = arccos = arccos = c) Condizione di ortogonalità: se due vettori v e w sono ortogonali, allora vale v w = v w cos }{{ 90}, cioè 0 v w v w = 0 w 1 + v w + v 3 w 3 = 0. Ad esempio, è facile mostrare che Il prodotto vettoriale Introduciamo una nuova operazione tra vettori di V 3, fondamentale per le applicazioni geometriche. Definizione 6 (Prodotto vettoriale) Siano v e w due vettori in V 3. Il loro prodotto vettoriale v w (leggi v cross w ) è il vettore in V 3 che soddisfa le seguenti condizioni: se v = o oppure w = o, allora v w = o ; siano v o e w o; allora 1) (modulo) v w = v w sin α ove α è l angolo tra v e w; ) (direzione) v w v e v w w ; 3) (verso) la terna ordinata ( v, w, v w) è una terna positiva. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 11 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

12 In altre parole: 1) il modulo di v w è uguale all area di un parallelogrammo avente lati equipollenti a v e w ; ) v w è perpendicolare a un piano parallelo a due rappresentanti di v e w ; 3) i vettori v, w, v w (considerati in questo ordine) soddisfano la regola della mano destra : v pollice, w indice, v w medio (della mano destra!). Illustrazione: v w 1) v w = v w sin α = A v α A w ) v w v, v w w 3) ( v, w, v w) è una terna positiva. Proprietà del prodotto vettoriale: (i) v w = w v v, w V 3 (il prodotto vettoriale è cioè anticommutativo). v v w w v w Dimostrazione: i vettori v w e w v hanno la stessa direzione e lo stesso modulo, ma versi opposti: dal momento che le terne ( v, w, v w) e ( w, v, w v) sono entrambe positive, deve valere w v = v w (ii) Due vettori v e w sono collineari v w = o. Dimostrazione: Sia α = ( v, w); allora vale v w α = 0 oppure α = π v w = v w = 0 v w = o (iii) Per due vettori non nulli e ortogonali v e w, vale ( v w = v w sin ± π ) = ± v w. Per il calcolo del prodotto vettoriale di due vettori aritmetici vale il Teorema 4 (Prodotto vettoriale di vettori aritmetici) Siano v, w V 3 ; allora w 1 v w 3 v 3 w v w = v w = w 3 + v 3 w 1. v 3 w 3 w v w 1 { v w sin 0 v w sin π Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 1 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

13 Dimostrazione (parziale): sia z = v w 3 v 3 w w 3 + v 3 w 1 ; verifichiamo 1) e ). w v w 1 1) Occorre verificare che v z = w z = 0: v w 3 v 3 w v z = v w 3 + v 3 w 1 v 3 w v w 1 = v w 3 v 3 w v w 3 + v v 3 w 1 + v 3 w v v 3 w 1 = 0 ; w z = 0 si dimostra analogamente. ) Dal momento che vale v 0, w 0 e z 0, z = v w sin α z = v w sin α }{{} 1 cos α. Dobbiamo verificare quest ultima uguaglianza: in componenti, il termine a sinistra diventa z = (v w 3 v 3 w ) + ( w 3 + v 3 w 1 ) + ( w v w 1 ) mentre il termine a destra diventa v w (1 cos α) = v w v w cos α = v w ( v w) = (v 1 + v + v 3)(w 1 + w + w 3) ( w 1 + v w + v 3 w 3 ). Ora non resta che confrontare le due espressioni ottenute (si tratta di un semplice, ma tedioso, esercizio di calcolo letterale) Utilizzando l abbreviazione a b c d = ad bc (determinante di ordine ), la formula diventa + v w v 3 w 3 w 1 v w = v w = w 1 v 3 w 3 v 3 w 3. + v 1 w 1 v w 1 1 Esempi: siano u =, v = 1, w = 1. Calcola 3 3 u v, v w, u ( v w), ( u v) w. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 13 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

