LE MAREE NEL SISTEMA SOLARE

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1 Dispensa n. del corso di PANETOOGIA (Prof. V. Orofino) E MAREE NE SISTEMA SOARE Università del Salento Corso di aurea Magistrale in Fisica A.A Ultimo aggiornamento: Novembre 01

2 1. Introduzione e maree, cioè la variazione periodica del livello delle acque del mare (v. fig. 1), sono un fenomeno noto all uomo fin dall antichità. Fig. 1 - Alta e bassa marea nella baia di Fundy in Canada. Chiunque abbia abbastanza pazienza da osservare per molto tempo il mare lungo lo stesso tratto di costa non può fare a meno di notare l estrema regolarità della marea: il livello del mare sale e scende due volte al giorno; tra un alta marea e la successiva passano circa 1 ore e mezza, ed è facile notare che questo periodo è la

3 metà del giorno lunare (inteso come l intervallo tra due successive levate della una) dato che il nostro satellite naturale, a causa del suo moto di rivoluzione attorno alla Terra, sorge ogni giorno con circa 50 minuti di ritardo rispetto al precedente. Inoltre l ampiezza della marea: A = h max - h min, data dalla differenza tra il massimo (h max ) e il minimo (h min ) livello delle acque, non solo varia da luogo a luogo (a seconda delle caratteristiche della costa), ma varia nel corso di un mese: quando la una è nuova o piena (cioè quando si trova in congiunzione o in opposizione con il Sole) l ampiezza della marea è massima, mentre al primo e all ultimo quarto è minima. E quindi evidente l esistenza di una connessione tra le maree e la posizione della una e del Sole. Tuttavia le prime spiegazioni del fenomeno mareale, aventi almeno la pretesa di essere scientifiche, non sempre riconoscevano tale connessione; più spesso esse si basavano su idee vaghe e largamente diffuse a quei tempi, come quella del respiro della Terra (vista come un gigantesco essere vivente) che si riteneva si manifestasse attraverso il continuo fluire e rifluire delle acque. D altronde anche molti secoli più tardi eonardo da Vinci, che pure si procurò informazioni precise e dettagliate sulle maree in diversi luoghi europei, respinse l idea di un azione della una quale causa del fenomeno. Solo dopo che Newton ebbe enunciato la legge della gravitazione universale fu possibile dare un interpretazione soddisfacente di questo fenomeno. In tab. 1 sono riportati alcuni valori di A, relativi ad alcuni siti sparsi nel mondo, in cui l ampiezza di marea è molto grande. esempio del fenomeno forse più noto è quello della località francese di Mont Saint Michel (al confine tra Bretagna e Normandia), che, a seconda delle maree, da isola si trasforma in promontorio. Tab. 1 Valori dell ampiezza di marea A in varie località

4 . Maree terrestri: principi di base Per semplificare la trattazione trascuriamo almeno per il momento sia l azione del Sole che gli effetti della rotazione terrestre intorno al proprio asse e supponiamo che tutta la superficie solida della Terra, considerata come un corpo perfettamente rigido, sia uniformemente ricoperta da uno strato d acqua e che quest ultima abbia inoltre la caratteristica di obbedire istantaneamente alla forza gravitazionale della una. Come si vede in fig., la una attira verso di sé ciascuna particella della Terra solida e ciascuna particella d acqua comunicando loro accelerazioni inversamente proporzionali al quadrato della distanza tra la particella in questione ed il centro O della una. Fig. Geometria del processo di formazione delle maree In A l accelerazione relativa (rispetto al centro della Terra) dovuta alla una è evidentemente la differenza tra i vettori a (A) e a 0. Poiché queste accelerazioni sono parallele risulta che: a m m ( A) a ( A) a G rˆ 0 G r R r a ( A) G m 1 1 G m rˆ r R R r R r r R r Ora, poiché il raggio R della Terra è piccolo rispetto alla distanza r tra la Terra e la una, si può trascurare a numeratore il termine R, mentre a denominatore al posto della differenza (r R) si può lasciare soltanto r. In definitiva si ha: 4

