Strumenti per la Misura di Grandezze Elettriche

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1 Introduzione Strumenti per la Misura di Grandezze Elettriche Gli strumenti elettromeccanici possono essere schematicamente rappresentati da un organo mobile sul quale agisce una coppia motrice C m, la quale comporta una rotazione di un angolo δ dello stesso, ed alla quale si oppone una coppia antagonista C a, sino al raggiungimento di una condizione di equilibrio tra le due coppie. Detta x la grandezza elettrica che ha determinato lo spostamento angolare dell'organo mobile e δ lo spostamento angolare corrispondente, la condizione di equilibrio è C (x) = C (δ) Volendo tener conto degli attriti, l'equazione fondamentale l'equilibrio degli strumenti elettromeccanici deve scriversi C (x) = C (δ) ± C dove C r è la coppia resistente dovuta agli attriti, la quale dipende dalla più o meno buona realizzazione costruttiva dei perni sui quali è montato l'equipaggio, mobile. Tale coppia resistente cresce al crescere del peso dell'equipaggio mobile e può, per ogni strumento, ritenersi costante. Il doppio segno tiene conto del fatto che la coppia di attrito non ha un segno proprio ma si oppone sempre al movimento. Tramite la condizione di equilibrio si ha un legame tra la grandezza x, in ingresso, e la conseguente deviazione δ dell'organo mobile. Collegando all'organo mobile un indice, si ha l'indicazione corrispondente all'entità della grandezza da misurare. Gli strumenti si classificano in base alla relazione che lega C m con x. A seconda del tipo di interazione che fa nascere la coppia motrice si ottengono diverse famiglie di strumenti, ognuna con il suo campo di applicazione ed in particolare, interazioni tra correnti (strumenti elettrodinamici), interazioni tra una corrente ed un campo magnetico (strumenti magnetoelettrici o a bobina mobile ed elettromagnetici o a ferro mobile), interazioni tra conduttori carichi (strumenti elettrostatici) ed interazioni tra correnti indotte su di un materiale conduttore (strumenti ad induzione). Gli strumenti magnetoelettrici sono utilizzabili solo per misure in corrente continua, gli strumenti elettromagnetici, elettrodinamici ed elettrostatici possono essere utilizzati sia in continua sia in alternata, mentre gli strumenti ad induzione funzionano solo in corrente alternata. In generale, per valutare la coppia motrice si può far ricorso ad un metodo di carattere energetico, il quale viene quasi sempre preferito, non essendo l'unico, per la sua rapidità. Nel caso di circuiti elettrici nei quali sia immagazzinata energia magnetica, la coppia motrice agente su ogni circuito può calcolarsi valutando la variazione di energia magnetica relativa ad una variazione elementare dello spostamento angolare δ C = dε dδ 1

