Fondamenti di Meccanica e Macchine

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1 Giueppe Anzalone Paolo Baignana Giueppe Brafa Muicoro Fondaenti di Meccanica e Macchine Teoria e applicazioni EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO

2 Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A via Hoepli 5, Milano (Italy) tel fax e-ail Tutti i diritti ono riervati a nora di legge e a nora delle convenzioni internazionali ISBN Ritapa: Copertina: MN&CG S.r.l., Milano Soggetto di copertina: Motore cinque cilindri LANCIA - diegno UTS-COMAU per Fiat PWT Redazione e coordinaento: Luigi Caligari, Stefano Fava, Carlo Toaello Progetto grafico e fotocopoizione: Maria Giovanna Macaro, CityBee Counication S.r.l., Torino Reviione a cura di: Katia Cicuto, CityBee Counication S.r.l., Torino Stapa: L.E.G.O. S.p.A., Stabiliento di Lavi (Trento) Printed in Italy

3 INDICE Prefazione IX MODULO A Statica 2 Verifica prerequiiti 3 UNITÀ A1 LE FORZE, I MOMENTI DELLE FORZE E I SISTEMI DI FORZE EQUILIBRATI 4 A1.1 IL CONCETTO DI FORZA 5 A1.2 COMPOSIZIONE DI FORZE COMPLANARI 6 A1.3 SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA DATA IN DUE COMPONENTI CONVERGENTI DI DIREZIONI NOTE 9 A1.4 COMPOSIZIONE DI DUE FORZE PARALLELE 10 A1.5 TEOREMA DELLE PROIEZIONI 12 A1.6 IL MOMENTO DI UNA FORZA 13 A1.7 TEOREMA DI VARIGNON 14 A1.8 COPPIA DI FORZE 15 A1.9 TRASPORTO DI UNA FORZA PARALLELAMENTE A SE STESSA 16 A1.10 EQUILIBRIO DI UN SISTEMA DI FORZE 18 A1.11 I CORPI VINCOLATI 19 Studio di un cao 22 Forulario eenziale 24 Unità in breve 24 Autoverifica dell apprendiento 26 UNITÀ A2 LE MACCHINE SEMPLICI 28 A2.1 CARATTERISTICHE DELLE MACCHINE SEMPLICI 29 A2.2 LA LEVA 29 A2.3 LA CARRUCOLA E IL PARANCO 32 A2.4 IL VERRICELLO E L ARGANO 35 A2.5 IL PIANO INCLINATO 36 A2.6 IL CUNEO 38 A2.7 LA VITE 39 Studio di un cao 42 Forulario eenziale 43 Unità in breve 44 Autoverifica dell apprendiento 45 UNITÀ A3 GEOMETRIA DELLE MASSE 47 A3.1 CENTRO DELLE FORZE PARALLELE E BARICENTRO 48 A3.2 TEOREMI DI GULDINO 51 A3.3 MOMENTI STATICI DI SUPERFICIE 53 A3.4 MOMENTI QUADRATICI DI SUPERFICIE 56 A3.5 MOMENTO D INERZIA ASSIALE DI MASSA 62 Studio di un cao 64 Indice III

4 Forulario eenziale 66 Unità in breve 67 Autoverifica dell apprendiento 68 Verifica di Modulo 69 MODULO B Cineatica 70 Verifica prerequiiti 71 UNITÀ B1 CINEMATICA DEL PUNTO 72 B1.1 GRANDEZZE CINEMATICHE DEL MOTO DI UN PUNTO 73 B1.2 MOTO RETTILINEO UNIFORME 75 B1.3 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE VARIO 77 B1.4 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 78 B1.5 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE RITARDATO 82 B1.6 MOTO NATURALMENTE ACCELERATO 83 B1.7 MOTO CIRCOLARE UNIFORME 86 B1.8 MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE VARIO 90 Studio di un cao 93 Forulario eenziale 95 Unità in breve 96 Autoverifica dell apprendiento 97 UNITÀ B2 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI 98 " ' B2.1 MOTI RELATIVI E MOTI ASSOLUTI 99 B2.2 MOTI COMPOSTI 101 B2.3 MOTO ARMONICO 109 B2.4 MOTO DEI CORPI RIGIDI 111 B2.5 MOTO DEL CORPO RIGIDO PARALLELAMENTE A UN PIANO FISSO 112 Studio di un cao 117 Forulario eenziale 119 Unità in breve 121 Autoverifica dell apprendiento 122 Verifica di Modulo 124 MODULO C Dinaica 126 Verifica prerequiiti 127 UNITÀ C1 DINAMICA DEL PUNTO 128 ' ' C1.1 LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA 129 C1.2 IL PRINCIPIO DI D ALEMBERT 131 C1.3 FORZA CENTRIPETA E FORZA CENTRIFUGA 134 C1.4 LAVORO ED ENERGIA 139 C1.5 POTENZA SVILUPPATA DA UNA FORZA 145 Studio di un cao 147 IV Indice

5 Forulario eenziale 149 Unità in breve 150 Autoverifica dell apprendiento 151 UNITÀ C2 DINAMICA DEI CORPI RIGIDI E RESISTENZE PASSIVE 153 C2.1 SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA APPLICATA AI CORPI RIGIDI IN ROTAZIONE 154 C2.2 LAVORO ED ENERGIA NEL MOTO ROTATORIO 157 C2.3 POTENZA NEL MOTO DI ROTAZIONE 159 C2.4 RESISTENZA D ATTRITO RADENTE 160 C2.5 RESISTENZA D ATTRITO VOLVENTE 163 C2.6 RESISTENZA DEL MEZZO 165 C2.7 RENDIMENTO DI MACCHINE E MECCANISMI 169 Studio di un cao 172 Forulario eenziale 174 Unità in breve 175 Autoverifica dell apprendiento 176 Verifica di Modulo 178 MODULO D Sollecitazioni dei ateriali 180 Verifica prerequiiti 181 UNITÀ D1 RESISTENZA DEI MATERIALI E CONDIZIONI DI SICUREZZA 182 ε D1.1 SOLLECITAZIONI, DEFORMAZIONI E TENSIONI INTERNE 183 D1.2 CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI 190 D1.3 SOLLECITAZIONI DI FATICA 193 Studio di un cao 197 Forulario eenziale 199 Unità in breve 199 Autoverifica dell apprendiento 201 UNITÀ D2 SOLLECITAZIONI SEMPLICI E COMPOSTE 202 D2.1 SOLLECITAZIONI ASSIALI DI TRAZIONE O DI COMPRESSIONE 203 D2.2 SOLLECITAZIONI DI FLESSIONE 207 D2.3 SOLLECITAZIONI DI TAGLIO 212 D2.4 SOLLECITAZIONI DI TORSIONE 214 D2.5 ESEMPI DI SOLLECITAZIONI COMPOSTE 217 Studio di un cao 222 Forulario eenziale 223 Unità in breve 224 Autoverifica dell apprendiento 226 Verifica di Modulo 227 MODULO E Meccanica applicata alle acchine 228 Verifica prerequiiti 229 Indice V

6 UNITÀ E1 TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI RIGIDI E FLESSIBILI 230 E1.1 TRASMISSIONE DEL MOTO CON RUOTE DI FRIZIONE 231 E1.2 TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ALBERI PARALLELI MEDIANTE RUOTE DENTATE 233 E1.3 PROPORZIONAMENTO DELLE RUOTE DENTATE CILINDRICHE 236 E1.4 TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ALBERI CONCORRENTI O SGHEMBI MEDIANTE RUOTE DENTATE 243 E1.5 TRASMISSIONE DEL MOTO CON CINGHIE, FUNI E CATENE 244 Studio di un cao 253 Forulario eenziale 254 Unità in breve 254 Autoverifica dell apprendiento 256 UNITÀ E2 TRASMISSIONE E TRASFORMAZIONE DEL MOTO MEDIANTE CINEMATISMI 258 E2.1 CINEMATICA DEL SISTEMA BIELLA-MANOVELLA 259 E2.2 RIPARTIZIONE DELLE MASSE NELLA BIELLA 263 E2.3 EQUILIBRATURA DEL SISTEMA BIELLA-MANOVELLA 266 E2.4 CAMME ED ECCENTRICI 273 Studio di un cao 277 Forulario eenziale 278 Unità in breve 278 Autoverifica dell apprendiento 280 Verifica di Modulo 281 MODULO F Idraulica 282 Verifica prerequiiti 283 UNITÀ F1 IDRAULICA E TRATTAMENTO DELLE ACQUE 284 F1.1 MASSA VOLUMICA, DENSITÀ E PESO VOLUMICO DEI LIQUIDI 285 F1.2 PRESSIONE E DIFFERENZA DI PRESSIONI 286 F1.3 LA LEGGE DI STEVIN E IL PRINCIPIO DI PASCAL 288 F1.4 IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI 291 F1.5 LA PORTATAELELEGGIDELMOTO 291 F1.6 IL TEOREMA DI BERNOULLI E IL TUBO DI VENTURI 293 F1.7 IL MOTO DEI FLUIDI REALI 294 F1.8 LE ACQUE NATURALI E IL LORO INQUINAMENTO 295 F1.9 TRATTAMENTI E IMPIANTI DI DEPURAZIONE PER LE ACQUE RESIDUE URBANE E INDUSTRIALI 296 F1.10 LA POTABILIZZAZIONE DELLE ACQUE 298 F1.11 LA LEGISLAZIONE VIGENTE SUL CONTROLLO DELLE RISORSE IDRICHE 298 Studio di un cao 299 Forulario eenziale 300 Unità in breve 300 Autoverifica dell apprendiento 302 VI Indice

