Esercizi di rappresentazione

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1 Esercizi di rappresentazione soluzioni Sandro Zucchi Primo esercizio (connettivi vero-funzionali - Bonevac) Quale dei connettivi seguenti è vero-funzionale? (se classifichi un connettivo come vero-funzionale, dà la sua tavola di verità; altrimenti spiega perché il connettivo non è vero-funzionale). a. e Il connettivo e è vero-funzionale, ha la stessa tavola di verità di. b. o Il connettivo o è vero-funzionale, ha la stessa tavola di verità di. c. prima che Il connettivo prima che non è vero-funzionale. Infatti, gli enunciati il Partenone fu costruito prima che il Colosseo fosse costruito e il Colosseo fu costruito prima che il Partenone fosse costruito sono uno vero e l altro falso, benché gli enunciati che li compongono il Partenone fu costruito e il Colosseo fu costruito siano entrambi veri. Dunque, il valore di verità degli enunciati composti formati attraverso prima che non è determinato dai valori di verità degli enunciati a cui il connettivo si applica. d. perché Il connettivo perché non è vero-funzionale. Infatti, gli enunciati Socrate bevve la cicuta perché fu accusato di empietà e Socrate fu accusato di 1

2 Metodi formali per filosofi 2 empietà perché bevve la cicuta sono uno vero e l altro falso, benché gli enunciati che li compongono, Socrate bevve la cicuta e Socrate fu accusato di empietà, siano entrambi veri. Dunque, il valore di verità degli enunciati composti formati attraverso perché non è determinato dai valori di verità degli enunciati a cui il connettivo si applica. e. allo scopo di Il connettivo allo scopo di non è vero-funzionale. Infatti, gli enunciati Aristotele tornò ad Atene allo scopo di fondare il Liceo e Aristotele fondò il Liceo allo scopo di tornare ad Atene sono uno vero e l altro falso, benché gli enunciati che li compongono Aristotele tornò ad Atene e Aristotele fondò il Liceo siano entrambi veri. Dunque, il valore di verità degli enunciati composti formati con il connettivo allo scopo di non è determinato dai valori di verità degli enunciati a cui il connettivo si applica. f. sebbene La decisione riguardo al carattere vero-funzionale o meno di sebbene dipende dalla decisione che prendiamo riguardo allo status di frasi come (1-a)- (1-c): (1) a. Aristotele non ottenne la direzione dell accademia sebbene fosse il candidato migliore b. Aristotele non ottenne la direzione dell accademia sebbene fosse nato a Stagira. c. Aristotele non ottenne la direzione dell accademia sebbene Platone stesso lo avesse designato a succedergli. Dopo la morte di Platone nel 347 a.c., la direzione dell Accademia passò a Speusippo (un nipote di Platone), e non ad Aristotele, il filosofo nato a Stagira anche lui membro dell Accademia, che era senza dubbio il candidato migliore alla successione. Dunque, (1-a) è vero. D altra parte, (1-c) è chiaramente falso, in quanto Platone non designò mai Aristotele a succedergli. Ora la questione è: qual è il valore di verità di (1-b)? Se ritenete che sia falso, allora dovreste concludere che sebbene non è un connettivo vero-funzionale, perché alla coppia <Vero, Vero> associa il Vero nel caso di (1-a) e il Falso nel caso di (1-b). Tuttavia, alcuni autori ritengono che (1-b), a differenza di (1-c), sia vero, ma inasseribile in quanto suggerisce una cosa che sappiamo essere falsa, ovvero che nascere a Stagira avrebbe dovuto qualificare Aristotele per la direzione dell Accademia. L idea è che il connettivo sebbene abbia le stesse condizioni di verità di e, ma, a differenza di e, ci sia una convenzione d uso associata a sebbene, secondo la quale asserzioni della