2 Gli strumenti per la misura di una tensione e di una corrente elettrica sono chiamati, rispettivamente, voltmetri ed amperometri. Un amperometro deve sempre essere inserito in serie al circuito del quale si vuole misurare l intensità di corrente. Esso deve perciò avere la minima resistenza R possibile, sia per rendere minima la caduta di tensione provocata dall apparecchio - affinché la sua inserzione alteri il meno possibile le condizioni del circuito sia per rendere minima la potenza in esso dissipata. Dualmente, per le stesse due ragioni, un voltmetro, che deve essere messo in derivazione tra i due punti del circuito di cui si vuole misurare la differenza di potenziale, deve avere una resistenza interna quanto più grande possibile. Strumenti Magnetoelettrici In questo tipo di strumenti, la coppia motrice è proporzionale alla grandezza elettrica in ingresso C = k x Essi sono quindi detti "equipaggi ad azione proporzionale" caratterizzati da scala uniforme. Questi strumenti sono chiamati comunemente "a bobina mobile" e sono basati sull'azione motrice esercitata dal campo di un magnete permanente (parte attiva) su una bobina percorsa da una corrente continua. Secondo la disposizione più comune, uno strumento di tale tipo è essenzialmente costituito da una bobinetta, di solito rettangolare e con un numero n di spire, portata da un asse a perni ruotanti, come illustrato in Fig. 1. In genere, per ridurre il valore della coppia resistente, i perni cilindrici, in alluminio, hanno la punta riportata in acciaio indurito a forma conica e sono levigati a sfera nella parte terminale. Due molle a spirale servono a portare la corrente alla bobina mobile ed a fornire la coppia antagonista individuando la posizione normale di riposo dell'indice. I lati della bobina paralleli all'asse, lati attivi, si trovano nei traferri esistenti fra le espansioni polari, N e S, di un magnete ed un nucleo, o toro centrale, di ferro dolce. Nel caso di un campo magnetico rettilineo ed uniforme di induzione B, con la bobina piana di n spire e di area S=D l, misurando gli angoli dell'asse del campo, il flusso concatenato risulta Φ = nbdlsenδ, con Dlsenδ pari all' area interessata dal flusso stesso. L'energia magnetica associata al sistema è E = Φ i e la coppia motrice risulta C = dε dδ = 1 2 i nbdlcosδ Per avere uno strumento a scala proporzionale deve essere k=nbdlcosδ=cost. Ciò si ottiene mediante una forma opportuna delle espansioni polari in modo da avere, su tutta la zona in cui si può muovere la bobina, un campo di induzione B costante e di direzione radiale, come mostrato in Fig. 1. In questo caso il flusso concatenato è Φ c =nbdδl con Dδl area interessata dal flusso e D arco di circonferenza sotteso al flusso. L'energia magnetica associata al sistema è E m =Φ c i=nbdδl i e la coppia motrice risulta 2

3 con k=nbdl=cost la coppia motrice diventa C = dε dδ = 1 2 i nbdl C = k i Fig. 1 Lo strumento magnetoelettrico è intrinsecamente un milliamperometro con un limite superiore di portata di circa 100mA e limite inferiore di qualche µa. Per passare da un milliamperometro ad un millivoltmetro occorre inserire una rete di resistenze tale che R = U I In modo da avere una relazione univoca tra la tensione U applicata ai morsetti di ingresso e la deviazione dell indice dello strumento. Questi strumenti possono essere correntemente costruiti in classe 0.2 e si arriva fino a strumenti di classe 0.1, tali cioè che, ad esempio, per un voltmetro da 100 V di fondo scala non si abbia in nessun punto della scala un errore assoluto superiore a 0.1V. Essi sono inoltre caratterizzati da bassi consumi essendo la potenza necessaria a mandare a fondo scala uno strumento di questo tipo, dell'ordine di W. Gli strumenti magnetoelettrici hanno il pregio di un ottimo smorzamento elettromagnetico, prodotto dalle correnti indotte nel telaietto metallico, sul quale è avvolta la bobina mobile, e dalle correnti indotte sulla stessa bobina. Nella bobina infatti nasce una forza elettromotrice (ritenendo il campo radiale ed uniforme ed essendo ω la velocità angolare nell'istante considerato) e=k 1 B ω. Se la bobina fa parte di un circuito chiuso di resistenza complessiva R, si ha una corrente che, per la legge di Lenz, frena il movimento. i = e R = k Bω R Vediamo ora come, sia pure con i valori limitati di corrente ammessi nell'interno della bobina mobile e delle molle, si possono misurare correnti e tensioni maggiori. 3

4 Amperometro Mettendo in parallelo al milliamperometro un derivatore di resistenza R, come mostrato in Fig. 2, ed inserendo questo sistema in serie al circuito di cui si vuole misurare la corrente I, si ha che i r = R(I i) = RI Ri I = r + R R con m definito Potere Moltiplicatore dello Shunt i = m i Fig. 2 Volendo misurare una corrente I, disponendo di uno strumento con portata i 0, si ha I = m = r + R i R da cui si ricava, nota la r propria dello strumento, il valore R della resistenza da inserire in parallelo allo strumento stesso R = r m 1 In questo modo lo strumento è attraversato solo da una parte della corrente I. Il valore della lettura deve essere poi moltiplicato per m per avere il valore della corrente I. Con questo metodo si possono misurare correnti fino a A. Voltmetro Mettendo in serie allo strumento, di portata i 0 e di resistenza interna r un resistore addizionale R come in Fig. 3, si ha e quindi I = C = k i = U R + r k R + r U = k U 4

