Il ragionamento induttivo. Unit 6 Corso di Logica

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1 Il ragionamento induttivo Unit 6 Corso di Logica

2 Ricordiamo che C è una differenza generale tra deduzione (conclusione necessaria) e induzione (probabilità induttiva della conclusione) In un argomento induttivo la conclusione è probabilmente vera se: le premesse sono vere e pertinenti si rispetta il requisito dell evidenza totale la probabilità induttiva è alta fallacie di pertinenza, fallacia dell evidenza soppressa

3 Forza delle asserzioni La probabilità induttiva (o forza di un argomentazione) dipende anche dalla forza di premesse e conclusione La forza di un asserzione è tanto più alta quante meno situazioni la ammettono (è inversamente proporzionale al numero di situazioni in cui l asserzione stessa è vera) la forza di un asserzione aumenta con l aumentare del numero di informazioni trasmesse, e non dipende dallo specifico valore di verità

4 Esempi di forza A. Mi trovo in Italia B. Mi trovo a Treviso A B C D C. Mi trovo nell hotel Maggior Consiglio a Treviso D. Mi trovo nell hotel Maggior Consiglio a Treviso, alla lezione di Logica 1. Ti ho telefonato ieri 2. Ti ho telefonato ieri alle 11:56 3. Ti ho telefonato ieri ma non erano le 11:

5 Forza relativa La definizione è piuttosto vaga Solitamente (non sempre) è più facile considerare la forza relativa Se A è logicamente equivalente a B allora A e B hanno la stessa forza Se A implica deduttivamente B, ma non viceversa, allora A è più forte di B Casi estremi le asserzioni contraddittorie sono le più forti in assoluto, le asserzioni logicamente vere sono le più deboli in assoluto

6 Ovvero La probabilità induttiva tende a variare in modo direttamente proporzionale alla forza delle premesse in modo inversamente proporzionale alla forza della conclusione Dunque un argomentazione diventa più forte (risp. debole) aumentando (risp. diminuendo) la forza delle premesse diminuendo (risp. aumentando) la forza della conclusione

7 Esempi sulla forza Cosa cambia all aumentare di x? Gli x corvi osservati sono tutti neri. :. I corvi sono tutti neri Se x aumenta allora aumenta anche la forza dell argomentazione (perché aumenta la forza della premessa) L altezza media degli uomini italiani è di 175 cm. :. Il Sig. Rossi (che non conosco) è alto 175 cm, con un approssimazione di x cm. Se x aumenta allora aumenta anche la forza dell argomentazione (perché diminuisce la forza della conclusione)

8 Sillogismi statistici e humeani Supponiamo che, dall analisi di una certa popolazione, in una certa quantità di casi le cose vanno in certo modo In un caso specifico della popolazione cosa posso concludere?

9 Sillogismi statistici e humeani (2) Statistico Sfrutta solo le conseguenze matematiche Premesse n% degli A è B x è A Conclusioni ragionevoli se n>50 :. x è B se n<50 :. x non è B Humeano Sfrutta un presupposto di uniformità del mondo Premesse Ho osservato c casi di A e n% sono B x è A Conclusioni ragionevoli presumendo l uniformità della popolazione n>50 :. x è B n<50 :. x non è B

10 Il tacchino induttivista (B. Russell)

11 Generalizzazione statistica In una generalizzazione statistica da statistiche riguardanti alcuni elementi della popolazione (scelti casualmente) si inferisce su tutta la popolazione L 80% dei 1000 studenti intervistati a caso è d accordo sull abolizione delle tasse universitarie. :. Circa l 80% degli studenti è d accordo sull abolizione delle tasse universitarie.

12 Elementi essenziali della G. S. n% di c elementi scelti a caso tra gli F è G :. Circa n% degli F è G c: dimensione del campione scelto a caso: ciascun elemento ha uguale probabilità di essere scelto Circa: rende più forte l argomentazione Teorema: per la maggior parte dei sottoinsiemi di F di dimensione c, la proporzione dei G è circa la stessa Dunque la probabilità induttiva è determinata in modo puramente matematico