5 GR m a ( A) (1) r Tale accelerazione punta in verso opposto al centro della Terra in quanto, come abbiamo visto, a (A) > a o. Con procedimento analogo si può provare che in B l accelerazione relativa dovuta alla una vale: m a ( B ) a( B ) a0 G rˆ G r R a ( B) G m 1 1 G m r R r r R r r m r rˆ r R R R m G ed in modulo: GR m a ( A) () r e che anch essa, poiché a (B) < a o, punta in verso opposto al centro della Terra. Si può quindi concludere che nei punti A e B l azione della una indebolisce la forza di gravità. Nei punti C e D invece le accelerazioni relative (sempre rispetto al centro della Terra) dovute alla una e cioè a' ( C) a ( C) a0 e a' ( D) a ( D) a0, come si vede dalla fig., sono dirette verso il centro della Terra. Di conseguenza in C e D l azione della una rafforza la gravità. Nei punti intermedi, tra A e C e tra A e D, le accelerazioni relative sono dirette verso il punto A dove la una è allo zenith, mentre tra B e C e tra B e D sono dirette verso il punto B dove l astro è al nadir. e forze corrispondenti a queste accelerazioni nei diversi punti della Terra sono mostrate nella fig.. Come si intuisce dalla fig., l attrazione lunare fa dunque in modo che lo strato d acqua terrestre assuma la forma d equilibrio di un ellissoide allungato nella direzione della una, producendo così in vicinanza dei punti A e B un flusso di marea, cioè il massimo innalzamento delle acque e, in vicinanza di C e D, un riflusso. a rotazione della Terra ha poi per effetto di spostare ad ogni istante il rigonfiamento di marea. Supponiamo per esempio che, all istante in cui si verifica la situazione illustrata nella fig. 4, un osservatore O si trova dove la una è allo zenith, ossia in A; dopo 1 ore e 5 minuti, O avrà la una al nadir (l osservatore sarà cioè in B) e perciò in tale intervallo di tempo egli avrà visto l acqua scendere dal livello massimo al livello medio, poi al minimo (quando O era in C) e quindi di nuovo 5

6 risalire al medio ed al massimo, assistendo cioè ad un ciclo mareale completo. Per questo motivo in un giorno lunare, cioè in un intervallo di 4 ore e 50 minuti, un osservatore rileverà due alte maree e due basse maree. Fig. Deformazione dello strato d acqua per effetto mareale. In ogni punto è mostrata la locale forza generatrice della marea. Fig. 4 Deformazione dello strato d acqua per effetto mareale. Il piano del foglio rappresenta il piano equatoriale della Terra nel quale si assume, in prima approssimazione, che orbiti la una. a linea tratteggiata indica l equatore terrestre in assenza delle forze mareali, mentre la linea continua mostra la forma che assume quando si tiene conto della loro presenza. Anche il Sole produce maree sulla Terra in modo del tutto analogo alla una (con periodo di 1 ore, si veda fig. 5) ma l intensità delle forze generatrici è. volte più debole, in quanto: F M, F M, S m r m d S. 6