5 Lo strumento, la cui scala può essere tarata direttamente in Volt, diventa un voltmetro di portata V 0 =(R+r) i 0 Fig. 3 Strumenti Elettrodinamici Caratteristiche Costruttive e di Funzionamento L'elettrodinamico è uno strumento nel quale la coppia motrice è proporzionale al prodotto di due grandezze in ingresso. Questo tipo di strumento è costituito, nella sua forma più semplice, da due bobine in aria, una interna all'altra; la bobina interna è mobile rispetto all'altra che è fissa e ad essa è in genere collegato un indice, come illustrato in Fig. 4. Fig. 4 Per ottenere una buona sensibilità dello strumento, la bobina mobile è attraversata dalla corrente i m ed ha peso e sezione minori della bobina fissa attraversata dalla corrente i f. L'energia magnetica immagazzinata è E = 1 2 L i L i + Mi i con L m e L f coefficienti di autoinduzione delle due bobine e M coefficiente di mutua induzione tra bobina fissa e bobina mobile. Derivando l'espressione dell'energia magnetica 5

6 rispetto allo spostamento angolare α della bobina mobile, mantenendo costanti le correnti, l unico parametro che varia è M C = de dα = i dm i dα Affinché la coppia motrice sia proporzionale al prodotto delle correnti, occorre che M vari in modo lineare con l'angolo di deviazione, in maniera che risulti dm dα = k = cost In particolare, prendendo in esame l'andamento di M in funzione di α che è rappresentato da una cosinusoide, esiste solo un intervallo all'interno del quale si può ritenere che l'andamento di M con α è di tipo lineare. Tale intervallo è di circa 45 intorno a 90. Quindi limitando l'escursione di α in tale intervallo si può avere C = k i i Lo strumento elettrodinamico può essere usato sia in corrente continua sia in corrente alternata. Se la corrente è continua, risulta C = k I I Se le correnti sono alternate, di valore efficace I m e I f, la coppia motrice vale i = 2I senωt i = 2I sen(ωt + β) C = k 2I I sen(ωt)sen(ωt + β) C = k I I cosβ k I I cos(2ωt + β) Quindi, nel caso di correnti sinusoidali, la coppia è data dalla somma di due termini, uno costante e l'altro variabile con una pulsazione doppia. Se l'equipaggio mobile ha un'inerzia elevata o una pulsazione caratteristica minore della pulsazione ω, lo strumento segna un'indicazione proporzionale solo alla coppia media, pari al termine costante della precedente espressione. Se lo strumento è in aria si hanno coppie inferiori e consumi più elevati rispetto agli strumenti magnetoelettrici. La costante k dipende tuttavia solo dalla geometria delle bobine ed assicura perciò, alla precisione dello strumento, una buona permanenza nel tempo. Il funzionamento di questo strumento non dipende dalla frequenza almeno finchè il valore di M non sia influenzato dalle correnti indotte in parti metalliche adiacenti le bobine. Lo strumento è invece sensibile ai campi magnetici di origine esterna, isofrequenziali con la corrente i m. In questo caso si possono adottare diverse soluzioni; si possono introdurre schermi magnetici, 6