13 Esempio Abbiamo una popolazione di 500 individui F, e di questi il 75% è G. Facciamo campionamenti a caso rispettivamente di 40, 80, 120 e 160 individui. % di G c=40 75% 15% 75 ± 2,5% 43% 75 ± 5% 66% 75 ± 7,5% 82% 75 ± 10% 91,5% c=80 11% 52% 80% 93,4% 98,4% c=120 c=160 9% 9% 60% 68% 88% 94,0% 97,9% 99,4% 99,8% 99,9%

14 Sono a caso? Rispetto a tutti gli italiani le persone che rispondono ad un annuncio i lettori di un giornale (uno qualsiasi) o i telespettatori di un canale (uno qualsiasi) le persone incontrate per strada, andando in varie città italiane Persone estratte a sorte dagli elenchi telefonici di varie città, con una città per ogni regione Persone estratte dai registri dell anagrafe con un metodo tipo lotteria

15 Probabilità induttiva nella G.S. Dipende principalmente da due fattori dimensione del campione (l aumento di c rafforza la premessa in modo pertinente) forza della conclusione (l aumento del margine d errore rende più debole la conclusione) Dunque, la prob. induttiva di una generalizzazione statistica aumenta (diminuisce) se aumenta (diminuisce) la dimensione del campione, e/o aumenta (diminuisce) il margine d errore

16 Sondaggi e Audience Sono stime probabilistiche derivanti da generalizzazioni statistiche Quando si afferma: il 60% degli studenti intervistati pensa che X con un margine d errore del 2,5% oppure Ieri sera il TG1 è stato visto da 10 milioni di italiani, con circa il 40% di share si intende: siamo sicuri al 95% che nell intervallo tra 57,5% e 62,5% ci sia la proporzione reale degli studenti che pensano X Ma sono importanti anche l assunzione di sincerità, il modo di porre le domande, ecc.

17 Generalizzazione induttiva In alcune situazioni non è possibile un campione scelto a caso, ad esempio quando si includono anche oggetti ed eventi futuri In questi casi si ha una generalizzazione induttiva (di tipo humeano) della forma Sono stati osservati c individui aventi proprietà F. Tra questi, n% è G. :. Circa n% degli F è G Usata costantemente nelle leggi scientifiche di tipo empirico o osservativo

18 Generalizzazioni fallaci Quando si trae una conclusione su un intera classe di oggetti a partire da dati scarsi o viziati si commette una fallacia (induttiva) che rientra nelle generalizzazioni indebite (o hasty generalizations) Alcuni tipi di fallacie di questa classe sono la non rappresentatività ed il campione troppo piccolo

19 Fallacia di non rappresentatività Fallacia della rappresentatività (o distorsione sistematica), quando il campione non è scelto a caso e non è rappresentativo della popolazione Oggi abbiamo intervistato 1000 uomini e donne al mercato sullo stato della crisi italiana. Di questi, l 80% dice di essere in gravissime difficoltà. Dunque, l 80% della popolazione italiana direbbe di essere in gravissime difficoltà.

20 Esempi di campioni troppo piccoli Fallacia del campione troppo piccolo (o secundum quid), se la numerosità del campione è esigua a fronte di una conclusione troppo forte I nigeriani sono tutti disonesti. Ne ho avuti due come vicini di casa: uno spacciava, l altro era un ladro.

21 Statistiche tendenziose Si commettono fallacie per statistiche tendenziose quando i dati statistici sono usati in modo inappropriato, ad esempio: quando si confonde il reale significato dei dati statistici (fallacia statistico-semantica) I numeri parlano chiaro. Se volete combattere l illegalità votate per me. Da quando sono al governo l illegalità si è ridotta ben del 15%. (e magari il dato si riferisce solamente alla diminuzione della microcriminalità)

22 Statistiche tendenziose (2) quando si inferisce una correlazione inesistente tra fenomeni (fallacia della correlazione indebita) La lotta allo spaccio di droga sta dando i suoi effetti. Nell ultimo anno i sequestri antidroga sono calati del 20%. quando il dato statistico è interpretato in modo isolato inferendo conclusioni più ampie (fallacia del termine di paragone assente) Conviene comprare le azioni Fiat. Recentemente hanno avuto un rialzo del 16%.

23 Statistiche tendenziose (3) quando il dato statistico assoluto viene frainteso con il dato relativo, che è espresso in percentuale (fallacia della linea di base) Le coppie che si separano sono in aumento. Rispetto al 2005, il numero di divorzi è raddoppiato. E se fosse aumentata la popolazione? Oppure il numero dei matrimoni?