7 UNITÀ F2 IMPIANTI IDRAULICI, POMPE E TURBINE 304 F2.1 LE POMPE 305 F2.2 APPLICAZIONI IDRAULICHE INDUSTRIALI E CIVILI 311 F2.3 LE TURBINE IDRAULICHE 312 F2.4 GLI IMPIANTI IDROELETTRICI 314 F2.5 LA MISURAZIONE DELLE GRANDEZZE FLUIDODINAMICHE 316 Studio di un cao 318 Forulario eenziale 319 Unità in breve 319 Autoverifica dell apprendiento 321 Verifica di Modulo 322 MODULO G Energetica 324 Verifica prerequiiti 325 UNITÀ G1 ENERGIE RINNOVABILI E NON RINNOVABILI 326 G1.1 L ENERGIA 327 G1.2 LE FORME DELL ENERGIA 331 G1.3 LE FONTI DI ENERGIA 335 G1.4 ENERGIE INNOVATIVE 336 G1.5 IL FABBISOGNO DI ENERGIA 341 G1.6 IL PROBLEMA AMBIENTALE 343 G1.7 IL SISTEMA ENERGETICO EUROPEO E ITALIANO 344 G1.8 CLASSIFICAZIONE DELLE MACCHINE A FLUIDO 346 Studio di un cao 350 Forulario eenziale 351 Unità in breve 351 Autoverifica dell apprendiento 353 UNITÀ G2 TECNICHE DI CAPTAZIONE E UTILIZZAZIONE DELL ENERGIA SOLARE 354 G2.1 LA RADIAZIONE SOLARE 355 G2.2 TECNOLOGIA DELLA CONVERSIONE FOTOTERMICA DELL ENERGIA SOLARE 361 G2.3 TECNOLOGIA DELLA CONVERSIONE FOTOVOLTAICA DELL ENERGIA SOLARE 364 Studio di un cao 370 Forulario eenziale 371 Unità in breve 371 Autoverifica dell apprendiento 373 UNITÀ G3 CELLE A COMBUSTIBILE 374 G3.1 CARATTERISTICHE DELLA CELLA A COMBUSTIBILE 375 G3.2 L IDROGENO 377 G3.3 IL FUNZIONAMENTO DELLA CELLA A COMBUSTIBILE 377 G3.4 PRINCIPALI TIPOLOGIE DI CELLE A COMBUSTIBILE 378 G3.5 APPLICAZIONE DELLA FUEL CELL PER IMPIANTI TERMICI DI USO CIVILE, INDUSTRIALE E PER I VEICOLI 381 Indice VII

8 G3.6 PROSPETTIVE DELLA FUEL CELL NEGLI ORIENTAMENTI DELLA POLITICA ENERGETICA EUROPEA 384 Studio di un cao 385 Unità in breve 386 Autoverifica dell apprendiento 387 UNITÀ G4 TEMPERATURA, CALORE E COMBUSTIBILI 388 G4.1 LA NATURA DEL CALORE 389 G4.2 LA TEMPERATURA E IL CALORE 390 G4.3 LA TRASMISSIONE DEL CALORE 392 G4.4 LA COMBUSTIONE 397 G4.5 TIPI DI COMBUSTIBILE 400 Studio di un cao 405 Forulario eenziale 406 Unità in breve 406 Autoverifica dell apprendiento 408 Verifica di Modulo 409 MODULO H Terodinaica e ue applicazioni 410 Verifica prerequiiti 411 UNITÀ H1 PRINCIPI DI TERMODINAMICA, GENERATORI DI CALORE E MACCHINE FRIGORIFERE 412 H1.1 LE LEGGI DEI GAS 413 H1.2 LE TRASFORMAZIONI FONDAMENTALI DEI GAS IDEALI 415 H1.3 IL PRIMO E IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA 418 H1.4 IL CICLO DI CARNOT E I PRINCIPALI CICLI IDEALI 420 H1.5 TERMODINAMICA DEL VAPORE ACQUEO 425 H1.6 I GENERATORI DI CALORE E I COMPRESSORI 428 H1.7 MACCHINE FRIGORIFERE 435 Studio di un cao 439 Forulario eenziale 441 Unità in breve 442 Autoverifica dell apprendiento 444 UNITÀ H2 MOTORI ENDOTERMICI ED ESOTERMICI 446 H2.1 PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO DEI MOTORI ENDOTERMICI ED ESOTERMICI 447 H2.2 LE MACCHINE TERMICHE A COMBUSTIONE INTERNA 447 H2.3 ARCHITETTURA DEI MOTORI ENDOTERMICI ALTERNATIVI 449 H2.4 CLASSIFICAZIONE E MODALITÀ DI FUNZIONAMENTO DEI MOTORI ENDOTERMICI ALTERNATIVI 453 H2.5 PRESTAZIONI E CONSUMI DEI MOTORI ENDOTERMICI 458 Studio di un cao 462 Forulario eenziale 464 Unità in breve 464 Autoverifica dell apprendiento 466 Verifica di Modulo 467 VIII Indice

9 PREFAZIONE Lo copo principale dell opera è di fornire agli tudenti uno truento veratile e oderno, in grado di guidarli in odo agevole ed eauriente all interno del ondo della eccanica e delle acchine teriche; il percoro didattico i noda attravero nueroe Unità Didattiche, eguendo un itinerario forativo graduale e progreivo, che parte dalle conocenze di bae per poi affrontare gli apetti più caratterizzanti delle dicipline e quelli più pratici e applicativi. Il teto fornice inoltre una panoraica ul problea energetico italiano, europeo e ondiale (affrontato in un odulo pecifico), pretando particolare attenzione al olare e all idrogeno, applicazioni di icuro viluppo nel proio futuro. I contenuti previti dai Prograi Miniteriali ono ripartiti in otto Moduli indipendenti, trutturati in Unità Didattiche, a loro volta organizzate in odo da conentire lo viluppo delle teatiche propote econdo una logica equenziale, peronalizzabile in bae alle eigenze delle ingole clai e alle neceità lavorative epree dalla realtà territoriale in cui opera ogni ingolo Itituto. Lo tudente è introdotto alla lettura del ingolo odulo con una preentazione intetica cui eguono due brevi elenchi riportanti i principali prerequiiti (indipenabili per poter affrontare gli argoenti che eguiranno) e gli obiettivi da raggiungere, in terini di conocenze, capacità e copetenze. Segue una pagina dedicata alla verifica dei prerequiiti, da effettuari ripondendo ad alcuni queiti in fora di prova trutturata, con doande a ripota rapida. Le Unità Didattiche iniziano con una breve introduzione ai contenuti, eguita dagli obiettivi da coneguire e dall indice dei paragrafi, i cui titoli riandano direttaente ai contenuti trattati. Dopo lo viluppo delle teatiche, l unità offre al lettore quattro rubriche concluive: lo Studio di un cao, che prevede la preentazione di un problea, la ua analii e l epoizione pratica della procedura copleta per la oluzione; il Forulario eenziale, che conite nella raccolta delle principali forule illutrate nell unità, a cui ono affiancate le unità di iura delle grandezze fiiche che vi copaiono; l Unità in breve, un riaunto dei contenuti per facilitare lo tudente in fae di ripao; l Autoverifica dell apprendiento, che coprende problei a ripota rapida e doande in fora di prova trutturata per verificare quanto appreo in eguito allo tudio dell unità. Prefazione IX

10 Il odulo, infine, i chiude con una verifica di carattere operativo. Nella teura dei contenuti gli autori i ono prefiati lo copo di viluppare le teatiche puntando ugli apetti fondaentali, adottando un linguaggio eplificato e diretto, cercando di preentare anche gli argoenti più ardui in odo chiaro e correvole. Lo viluppo dei contenuti è accopagnato da eepi nuerici riolti e coentati, nei quali è poto in grande evidenza l uo corretto delle unità di iura. Nel teto i evidenziano richiai e oervazioni il cui copo è di alleggerire la trattazione contenutitica, invitando il lettore a una piccola paua di rifleione. Tutte le figure ono accopagnate da didacalie, evidenziate in odo da dare viibilità e iediatezza ai diegni, agli chei e alle fotografie riportate; nelle intenzioni degli autori le iagini rivetono non olo un iportante ruolo di chiariento, a cotituicono anche una fora di ripao, aiutando nella eorizzazione dei concetti più ignificativi grazie alla forza dell iagine viiva. Le parole chiave della letteratura tecnica del ettore ono pote in rialto a concluione di ogni paragrafo e tradotte in inglee, francee e tedeco. Il Modulo A affronta la Statica, con particolare attenzione a forze e oenti agenti ui corpi e alle geoetrie delle ae dei olidi. Il Modulo B, dedicato alla Cineatica, preenta le leggi del oto del punto e del corpo. Il Modulo C viluppa la Dinaica, decrivendo il coportaento dei corpi (uppoti in queto cao indeforabili), ottopoti a forze e oenti che cauano variazioni di oto. Il Modulo D preenta la reitenza dei ateriali, analizzando i vari tati di ollecitazione cui ono ottopoti i corpi olidi quando ubicono l azione di forze e oenti agenti dall eterno. Il Modulo E decrive i principali organi eccanici che copongono acchinari e ipianti, alla luce dei loro principi di funzionaento, delle applicazioni pratiche e delle divere odalità operative. Il Modulo F affronta la eccanica dei fluidi attravero l Idraulica e le ue leggi, per poi paare alla preentazione delle principali acchine idrauliche e dei loro capi di applicazione. Il Modulo G è dedicato all Energetica: dopo una preentazione degli cenari attuali e delle probabili linee di tendenza future unitaente alle probleatiche di tipo abientale, vengono decritte due tecnologie energetiche innovative caratterizzate da grandi potenzialità di crecita, ovvero, le celle a idrogeno e l energia olare. Il Modulo H analizza il vato capo delle acchine teriche: dopo una intetica preentazione delle leggi della Terodinaica i affronta lo tudio degli ipianti terici e dei loro principali coponenti, paando infine al ettore dei otori endoterici alternativi illutrati più dettagliataente. Gli autori ringraziano anticipataente quanti vorranno fare loro pervenire, attravero l Editore, oervazioni, critiche e uggerienti atti a igliorare il teto. G. ANZALONE P. BASSIGNANA G. BRAFA MUSICORO X Prefazione

11 UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATO Alla pagina web ono diponibili: ateriali didattici integrativi; eventuali aggiornaenti del teto; un etratto eeplificativo del volue in forato PDF che può eere conultato, caricato e tapato. Prefazione XI

12 UNITÀ B2 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI La preente unità affronta lo tudio del oto di un punto ateriale o di un corpo ripetto a un altro, anch eo in oviento; in altre parole, i eaina il oto copoto di un corpo oggetto all azione conteporanea di due o più oti. L analii dei oti copoti i eegue liitataente ai cai di copoizione di due oti rettilinei unifori (oto parabolico e oto elicoidale). Si analizza poi un particolare oto periodico, detto oto aronico. L unità i chiude con lo tudio del oto dei corpi rigidi liitataente al cao del oto piano, ediante l analii del oto del egento di riferiento congiungente due punti generici del corpo coniderato. OBIETTIVI Analizzare il oto relativo e aoluto di un corpo per deterinare le corripondenti velocità. Applicare le leggi che regolano i oti copoti. Riconocere le leggi che regolano il oto aronico. Analizzare il oto piano dei punti di un corpo rigido per individuare il centro di itantanea rotazione del corpo teo in una poizione generica. Deterinare le traiettorie e le velocità dei punti di un corpo rigido in oto piano. CONTENUTI Moti relativi e oti aoluti. Moti copoti. Moto aronico. Moto dei corpi rigidi. Moto del corpo rigido parallelaente a un piano fio. 98 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

