ABC. La relazione tra le aree dei due triangolo è: cm

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1 GR DI MTEMTI ON-LINE (0//08) IL QUDRO [845] Riferendoci alla figura a lato, osserviamo che il triangolo PQ ha per base P e che l altezza QK è la metà di H, altezza di La relazione tra le aree dei due triangolo è: cm PQ P QK H 6 6 L NTIFURTO [86] Scegliendo con ripetizioni tre numeri nell insieme x x,0 x 5 esiste un solo modo per ordinare i tre numeri in modo che 0 a b c 5 Le possibili scelte sono * 6 8 6, 86 H Q K P IL MESSGGIO [00] erchiamo una formula generale che risolva il problema Sostituiamo in x con x nell equazione f ( x) x f ( x ) ed otteniamo: f f x x x x x da cui possiamo ricavare f f x x che possiamo sostituire nell equazione di partenza x x x x f ( x) x f x ( x ) x x f ( x) 9 f ( x) 6( x ) ( x ) x f( x) 09 La soluzione richiesta dal problema è f (09) 00 4 IL ORRIDOIO D INGRESSO [6084] Osserviamo che 4 5 O O O OD OE OF 4 OF Da cui si ricava che OF O 4 Siccome ˆ FO 5, l area del triangolo OF vale 4 4 OF sen m 5 L SPRTIZIONE DELL OLLNE [65] ssegnate le collane a ciascuno dei complici, restano ancora 8 collane da distribuire, magari alle stesse persone Si tratta di scegliere, con ripetizione, tra i 4 complici, chi riceverà un altra collana * 4 8 In definitiva, ci sono 4,8 65 modi possibili 8 8

2 6 L PREPRZIONE DELL SQUDR [4] Ponendo k ab bc ac, il problema può essere visto nella forma a 8 k b 94 k c k Si tratta quindi di trovare il valore di k che rende i tre valori del sistema tre quadrati perfetti Si potrebbe procedere per tentativi successivi, visto che, ad esempio, nella prima equazione a Per evitare calcoli inutili possiamo sostituire k sfruttando la seconda e la terza equazione Dalla terza si ottiene k c, che inserita nella seconda ci permette di trovare b c che può essere scritta b c ovvero ( b c)( b c) Siccome, abbiamo due sole possibilità da verificare: ( bc, ) (5,) oppure ( bc, ) (,0) La prima è da scartare in quanto non esisterebbe alcun valore per a La soluzione cercata è ( abc,, ) (,,0) e quindi il risultato richiesto è abc 0 4 I OMPLII [8] Osserviamo che se 00a 0b c 0mod, allora anche (00 a 0 b c) 0 0mod, ma 000a 00b 0c a 00b 0c mod in quanto 000 mod Questo ci assicura che tutti i multipli di verificano la condizione richiesta Da abc 0 0 ad abc 999 vi sono 8 valori possibili 8 L TE [96] Detto x il lato del quadrato inscritto all interno del triangolo I triangoli DE e EF sono simili, e quindi vale la relazione 6 x : x x :84 x, dalla quale si ricava x 6 cm L area del quadrato misura 6 96 cm 9 L IUTNTE DI KOSENO [48] Siccome 89 i numeri cercati devono avere per forza le cifre, e 9 F La somma di tutti può essere trovata velocemente osservando che ciascuna delle cifre comparirà due volte al posto delle centinaia, decine e unità e quindi vale ( ab c) 9 48 D E 0 IL MGZZINO IN RUE DE L HOSPITL [] Scriviamo la sequenza alla ricerca di un periodo ) 5 5) ) 5 9 6) ) 9 85 ) 4 0 4) ) 4 9) 4 6 0) 6 ) 58 ) > come 4) Da questo punto in poi i valori si ripeteranno sempre con lo stesso ordine Tolti quindi i primi 4 valori, abbiamo trovato un periodo di 8 Siccome (08 4) 6 mod8, il 08 termine sarà uguale al sesto della sequenza periodica, e cioè GLI LLIEVI DI KOSENO [] Indichiamo con a, a, a 6 il numero di problemi risolti da ciascuno studente Per quanto affermato a a a Indichiamo con x, x, x 0 il numero degli studenti che hanno risolto il problema, il problema, etc Per quanto affermato accade che x x x a a a x x x si deduce che x 8 i e a 5 j Siccome 6 0 Quindi 6 n 8 0 che ha soluzione n i j