14 Per il primo prodotto vale u v = 1 = ( 1) = = 1. 1 ( 1) Analogamente: v w = 7, u ( v w) = 14, ( u v) w = Osservazione: come mostra l esempio, in generale vale u ( v w) ( u v) w. Il prodotto vettoriale non soddisfa la proprietà associativa; non ha quindi senso scrivere semplicemente u v w. Applicazioni: a) Direzione ortogonale a due vettori v = v v 3 e w = Risulta immediatamente chiaro che qualsiasi vettore collineare a v w soddisfa questa condizione Esempio: se v = e w = 1, possiamo utilizzare v w = b) Area A( v, w) del parallelogrammo definito da v e w. È chiaro che vale, per definizione, A( v, w) = v w. Esempio: siano v e w come sopra; allora vale 7 A( v, w) = v w = 1 3 = = 59. c) Siano ora a = ( a1 a ) e b = ( b1 b ) w 1 w w 3. due vettori in V. Per ricavare l area A( a, b) possiamo procedere come segue: innanzitutto immergiamo V in V 3 identificando x V con l insieme (il sottospazio) dei vettori della forma y; identifichiamo quindi 0 Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 14 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

15 a e b rispettivamente con a = a 1 a e b 1 b = b e calcoliamo 0 0 A( a, b) = A( a, b a 1 b 1 0 ) = a b 0 0 = 0 a 1 b 1 = a 1 b 1 a b a b = a 1b a b 1 (cfr. con il programma di II Liceo). 6. Il prodotto misto Definizione 7 (Prodotto misto) Siano u, v, w tre vettori di V 3. Il loro prodotto misto [ u, v, w] è il numero reale [ u, v, w] := ( u v) w. Interpretazione geometrica: innanzitutto notiamo che [ u, v, w] = ( u v) w = u v w cos α ove α è l angolo convesso e positivo tra u v e w. h u v w α v u h A Nota che w cos α = ±h, dove h è l altezza del parallelepipedo avente u, v e w come spigoli, e u v = A( u, w) è l area del parallelogrammo avente per lati u e v. Nota inoltre che vale cos α > 0 se e soltanto se α è acuto, cioè se ( u, v, w) è una terna positiva (soddisfa cioè la regola della mano destra ). Sia V( u, v, w) il volume del parallelepipedo avente u, v e w come spigoli; otteniamo Quindi u v w cos α = ±A h. [ u, v, w] = V( u, v, w) è il volume del parallelepipedo; [ u, v, w] > 0 ( u, v, w) è una terna positiva. In altre parole: [ u, v, w] = ±V( u, v, w) è il volume orientato di un parallelepipedo determinato da u, v e w. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 15 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

16 Proprietà del prodotto misto: (i) Scambiando due vettori di una terna, il suo segno si inverte ma il volume non cambia; vale quindi [ u, v, w] = [ v, u, w] = [ u, w, v] = [ w, v, u]. Permutando ciclicamente i vettori di una terna, non cambiano né il volume, né l orientamento: [ u, v, w] = [ v, w, u] = [ w, u, v]. (ii) Vale anche [ u, v, w] = u ( v w). Dimostrazione: [ u, v, w] = [ v, w, u] = ( v w) u = u ( v w) (iii) Tre vettori u, v, w sono linearmente dipendenti [ u, v, w] = 0. Dimostrazione: u, v, w sono lin. dip. u, v, w sono complanari V( u, v, w) = 0 [ u, v, w] = 0 In particolare, se (almeno) due dei vettori u, v, w coincidono, il loro prodotto vettoriale è nullo. Per il prodotto misto di tre vettori aritmetici u = u, v = v e w = w u 3 v 3 w 3 si utilizza la notazione u 1 w 1 [ u, v, w] = u v w. u 3 v 3 w 3 Tale numero è anche detto determinante dei vettori u, v, w (si parla di determinante di ordine 3). Invece di [ u, v, w] si scrive anche det( u, v, w). u 1 w 1 Per il calcolo del determinante, sfruttiamo ad es. l osservazione (ii): + v w v 3 w 3 u 1 [ u, v, w] = u ( v w) = u w 1 u 3 v 3 w 3 = u 1 v w v 3 w 3 u w 1 v 3 w 3 + v 1 w 1 v w +u 3 w 1 v w (si tratta dello sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla prima colonna ). Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 16 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