13 B2.1 MOTI RELATIVI E MOTI ASSOLUTI I cai finora eainati in Cineatica hanno riguardato il oto di un punto ateriale ripetto a un generico itea di riferiento coniderato fio (terna di ai ortogonali). Speo occorre tudiare il oto di un punto ateriale (o di un corpo) in funzione di un itea di riferiento, a ua volta, in oviento ripetto a un altro coniderato fio. Si poono ditinguere, quindi, tre tipi di oto, cui corripondono tre divere velocità legate tra loro e definite coe egue: velocità aoluta v a : velocità del punto obile ripetto a un itea di riferiento fio; velocità relativa v r : velocità del punto obile ripetto a un itea di riferiento obile; velocità di tracinaento v t : velocità del itea di riferiento obile ripetto al itea di riferiento fio. Quete definizioni riultano più chiare e i eainano alcuni cai reali. Si conideri, per eepio, una barca che attravera un fiue da una ponda all altra ( Fig. B2.1 ); la velocità v r della barca, ripetto alla corrente del fiue (itea di riferiento obile), rappreenta la velocità relativa; la velocità v t della corrente, ripetto alle ponde del fiue (itea di riferiento fio), rappreenta la velocità di tracinaento; infine la velocità aoluta v a è rappreentata dalla velocità della barca ripetto alle ponde del fiue. Un altro cao è rappreentato da un paeggero che caina lungo il corridoio di un autobu in oviento: la velocità v r del paeggero, riferita all autobu (itea di riferiento obile), è quella relativa; la velocità v t dell autobu, ripetto al terreno circotante (itea di riferiento fio), è quella di tracinaento; infine la velocità del paeggero, ripetto al terreno circotante, rappreenta la velocità aoluta v a ( Fig. B2.2 ). Fig. B2.2 Paeggero che caina lungo il corridoio di un autobu in oviento. R La velocità di tracinaento del itea obile, eendo riferita a un itea fio, è una velocità aoluta, anche e indicata con un terine divero. Dai due eepi decritti i può dedurre la eguente afferazione: la velocità aoluta v a di un corpo, nota la ua velocità relativa v r ripetto a un altro corpo che i uove con una velocità di tracinaento v t i ottiene coe oa vettoriale della velocità relativa con la velocità di tracinaento: v = v + v a r t [2.1] Fig. B2.1 Barca che attravera un fiue da una ponda all altra. Eepio Due treni i uovono di oto unifore, con veri oppoti, nella tea direzione ( Fig. B2.3 ). Indicando con A e B i treni e apendo che le loro velocità ono ripettivaente v A = 144 k/h e v B = 108 k/h, deterinare la velocità relativa di un treno ripetto all altro. Cineatica MODULO B 99

14 Fig. B2.3 Due treni in oto unifore e vero oppoto. Soluzione La velocità relativa del treno A ripetto al treno B i ottiene ediante la [2.1], oando al vettore velocità aoluta di A il vettore, uguale e oppoto, della velocità del treno B, coniderata coe velocità di tracinaento, coe i può oervare dallo chea rappreentato nella figura B2.4. (a) (b) Fig. B2.4 Rappreentazione vettoriale delle velocità v A e v B di due treni: a) per deterinare la velocità relativa v r del treno A ripetto al treno B, i conidera coe velocità aoluta v a la velocità del treno A e coe velocità di tracinaento v t quella del treno B; b) la velocità relativa v r del treno B ripetto al treno A i deterina coniderando coe velocità aoluta v a la velocità del treno B e coe velocità di tracinaento v t quella del treno A. Epriendo le velocità in / i ottengono i eguenti valori: e: k v A = 144 = 40 h k v B = 108 = 30 h L intenità della velocità relativa i ricava applicando la [2.1]: vr = va+ vt = = 70 = 252 k h Il vettore che rappreenta la velocità relativa ha lo teo vero del vettore velocità v A. La velocità relativa del treno B ripetto al treno A è uguale e oppota a quella precedenteente ricavata ( Fig. B2.4b ); infatti, la ua intenità vale: v r = = 70 = 252 k h e ha il vero del vettore v B, di coneguenza, i vettori rappreentativi delle due velocità relative, velocità di A ripetto a B e di B ripetto ad A, hanno la tea intenità a vero oppoto. Nel oto aoluto, per individuare la traiettoria eguita da un corpo oggetto conteporaneaente a due oti, occorre riferiri al principio dell indipendente coeitenza dei ovienti di Galileo Galilei, che può eere enunciato nel odo eguente: un corpo oggetto conteporaneaente a due o più ovienti i trova, in ogni itante, nella poizione che occuperebbe e ciacuno dei ovienti avvenie, eparataente e ucceivaente, per la tea durata di tepo. La copoizione di due o più oti i può effettuare ediante tale principio e le regole della oa vettoriale. 100 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

15 POLIGLOTTA ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO Velocità aoluta Abolute peed Vitee abolue Abolutgechwindigkeit Velocità relativa Relative peed Vitee relative Relativgechwindigkeit Velocità di tracinaento Entrainent peed Vitee de entreineent Durchgechwindigkeit B2.2 MOTI COMPOSTI Di eguito i eainano alcuni iportanti cai di copoizione di oti: copoizione di due oti rettilinei unifori; copoizione di un oto rettilineo unifore e di un oto naturalente accelerato (oto parabolico); copoizione di un oto circolare unifore e di un oto rettilineo unifore, parallelo all ae di rotazione (oto elicoidale). (a) Copoizione di due oti rettilinei unifori Queto è il cao in cui un punto obile (oppure un corpo) è oggetto all azione conteporanea di due oti rettilinei e unifori, le cui traiettorie hanno direzione coincidente con le ripettive velocità. In riferiento alla figura B2.5, i upponga che i vettori rappreentativi delle velocità dei due oti coponenti (velocità relativa v r e velocità di tracinaento v t ) abbiano direzioni foranti fra loro un angolo α. La velocità aoluta v a del corpo, cioè la velocità del oto riultante, i ottiene eeguendo la oa vettoriale delle velocità dei due oti coponenti. Il vettore velocità aoluta i ottiene graficaente ediante il etodo del parallelograa e la ua intenità i ricava analiticaente applicando il teorea di Carnot, e α 90 ( Fig. B2.5a ): R 2 2 a r t r t v = v + v + 2vvco α [2.2] Metodo del parallelograa: la riultante di due vettori, le cui rette d azione forano un angolo α, è rappreentata dalla diagonale del parallelograa avente coe lati i due vettori coponenti. (b) Fig. B2.5 Rappreentazione di due oti rettilinei unifori, le cui traiettorie coincidono con le direzioni delle ripettive velocità, relativa e di tracinaento, e che danno origine a un oto riultante la cui velocità è la velocità aoluta: a) le traiettorie dei oti coponenti e le ripettive velocità forano un angolo α 90 ; b) le traiettorie dei oti coponenti e le ripettive velocità forano un angolo α = 90. Se le direzioni delle velocità dei due oti coponenti ono perpendicolari fra loro, oia α = 90 ( Fig. B2.5b ), l intenità della velocità aoluta i ottiene con il teorea di Pitagora: 2 2 a r t v = v + v [2.3] Se i due oti coponenti hanno tea direzione e teo vero (α = 0), l intenità della velocità aoluta è uguale alla oa aritetica delle intenità della velocità relativa con quella di tracinaento; e hanno tea direzione e vero oppoto (α = 180 ), l intenità della velocità aoluta è uguale alla differenza delle intenità della velocità relativa con quella di tracinaento. Cineatica MODULO B 101

16 Per quanto concerne la traiettoria del oto aoluto, ottenuta ediante il procediento grafico del parallelograa, la ua direzione i deterina applicando il teorea dei eni. R Il teorea dei eni affera che in un triangolo qualiai ciacun lato è proporzionale al eno dell angolo oppoto. OSSERVAZIONE: dalla figura B2.5 i può dedurre e diotrare per via analitica che il oto aoluto riultante dalla copoizione di due oti rettilinei unifori è anch eo un oto rettilineo unifore. Eepio 1 Un otocafo naviga alla velocità v r = 18 nodi ed è oggetto all azione della corrente del are che lo tracina traveralente, alla velocità v t = 1,5 nodi, econdo una direzione inclinata di 30 ripetto a quella del otocafo ( Fig. B2.6a). Deterinare l intenità e la direzione della velocità aoluta v a del otocafo e la ditanza percora in 30 in. naento, valutata ripetto al itea di riferiento fio; entrabe le velocità ono cotanti e quindi i ripettivi oti ono unifori. Epriendo le velocità in /, poiché: iglio arino 1 nodo = 1 = 0, 514 h i ha: la velocità del otocafo eprea in /: v r = 18 0, 514 = 9, 252 la velocità della corrente eprea in /: v t = 1, 5 0, 514 = 0, 771 La velocità aoluta del otocafo, vale a dire la velocità ripetto al itea di riferiento fio, per la [2.2] vale: 2 2 a r t r t v = v + v + 2vvco 30 = 2 2 = 9, , , 252 0, 771 0, 866 = = 9, 927 (a) (b) Fig. B2.6 a) Rappreentazione delle velocità v r e v t di due oti rettilinei unifori, agenti conteporaneaente u un otocafo in navigazione. b) Rappreentazione vettoriale delle velocità v a, v r e v t. Soluzione La velocità del otocafo cotituice la velocità relativa, valutata ripetto al itea di riferiento obile rappreentato dalla corrente; quella della corrente indica la velocità di traci- La direzione della velocità aoluta, oia la rotta effettiva del otocafo ripetto alla velocità di tracinaento, i ottiene ediante il teorea dei eni. Dalla figura B2.6b i ricava: per cui: quindi i ricava: e: β= 180 ( α + α )= v v t a = en α 1 en ( ) ( ) = en en α 1 = vt v , =, = ,, α 1 = arc en 0, 0388 = 2 13' a 102 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