7 In effetti, con procedimento identico a quello che ci ha permesso di giungere alla (1) ed alla (), si può provare che l accelerazione relativa (rispetto al centro della Terra) dovuta all attrazione solare vale G m S R / a, dove m S è la massa del Sole ed a la distanza Terra-Sole. Fig. 5 Effetti mareali del Sole sulla Terra.. Effetto dell attrito di marea sul sistema Terra-una Come abbiamo già visto, il gradiente gravitazionale soprattutto lunare provoca sul nostro pianeta un rigonfiamento sia delle masse d acqua che della Terra solida e molto probabilmente anche dell atmosfera e del nucleo. Tuttavia la viscosità degli oceani, dell atmosfera e del nucleo e la non perfetta elasticità della litosfera comportano dei processi dissipativi che generano un ritardo nella risposta di marea per cui i rigonfiamenti mareali non risultano perfettamente allineati con la congiungete i centri della Terra e della una. Soffermiamo la nostra attenzione soprattutto sugli effetti della viscosità degli oceani che gioca nel processo di dissipazione un ruolo più importante di quello svolto sia dalla non elasticità della litosfera che dalla viscosità dell atmosfera e del nucleo. A tal proposito si può dire più precisamente che, a causa dell attrito tra la Terra solida e l acqua e del fatto che la Terra ruota intorno al proprio asse più velocemente della una intorno alla Terra (1 giorno contro 8), i rigonfiamenti mareali, i quali dovrebbero sempre trovarsi allineati con la congiungente Terra-una, 7

8 sono invece trascinati in avanti dalla rapida rotazione della Terra solida e perciò avanzano rispetto alla linea dei centri. Per questo l attrazione gravitazionale che la una esercita su di essi, essendo maggiore per il più vicino che non per il più lontano, dà luogo ad una coppia di forze, cioè all insorgere di un momento di marea, tendente a contrastare la rotazione della Terra, rallentandola (si veda fig. 6). Fig. 6 Momento meccanico di marea esercitato dalla una sulla Terra. a freccia attorno ad O indica il verso di rotazione della Terra. e due frecce applicate in A e in B rappresentano la forza di attrazione esercitata dalla una sui rispettivi rigonfiamenti mareali. Come si vede, la forza in A è maggiore di quella in B, poiché A è più vicino alla una, e perciò l effetto risultante è di rallentare la rotazione della Terra. Inoltre, dato che il sistema Terra-una può essere considerato isolato (essendo l azione del Sole abbastanza trascurabile), il momento angolare totale del sistema in buona approssimazione si conserva; per questo il rallentamento della rotazione terrestre, cioè la riduzione del momento angolare della Terra, è accompagnato da un aumento del momento angolare orbitale della una. Come conseguenza, poiché (in base alla relazione (5) che vedremo tra poco), all aumentare del momento angolare orbitale J della una, aumenta anche la distanza r dalla Terra, il nostro satellite scivola lentamente su un orbita via via più larga, allontanandosi dal pianeta, mentre la sua velocità angolare orbitale ω, data dalla (4) che pure vedremo, progressivamente diminuisce. Ciò può essere provato nel seguente modo. Come sappiamo (vedi fig. 7), la Terra e la una ruotano intorno ai propri assi con velocità angolari ω e ω, mentre il sistema Terra-una ruota intorno al suo centro di gravità C con velocità angolare ω (più tardi vedremo che attualmente risulta ω = ω ). Il reale moto di rotazione del sistema intorno al proprio baricentro, che costituisce un tipico problema a due corpi, in teoria è esattamente equivalente a quello 8

9 di un sistema composto da un ipotetica Terra di massa pari a quella totale del sistema, non sottoposta ad alcuna forza e con il centro immobile nel baricentro del sistema e da una una fittizia di massa pari alla massa ridotta del sistema: m m M M che le ruota attorno, soggetta ad una forza F = G m M/r (dove r è la distanza tra i centri di questi due corpi ipotetici). In altre parole, ai fini della derivazione del moto relativo tra la Terra e la una, si può benissimo considerare il nostro pianeta fermo nel baricentro del sistema e la una, di massa µ, che orbita attorno ad esso ad una distanza r, soggetta ad una forza F = G m M/r. Fig. 7 Rotazione del sistema Terra-una. equazione del moto del nostro satellite è allora: F = μ a dove a = ω r è l accelerazione centripeta dovuta alla rotazione intorno al centro della Terra ed F è al solito la forza gravitazionale. Quindi deve risultare: m M m M G r m M per cui semplificando si ottiene: r r G ( m M ) () 9