3 L OMINZIONE DELL SSFORTE [695] L insieme assegnato contiene valori congrui a 0, e mod Un sottoinsieme di elementi avrà somma multipla di se i tre valori saranno della stessa classe di congruenza, oppure ognuno appartiene a classi diverse In totale avremo dunque 695 sottoinsiemi possibili IL IGLIETTO PERDUTO [] Fattorizzando sia a ( a )( a ) che 8 56 si nota che nel prodotto ( a)( a ) dobbiamo trovare ben 8 fattori I due numeri sono certamente pari entrambi, ma se uno è divisibile per 4 l altro non lo può essere I valori a cercati dovranno essere quindi del tipo a k Siccome 08:8 5, abbiamo in tutto 5 soluzioni del tipo di soluzioni k (k 5 ) e 6 soluzioni del tipo 4 ESMI [4] ostruiamo un sistema di assi cartesiano centrato in Sia a e b on queste condizioni risulta che D( a, b ) e E( a, b ) Usando la formula della distanza abbiamo che 4a b 49 e a 4b 8 Sommando tra loro le due equazioni si ottiene che 5a 5b 0, cioè a b 6 a b a b 9 9 9( ) cm k ( 0 k 5 ) per un totale (0,b) E (a,b) D (a,b) (a,0) 5 IL PVIMENTO LSTRITO [] Riportando le possibilità sullo schema, e sommando i valori sulla coda delle frecce si ottiene il diagramma a fianco riportato Nella casella grigia si trova il numero di tutti i possibili percorsi

4 6 L MPP DELL STNZ DEL TESORO [99] Sia S l area del triangolo Dalle informazioni del problema si determina immediatamente che: E ED D S E F F F S Tracciamo i segmenti EF e PE D Q Si osserva che FE // D in quanto E punto medio di P D e F punto medio di, inoltre FE D S S Dal parallelismo tra FE e PD si osserva anche che PD FE S S S 4 6 Per costruzione PDE PD S e quindi P S S S 4 onsideriamo ora il trapezio FEP e chiamiamo, e le parti in cui è diviso, come in figura Dalle proprietà del trapezio si sa che Per quanto calcolato finora possiamo scrivere che S S e S S 4 6 Ricavando e dalle ultime due relazioni e sostituendo nella prima otteniamo con semplici calcoli che 0 S, 0 S S PQ 0 9 PDEQ PDE 0 S S La risposta al problema è pq 9 99 LE ELLULE FOTOELETTRIHE [9] Siano S a b c, Q ab ac bc 5 e P abc 0 le relazioni tra coefficienti e soluzioni dell equazione assegnata Siano x a b c, x a b c e x a b c le tre radici del polinomio Px ( ) Dobbiamo calcolare il valore di pq r Ricordando ancora una volta le formule di Viète sulle relazioni tra radici e coefficienti diventa: p q r ( x x x) ( xx xx x x ) xx x ggiungendo ad ambo i membri dell ultima uguaglianza otteniamo: p q r x x x x x x x x x x x x ( x )( x )( x ) Sostituendo x, x e x la relazione diventa p q r ( a b c)( a b c)( a b c) ( S c)( S b)( S a) (a )( b )( c ) 8P 4Q S p q r 9

5 8 L SER DELL INUGURZIONE [09] Poiché m n divide n m accade che m n n m, cioè, aggiungendo e cambiando l odine dei termini: m m n n, cioè ( m) ( n ) e quindi mn nalogamente, vista la simmetria del problema, deve accadere che nm Sfruttando ancora la simmetria, limitiamo ci a studiare i tre casi n m, nm e nm m m m 4 n m: che è intero per m, m, m 4 e m 6 Le coppie che m m m m risolvono il problema sono (;), (;), (4;4) e (6;6) La prima è da scartare perché i due numeri devono essere positivi m n m m m nm : n m m m m Se m, m m 5 n m 4 Se m,, ma non è intero m 5 m n 6 m Se m allora 0 e quindi non vi sono soluzioni possibili m nm : m n m m 4 n m m 4m 4 m Dovendo essere intero Deve essere che n m m m m m m n m m m m e 4 4 m m 4 8m 8 da cui si ricava che m Esaminando i valori uno alla volta si trova che solo, e 4 verificano il problema Le coppie cercate sono (;4), (;5) e (4;6) di cui solo l ultima è valida per il problema, visto che i due numeri devono essere positivi Le coppie che verificano il problema sono (;), (4;4), (6;6) (4;6) e (6;4) Il valore richiesto dal problema è KOSENO VIENE SOPERTO [60] Sia x a e quindi ax y b 4 e quindi b k d 6 e quindi d k 6 9 y 4 z c e quindi cz x y 4 z 9 k 6 Sostituiamo nell equazione e svolgiamo i calcoli: x y z 4k x x y 4y 4 z 6z 9 k 8k 6 0 ( x ) ( y ) ( z ) ( k 4) 0 9 e infine Equazione che ha solo la soluzione x, y, z e k 4, e quindi a, b 8, c 8 e d Il valore richiesto è a b c d L FUG DI KOSENO [055] Il caso peggiore, quindi con n massimo, lo otteniamo quando prendiamo 0,,,,( n ) Otteniamo tutti i valori possibili tra 0 e n Il valore massimo cercato è n 08, n 00 Per il caso migliore, con n minimo, cerchiamo di organizzare i due insiemi e in modo che non succeda che per qualche a a e b b a b a b 0,,,,( n ) 0, n, n,,( n ) n ostruiamo gli insiemi in questo modo: e In questo modo contiene esattamente n valori diversi Il più piccolo n per cui n 08 è n 45 Ovviamente per non avere valori più grandi di 08 basterà aggiustare l ultimo valore di in modo da avere qualche ripetizione e terminare con 08 (al posto di , ultimo valore di basterà mettere 94 )