17 Infine il valore della ditanza percora dal otocafo in 30 in, alla velocità aoluta di 9,927 /, i ricava ediante la relazione del oto rettilineo unifore e vale: = vt a = 9, = , 6 = 17, 868 k Eepio 2 Si conideri la torretta portautenili di un tornio durante l eecuzione di una tornitura conica ( Fig. B2.7a). Soluzione Coniderando il carrello coe itea di riferiento obile, la ua velocità cotituice la velocità di tracinaento, valutata ripetto al itea di riferiento fio rappreentato dalle guide longitudinali. La velocità della torretta, ripetto alle guide traverali, rappreenta la ua velocità relativa, cioè, la velocità valutata ripetto al itea di riferiento obile (carrello); pertanto, l intenità della velocità aoluta della torretta, valutata ripetto al itea di riferiento fio, per la [2.3] vale: va = vr + vt = 3, , 2 = 23, 5 in La direzione della velocità aoluta della torretta è data dall angolo α ( Fig. B2.7b ), il cui valore i ottiene dalla eguente relazione trigonoetrica: da cui i ricava: vr 39, tg α = = = 0, 168 v 23, 2 t α = arc tg 0, 168 = 9 32' (a) (b) Fig. B2.7 a) Rappreentazione di una tornitura conica, in cui copaiono il pattino (1), la guida del pattino (2), la torretta portautenili (3), il pezzo in lavorazione (4), l utenile (5), le guide traverali della torretta (6), le guide longitudinali (7). b) Schea vettoriale della copoizione delle velocità. Sapendo che la torretta (3) i uove traveralente lungo le guide (6) con velocità v r = 3,9 /in e il carrello u cui è ontata la torretta i uove ulle guide longitudinali (7) con velocità v t = 23,2 /in, deterinare l intenità e la direzione della velocità aoluta v a della torretta portautenili. OSSERVAZIONE: un problea analogo a quelli precedenti conite nella copoizione di oti uniforeente accelerati. Eendo poibile eeguire la copoizione vettoriale ia ui vettori rappreentativi delle velocità ia ui vettori che rappreentano le accelerazioni, proporzionali alle velocità tee, bata otituire nella [2.3] e nella [2.4] le velocità con le ripettive accelerazioni. Copoizione di un oto rettilineo unifore orizzontale e di un oto naturalente accelerato (oto parabolico) Si conideri inizialente il oto rettilineo unifore orizzontale. Oervando, per eepio, un getto d acqua otto preione che ece da una tubazione orizzontale, i vede che eo preenta una traiettoria curvilinea ( Fig. B2.8 ). Il getto d acqua è ottopoto alla pinta d ucita (oto rettilineo unifore) in direzione orizzontale e all azione della forza di gravità (oto naturalente accelerato) econdo la verticale. Cineatica MODULO B 103

18 (a) (b) Fig. B2.8 a) Getto d acqua che fuoriece da un tubo orizzontale. b) Rappreentazione della traiettoria e della velocità del oto riultante dalla copoizione di un oto rettilineo unifore orizzontale con un oto naturalente accelerato verticale in un punto P. Il oto rettilineo unifore avviene a velocità cotante e gli pazi percori ono proporzionali ai tepi, entre il oto naturalente accelerato preenta accelerazione cotante (accelerazione di gravità) e pazi percori proporzionali ai quadrati dei tepi. Il oto riultante dalla copoizione di queti due oti è un oto parabolico. La velocità aoluta i ricava dalla oa vettoriale delle velocità coponenti ed è epre tangente alla traiettoria tea ( Fig. B2.8b ): a x y x v v v v gt = + = +( ) [2.4] Eepio Un aereo vola a 1000 a una velocità cotante di 50 / ( Fig. B2.9 ). Supponendo che dall aereo venga laciata cadere una caa, calcolare, in aenza di attrito, dopo quanto tepo e a quale ditanza dal punto di lancio la caa toccherà terra e qual è il valore della velocità aoluta con cui la caa arriva al uolo. Soluzione L aereo procede con oto rettilineo unifore orizzontale, entre la caa cade con oto naturalente accelerato verticale. Con le notazioni dei oti relativi e aoluti, la velocità cotante dell aereo cotituice la velocità di tracinaento (v x = v t ) ed è riferita al uolo, entre la velocità di caduta della caa, ripetto all aereo, rappreenta la velocità relativa (v y = v r ); pertanto, coniderando l effetto del oto rettilineo unifore e l effetto del oto naturalente accelerato, la velocità della caa ripetto al uolo rappreenta la velocità aoluta v a. In bae al principio dell indipendente coeitenza dei oti, il tepo ipiegato dalla caa per arrivare al uolo i può ricavare dalla relazione della caduta libera dei gravi: e vale: y = 1 gt 2 2 y t = = 14, 3 g 9, 81 La caa toccherà terra alla ditanza x dal punto di lancio; tale ditanza rappreenta lo pazio percoro dall aereo, con oto rettilineo unifore orizzontale, nello teo tepo di caduta della caa t = 14,3. Eendo la velocità dell aereo v t = 50 /, i ha: 2 x= vt= 50 14, 3 = 715 t Applicando la [2.4], dalla copoizione dei due oti ortogonali, rettilineo unifore e uniforeente accelerato, i ricava la velocità aoluta v a con cui la caa arriva al uolo: Fig. B2.9 Rappreentazione del oto parabolico di un corpo lanciato da un aereo che i uove di oto rettilineo unifore orizzontale a t r t v v v v gt = + = +( ) = ( ) = 2 2 = , 81 14, CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

19 Copoizione di un oto rettilineo unifore con direzione inclinata e di un oto naturalente ritardato verticale (oto dei proiettili) Si conideri il cao più generale in cui il oto rettilineo unifore ha direzione inclinata di un certo angolo ripetto al piano di riferiento. Queto è il tipico oto di un proiettile otto l azione conteporanea del oto rettilineo unifore e del oto naturalente ritardato verticale. Si uppone inoltre che la ua traietto- ria avvenga nel vuoto, oia, tracurando la reitenza dell aria e l eventuale azione del vento. Il problea può eere coì cheatizzato: un proiettile è lanciato dal punto O lungo una direzione inclinata dell angolo α ripetto all orizzontale e con velocità iniziale cotante v 0 ( Fig. B2.10 ); deterinare i paraetri che la caratterizzano. Si definice proiettile qualiai corpo che poa R eere lanciato per ezzo di un congegno atto a conferirgli una velocità iniziale. Fig. B2.10 Rappreentazione del oto dei proiettili: l = linea di tiro; α = angolo di tiro; OP = G = gittata; NQ = h = altezza aia raggiunta dal proiettile; ONP = traiettoria del proiettile; v x, v y = coponenti orizzontale e verticale della velocità aoluta v a. La traiettoria è rappreentata da una parabola ad ae verticale con la concavità rivolta vero il bao e paante per l origine degli ai carteiani. La velocità aoluta v a è data dalla eguente forula: a x y 0x 0 y ( ) v = v + v = v + v gt [2.5] Di eguito i riportano alcune definizioni uate in Balitica e le relazioni che le contradditinguono. linea di tiro l: direzione lungo cui i effettua il lancio; angolo di tiro o di alzata α: angolo d incli - nazione della linea di tiro ripetto all orizzontale; 2 gittata G: ditanza orizzontale OP, fra il punto di lancio e il punto di caduta del proiettile: G v g = 0 2 en 2α [2.6] altezza aia h: aia altezza NQ a cui può arrivare il proiettile: h v en α 2 g = [2.7] tepo di volo t, cioè il tepo ipiegato dal proiettile a percorrere l intera traiettoria e raggiungere l obiettivo: Cineatica MODULO B 105

20 R v t = 2 en α de il valore aio di en 2 a, cioè en 2 a = 1. 0 [2.8] g Eepio Un proiettile è lanciato con un angolo di tiro α = 35 ( Fig. B2.11 ). Coniderando una velocità iniziale del proiettile di 200 / e tracurando la reitenza dell aria, deterinare la velocità del proiettile dopo 20 dal lancio, la gittata, l altezza aia raggiunta e il tepo di volo. La Balitica è la cienza che tudia il oto dei proiettili, applicata pecialente in artiglieria. Dalla [2.4] i deduce che il proiettile raggiunge la aia ditanza orizzontale quando viene lanciato con un angolo di tiro di 45, a cui corripon- Fig. B2.11 Rappreentazione del oto di un proiettile lanciato con angolo di tiro α = 35 e con velocità iniziale cotante v 0 = 200 /. Soluzione Le coponenti della velocità aoluta del proiettile dopo 20 dal lancio ono: e: vx = v0x = v0co α = 200co 35 = 163, 83 v = v gt= v en α gt= y 0y 0 = 200en 35 9, = 81,4 8 Poiché la coponente v y ha valore negativo, il proiettile è in fae di dicea. Il odulo della velocità aoluta, poi, i ottiene applicando la [2.5]: a x y 0x 0 y v = v + v = v + v gt ( ) = 163, , 48 La gittata G, per la [2.6], vale: ( ) = G v = en 2α = en g 9, 81 2 = 183 L altezza aia raggiunta dal proiettile i deterina ediante la [2.7]: 2 I oti copoti finora eainati hanno dato luogo a traiettorie giacenti nel piano; il oto preo in eae in queto paragrafo, invece, dà origine a una traiettoria che i viluppa nello pazio. Si conideri un punto A poto ul piano O,x,y ( Fig. B2.12 ), ollecitato a uoveri lungo una circonferenza di raggio r con velocità perife- v h = en α = en g 2 9, 81 Infine il tepo ipiegato dal proiettile per raggiungere l obiettivo, oia il tepo di volo, i ricava dalla [2.8]: 2v0 y 2v0 t = = en α 2 = 200 en 35 = 23, 38 g g 9, 81 Copoizione di un oto circolare unifore e di un oto rettilineo unifore parallelo all ae di rotazione (oto elicoidale) CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