24 La mucca dal treno Ci sono tre uomini su un treno: un economista, un matematico e un logico. Hanno appena oltrepassato il confine per la Scozia quando dal finestrino del treno vedono una mucca marrone in un campo. L'economista: Guardate, le mucche in Scozia sono marroni. Il matematico: No. In Scozia c è almeno una mucca marrone. Il logico: No. C'è almeno una mucca in Scozia, e uno dei due fianchi è visibilmente marrone.

25 ANALOGIA

26 Argomentazione per analogia L argomentazione per analogia è induttiva di tipo humeano: dal confronto tra due situazioni, diciamo x e y, che hanno delle caratteristiche comuni si inferisce che un ulteriore caratteristica di x appartiene anche a y Un argomento analogico è raramente valido: se è ben costruito può essere forte

27 Argomento analogico Premessa analogica: il caso x ed il caso y hanno in comune alcune caratteristiche C 1, C 2,, C n Premessa attributiva: il caso x presenta un ulteriore caratteristica G Conclusione: anche il caso y presenta la caratteristica G Premesse analogiche Premessa attributiva Conclusione C 1 x & C 2 x & & C n x C 1 y & C 2 y & & C n y Gx :. Gy

28 Esempi Un ape operaia x è stata chiusa in un barattolo. Un ape operaia y era stata chiusa ieri in un barattolo ed oggi è morta. Domani sarà morta anche l ape x. Non correre così tanto quando vai in automobile, potresti correre dei pericoli. Ma figurati Giuseppe ha il mio stesso stile di guida, va anche lui sempre a 180 all ora e non si è mai fatto un graffio!

29 Analogia impropria Quando un ragionamento analogico è fallace si parla di analogia impropria (o falsa analogia) Di solito, la principale ragione alla base della fallacia è il basso grado di pertinenza della premessa analogica Il buon governo della cosa pubblica può essere assimilato a una buona gestione aziendale. Infatti, come in un azienda il pareggio dei bilanci è un indice di gestione sana, così i cittadini a consuntivo devono ricevere quanto hanno investito.

30 INFERENZE CAUSALI

31 Concetto di causa La causalità è definibile come relazione tra due eventi, causa ed effetto, in cui l effetto è una conseguenza della causa (o di un insieme di fattori-cause) Potremmo dire che A è causa di B solo se: A e B si sono verificati effettivamente A ha preceduto temporalmente B il verificarsi di A fa la differenza rispetto al verificarsi di B si può escludere l influenza di un altro evento C che è causa sia di A che di B

32 Inferenze causali Non sempre (anzi quasi mai) ciò che avviene è riconoscibile causalmente Un inferenza causale mira a riconoscere la causa di un certo effetto È una procedura complessivamente induttiva, ma con due passaggi 1. passaggio induttivo (di solito basato sull analogia): formulazione di una lista di possibili cause sospette 2. passaggio deduttivo (basato sul confronto di casi): eliminazione per osservazione di cause sospette dalla lista

33 Tipi di cause Causa necessaria (condizione causalmente necessaria): C è una causa necessaria per l effetto E se è una condizione in assenza della quale E non si verifica mai Causa sufficiente (condizione causalmente sufficiente): C è una causa sufficiente per E se in presenza di C l evento E si verifica sempre

34 Tipi di cause (2) Causa necessaria e sufficiente: non c è causa senza effetto ed effetto senza causa Dipendenza causale di quantità variabili: una quantità variabile B è causalmente dipendente da una quantità variabile A se al variare di A si produce sempre un cambiamento corrispondente in B

35 Eventi e cause A=accensione del ventilatore, B=inserimento della spina nella presa di corrente A=spegnimento del ventilatore, B=spegnimento dell interruttore generale della casa A=avvio allarme antincendio, B=uscita dall aula A=innalzamento delle temperature terrestri, B=scioglimento dei ghiacci polari A=aumento temperatura freezer, B=scioglimento cubetti di ghiaccio A=aumento della legna nel camino acceso, B=aumento della temperatura nella stanza BnA BsA AsB AdB AnsB AdB