10 cioè: G ( m M ) r (4) da cui si vede, come sopra accennato, che la velocità angolare orbitale ω del nostro satellite progressivamente diminuisce all aumentare della distanza r dalla Terra. Inoltre, per la definizione di momento angolare orbitale J = μ ω r, si ha: J G( m M r. (5) ) Ora, il momento angolare totale del sistema Terra-una è dato da: J TOT = J + J + J J + J dove: J = momento angolare assiale della Terra; J = momento angolare orbitale del sistema; J = momento angolare assiale della una (trascurabile rispetto ai precedenti). Poiché il sistema Terra-una, in prima approssimazione, può essere considerato isolato, il suo momento angolare si conserva, per cui J TOT costante. Quindi, se J diminuisce, allora J aumenta e, per la (5) anche r aumenta. Quindi, come preannunciato, una diminuzione della velocità di rotazione terrestre comporta un aumento della distanza Terra-una. Tornando alla diminuzione della velocità assiale della Terra, evidentemente essa comporta un aumento del periodo di rotazione, cioè la durata del giorno lentamente aumenta. Esistono prove paleontologiche che supportano tale scenario. In effetti, dal conteggio degli anelli d accrescimento giornaliero di coralli fossili del Carbonifero (Mississipiano), risalenti a 40 milioni di anni fa, alcuni ricercatori hanno trovato che in quel periodo l anno era costituito da 97 giorni. Poiché la lunghezza dell anno non è influenzata dall attrito di marea, ed è in pratica costante, anche allora l anno era lungo sec, per cui la durata del giorno, pari a 1/97 di questo valore, era di sec, cioè di. h. 4. Evoluzione mareale del sistema Terra-una e di altri sistemi pianeta-satellite Fino ad ora abbiamo sempre parlato della velocità orbitale della una e assiale della Terra e delle loro variazioni, trascurando la velocità assiale ω del nostro 10

11 satellite che attualmente ha un valore pari a ω e quindi corrisponde ad un periodo di 8 giorni. Un tempo, però, la situazione era completamente differente. Una possibile teoria, invero abbastanza accreditata tra i ricercatori, è che la una si sia formata in un orbita equatoriale per accrezione, cioè dall aggregazione di materiale scagliato via dal mantello terrestre a causa di un impatto della Terra con un corpo delle dimensioni di Marte e rimasto in orbita intorno al nostro pianeta. All epoca della sua formazione, quasi contemporanea a quella della Terra (circa 4 miliardi e mezzo di anni fa), la distanza della una dal nostro pianeta doveva essere compresa tra 10 e raggi terrestri, corrispondente ad un periodo di rotazione iniziale della Terra pari a 6 o 8 ore. Come mostrano gli studi sulla rotazione di certi asteroidi e dei pianeti giganti, questo intervallo di valori del periodo di rotazione era abbastanza comune nelle fasi iniziali del sistema solare. Dalle considerazioni precedenti bisogna concludere che anche la una appena formata doveva avere un periodo molto breve, ben lontano dall attuale. Cosa è dunque successo al nostro satellite per ridurre così drasticamente la sua velocità di rotazione assiale? Per rispondere a questa domanda bisogna considerare che, così come la una esercita delle forze di marea sul nostro pianeta, anche la Terra, a sua volta produce delle maree sulla una. attrito di marea sul nostro satellite, causato dalla non perfetta elasticità dei materiali lunari, in maniera del tutto simile a quello sulla Terra, ha rallentato la rotazione lunare, allontanando contemporaneamente la Terra e dissipando energia sotto forma di calore. Tale processo dissipativo è andato avanti finché non si è realizzata una situazione detta di corotazione in cui il periodo di rotazione assiale della una ha uguagliato esattamente il periodo orbitale (ω = ω ), motivo per cui da quel momento in poi il nostro satellite ci rivolge sempre la stessa faccia. Quando ciò è accaduto i rigonfiamenti mareali sulla una hanno smesso di essere trascinati in avanti dal suo moto di rotazione assiale ma sono rimasti allineati lungo la linea dei centri, cosicché il momento di marea si è annullato e con esso la dissipazione di energia rotazionale. Si stima che il tempo necessario per arrivare alla corotazione della una per evoluzione mareale sia stato dell ordine di 10 milioni di anni, cioè abbastanza breve rispetto all età del sistema solare (grosso modo pari a quella della Terra e cioè 4 miliardi e mezzo d anni circa). Per i satelliti degli altri pianeti del sistema solare la prima domanda che ci poniamo è se anch essi, come la una, volgono sempre la stessa faccia ai rispettivi pianeti oppure no. E la risposta è che durante la vita del sistema solare hanno avuto il 11