21 rica cotante v r e oggetto anche a tralare, conteporaneaente, con velocità cotante v t lungo la direzione norale al piano u cui avviene il oto circolare. Fig. B2.12 Rappreentazione del oto elicoidale, copoto da un oto circolare unifore e da un oto rettilineo unifore; v t = velocità di tracinaento del punto A nella direzione dell ae z; v r = velocità relativa del punto A = velocità periferica ulla circonferenza di raggio r. La velocità v r, coniderata coe velocità relativa, genera un oto circolare unifore, entre la velocità v t, coniderata coe velocità di tracinaento, genera un oto rettilineo unifore. Poiché i due oti ono entrabi unifori, anche il oto riultante dalla loro copoizione arà unifore e decriverà una traiettoria che i evolve lungo una uperficie cilindrica, cui i dà il noe di elica cilindrica o elicoide. Riferendo la uperficie cilindrica, u cui i viluppa l elica, a un itea di ai carteiani ortogonali x, y, z ( Fig. B2.13a ), i oerva che a ogni giro decritto dal punto obile la traiettoria elicoidale i eleva di un tratto p. In pratica il punto obile A, per effetto del oto di tracinaento, ubice a ogni giro uno potaento verticale p chiaato pao dell elica, per eepio dalla poizione A' alla poizione A'', collocate entrabe ulla tea generatrice della uperficie cilindrica. Sviluppando ul piano del diegno un tratto l dell elica corripondente al pao p, ovvero a un giro del punto obile, i oerva che ( Fig. B2.13b ): p= ( 2πr) tg α [2.9] (a) (b) Fig. B2.13 a) Velocità in un oto elicoidale: v r = velocità relativa, o velocità periferica nel oto di rotazione, dipota tangenzialente alla circonferenza di raggio r; v t = velocità di tracinaento nella direzione aiale, perpendicolare a v r ; v a = velocità aoluta, o riultante, rappreentata da un vettore tangente alla traiettoria elicoidale. b) Sviluppo nel piano di un tratto di elica corripondente a un giro del punto obile A. Nella [2.9] α rappreenta l angolo d inclinazione dell elica, cioè l angolo che l elica fora con un piano qualunque norale all ae della uperficie cilindrica. Applicando il teorea di Pitagora al triangolo di figura B2.13b i ottiene la lunghezza del tratto di elica corripondente al pao e coincidente con l ipotenua del triangolo teo ediante la relazione: l = p + 4π r [2.10] Cineatica MODULO B 107

22 In riferiento alla figura B2.13a, il punto A è oggetto a una velocità relativa v r e a una velocità di tracinaento v t. La pria, dovuta al oto circolare unifore, è tangente alla circonferenza di raggio r e giace nel piano x,y; la econda, dovuta al oto rettilineo unifore, è diretta econdo l ae z e quindi è perpendicolare a v r. Dalla oa vettoriale di quete due velocità i ottiene la velocità aoluta v a, che riulta tangente alla traiettoria elicoidale in ogni itante e quindi inclinata, ripetto al vettore v r, dell angolo α (angolo d inclinazione dell elica). Poiché le due velocità v r e v t ono perpendicolari fra loro, l intenità della velocità aoluta v a vale: 2 2 a r t v = v + v [2.11] nella quale la velocità periferica v r del oto circolare è eprea in funzione della velocità angolare di rotazione ω ediante la relazione: v r = ω r [2.12] entre la velocità di tracinaento v t del oto rettilineo unifore è data da: v t = v r tg α [2.13] La velocità aoluta v a i può ricavare anche con la forula: va = ω p + 4 π r 2π [2.14] Eepio Su un pezzo cilindrico di diaetro d = 100, ontato fra le punte di un tornio, i vuole eeguire una traccia elicoidale. Sapendo che la velocità di rotazione del pezzo è di 60 giri/in e che la velocità di avanzaento dell utenile è di 0,01 /, calcolare il pao, l inclinazione dell elica e la velocità aoluta (velocità di taglio) dell utenile. Soluzione La velocità relativa del oto elicoidale (velocità periferica del oto circolare) è data dalla [2.12]: nd vr = r = π = π60 0, 1 ω = 0, Poiché la velocità di avanzaento dell utenile, o velocità di tracinaento v t, è in relazione alla velocità relativa ediante la [2.13]: v t = v r tg α da ea i ricava l inclinazione dell elica: vt 0, 01 tg α = = = 0, 031 v 0, 314 e il valore di α: α = arctg 0,031 = 1 50' Per la [2.9] il pao riulta eere: r p = (2 π r) tg α = 2 π 50 0,031 = 9,73 La velocità aoluta dell utenile, o velocità di taglio, è la velocità con cui il tagliente dell utenile decrive la traiettoria elicoidale. Ea i ottiene ediante la [2.11]: va = vr + vt = 0, , 01 0, 314 OSSERVAZIONE: eendo il valore di v t olto piccolo, il valore di v a riulta proio a quello di v r. Queto giutifica la celta di auere coe velocità di taglio la velocità periferica del pezzo in rotazione ul tornio (coincidente nell eepio con la velocità relativa v r ). POLIGLOTTA ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO Moto parabolico Parabolic otion Mouveent parabolique Parabelbewegung Moto elicoidale Helicoidal otion Mouveent hélicoïdal Schraubbewegung Gittata Range Portée Tragweite Elica Helix Hélice Schraube 108 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

23 B2.3 MOTO ARMONICO I vari oti finora eainati ono tati coniderati ad accelerazione cotante. In queto paragrafo i prendono in eae i oti periodici, le cui grandezze cineatiche (pazio, velocità e accelerazione), anche e variabili nel tepo, i ripetono identicaente a intervalli regolari di tepo per un nuero indeterinato di volte. In genere i oti alternativi delle acchine, operatrici e otrici, ono oti periodici; tra queti il più eplice è il oto ocillatorio aronico, o epliceente oto aronico: un punto i uove di oto aronico quando percorre, ripetutaente e alternativaente nei due veri, un tratto rettilineo e i uoi potaenti, ripetto a una poizione di riferiento, variano con legge inuoidale. Anche le altre due caratteritiche cineatiche, velocità e accelerazione, ono epree ediante funzioni inuoidali del tepo. Le equazioni del oto aronico poono eere ottenute coniderando la proiezione, lungo un ae diaetrale, di un punto dotato di oto circolare unifore, con velocità angolare ω che, nel oto aronico, è detta pulazione o frequenza angolare ( Fig. B2.14 ). Si riportano di eguito alcune definizioni relative al oto aronico del punto P' e le relazioni che le caratterizzano. Lo pazio percoro nel tepo t ull ae x ( Fig. B2.14 ). = r co ω t [2.15] in cui ω t = α è l angolo percoro dal punto P che i uove di oto circolare unifore, con velocità angolare ω, u una traiettoria circolare di raggio r. ' (a) (b) Fig. B2.14 a) Rappreentazione della relazione fra il oto circolare unifore di un punto P e il oto aronico della ua proiezione P' ull ae x. b) Diagraa degli pazi nel oto aronico: r = apiezza del oto aronico; a p-p = apiezza picco-picco del oto aronico; ω = pulazione del oto aronico; T = periodo. Coe i nota dalla [2.15] e dalla figura B2.14b, i valori dello pazio percoro dal punto P' ono coprei, al variare di ω t, fra il valore aio poitivo r e il valore aio negativo r e tornano a ripeteri per ω t = 2π, cioè a ogni intervallo di tepo uguale al periodo T. Il valore di r rappreenta l apiezza del oto, cioè il aio potaento, poitivo o negativo, realizzato dal punto obile P' ed è uguale alla età dell apiezza dell ocillazione copleta, o apiezza picco-picco, a p-p = 2 r (ditanza fra i due picchi della inuoide). Il periodo T, che è l intervallo di tepo per cui i valori del oto aronico tornano a ripeteri. Si tratta del tepo ipiegato dal punto P per copiere un giro copleto della traiettoria circolare, ovvero, il tepo ipiegato dal punto P' a percorrere due volte il tratto AB per tornare al punto di partenza (ocillazione copleta o ciclo), coe rappreentato nelle figure B2.14, B2.15, B2.16. T = 2π ω [2.16] Cineatica MODULO B 109

24 La frequenza f, che è il reciproco del periodo, rappreenta il nuero di ocillazioni coplete copiute in un econdo; ea corriponde al nuero di ocillazioni coplete decritte dal punto P' nell unità di tepo, a anche al nuero di giri decritti dal punto P nell unità di tepo. La ua unità di iura nel SI è l hertz [Hz], pari a un ocillazione al econdo: f 1 = = T ω 2π [2.17] La velocità itantanea v nella direzione dell ae x ( Fig. B2.15a ) vale: v = ω r en ω t [2.18] L accelerazione itantanea a nella direzione dell ae x, data dalla coponente orizzontale dell accelerazione centripeta a cp ( Fig. B2.16a ) è eprea dalla eguente forula: a = ω 2 r co ω t [2.19] ' (a) (b) Fig. B2.15 a) Rappreentazione della relazione fra la velocità del oto circolare e quella del oto aronico: v 0 = velocità periferica del oto circolare del punto P; v = velocità del oto aronico del punto P'. b) Diagraa della velocità nel oto aronico. ' (a) (b) Fig. B2.16 a) Rappreentazione della relazione dell accelerazione centripeta del oto circolare unifore e del oto aronico: a cp = accelerazione centripeta del punto P in oto circolare; a = accelerazione del oto aronico del punto P'. b) Diagraa dell accelerazione nel oto aronico. OSSERVAZIONE: il egno di ottrazione nella [2.18] e nella [2.19] tiene conto del fatto che il vero della velocità v e dell accelerazione a è oppoto a quello aunto coe poitivo per gli potaenti. Eepio Un corpo opeo a una olla ocilla verticalente fra la poizione A, ditante h A = 1 dal uolo, e la poizione B, ditante h B = 1,5 dal 110 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

25 uolo ( Fig. B2.17 ). Sapendo che il corpo opeo raggiunge 25 volte la poizione B in un tepo t = 10, deterinare la frequenza dell ocillazione f, la frequenza angolare ω (pulazione), la velocità aia v ax e l accelerazione aia a ax del corpo. Soluzione Se il corpo raggiunge 25 volte in 10 una delle poizioni etree, la durata di quete ocillazioni, cioè il periodo, è: 10 T = = 25 0,4 quindi, per la [2.17] la frequenza vale: f 1 = = 2,5 Hz T La frequenza angolare, epre per la [2.17], riulta eere la eguente: rad ω = 2π f = 2π 25, = 157, Poiché la ditanza fra le due poizioni raggiunte dal corpo è AB = 0,5, e quindi l apiezza di ocillazione è r = 0,25, la velocità aia del corpo riulta: vax = ω r = 15, 7 0, 25 = 3, 93 Fig. B2.17 Corpo, opeo a una olla che ocilla fra due poizioni ditanti fra loro 0,5. entre l accelerazione aia vale: aax = ω2 r = =,, 61, 62 2 POLIGLOTTA ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO Moto periodico Periodic otion Mouveent périodique Periodiche Bewegung Moto aronico Haronic otion Mouveent haronique Haroniche Bewegung Apiezza Aplitude Aplitude Aplitüde Periodo Period Périod Periode Pulazione Pulation Pulation Pulation Frequenza Frequency Fréquence Frequenz B2.4 MOTO DEI CORPI RIGIDI Si definice corpo rigido un itea di punti collegati fra loro, le cui ditanze reciproche ono invariabili. Durante il oto i punti di tale itea decrivono traiettorie divere, pertanto il oto del corpo rigido non può più eere tudiato ediante le leggi del oto del punto. Si parla, in queto cao, di Cineatica del corpo rigido, per di- Cineatica MODULO B 111