3 Metodi formali per filosofi 3 forma A sebbene B sono appropriate solo in situazioni in cui B dovrebbe essere una causa probabile di non-a (o qualcosa del genere). g. indipendentemente dal fatto che Il connettivo indipendentemente dal fatto che non è vero-funzionale. Infatti, i due enunciati seguenti sono l uno vero e l altro falso, benché gli enunciati connessi da indipendentemente dal fatto che siano entrambi veri: a. L auto ha sbandato indipendentemente dal fatto che il passeggero stesse dormendo. b. L auto ha sbandato indipendentemente dal fatto che il guidatore stesse dormendo. h. implica Il connettivo implica, dal punto di vista grammaticale, non è un connettivo enunciativo, cioè non collega due enunciati tra loro. Per esempio, in (2), implica congiunge tra loro due espressioni nominali, due nomi di enunciati, e non due enunciati: (2) l enunciato (4-a) implica l enunciato (4-b). E il valore di verità di (2) non è una funzione del valore di verità degli enunciati denotati dalle espressioni nominali che connette. Infatti, (2) è vero e (3) è falso, ma (4-a), (4-b), (4-d), (4-c) sono tutti veri: (3) l enunciato (4-c) implica l enunciato (4-d). (4) a. Gianni è uno scapolo b. Gianni non è sposato c. Platone nacque ad Atene d. Platone fondò l Accademia i. dovrebbe Il connettivo dovrebbe non è vero-funzionale. Infatti, l enunciato il ministro Gelmini dovrebbe lavorare nell agricoltura è vero e l enunciato il ministro Gelmini dovrebbe essere premier falso, benché gli enunciati a cui dovrebbe si applica ( G. lavora nell agricoltura e G. è premier ) siano entrambi falsi. j. forse Il connettivo forse non è vero-funzionale. Infatti, forse Gianni è scapolo e

4 Metodi formali per filosofi 4 sposato è falso, mentre forse domani pioverà è vero (si prevede pioggia). Ma, se domani non piove, entrambi gli enunciati a cui si applica forse sono falsi. k. è ovvio che Il connettivo è ovvio che non è vero-funzionale. È vero che 2+2 =4 ed è anche vero che non ci sono numeri naturali x, y, e z tali che x n + y n = z n, per n>2. Eppure, la prima cosa è ovvia e la seconda no. l. è sorprendente che Il connettivo è sorprendente che non è vero-funzionale. È vero che 2+2 =4 ed è anche vero che non ci sono numeri naturali x, y, e z tali che x n + y n = z n, per n>2. Eppure, la prima cosa non è sorprendente, la seconda sì. m. quando Il connettivo quando non è vero-funzionale. Infatti, Gli ebrei furono espulsi dalla Spagna quando Colombo scopri l America e Gli ebrei furono espulsi dalla Spagna quando Marco Polo andò in Cina sono uno vero e l altro falso, ma gli enunciati Gli ebrei furono espulsi dalla Spagna, Colombo scopri l America e Marco Polo andò in Cina sono tutti veri. n. necessariamente Il connettivo necessariamente non è vero-funzionale. Infatti, è vero che 2+2 =4 ed è anche vero che Obama è il 44 presidente degli U.S.A, ma necessariamente 2+2 =4 è vero, mentre Necessariamente Obama è il 44 presidente degli U.S.A è falso. o. presumibilmente Il connettivo presumibilmente non è vero-funzionale. Infatti, se oggi si prevede che domani piova mentre non si prevede che la temperatura scenda sotto i 10, allora presumibilmente domani pioverà è vero e presumibilmente domani la temperatura scenderà sotto i 10 è falso. Ma se poi domani piove e la temperatura scende sotto i 10, gli enunciati a cui presumibilmente si applica sono entrambi veri. Nota storica Frege pare concordare con l idea che connettivi come sebbene siano vero-funzionali (Frege menziona anche ma e tuttavia ) e abbiano una particolare convenzione di uso associata che determina quando è appropriato asserire enunciati formati attraverso di essi:

5 Metodi formali per filosofi 5 Anche nelle proposizioni secondarie, che hanno inizio con il termine sebbene, si trovano espressi pensieri completi. Questa congiunzione non ha, a rigor di termini, alcun suo senso specifico, né muta il senso della proposizione cui viene preposta, ma lo illumina in una maniera particolare.[lo stesso vale per ma e tuttavia.] E invero potremmo, senza pregiudizio della verità del tutto, sostituire un asserto, esprimente qualche concessione, con un altro asserto provvisto dello stesso valore di verità; sorgerebbe allora quest unico inconveniente: che la proposizione si troverebbe probabilmente in una luce fuori posto, come se si volesse intonare su di un motivo allegro un canto di contenuto triste. (Frege (1892) Senso e denotazione). Secondo esercizio (rappresentazione di frasi) Rappresenta in LP queste frasi (indica a quali enunciati dell italiano corrispondono alle lettere proposizionali che usi): (a) Vengo a meno che venga Gianni p q (oppure q p) (b) Non vengo a meno che venga Gianni p q (oppure q p) (c) Vengo purché venga Gianni Qual è la traduzione corretta? Chiaramente, se Gianni viene e io non vengo, l enunciato (c) è falso, mentre se Gianni viene e io vengo l enunciato (c) è vero. Inoltre, (c) è chiaramente vero anche nel caso in cui Gianni non viene e io non vengo. Rimane il caso in cui Gianni non viene e io vengo. Se ritieni che (c) sia falso in questo caso, devi usare per tradurre purché, in quanto per te un enunciato complesso formato con purché è vero solo nel caso in cui gli enunciati a cui il connettivo si applica hanno lo stesso valore di verità. Se invece ritieni che (c) sia vero nel caso in cui Gianni non viene e io vengo, la rappresentazione corretta è la seguente (in quanto per te (c) è falso solo nel caso in cui Gianni viene e io non vengo):

6 Metodi formali per filosofi 6 q p Ecco un argomento a sostegno di quest ultima rappresentazione. Considera questo discorso: Vengo purché venga Gianni; se Gianni non viene, non garantisco la mia presenza. Se purché si traduce con, asserendo la prima frase il parlante esclude la possibilità che lui venga e Gianni no; ma la seconda frase pare ammettere proprio questa possibilità. Quindi, se purché si traduce con, questo discorso dovrebbe apparire incoerente. Invece, pare coerente. (d) Vengo solo se viene Gianni p q (e) Vengo se viene Gianni q p (f) Se fai gli esercizi, ti dò il cioccolato p q p: fai gli esercizi q: ti dò il cioccolato (g) Se fai gli esercizi, ti dò il cioccolato, altrimenti no (p q) ( p q) p: fai gli esercizi q: ti dò il cioccolato (h) Se metti il latte nel tè, è buono, ma se ci metti anche il limone, no (p q) ((p r) q) p: metti il latte nel tè q: il tè è buono r: metti il limone nel tè

7 Metodi formali per filosofi 7 (i) Gianni fuma o beve p q p: Gianni fuma q: Gianni beve (j) Gianni fuma o beve, ma non fa entrambe le cose (p q) (p q) p: Gianni fuma q: Gianni beve Terzo esercizio (disgiunzione) Considera l enunciato (5): (5) Non è vero che Barcan è uno scrittore o un politico. Chiaramente, (5) è falso se Barcan è uno scrittore ed è un politico. 1. Introduci in LP il connettivo e dà una tavola di verità per questo connettivo che riflette la (presunta) interpretazione disgiuntiva di o. ϕ ψ (ϕ ψ) Ora, assumi che o sia ambiguo tra e e dà due rappresentazioni di (5) in LP, una usando e l altra usando (indica quali enunciati dell italiano corrispondono alle lettere proposizionali che usi). (p q) (p q) p: Barcan è uno scrittore q: Barcan è un politico 3. Chiaramente, se o è ambiguo tra e, le due formule che hai dato dovrebbero corrispondere a due forme logiche possibili per (5). Costruisci

8 Metodi formali per filosofi 8 le tavole di verità per queste due formule. p q (p q) p q (p q) Spiega cosa ciascuna delle due formule che rappresentano (5) in LP predice riguardo al valore di verità di (5) nel caso in cui i disgiunti in (5) sono entrambi veri. Se (5) è rappresentato dalla formula con, (5) è falso nel caso in cui Barcan è sia uno scrittore che un politico. Se (5) è rappresentato dalla formula con, (5) è vero nel caso in cui Barcan è sia uno scrittore che un politico. 5. Dì per ciascuna formula se questa predizione è corretta. L enunciato (5) è falso nel caso in cui Barcan è sia uno scrittore che un politico. Quindi, la rappresentazione con rappresenta correttamente le condizioni di verità di (5), l altra no.