36 Metodi di Mill Facilitano l individuazione della causa reale tramite eliminazione delle cause sospette Metodo accordo differenza congiunto variazione concomitante Per eliminare cause necessarie cause sufficienti cause necessarie e sufficienti dipendenze causali

37 Fallacie causali Esistono diverse fallacie causali, ne vediamo solo alcune che comportano errori nell identificazione delle cause reali falsa causa, ed una serie di sue varianti post hoc ergo propter hoc causa comune direzione sbagliata causa complessa

38 NOZIONI PROBABILISTICHE

39 Nozione di probabilità Dato un insieme di eventi, di cui un evento A fa parte, con p(a) indichiamo la probabilità che A accada (o che l asserzione A sia vera)

40 Interpretazioni per p p(a) può essere interpretata in modo Soggettivo, se p(a) misura il grado di credenza di un agente razionale sul fatto che A accada Logico, quando p(a) misura a priori il contenuto informativo in modo inversamente proporzionale (A debole ha probabilità alta) Frequentista, se p(a) misura la frequenza con cui A accade in relazione ad una certa classe Classico, se p(a) misura a priori, ma solo in contesti finiti equiprobabili, l incidenza dei casi favorevoli rispetto a quelli possibili

41 Esempi - probabilità Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: semi; 1,2,,10,J,Q,K per ogni seme) E 2 = esce un due, E C = esce un cuori, E 2C = esce il due di cuori, ecc. p(e 2C )= p(~e 2C )= p(e A )= p(e AC ve AQ )= p(e C )= p(e AC &E AQ )= p(e C ve Q ve F ve P )= 1/52= /52=.981 4/52=.076 2/52= /52=.25 0/52=0 52/52=1

42 Calcolo delle probabilità È un sistema teorico che consiste di tre assiomi e delle loro conseguenze deduttive Assiomi: p(a) 0 se A è un evento certo (ovvero una tautologia), allora p(a)=1 se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il presentarsi dell uno esclude il presentarsi dell altro), allora p(avb)=p(a)+p(b) Ne scaturiscono molte conseguenze

43 Probabilità condizionale Con probabilità condizionale di A dato B si intende la probabilità dell asserzione A data la verità dell asserzione B, e si indica con p(a B) È anche (banalmente) il rapporto tra casi favorevoli per A&B e casi favorevoli per B

44 FALLACIE PROBABILISTICHE

45 Ritardi e Legge dei grandi numeri Il 24 non esce da 110 settimane. Dunque me lo gioco, perché è più probabile che esca alla prossima estrazione Premesse implicite: a) i numeri sono equiprobabili; b) un numero in ritardo dovrà presto riallinearsi alle uscite degli altri numeri Legge dei grandi numeri (o legge empirica del caso): le frequenze di uscita dei numeri tendono al valore teorico se le estrazioni sono infinite (non con un numero molto grande!) L argomento è fallace: le probabilità non cambiano perché gli eventi sono indipendenti!

46 Fallacia Montecarlo La fallacia Montecarlo (o dello scommettitore) si commette quando dal verificarsi (o dal non verificarsi) di una serie di eventi di un tipo si inferisce come più probabile che si presentino eventi di tipo opposto e indipendenti È da tanto che x non si verifica :. x si verificherà presto Una variante meno diffusa è: È da tanto che x non si verifica :. x non si verificherà più

47 Esempio Lanciamo 6 volte un dado non truccato. Quale sequenza è più probabile? sequenza 1 sequenza 2 Molti credono la 1. Invece sono sequenze equiprobabili, come ogni altra sequenza di lunghezza 6! È una fallacia Montecarlo

48 Esempio La maggior parte degli extracomunitari commette reati. Infatti la maggior parte dei reati commessi in Italia è commessa da extracomunitari. Che dite?

49 Fallacia della prob. condizionale In generale p(a B) e p(b A) (si dicono converse) sono distinte e non correlate A B La fallacia della probabilità condizionale si commette quando si argomenta usando la probabilità condizionata conversa al posto di quella pertinente

50 Esempio La maggior parte degli extracomunitari commette reati. Infatti la maggior parte dei reati commessi in Italia è commessa da extracomunitari. (P1) La maggior parte dei reati commessi in Italia è commessa da extracomunitari. :. La maggior parte degli extracomunitari commette reati. E= azione di extracomunitari, R= reato (P1) p(e R) è superiore al 50% (C) si conclude che p(r E) è superiore al 50% È una fallacia della probabilità condizionale!