26 tinguere lo tudio del oto dei corpi da quello del punto. In generale, un corpo rigido che i uove nello pazio è oggetto a un oto copleo che può eere individuato conocendo le traiettorie decritte da aleno tre uoi punti non allineati ( Fig. B2.18 ). Tali punti cotituicono il coiddetto triangolo di riferiento, il cui oviento rappreenta quello dell intero corpo. Lo tudio del oto di un corpo rigido nello pazio è copleo, entre riulta intereante, per le applicazioni tecniche, il oto del corpo rigido che i uove parallelaente a un piano fio, coe il oto dei punti di una puleggia, quello dello telo di un pitone o quello di una biella. In queto cao i parla di oto piano del corpo rigido poiché tutti i uoi punti decrivono traiettorie ituate u piani paralleli a un piano fio di riferiento ( Fig. B2.19). ' ' ' ' ' Fig. B2.18 Moto di un corpo rigido nello pazio: nella rappreentazione di un cubo che i uove nello pazio cabiando poizione è poibile individuare la traiettoria di un punto qualiai del corpo e ono note le traiettorie di tre uoi punti non allineati, per eepio, A, B e C. Fig. B2.19 Moto di un corpo rigido nel piano: il corpo i uove antenendo la ua bae parallela al piano fio di riferiento x-y; è poibile individuare la traiettoria di un punto generico del corpo e ono note le traiettorie di due uoi punti qualiai, per eepio, A e B. Per ricavare le leggi del oto bata deterinare le traiettorie di due punti qualiai del corpo, per eepio A e B, della figura piana ottenuta interecando il cubo con un piano α qualiai parallelo al piano di riferiento. Tali punti cotituicono il egento di riferiento avente lo teo oto dell intero corpo. Per eplicità, lo tudio della Cineatica del corpo rigido arà liitato a queto econdo cao, cioè aranno coniderati olo i oti piani. POLIGLOTTA ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO Triangolo di riferiento Datu triangle Triangle de référence Bezugdreieck B2.5 MOTO DEL CORPO RIGIDO PARALLELAMENTE A UN PIANO FISSO Secondo quanto accennato nel paragrafo precedente, lo tudio del oto di un corpo rigido, che i uove parallelaente a un piano, può eere ridotto a quello di due uoi punti, oia allo tudio del oto del egento di riferiento. Centro di itantanea rotazione Si conideri, per eepio, la biella AB del anovellio di pinta rotativa rappreentato nella figura B2.20a: eo è cotituito dalla biella AB di lunghezza l e dalla anovella OB di lunghezza r. I punti A e B ono detti, ripettivaente, piede di biella e bottone di anovella, il punto O rappreenta il perno di banco. Per tabilire la ua poizione nel piano, i fiano due uoi punti, per eepio A e B; in queto odo il oto della biella viene deterinato una volta definita la legge del oto dei due punti: il punto B percorre, con oto unifore, una traiettoria 112 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

27 (a) ' ' (c) (b) Fig. B2.20 a) Rappreentazione cheatica del anovellio di pinta rotativa. b) Cotruzione del centro d itantanea rotazione P della biella AB. c) Spaccato di un cilindro di un otore a cobutione interna in cui i oervano il pitone (1), la biella (2) e la anovella (3). circolare di centro O e raggio r, entre il punto A i uove con oto rettilineo alternativo lungo un egento della retta x paante per O e per A. Si upponga che la biella dopo un intervallo di tepo breviio pai dalla poizione AB alla poizione A'B' ( Fig. B2.20b ); poiché l intervallo di tepo coniderato è olto piccolo, le traiettorie BB' e AA' poono eere coniderate entrabe egenti di retta, i cui ai, condotti dai punti di ezzo M e N, i interecano nel punto P. R Il anovellio di pinta rotativa, o eccanio biella-anovella ( Fig. B2.20), converte il oto rettilineo alternativo del pitone in oto rotatorio continuo o vicevera. È cotituito da due ate rigide, la biella e la anovella, collegate fra loro da cerniere, ed è utilizzato in acchine otrici e operatrici che hanno organi dotati di oto alternativo, coe i otori endoterici, le pope e i copreori alternativi. Con eplici coniderazioni geoetriche i può diotrare che i due triangoli ABP e A'B'P ono uguali; ciò vuol dire che, nell intervallo di tepo coniderato, il triangolo ABP (quindi anche il lato AB rappreentante la biella) ruota attorno al uo vertice P: tale punto è detto centro di itantanea rotazione. Si definice centro di itantanea rotazione il punto attorno al quale, a ogni itante, ruota un corpo rigido che i uove parallelaente a un piano fio. Eo è deterinato dall interezione delle perpendicolari alle traiettorie di due punti del corpo teo nell itante coniderato. Si noti che per intervalli di tepo breviii, le poizioni AB e A'B' ono olto vicine e i egenti AA' e BB' tendono a confonderi con le traiettorie dei punti A e B. Il centro di itantanea rotazione, pertanto, può eere ricavato ia coe interezione degli ai NP e MP dei egenti BB' e AA' ia coe interezione delle perpendicolari alle traiettorie condotte dalle poizioni dei punti A e B in un dato itante. Cineatica MODULO B 113

28 Ripetendo la cotruzione del centro di itantanea rotazione per diveri intervalli di tepo, cui corripondono ulteriori potaenti, i nota che a ogni potaento del egento di riferiento corriponde un nuovo centro di itantanea rotazione; pertanto i può afferare che il oto continuo di un corpo rigido parallelaente a un piano fio è riconducibile a una erie di rotazioni attorno a ucceivi centri di rotazione. Dopo aver deterinato in ogni itante il centro di itantanea rotazione è poibile ricavare la traiettoria e la velocità di ogni punto del corpo rigido in oto. Prendendo a riferiento epre la biella AB ( Fig. B2.21 ), il centro di itantanea rotazione P, in un certo itante, è dato dall interezione delle perpendicolari n A e n B con le traiettorie di due punti qualiai, per eepio A e B, della biella. OSSERVAZIONE: e il oto piano di un corpo rigido è puraente tralatorio, il centro di itantanea rotazione i trova all infinito e il oto può eere tudiato applicando le leggi della Cineatica del punto; e il oto è puraente rotatorio, tutti i punti del corpo decrivono traiettorie circolari concentriche il cui centro, coune a tutte, è il centro di itantanea rotazione. Un applicazione olto iportante del centro di itantanea rotazione conite nel ricavare la velocità di tralazione di un etreo del egento di riferiento, conocendo la velocità di tralazione dell altro. Velocità e traiettoria di un corpo rigido che i uove nel piano Poiché il oto di un corpo rigido è riconducibile, in ogni itante, a una piccola rotazione attorno al centro di itantanea rotazione, valgono le tee valutazioni fatte ul oto rotatorio, cioè: le traiettorie dei punti del corpo rigido ono perpendicolari ai egenti che unicono i punti tei al centro di itantanea rotazione; tutti i punti ruotano attorno al centro di itantanea rotazione con la tea velocità angolare itantanea ω i ; le velocità periferiche o tangenziali v dei punti del corpo rigido ono proporzionali alla loro ditanza d dal centro di itantanea rotazione econdo la eguente relazione: v = ω i d [2.20] L ae di un egento è la perpendicolare R al egento teo, condotta dal uo punto edio. Fig. B2.21 Rappreentazione grafica delle direzioni e dei veri delle traiettorie di tre punti qualiai A, B e C della biella del anovellio di pinta rotativa. Il punto A i uove con velocità lungo la retta x, entre il punto B, che percorre con velocità angolare ω la circonferenza di raggio OB e centro O, ha una velocità periferica v B ; di coneguenza, fiato il vero di rotazione della anovella OB, riultano fiati anche i veri degli potaenti dei punti A e B. Allo teo odo, è poibile calcolare la direzione della traiettoria di un altro punto C qualiai della biella, unendolo con il centro di itantanea rotazione P; la perpendicolare alla congiungente CP condotta da C rappreenta la traiettoria cercata, il cui vero deve eere congruente con quelli di A e B, poiché appartengono allo teo corpo rigido. Per quanto riguarda le velocità periferiche dei punti A e B, in bae alle precedenti coniderazioni e alla [2.20] i ha: e: v A = ω i AP v B = ω i BP Se i conidera un altro punto qualiai, per eepio C, i avrà: v C = ω i CP 114 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

29 Dalle relazioni critte i deduce che le velocità dei vari punti della biella ono proporzionali alla loro ditanza dal centro di itantanea rotazione, pertanto, nota la velocità di un punto è poibile deterinare quella di un qualiai altro punto. Per eepio, nota la velocità v B del punto B, attravero la [2.20] è poibile calcolare la velocità v A del punto A: v A = v B AP BP [2.21] Eepio Dato il eccanio biella-anovella rappreentato nella figura B2.22, relativaente alla poizione angolare α = 40 della anovella, deterinare in odo analitico il valore della velocità angolare itantanea ω i della biella AB e la velocità itantanea di tralazione v A del piede di biella A. Il eccanio ha le eguenti caratteritiche: la lunghezza della biella AB iura l = 203 ; la lunghezza della anovella OB (raggio di anovella) è r = 76 ; la frequenza di rotazione della anovella è n = 2000 giri/in. (a) (b) Fig. B2.22 a) Rappreentazione cheatica del eccanio biella-anovella, con la anovella in una poizione angolare generica individuata dall angolo α: AB = biella; OB = anovella; α = angolo che la anovella fora con la direzione OA; β = angolo che la biella fora con la direzione OA. b) Studio cineatico del eccanio biella-anovella per deterinare la velocità del piede di biella: P = centro di itantanea rotazione; α = 40 ; δ = (90 α). Soluzione La anovella OB ruota attorno al punto O con la frequenza di rotazione di 2000 giri/in. Epriendo la velocità angolare in rad/, i ottiene la eguente relazione: 2π n 2π2000 rad ω = = = Si ricava la velocità periferica v B del bottone di anovella B: vb = ω r = 209 0, 076 = 15, 88 Applicando il teorea dei eni al triangolo OBA ( Fig. B2.22a ) è poibile calcolare l angolo β forato dalla biella con la direzione orizzontale OA, pertanto i ha: otituendo i valori dati i ottiene: e: en α en β = l r en 40 en β = 76 = , β = arcen 24 = 13, 9 [2.22] Interecando le rette perpendicolari con le traiettorie dei punti A e B della biella ( Fig. B2.22b ) i individua il centro di itantanea rotazione P. Per il teorea dei eni applicato al triangolo BPA, è poibile deterinare i valori dei Cineatica MODULO B 115