12 tempo di raggiungere la fase di corotazione, per effetto dell attrito di marea causato dal pianeta, entrambi i satelliti di Marte, i primi cinque satelliti principali di Giove (il più interno, Amaltea, più i successivi quattro scoperti da Galileo), i primi sette satelliti principali di Saturno (fino a Giapeto, che è il più lontano), i cinque maggiori satelliti di Urano ed infine Tritone, che è il satellite più interno di Nettuno. Una volta che si stabilisce la corotazione del satellite, l evoluzione successiva del sistema pianeta-satellite può seguire due strade differenti a seconda che il periodo di rivoluzione del satellite (P riv ) risulti minore o maggiore del periodo di rotazione assiale del pianeta (P rot ). Il primo caso (P riv < P rot ) non è molto comune nel sistema solare e, per quanto ne sappiamo, è realizzato con certezza per Fobos, il satellite più interno di Marte, per i due satelliti di Giove, Metis e Adrastea, per ben 11 satelliti di Urano, tra cui Cordelia, Ofelia, e per 5 satelliti di Nettuno, tra cui Galatea e arissa. Nel caso di Fobos, per esempio, poiché, quando si è realizzata la corotazione, il mese del satellite era appunto più corto del giorno di Marte, i rigonfiamenti mareali del pianeta rosso, anziché essere trasportati in avanti come accade sulla Terra, restano indietro rispetto alla linea dei centri, di modo che la diversa attrazione gravitazionale di Fobos su di essi provoca una coppia, ossia un momento di marea, che tende ad accelerare la rotazione del pianeta (si veda fig. 8). Fig. 8 Momento meccanico di marea esercitato dalla Fobos su Marte. a freccia intorno ad O indica il verso della rotazione di Marte. e due frecce in A e in B rappresentano la locale attrazione gravitazionale, che è maggiore in A a causa della sua minore distanza da Fobos e perciò l effetto risultante è di aumentare la velocità di rotazione di Marte. Il conseguente aumento del momento angolare di Marte comporta quindi, per la conservazione del momento angolare totale del sistema, una diminuzione del 1

