Esercizi su validità e tavole di verità

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1 Esercizi su validità e tavole di verità soluzioni Sandro Zucchi Risposte al primo esercizio Le formule (1)-(6), (9) e (12) sono formule ben formate di LP, le altre no: p (1) q (2) (p q) (3) (p q) (4) (((p q) (q r)) (p s)) (5) ( (p (q r)) (((p q) r) s)) (6) (7) (ϕ ψ) (8) p q r (s r) (9) (10) q ( q s) (11) p q r 1

2 Metodi formali per filosofi 2 (12) ((p q) r) (13) (p q) (q s) Nota Il caso di (7) ci permette di introdurre una distinzione importante: (7) (ϕ ψ) La formula (7) non è una formula ben formata di LP perché ϕ e ψ non sono simboli di LP, e la definizione di formula ben formata di LP richiede che le formule ben formate siano tutte composte da simboli di LP. I simboli ϕ e ψ sono simboli del linguaggio con cui parliamo di LP, in particolare sono simboli che usiamo per riferirci a formule di LP di complessità arbitraria. Un linguaggio con cui si parla di un linguaggio è detto metalinguaggio. Il linguaggio di cui si parla con un metalinguaggio è detto linguaggio oggetto (di quel metalinguaggio). Risposte al secondo esercizio (Bonevac) 1. Gli argomenti in LP che hanno come conclusione una formula valida sono validi. Vero. Infatti, se la conclusione è valida non esiste una valutazione che rende vere le premesse e falsa la conclusione. 2. Alcuni argomenti con premesse contraddittorie non sono validi. Falso. Se le premesse sono contraddittorie, non esiste una valutazione che rende vere le premesse, e dunque, a maggior ragione, non esiste una valutazione che rende vere le premesse e falsa la conclusione. 3. C è una formula che implica ogni altra formula. Vero. Una formula contraddittoria implica ogni altra formula in quanto, data una formula qualsiasi ϕ, non esiste una valutazione che rende vera la formula contraddittoria e falsa ϕ. 4. C è una formula che è equivalente a ogni altra formula. Falso. Se fosse vero ci sarebbe una formula ϕ che è equivalente a ϕ. Ma questo è impossibile. 5. Nessun insieme di formule soddisfacibile implica ogni altra formula. Vero. Se un insieme di formule A è soddisfacibile, c è una valutazione ν che

3 Metodi formali per filosofi 3 rende vera ogni formula in A ovvero c è una valutazione ν tale che non esiste alcuna formula che appartiene ad A ed è falsa in ν. Supponiamo che A non sia vuoto e ϕ sia una formula di A che è vera in ν. Allora, ϕ sarà falsa in ν. Dunque, ν rende vere le formule in A e falsa ϕ. Dunque, A non implica ϕ. D altra parte, se A è vuoto, ogni valutazione rende vera ogni formula in A (in quanto, data una valutazione, non esiste alcuna formula che appartiene ad A ed è falsa in quella valutazione). Dunque, se A è vuoto solo le tautologie sono implicate da A (dal momento che solo le tautologie sono vere in ogni valutazione). Quindi, A non implica ogni formula. 6. Ogni formula implicata da un insieme soddisfacibile è soddisfacibile. Vero. Se un insieme di formule A è soddisfacibile, c è una valutazione ν che rende vera ogni formula in A. Se A implica una formula ϕ, per definizione, ogni valutazione che rende vera ogni formula in A rende vera ϕ. Dunque, ν rende vera ϕ. Dunque ϕ è soddisfacibile. 7. Ogni formula che implica una formula contingente non è valida. Vero. Se fosse valida sarebbe vera in ogni interpretazione, ma allora anche le formule che implica dovrebbero essere vere in ogni interpretazione, dunque le formule che implica non potrebbero essere contingenti. 8. Ogni formula implicata da una formula contingente è contingente. Falso. Una formula valida è implicata da qualsiasi formula, quindi anche da formule contingenti. 9. Ogni formula implicata da una formula valida è valida. Vero. Se ϕ è valida, è vera in ogni valutazione. Dunque, se ϕ è valida e ogni valutazione che rende vera ϕ rende vera ψ, anche ψ è vera in ogni valutazione. 10. Ogni formula che implica una formula valida è valida. Falso. Una formula valida è implicata da qualsiasi formula, quindi anche da formule contingenti. 11. Tutte le formule contraddittorie si implicano tra loro. Vero. Se ϕ è contraddittoria implica ogni formula e dunque ogni formula contraddittoria. 12. Tutte le formule contingenti si implicano tra loro. Falso. p non implica q. 13. Tutte le formule valide si implicano tra loro. Vero. Le formule valide sono vere in tutte le valutazioni. Dunque, date due