51 LOGICA BAYESIANA

52 Teorema di Bayes Permette di calcolare una probabilità condizionale a partire dalla conversa Se A 1,A 2, A n sono mutualmente esclusive

53 Esempio 1 In Italia il 50% delle auto è del tipo X, il 20% è di colore bianco, ed il 25% delle X è di colore bianco. Argomento: Io ho un auto bianca. Dunque è di tipo X. L argomento è forte? Con che probabilità è di tipo X? A= è una X, B= è di colore bianco

54 Esempio 3 Abbiamo una malattia contratta dall 1% della popolazione. Un test diagnostico dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. Valutiamo l argomento (che dite?): Il test diagnostico mi dà esito positivo. :. Ho contratto la malattia. In sintesi: risultato positivo nel 90% dei malati (negativo nel 10% dei malati) e nel 5% dei non malati (negativo nel 95% dei non malati).

55 Esempio 3 (cont.) - calcolo Siano M= malato, P= positivo al test Voglio conoscere p(m P) Dunque l argomento è debole, perché la probabilità di aver contratto la malattia è solo del 15.38%

56 Esempio 3 (cont.) - perché? Supponiamo la popolazione sia composta da individui. Malati: 1000 Malati positivi al test: 900 Non Malati: Non Malati positivi al test: 4950 Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi? 900/( )=15.4%

57 Esempio 3 (cont.) - conclusioni Valutiamo l argomento: Il test diagnostico mi dà esito negativo; dunque non ho contratto la malattia. Dobbiamo calcolare p(~m ~P) L argomento è forte! Conclusione: fare attenzione a cosa si chiede (e saper calcolare le probabilità)!

58 Conferma bayesiana A ipotesi B evidenza Possiamo chiederci: quanto l evidenza B conferma A? Definizioni: B conferma A se e solo se p(a B)>p(A), ovvero se e solo se p(b A)/p(B)>1; B disconferma A se e solo se p(a B)<p(A), ovvero se e solo se p(b A)/p(B)<1; B è neutrale rispetto ad A se e solo se p(a B)=p(A), ovvero se e solo se p(b A)/p(B)=1. Il grado di conferma dell evidenza B all ipotesi A è dato da p(a B)-p(A).

59 Holmes e Barbaglio d argento Gara: Barbaglio d Argento è il favorito. La sera precedente il cavallo viene rapito. Il fantino viene ritrovato morto. Per la polizia è stato il ragazzo sconosciuto che quella stessa sera ha litigato col boss. Iniziano le indagini di S.H. - C è qualche altro punto su cui lei ritiene opportuno attrarre la mia attenzione? - Sì, sullo strano incidente del cane, quella notte. - Ma, quella notte, il cane non ha fatto nulla. - Questo appunto è l incidente curioso.

60 Holmes e Barbaglio d argento (cont.) Argomentazione della Polizia: Un cavallo rapito e un fantino ucciso. Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima con il boss. :. È stato il ragazzo sconosciuto. Argomentazione di Sherlock Holmes: Un cavallo rapito e un fantino ucciso. Un ragazzo sconosciuto aveva litigato la sera prima con il boss. Il cane a guardia non ha abbaiato. :. Non è stato uno sconosciuto.

61 Holmes e Barbaglio d argento (cont.) H= c è uno sconosciuto (ipotesi) E= il cane non abbaia (evidenza) Per S.H.: p(h E)<p(H). Ok? (ovvero p(e H)<p(E)) Dunque E disconferma l ipotesi H. Invece p(h ~E)>p(H). Ok? (ovvero p(~e H)>p(~E)) Cioè solo ~E confermerebbe l ipotesi H. Conclusione. L evidenza E rende meno probabile H, dunque aumenta la probabilità di ~H. Invece ~E avrebbe confermato l ipotesi H.