30 egenti BP e AP ediante la relazione: in cui: γ = 90 β = 90 13,9 = 76,1 pertanto, i ottiene: e: BP AP = en γ en α + β en δ (α + β) = ,9 = 53,9 δ = 90 α = = 50 Per la [2.20] i può crivere: in cui ω i indica la velocità angolare itantanea di B attorno al centro di itantanea rotazione. Sotituendo i valori noti i ricava: ω i ( ) = l l BP = = en en 76, = 0, 970 = 257, 1 0, 766 l AP = = en en 53, = 0, 807 = 213, 9 0, 766 v B = BPω i vb 15, 88 rad = = = BP ,, 8 Infine, epre per la [2.20], i ricava il valore della velocità itantanea di tralazione v A del piede di biella A: v A = APω i = 0, , 8 = 13, 22 Poiché le velocità v A e v B ono direttaente proporzionali alle loro ditanze dal centro di itantanea rotazione P, la velocità v A del piede di biella poteva eere calcolato anche ediante la [2.21]: v A OSSERVAZIONE: per olte poizioni della biella può non eere facile deterinare la iura dei egenti AP e BP, poiché il centro di itantanea rotazione P tende all infinito. Con ulteriori coniderazioni geoetriche, i può ricavare una epreione della velocità v A del piede di biella dipendente olo dalle grandezze che caratterizzano il eccanio biella-anovella. L epreione della velocità del piede di biella diventa: [2.23] Dove β i può ricavare ediante la [2.22]; con i dati dell eepio i ha: ( ) = v = en α+ β ωr A co β ( , 9 3 = en ) = 13, 22 co 13, 9 AP = vb = ,, 2139 = 13, 22 BP 0, 2571 ( ) v = en α+ β ωr A co β POLIGLOTTA ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO Centro di itantanea rotazione Rolling point, wing point Centre de rotation Lenkdrehpunkt 116 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

31 UNITÀ B2 STUDIO DI UN CASO Un auto viaggia in autotrada alla velocità v = 120 k/h ( Fig. B2.23 ). Calcolare il tepo che ipiega per uperare un autobu lungo 14, che procede alla velocità v t = 100 k/h, e inizia il orpao quando i trova a 40 da eo e rientra nella coria di arcia dopo averlo opravanzato di 30. Deterinare, inoltre, lo pazio percoro durante il orpao. Sapendo che il diaetro delle ue ruote iura d = 600, calcolare la velocità di tralazione v O del centro O di ogni ruota, il nuero di giri n delle ruote e la velocità itantanea di tralazione dei punti A, B e C, poti ulla circonferenza eterna della ruota, coe i può oervare dallo chea rappreentato nella figura B2.23b. (a) (b) Fig. B2.23 a) Auto in oviento. b) Rappreentazione della ruota dell auto in un generico itante: P = centro di itantanea rotazione; ω = velocità angolare della ruota; ω i = velocità angolare itantanea attorno al centro di itantanea rotazione di tutti i punti della ruota; v O = velocità di tralazione del centro della ruota; v A, v B, v C = velocità itantanea di tralazione dei punti A, B e C poti ulla circonferenza eterna della ruota; v p = velocità periferica del generico punto C. Analii Il prio queito affronta lo tudio dei oti copoti. Per deterinare la velocità relativa v r dell auto ripetto all autobu, i conideri il uo oto aoluto ripetto alla trada con velocità v a = v e quello dell autobu coe oto di tracinaento con velocità v t. Per riolvere i queiti della econda parte del problea, i tenga preente che il oto di ciacuna ruota dell auto rappreenta il oto piano di un corpo rigido; pertanto, a ogni itante, il uo potaento può eere coniderato coe una piccoliia rotazione attorno a P, centro di itantanea rotazione. La velocità itantanea di ciacun punto ulla circonferenza eterna della ruota è direttaente proporzionale alla loro ditanza dal centro di itantanea rotazione. La velocità v dell auto è uguale alla velocità di tralazione v O del centro della ruota e alla velocità periferica v p della tea ruota. La velocità angolare ω della ruota attorno al centro O ha lo teo valore della ua velocità angolare itantanea ω i attorno al centro di itantanea rotazione. Procedura conigliata Per riolvere il problea occorre: 1. riferiri al paragrafo B2.1 per acquiire i concetti di oto relativo, oto di tracinaento, oto aoluto e le ripettive caratteritiche del oto; 2. riferiri al paragrafo B2.2, relativo alla copoizione di due oti rettilinei unifori, per deterinare la velocità relativa dell auto ( For. 2.1); 3. riferiri al paragrafo B1.2, relativo al oto rettilineo unifore, per calcolare il tepo e lo pazio richieti; 4. riferiri al paragrafo B1.7, relativo al oto circolare unifore, per deterinare la velocità angolare ω e il nuero di giri n della ruota; 5. riferiri al paragrafo B2.5 per acquiire i concetti relativi al centro di itantanea rotazione, alla traiettoria e alla velocità itantanea dei punti di un corpo rigido in oto piano; 6. calcolare la velocità itantanea dei punti A, B e C poti ulla circonferenza eterna della ruota ediante la [2.20]. Cineatica MODULO B 117

32 Soluzione Si convertono le velocità in etri al econdo: k 120 v= va = 120 = = 33, 33 h 36, v t Si calcola la velocità relativa v r con la [2.1]: vr = va vt = 33, 33 27, 78 = 5, 55 Si deterina lo pazio relativo r neceario per il orpao: e il tepo t occorrente: Lo pazio aoluto a percoro durante il orpao vale: a k 100 = 100 = = h 36, = vt= 33, 33 27, 78 = 504, 15 a r = = 84 r 84 t = = = 15, 13 v 5, 55 r 27, 78 Secondo queito Il punto P rappreenta il centro di itantanea rotazione. La velocità v a dell auto coincide con la velocità periferica della ruota e con la velocità di tralazione v O del centro della ruota. Si ha pertanto: k v = v = v= 120 = 33, 33 O p h Nota la velocità periferica della ruota e il uo raggio, i può deterinare la velocità angolare ω: Dalla relazione: π ω = 2 n 60 i ricava il nuero di giri n delle ruote: La velocità itantanea di tralazione dei punti A, B e C della ruota può eere deterinata oltiplicando la velocità angolare itantanea di rotazione ω i per la ditanza del punto coniderato dal centro di itantanea rotazione P. Poiché la velocità angolare itantanea di rotazione ω i attorno al punto P è uguale alla velocità angolare ω della ruota tea, i ottiene: v = ω BP co 35 = ω dco 35 = A i i 3 = 111, , 819 = 54, 61 v 60ω , 11 n = = = 1060, 93 2π 2π B = ω d = 111, = 66, 67 i v C = 111, 11 = ω i OSSERVAZIONE: le velocità itantanee appena calcolate, coe la velocità itantanea di ogni punto ulla circonferenza eterna della ruota, poono anche eere calcolate coe oa vettoriale della ripettiva velocità periferica con quella di tralazione del centro della ruota d d + = , , = 47, giri in vp 33, 33 ω = = = 111, 11 r 300 rad 118 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

33 UNITÀ B2 FORMULARIO ESSENZIALE Velocità aoluta di un corpo oggetto a due oti rettilinei unifori, le cui traiettorie forano un angolo α a r t r t v = v + v + 2vvco α Velocità aoluta di un corpo oggetto a un oto rettilineo unifore, la cui traiettoria fora un angolo α con l orizzontale, e a un oto naturalente ritardato verticale (oto dei proiettili) Gittata G, altezza aia h e tepo di volo t nel oto dei proiettili a x y x v v v v gt = + = +( ) v 0x = coponente orizzontale della velocità del oto rettilineo unifore [/] v 0y g t = velocità del oto naturalente ritardato verticale [/] g = accelerazione di gravità [/ 2 ] G v g = 0 2 en 2α h v en α 2 g = Velocità aoluta di un corpo oggetto a due oti rettilinei unifori, le cui traiettorie forano un angolo α = a r t v = v + v v t = 2 en α 0 g t = tepo [] g = accelerazione di gravità [/ 2 ] v 0 = velocità iniziale del proiettile [/] α = angolo di tiro Velocità aoluta di un corpo oggetto a un oto rettilineo unifore orizzontale e a un oto naturalente accelerato verticale a x y x v v v v gt = + = +( ) v x = velocità del oto rettilineo unifore orizzontale [/] v y = g t = velocità del oto naturalente accelerato verticale [/] g = accelerazione di gravità [/ 2 ] t = tepo [] Velocità aoluta di un corpo oggetto a un oto circolare unifore e a un oto rettilineo unifore parallelo all ae di rotazione (oto elicoidale) Pao dell elica p ω va = p + 4 π r 2π ω = velocità angolare di rotazione [rad/] r = raggio della traiettoria circolare [] p = pao dell elica [] p = (2 π r) tg α Cineatica MODULO B 119

34 Equazione degli pazi del oto aronico = r co ω t Equazione dell accelerazione del oto aronico a = ω 2 r co ω t α = ω t = pazio [] ω = pulazione [rad/] r = apiezza del oto [] t = tepo [] ω = pulazione [rad/] r = apiezza del oto [] a = accelerazione del oto aronico [/ 2 ] Periodo e frequenza Equazione della velocità del oto aronico 2π T = ω T = 2 π a 1 ω f = = T 2π T = periodo [] f = frequenza [Hz] = pazio [] a = accelerazione [/ 2 ] α = ωt v= ωrenωt v = velocità del oto aronico [/] ω = pulazione [rad/] r = apiezza del oto [] Velocità itantanea di tralazione di un punto di un corpo rigido Deterinazione grafica del centro di itantanea rotazione per una poizione generica di un corpo rigido rappreentato, in queto eepio, dalla biella del anovellio di pinta rotativa Relazione fra le velocità itantanee di tralazione di due punti qualiai A e B della biella del anovellio di pinta rotativa v = ω i d v = velocità itantanea di tralazione di ciacun punto di un corpo rigido [/]; ω i = velocità angolare itantanea dei punti di un corpo rigido attorno al centro di itantanea rotazione [rad/]; d = ditanza di ciacun punto del corpo rigido dal centro di itantanea rotazione [/] Il centro di itantanea rotazione P, in un deterinato itante, è dato dall interezione delle perpendicolari n A e n B con le traiettorie di due punti qualiai, per eepio, A e B della biella v A AP = vb BP AP = ditanza del punto A dal centro di itantanea rotazione BP = ditanza del punto B dal centro di itantanea rotazione 120 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