13 momento angolare orbitale del satellite e quindi, per la (5), una riduzione anche del suo raggio orbitale. Ciò avviene con una rapidità sempre maggiore, dato che la velocità d avvicinamento si può dimostrare che vale: dr dt r 6. r0 0 r (6) (dove r 0 ed r. 0 sono i valori attuali di r e dr/dt), e quindi è inversamente proporzionale alla sesta potenza della distanza. Dunque Fobos, spiralizzando sempre più velocemente verso Marte, è destinato a cadere sul pianeta o, più precisamente, ad essere distrutto quando supererà il limite di Roche, cioè giungerà così vicino a Marte che la differenza fra la forza gravitazionale esercitata dal pianeta sulla parte rispettivamente più vicina e più lontana del satellite sarà talmente grande da riuscire a spaccare quest ultimo. C è anche chi sostiene che questo tipo di meccanismo (cioè appunto la rottura a causa delle forze mareali di un satellite che spiralizza verso il suo pianeta) possa portare alla formazione di anelli attorno al pianeta stesso. a materia di tali anelli, o almeno parte di essa, deriverebbe appunto dalla rottura successiva dei vari pezzi di quello che in passato era stato un satellite. Il secondo tipo d evoluzione che il sistema pianeta-satellite può seguire si verifica quando, a corotazione avvenuta, il mese del satellite risulta più lungo del giorno del pianeta (P riv > P rot ), come nel caso del sistema Terra-una. In tal caso abbiamo già visto che, a causa dell attrito di marea sul pianeta, il satellite tenderà ad allontanarsi, rallentando la rotazione del suo pianeta fino a quando giorno e mese avranno la stessa durata, l orbita sarà circolare ed i rigonfiamenti mareali, sia sul satellite che sul pianeta, saranno allineati lungo la linea dei centri. Una volta raggiunta questa configurazione non viene più dissipata energia né sul satellite (dove, in realtà, la dissipazione si era già arrestata al raggiungimento della corotazione) né sul pianeta ed il sistema, a meno di interventi esterni, è nella sua fase finale di equilibrio stabile. Se consideriamo i satelliti destinati ad avere questo tipo di evoluzione mareale e facciamo una stima del tempo necessario per raggiungere la fase finale, otteniamo dei valori di gran lunga maggiori dell età del sistema solare e ciò indica che si tratta di sistemi ben lontani dall essere sincroni. C è un unica eccezione: il sistema Plutone-Caronte (P riv = P rot ). In base alle osservazioni fatte sembra risultare che questo satellite volge sempre la stessa faccia a Plutone, e anche viceversa: un ipotetico abitante di Caronte vedrebbe cioè sempre la stessa faccia del suo pianeta, proprio come a noi accade per la una. Per il sistema Plutone-Caronte l ipotesi fatta dagli astronomi per spiegare i dati osservazionali, e 1

14 cioè che si tratti di un sistema sincrono, risulta confermata teoricamente: l età del sistema solare è stata sufficiente affinché Plutone e Caronte, al termine del processo di evoluzione mareale, arrivassero a rivolgersi l un l altro la stessa faccia. Pertanto, ricapitolando, per un satellite in orbita diretta sono possibili tre evoluzioni successive al raggiungimento della corotazione: P riv P rot il satellite si avvicina al pianeta; P riv P rot il satellite si allontana dal pianeta; P riv P rot il semiasse maggiore dell orbita del satellite rimane invariato. Tornando al nostro sistema Terra-una, la fase finale dovrebbe essere raggiunta quando il giorno terrestre ed il mese lunare si saranno allungati fino ad arrivare alla durata di circa 48 giorni attuali. Anche ammettendo che la una continui ad allontanarsi dalla Terra alla velocità attuale di 5,6 cm/anno (in realtà, come si vede dalla (6) la sua velocità diminuirà con l aumentare della distanza dalla Terra, poiché l attrito di marea è tanto meno efficace quanto maggiore è la distanza tra i corpi) dovrebbero passare ben miliardi d anni prima che il sistema diventi sincrono. Ma la storia comunque non finirà così. Finora infatti abbiamo sempre ignorato l azione del Sole, dal momento che la sua influenza mareale sulla Terra è minore di quella lunare, così come sulla una è minore di quella terrestre. Tuttavia, quando il sistema Terra-una raggiungerà lo stato finale sincrono (se mai questa fase sarà effettivamente raggiunta), allora gli effetti mareali interni al sistema si annulleranno, per cui diventeranno predominanti gli effetti della marea solare. Come conseguenza, l attrito di marea solare produrrà nel sistema Terra-una un lento ma irreversibile trasferimento di momento angolare dal moto di rotazione intorno al centro di massa a quello di rivoluzione intorno al Sole, cosicché l orbita del sistema Terra-una intorno al Sole si allargherà, mentre la una si avvicinerà nuovamente al nostro pianeta, fino eventualmente a raggiungere il limite di Roche, superato il quale essa verrà distrutta e disgregata. 14