62 Modelli di conferma Modello fondamentale (o sillogismo euristico) H E E :. H è più credibile Se rimaniamo ancorati alla logica deduttiva ciò sarebbe fallace, ma in un ottica induttiva si tratta di un ragionamento plausibile

63 Altri modelli Modello della conseguenza improbabile La conseguenza E di H (H E) è molto improbabile E si è verificata :. H è molto più credibile Modello della conseguenza probabile La conseguenza E di H (H E) è molto probabile E si è verificata :. H è di poco più credibile

64 Il Dilemma Monty Hall Siamo in un gioco a premi, con 3 scatole chiuse: 2 vuote e 1 con monete d oro. Scegliamo una scatola. Il conduttore del gioco, che sa cosa si nasconde dentro ciascuna scatola, ne apre una mostrando che è vuota. Poi dice: Se vuoi, puoi cambiare scatola. Per prendere una decisione valutiamo: (P) Adesso abbiamo due scatole ed una è vuota. :. La probabilità che le monete d oro siano nella mia scatola è del 50%. :. Con ogni scelta ho la stessa probabilità di vincere

65 Il Dilemma Monty Hall (cont.) S 1M = scatola 1 con monete, S 1V = scatola 1 vuota, Scelgo la scatola 1. Le probabilità iniziali sono Viene aperta la scatola 2 che è vuota. Le probabilità adesso sono Dunque p(s 1M ) = 1 3 =.33 p(s 1V ) = 2 3 =.67 p(s 1M S 2V ) = 1 2 =.5 p(s 1V S 2V ) = 1 2 =.5 p(s 1M S 2V ) =.5 > p(s 1M ) =.33 p(s 1V S 2V ) < p(s 1V ) Ma questa conferma è stata forzata dal presentatore: la sua azione non dovrebbe alterare le probabilità iniziali! Dunque l argomento è debole: si tratta di una fallacia dell evidenza soppressa (ho a scelto a caso fra 3 scatole)!

66 GIOCHI EQUI

67 A che gioco giochereste? Coppa del mondo ITALIA- BRASILE ITALIA 3.30 X 3.30 BRASILE 3.30

68 Proposta di gioco Valutiamo l argomento: (P1) Ho una probabilità bassa di vincere (P2) Il costo della puntata è relativamente basso rispetto alle mie disponibilità economiche (ovvero, posso decidere che somma giocare) (P3) Se indovino le somme che si vincono sono abbastanza alte :. Mi conviene giocare

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71 Riviste specializzate Previsioni super studiate! Con LottoPiù si vince alla grande! Gli ambi secchi più e meno vincenti a maggio 3 numeri che stanno vincendo sempre di martedì Nuova eccezionale vincita Mediavideo pag

72 Gioco equo Ricordiamo che la media (o valore atteso) è la somma delle uscite (positive e negative) moltiplicate per le rispettive probabilità Il valore atteso di un gioco è la media tra uscite positive (vincenti) e negative (perdenti) moltiplicate per le loro probabilità Un gioco è equo se il valore atteso è zero, cioè se le somme che si vincono/perdono sono bilanciate rispetto alle probabilità di vincere/perdere. Se un gioco non è equo, può essere favorevole (valore atteso>0) o in perdita (valore atteso <0) Giocando all infinito, un gioco in perdita (risp. favorevole) produce perdite (risp. vincite) sicure

73 Esempi Lancio moneta equa: p(c)=.5, p(t)=.5 Indovinando si vince 1, altrimenti si perde 1 V= (-1)=0 dunque il gioco è equo Stesso gioco, ma indovinando si vince 1, altrimenti si perdono 2 V= (-2)=-.5 dunque il gioco non è equo, ma è in perdita Lancio moneta non equa: p(c)=.8, p(t)=.2 la giocata costa 1. Quanto dovrei vincere in modo equo puntando su T? V T =.8 (-1) +.2 (x)=0 da cui x=4

74 SuperEnalotto Il gioco precedente è un approssimazione del SuperEnalotto, in cui il montepremi cambia di volta in volta: è il % della raccolta Di cui il 20% ai 6, 20% ai 5+, 15% ai 5, 15% ai 4, 30% ai 3 ; in assenza di 6 o 5+ il montepremi relativo incrementa il montepremi successivo Esempio: immaginiamo banco e un solo giocatore (tutti giocatori sono in società). Il giocatore fa una serie di puntate su alcuni numeri per complessivi 100. Le sue vincite sono divise in questo modo Margine del banco in questo gioco collettivo: % premio vincita MONTEPR

75 SuperEnalotto estraz. del 21/3/15 Ma considerando individualmente ogni singola giocata, visto che le somme sono da dividere tra i giocatori vincenti (tutti i 3 dividono un montepremi loro destinato, ecc.), abbiamo (dati dall estrazione del 21/03/2015): Premio vincitori vincita vincita equa margine del banco individuale 6 1 9,577, ,328, % , , % , % % Conclusione. Su ogni singola giocata il banco ha un margine molto alto, che aumenta all aumentare del numero dei vincitori

76 Il gioco del Lotto Facciamo una giocata di 5 numeri A tutto ciò, per vincite superiori a 500, va aggiunta una trattenuta diretta del 6% sulla parte eccedente gli 500.