35 UNITÀ B2 UNITÀ IN BREVE Moti relativi e oti aoluti Se le caratteritiche del oto di un corpo (traiettoria, velocità e accelerazione) vengono riferite a un itea di riferiento fio, ono dette aolute e anche il oto è definito aoluto o reale; e invece ono riferite a un itea di riferiento obile, le caratteritiche del oto e il oto teo ono detti relativi. Il oto del itea di riferiento obile, ripetto al itea di riferiento fio, prende il noe di oto di tracinaento e la ua velocità è detta, appunto, velocità di tracinaento. Un corpo oggetto conteporaneaente a due o più ovienti, econdo il principio dell indipendente coeitenza dei ovienti, i trova in ogni itante nella poizione che occuperebbe e ciacuno dei ovienti avvenie eparataente e ucceivaente per la tea durata di tepo. Mediante il uddetto principio e le regole della oa vettoriale, i può effettuare la copoizione di due o più ovienti. Copoizione di due oti rettilinei unifori Queto è il cao in cui un corpo è oggetto all azione conteporanea di due oti rettilinei e unifori, le cui traiettorie coincidono con le ripettive velocità. Si poono preentare i eguenti cai: e le direzioni dei vettori velocità, v r e v t, dei oti coponenti forano un angolo α 90, allora la velocità aoluta del oto riultante i ricava, analiticaente, ediante il teorea di Carnot; e le direzioni delle velocità dei due oti coponenti ono perpendicolari fra loro (α = 90 ), la velocità aoluta del oto riultante è data dal teorea di Pitagora; e le direzioni delle velocità dei due oti coponenti hanno lo teo vero e la tea direzione (α = 0 ), l intenità della velocità aoluta è uguale alla oa aritetica delle intenità delle velocità v r e v t ; al contrario, e hanno tea direzione e vero oppoto (cioè α = 180 ), l intenità della velocità aoluta è uguale alla differenza delle intenità di v r e di v t. Moto parabolico È il oto che i ottiene dalla copoizione di un oto rettilineo unifore orizzontale e un oto rettilineo verticale uniforeente accelerato; la ua traiettoria è una parabola. Moto elicoidale È il oto originato dalla copoizione di un oto circolare unifore e di un oto rettilineo unifore. La traiettoria i evolve lungo una uperficie cilindrica e prende il noe di elica cilindrica o elicoide. Moto aronico Si definicono oti periodici quei oti le cui grandezze cineatiche, anche e variabili nel tepo, i ripetono a intervalli regolari per un nuero indeterinato di volte. Il più eplice di queti è il oto aronico, le cui leggi ono di tipo inuoidale. Nel oto aronico il periodo T è l intervallo di tepo per cui i valori del oto tornano a ripeteri. L invero del periodo è detto frequenza f e rappreenta il nuero di ocillazioni coplete copiute in un econdo. Moto del corpo rigido parallelaente a un piano fio Nel capo della Meccanica applicata riulta intereante, dal punto di vita delle applicazioni tecniche, il oto del corpo rigido che i uove parallelaente a un piano fio. Per ricavare le leggi di tale oto bata deterinare le traiettorie di due punti qualiai del corpo; tali punti cotituicono il egento di riferiento, avente lo teo oto dell intero corpo. Liitando la trattazione al cao del oto piano, i può ritenere che il oviento del egento di riferiento conita in una erie di piccole rotazioni attorno a dei punti detti centri di itantanea rotazione. Cineatica MODULO B 121

36 UNITÀ B2 AUTOVERIFICA DELL APPRENDIMENTO 1. Dati due corpi in oviento, note la velocità aoluta v a di uno dei due e la velocità di tracinaento v t dell altro, epriere la velocità relativa v r di un corpo ripetto all altro. v r = 2. Il oto di un corpo che i uove ripetto a due itei di riferiento, uno obile e l altro fio, ripetto al itea obile è un oto ; ripetto al itea fio è un oto 3. Si conideri un corpo oggetto all azione conteporanea di due oti rettilinei unifori e i upponga che le direzioni delle velocità (relativa e di tracinaento) dei due oti forino un angolo divero da 90 ; in tal cao la velocità aoluta del oto riultante i ottiene analiticaente applicando il teorea di Carnot. Vero Falo 4. Scrivere la relazione con cui i ricava la velocità aoluta di un corpo oggetto all azione conteporanea di due oti, le cui velocità iano perpendicolari fra loro. v a = 5. Il oto parabolico i ottiene dalla copoizione di: a) un oto rettilineo unifore orizzontale con un oto rettilineo unifore verticale b) un oto rettilineo unifore orizzontale con un oto naturalente accelerato verticale c) un oto uniforeente accelerato orizzontale con un oto rettilineo unifore verticale d) un oto uniforeente accelerato orizzontale con un oto naturalente accelerato verticale 6. Scrivere la relazione con cui i deterina la velocità aoluta nel cao di un oto parabolico. v a = 8. Nel oto aronico il periodo dell ocillazione è: a) il tepo ipiegato dal punto obile a copiere un ocillazione copleta b) il tepo ipiegato dal punto obile a percorrere età ocillazione copleta c) il nuero di ocillazioni coplete copiute in un econdo d) l apiezza dell ocillazione 9. La frequenza corriponde al nuero di periodi nell unità di tepo. Vero Falo 10. L unità di iura della frequenza è: a) b) rad/ c) cicli/ d) Hz 11. Nel oto circolare unifore la velocità periferica di un punto obile è inveraente proporzionale alla ua ditanza dal centro di rotazione. Vero Falo 12. Un corpo rigido che i uove nello pazio oggetto a un oto copleo i può individuare conocendo le traiettorie decritte da aleno tre uoi punti non allineati. Vero Falo 13. Per ricavare le leggi del oto di un corpo rigido che i uove parallelaente a un piano fio bata deterinare le traiettorie di: a) un punto qualiai del corpo b) due punti qualiai del corpo c) tre punti allineati del corpo d) quattro punti non allineati del corpo 14. Spiegare il odo con cui i deterina il centro di itantanea rotazione. 7. Il oto elicoidale i ottiene dalla copoizione di un oto con un oto ; inoltre dà origine a una traiettoria che prende il noe di e giace 122 CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI B2

37 15. Il oto continuo di un corpo rigido parallelaente a un piano fio è riconducibile a una erie di rotazioni attorno a ucceivi centri di rotazione. Vero Falo 16. Le velocità periferiche v dei punti di un corpo rigido che i uove nel piano ono proporzionali alla loro ditanza dal econdo la relazione v = 17. Indicare quali delle eguenti afferazioni ono eatte: a) le traiettorie dei punti di un corpo rigido ono perpendicolari al egento che unice i punti tei al centro di itantanea rotazione b) le velocità periferiche o tangenziali dei punti di un corpo rigido ono proporzionali alla loro ditanza dal centro di itantanea rotazione c) le velocità periferiche o tangenziali dei punti di un corpo rigido ono inveraente proporzionali alla loro ditanza dal centro di itantanea rotazione d) tutti i punti ruotano attorno al centro di itantanea rotazione con la tea velocità angolare itantanea ω i 18. Un battello percorre un lago alla velocità di 6 /; ul ponte un paeggero caina, nello teo vero del battello, con velocità cotante di 0,8 /. Deterinare la velocità aoluta v a del paeggero ripetto alla riva del lago e lo pazio percoro in 25 : a) v a = 6,8 / = 170 b) v a = 6,8 / = 225 c) v a = 8,6 / = 225 d) v a = 8,6 / = La torretta di un tornio i pota con oto unifore, alla velocità di 0,5 /, in direzione perpendicolare all ae del andrino e, conteporaneaente, viene fatta tralare dal carrello in direzione parallela all ae del andrino, con velocità cotante di 2,5 / ( Fig. B2.24). Deterinare la velocità aoluta v a dell utenile poto ulla torretta e lo pazio percoro dall utenile in 30. a) v a = 3,25 / = 95,6 b) v a = 3,25 / = 76,5 c) v a = 2,55 / = 76,5 d) v a = 2,55 / = 95,6 Fig. B2.24 Rappreentazione cheatica dei carrelli portatorretta di un tornio. 20. Una fera rotola, con velocità v t cotante, lungo un piano orizzontale poto alla ditanza y = 4 dal uolo ( Fig. B2.25). Giunta allo pigolo del piano, la fera cade e tocca il uolo a una ditanza x = 4 dallo pigolo del piano. Deterinare la velocità di tracinaento v t della fera e la ua velocità aoluta di arrivo al uolo: a) v t = 6,55 / v a = 23,74 / b) v t = 4,44 / v a = 9,88 / c) v t = 4,44 / v a = 23,74 / d) v t = 6,55 / v a = 9,88 / Fig. B2.25 Rappreentazione del oto riultante di una fera che pria rotola u un piano orizzontale con oto rettilineo unifore e dopo cade con oto naturalente accelerato. Cineatica MODULO B 123

38 MODULO B VERIFICA DI MODULO 1. Il gancio di una gru obile deve ollevari di 24, con una velocità relativa v r = 1 / ( Fig. B.1). Conteporaneaente la gru i pota ulla onorotaia a una velocità di tracinaento v t = 0,6 /, per portari nel punto A a fine anovra. Deterinare la velocità aoluta v a del gancio, il tepo di alita t del gancio e la ditanza fra l inizio e la fine della cora. Fig. B.1 Rappreentazione del oto aoluto del gancio di ollevaento di una gru obile. 2. Si deve eeguire al tornio una filettatura u un pezzo cilindrico di diaetro d = 24 ( Fig. B.2). Il pao della filettatura è p = 1,5 e il nuero di giri del pezzo è n = 50 giri/in, calcolare la velocità di taglio v a dell utenile e il tepo neceario per eeguire una paata di filettatura. Fig. B.2 Filettatura eterna di un pezzo cilindrico eeguita al tornio: v t = velocità di taglio; n = nuero di giri del andrino. 124 Cineatica MODULO B