4 Metodi formali per filosofi 4 formule valide qualsiasi, non esiste alcuna interpretazione che rende vera l una e falsa l altra. 14. Se un insieme di formule è soddisfacibile, nessuna formula in quest insieme implica una contraddizione. Vero. Supponiamo che ϕ appartenga a un insieme soddisfacibile e implichi una formula contraddittoria ψ. Dal momento che ϕ appartiene a un insieme soddisfacibile, c è una valutazione ν che rende ϕ vera. Inoltre, dal momento che ψ è contraddittoria, ψ è falsa in ogni valutazione. Dunque, ϕ è vera e ψ è falsa nella valutazione ν. Dunque, ϕ non implica ψ, contrariamente all ipotesi. 15. Se nessuna formula in un insieme implica una contraddizione, l insieme è soddisfacibile. Falso. La formula p non implica una contraddizione e la formula p non implica una contraddizione. Ma l insieme che contiene queste due formule non è soddisfacibile. 16. Se un insieme di formule non implica una contraddizione, l insieme è soddisfacibile. Vero. Infatti, se l insieme non fosse soddisfacibile, non ci sarebbe alcuna valutazione che rende vera ogni formula nell insieme. Dunque, data una contraddizione, non ci sarebbe alcuna valutazione che rende vera ogni formula nell insieme e falsa la contraddizione. Dunque, l insieme implicherebbe la contraddizione, contrariamente all ipotesi. 17. Alcuni argomenti che hanno come conclusione una contraddizione sono validi. Vero. Per esempio un argomento con una premessa contraddittoria e una conclusione contraddittoria è valido. 18. Nessuna formula implica la propria negazione. Falso: p p implica (p p). 19. Ogni formula che implica la propria negazione è contraddittoria. Vero. Supponiamo che ϕ implichi ϕ. Allora, non esiste una valutazione che rende ϕ vera e ϕ falsa. Ma se ϕ fosse vera in qualche valutazione, allora ϕ sarebbe falsa in quell interpretazione, contrariamente all ipotesi che ϕ implica ϕ. Dunque, ϕ è falsa in ogni valutazione, cioè è contraddittoria. 20. Ogni formula implicata dalla propria negazione è valida. Vero. Supponiamo che ϕ implichi ϕ. Se ϕ non fosse valida, esisterebbe

5 Metodi formali per filosofi 5 una valutazione che la rende falsa. Ma questa valutazione renderebbe ϕ vera, contrariamente all ipotesi che ϕ implica ϕ. Risposte al terzo esercizio (Allen e Hand) Usa le tavole di verità per determinare se le seguenti affermazioni sono vere. Se non lo sono, descrivi una valutazione che rende vere le premesse (le formule, o la formula, a sinistra di = LP ) e falsa la conclusione (la formula destra di = LP ). a. p q LP (p q) b. p (q r) LP q (p r) ν(p) = 1, ν(q) = 0, ν(r) = 1 c. (p q) r LP p r ν(p) = 1, ν(q) = 0, ν(r) = 0 d. (p q) r LP p r e. p (q r) LP p r ν(p) = 1, ν(q) = 1, ν(r) = 0 f. (p p) ( p p) LP p g. q r LP (p q) (q r) ν(p) = 1, ν(q) = 0, ν(r) = 1 h. p q, p r, s q LP p ν(p) = 1, ν(q) = 0, ν(r) = 1, ν(s) = 0 i. p q, p r, ( r q) LP p ν(p) = 0, ν(q) = 0, ν(r) = 0 j. p q, q r, r s LP p s ν(p) = 1, ν(q) = 0, ν(r) = 1, ν(s) = 0 k. p q LP ( p r) ( q r) l. p (r (p q)), (r (p q)) LP q m. ((r p) (q r)) LP (q r) n. p ((q r) s), p, s LP (q r)