17 1 3 1 Esempio: calcola [ u, v, w] con u =, v = 1, w = Soluzione: [ u, v, w] = 1 5 = ( 1) = ( 1) = = 0. Un altra formula utile per il calcolo di un determinante di ordine 3 è la seguente: Teorema 5 (Regola di Sarrus) u 1 w 1 u v w u 3 v 3 w 3 = u 1v w 3 + w u 3 + w 1 u v 3 u 3 v w 1 v 3 w u 1 w 3 u. Dimostrazione: semplice verifica. Schema mnemonico: u 3 v w 1 v 3 w u 1 w 3 u u 1 w 1 u 1 u v w u v u 3 v 3 w 3 u 3 v 3 + w u 3 +u 1 v w 3 +w 1 u v 3 Esempio: calcoliamo di nuovo il determinante dell es. precedente = ( 1) ( ) ( ) 5 ( 1) = = 0. Applicazioni del prodotto misto: a) Volume V( u, v, w) del parallelepipedo avente u, v, w quali spigoli: come abbiamo già notato, V( u, v, w) = [ u, v, w] Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 17 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

18 b) Altezza h del parallelepipedo avente u, v, w quali spigoli (relativa alla faccia u, v): Dal momento che vale [ u, v, w] = u v w cos α }{{} h, otteniamo h = [ u, v, w] u v c) dall osservazione (iii) a pagina 16 segue che il determinante permette una verifica immediata della dipendenza (o dell indipendenza) lineare: Teorema 6 (Criterio per la dipendenza lineare) u 1 w 1 u, v, w sono linearmente dipendenti u 3 v 3 w 3 u 1 w 1 u v w u 3 v 3 w 3 = La regola di Cramer Consideriamo un sistema di equazioni a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d. a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 e riscriviamolo nella forma vettoriale x a + y b + z c = d, con a 1 b 1 c 1 a = a, b =, c =, d = a 3 Sia b b 3 D = [ a, b, c] = c c 3 a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 0. d 1 d d 3. Per quanto visto nei paragrafi precedenti, sappiamo già che il sistema possiede un unica soluzione per ogni scelta di d se e soltanto se { a, b, c} è una base di V3, e che ciò è equivalente a D 0. In questo caso, grazie al determinante è possibile esprimere x, y e z per mezzo di formule nei coefficienti del sistema. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 18 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)

19 Teorema 7 (La regola di Cramer) Se vale D = [ a, b, c] = a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 il sistema possiede l unica soluzione (x, y, z), con dove D 1 = [ d, b, c] = d 1 b 1 c 1 d b c d 3 b 3 c 3 Dimostrazione: tralasciata. 0, x = D 1 D, y = D D, z = D 3 D,, D = [ a, d, c] = a 1 d 1 c 1 a d c a 3 d 3 c 3, D 3 = [ a, b, d] = a 1 b 1 d 1 a b d a 3 b 3 d 3 Osservazione: se d 1 = d = d 3 = 0 (cioè se il sistema è omogeneo) e D 0, vale D 1 = D = D 3 = 0 e l unica soluzione del sistema è (x, y, z) = (0, 0, 0), in accordo con la definizione di indipendenza lineare ( l unico modo di esprimere o come combinazione lineare di a, b e c è per mezzo di coefficienti nulli ). Esempio: risolviamo il sistema di equazioni 3x y z = 14 3x + y 3z = 9 x y + 4z = 11. D 1 = Calcoliamo dapprima D = = 47 ; dal momento che D 0, il sistema ha certamente una soluzione. Con = 47, D 3 14 = = 141, D = = 188 otteniamo x = = 1, y = = 3, z = = 4, S = {( 1, 3, 4)}. Geometria vettoriale, corso normale (V0.4) 19 LiLu1, 3E (Luca Rovelli)