Esercizi con i tableaux in logica modale

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1 Esercizi con i tableaux in logica modale Sandro Zucchi Esempi di tableaux (Priest) Vediamo alcuni esempi di tableaux nei sistemi che abbiamo introdotto. K(TAB) (1) K(T AB) p (p q) 1

2 Metodi formali per filosofi 2 (2) K(T AB) ( p q) p Quest albero non si chiude, quindi la formula in (2) non è derivabile in K(TAB). Nota che la regola della necessità nell albero viene applicata due volte alla formula in verde, producendo i due nodi in rosso (l introduzione dei nodi 0r1 e 0r3 dà luogo, infatti, a configurazioni appropriate per l applicazione della regola di necessità). Questo mostra che, quando costruiamo un albero, non possiamo spuntare una formula necessitata, in quanto è possibile che la formula debba essere riusata. Nota inoltre che tutte le volte che applichiamo la regola della possibilità introduciamo un numero nuovo.

3 Metodi formali per filosofi 3 Contro-modelli I contro-modelli si costruiscono così: per ogni numero i che occorre nell albero, introduci un mondo w i ; per ogni nodo irj introduci la condizione w i Rw j se p, i è su un ramo, introduci la condizione ν(p, w i ) = 1. se p, i è su un ramo, introduci la condizione ν(p, w i ) = 0. Per esempio, nel caso della formula (2), p q) p, è facile vedere che qualsiasi modello per LK che soddisfa queste condizioni rende la formula falsa al mondo w0: W = {w0, w1, w2, w3, w4} w0rw1 w1rw2 w0rw3 w3rw4 ν(q, w 3 ) = 0 ν(p, w 1 ) = 1 Infatti, p è vero a w0, in quanto p è vero a w1 e w0rw1. Inoltre, q è vero a w0, in quanto q è falso a w3 e w0rw3. Quindi, l antecedente p q del condizionale in (2) è vero a w0 in un modello di questo tipo. Tuttavia, il conseguente p è falso a w0. Infatti, se il conseguente è vero a w0, allora p deve essere vero a qualche mondo accessibile da w0, cioè a w1 o a w3. Dunque, p deve essere vero a tutti i mondi accessibili da w1 oppure p deve essere vero a tutti i mondi accessibili da w3. Dunque, p deve essere vero a w2 oppure p deve essere vero a w4. Ma p è falso a w2, in quanto non c è alcun mondo accessibile da w2, e dunque, a maggior ragione, non c è alcun mondo accessibile da w2 a cui p è vero. E p è falso a w4 perché anche da w4 non c è alcun mondo accessibile.

4 Metodi formali per filosofi 4 T(TAB) (3) T (T AB) p p (4) T (T AB) p p Nota che l albero non chiude perché manca un nodo 0r2 e quindi non è possibile applicare la regola della necessità per introdurre p, 2. Ecco un contro-modello (una classe di contro-modelli) basato su quest albero: W = {w0, w1, w2} w0rw0 w0rw1

5 Metodi formali per filosofi 5 w1rw1 w1rw2 w2rw2 ν(p, w 0 ) = 1 ν(p, w 1 ) = 1 ν(p, w 2 ) = 0 S4(TAB) (5) S4(T AB) p p Nota che in S4(TAB) l albero chiude in quanto, per la regola che caratterizza S4(TAB), ovvero la transitività, viene introdotto il nodo 0r2.

6 Metodi formali per filosofi 6 (6) S4(T AB) p p Nota che l albero non chiude perché manca un nodo 2r1 e quindi non è possibile applicare la regola della necessità per introdurre p, 1. Ecco un contro-modello (una classe di contro-modelli) basato su quest albero: W = {w0, w1, w2} w0rw0 w0rw1 w1rw1 w0rw2 w2rw2 ν(p, w 1 ) = 1 ν(p, w 2 ) = 0

7 Metodi formali per filosofi 7 S5(TAB) (7) S5(T AB) p p Nota che nell albero i nodi della forma irj sono scomparsi. Tableaux infiniti S4(TAB) e S5(TAB) possono dar luogo a tableaux infiniti. Ecco un esempio in S4(TAB) (un esempio analogo per S5(TAB) può essere facilmente ricavato da questo):

8 Metodi formali per filosofi 8 (8) S4(T AB) ( p p) In questo caso, è chiaro che il tableau è infinito e non chiuderà mai. Ma in altri casi può essere difficile stabilire se un tableau è infinito e aperto. Un (tipo di) contro-modello infinito basato sul tableau precedente è questo: W = {w0, w1, w2...} w0rw0 w0rw1 w1rw1 w0rw2 w2rw2... ν(p, w 1 ) = 1 ν(p, w 2 ) = 1...

9 Metodi formali per filosofi 9 Tuttavia, la formula in (8) ammette anche un semplice (tipo di) contro-modello finito: W = {w0} w0rw0 ν(p, w 0 ) = 1 Primo esercizio (Priest) Controlla la verità di ciascuna delle affermazioni seguenti usando i sistemi di tableaux che abbiamo introdotto. Se la conclusione non è derivabile dalle premesse, estrai un contro-modello dall albero e mostra che rende le premesse vere e la conclusione falsa. a. K(T AB) (p q) ( p q) b. T (T AB) ( (p q) (q r)) (p r) c. T (T AB) ( (p q) (p r)) (q r) d. T (T AB) ( p q) (p q) e. S4(T AB) ( p q) ( p q) f. S4(T AB) p p g. S4(T AB) ( ( p q) r) ( (p q) r) h. S4(T AB) ( p q) ( q p) i. S4(T AB) ( p p) j. S5(T AB) p p k. S5(T AB) ( p q) ( q p)