77 La roulette francese

78 Scommesse sportive Nelle scommesse sportive vengono indicate le somme lorde corrisposte ITALIA 2.95 Coppa del mondo ITALIA- BRASILE X 3.20 BRASILE 2.50 Il gioco è equo? Oppure, qual è il profitto del gestore? 1 X 2 Vincita lorda Per vincere 100 occorre giocare G 1 =100/V 1 Probabilità di uscita stimata P 1 =(G 1 x100)/(somma delle G) Vincita se il gioco fosse equo Margine del gestore M 1 =1-V 1 /E 1 V G P 32.24% 29.72% 38.04% E M 4.8% 4.8% 4.9%

79 E il Gratta e Vinci? Vediamo l Asso Pigliatutto Costo biglie9o: 3 Vincita possibile 200,000 Informazioni pubbliche: hdp:// gradaevinci/classico/premi.html

80 Asso Pigliatutto Primo lotto biglietti: Nr. 33,600,000 Massa premi: 67,344,000 Lo Stato incassa mln, ne distribuisce 67.3 mln Solo 1 biglietto su 3,68 è vincente In generale: 61.14% perdi 3 (oltre 20 mln di biglietti) 61.14% 17.96% torni in pari (oltre 6 mln di biglietti) 79.10% 16.71% vinci 5 (vincita netta di 2 ) 95.81% 3.12% vinci 10 (vincita netta 7 ) 98.93%.9% vinci 20 (vincita netta 17 ) 99.80% vincite di 30, 100, 200, 500, % vinci 10,000 (24 biglietti su 33,6 mln);.00001% vinci 200,000 (4 biglietti su 33,6 mln)

81 Conclusioni Asso Pigliatutto Il gioco è equo? vincita neda % E(X)=(-3*.6114) + (0*.1796) + (2*.1671)... =-.996 Se consideriamo anche la tassazione (6% per vincite eccedenti i 500 ), il valore atteso diventa Dunque, anche se acquistassimo tutti i biglietti, per ogni biglietto avremmo una perdita di 1.006, ovvero per avere un gioco equo dovremmo pagare per ogni biglietto solo 1.994

82 Margine banco Lotto 37% 37% 62% 76% 86% Margine banco scom. sportive (medio) 5-10% Differenze Margine banco Asso pigliatutto (medio) 33.23% Margine banco SuperEnalotto (totale) 65,35% (individ.) anche >90% Margine banco Roulette 2.77% 2.85% 2.94% 3.03% 3.28% 3.84% 4.76% Conclusione. Tra quelli esaminati, il gioco che è meno in perdita è la Roulette francese, seguita dalle scommesse sportive, e in nessun caso il gioco è equo (vedi margine).

83 Dunque L argomentazione seguente è buona: Nei giochi d azzardo con il banco, tipo Gratta e Vinci, Lotto e SuperEnalotto, una parte della somma giocata è trattenuta dal banco stesso per costi di gestione e guadagno (erario e tutta la filiera dei giochi). Dunque non conviene giocare. Ma anche l argomentazione seguente è buona: La massa di giocatori che gioca al Gratta e Vinci, al Lotto e al SuperEnalotto, garantisce un gettito erariale significativo, con entrate annue intorno agli 8 mld di Euro negli ultimi anni. Dunque, se non ci fossero i giochi d azzardo di Stato e una massa così grande di giocatori, occorrerebbe o tagliare ulteriori spese o sostituire il gettito con altre forme, ad esempio con altre tasse ed imposte a carico della collettività.

84 Per casa Leggere Varzi, par. 8.4, cap. 9 e 10 Paoli, cap. 6 e 12 Dispense gioco equo e conferma bayesiana Esercizi sul Varzi E poi (non prima!), esercizi online