7 si possono impiegare strumenti ferroelettrodinamici che sono in pratica strumenti elettrodinamici nei quali la bobina fissa è avvolta su materiale ferromagnetico, si può ricorrere a strumenti astatici. Milliamperometro Elettrodinamico La bobina mobile, e quella fissa si dispongono in serie come da Fig. 5. Poiché la corrente è unica si ha I=I m =I f. La coppia motrice risulta, in corrente continua, pari a C m =ki 2 e, in corrente alternata, pari a C m =ki 2 eff e quindi lo strumento misura direttamente il valore efficace. Relativamente ai valori di portata, il limite inferiore è fissato dalla necessità di mantenere ad un determinato valore il rapporto coppia/peso. In particolare, nel caso degli strumenti elettrodinamici, bobina fissa e mobile sono in aria, si hanno campi magnetici di piccola entità e quindi coppie motrici deboli. Quindi, per un fissato, rapporto coppia/peso, al diminuire della corrente occorrerebbe incrementare il campo magnetico mediante un aumento del numero di spire della bobina con conseguente aumento di peso della bobina mobile. I limiti superiori di portata sono imposti dalle necessità di limitare il riscaldamento delle molle attraverso le quali passa la corrente. Conseguentemente, il valore massimo di corrente ammissibile da questi milliamperometri è di circa 0.2A. Il campo di impiego di questi strumenti si estende circa da 10mA a 100mA. Voltmetri Elettrodinamici Fig. 5 Nel caso di impiego dello strumento elettrodinamico come voltmetro, si mette in serie alle bobine una resistenza addizionale indipendente dalla temperatura (Fig. 6). Abbiamo visto che l'espressione della coppia motrice per questi strumenti è Nel caso del voltmetro si ha C = k I I cosβ I = I = e β=0 con Z modulo dell impedenza complessiva del circuito. La coppia motrice in corrente continua è 7

8 C = ki = k U R = k U dove R è la serie della resistenza addizionale con le resistenze delle due bobine. In corrente alternata si ha invece C = ki = k U Z = k U R + X = k R 1 = 1 + X R k U la costante k" in corrente alternata è la stessa del caso in corrente continua solo se X R 1, quindi ω L R 1 con L=L f +L m. Ciò limita l'impiego dello strumento ad un range di frequenza di Hz. Questi voltmetri non si costruiscono per portate inferiori a V in quanto, il consumo, raramente inferiore alle decine di ma, sarebbe eccessivo. Salendo con i valori di portata, cresce corrispondentemente la potenza dissipata nel resistore addizionale. Fig. 6 Amperometri elettrodinamici La bobina mobile e la bobina fissa si dispongono in parallelo, mentre in serie ad ognuna di esse si pone unaresistenza che chiamiamo R f per la bobina fissa e R m, per quella mobile, così come indicato in Fig. 7. Queste resistenze sono tali da ripartire la corrente I da misurare tra le due bobine in modo che la quota I m, che percorre la bobina mobile, non superi il limite imposto dal riscaldamento. Ciò consente di aumentare la portata dello strumento fino a decine di ampere. In corrente continua risulta I f R f =I m R m e poichè R m >>R f essendo I = I + I e I = I I I = R R = α 1 8

9 I C = k I I = k I α = k α I α = k (α + 1) I In corrente alternata, dette R m, X m, Z m, R f, X f, Z f rispettivamente resistenza, reattanza e impedenza delle due bobine, la corrente totale da misurare I si scompone in due componenti I m e I f tali che Z I = Z I e quindi I I = Z Z = R + jx R + jx = R X 1 + j R R 1 + j X R Da tale espressione si evince che il rapporto tra le correnti è ancora uguale a quello tra le resistenze solo se X R = X R In tal modo il rapporto tra le correnti I f e I m e la loro concordanza in fase, vengono conservati indipendentemente dalla frequenza. La precedente condizione è però vera solo in prima approssimazione in quanto si deve tener conto della mutua induzione tra le bobine. Per ritrovare la stessa condizione che si ha in corrente continua dovrebbe realizzarsi l'uguaglianza L M R = L M R Questa uguaglianza è impossibile, essendo M variabile con la posizione dell'equipaggio mobile. Si può dimostrare che questo comporta un errore che cresce con il quadrato della frequenza e che, dipendendo dal segno di M, è positivo all'inizio della scala e negativo verso il fondo scala. E' questo errore che limita l'impiego degli amperometri elettrodinamici in corrente alternata ad un range di frequenza di Hz. Wattmetro Elettrodinamico Fig. 7 Il wattmetro elettrodinamico è costituito da una bobina fissa F (bobina amperometrica), posta in serie al carico da misurare e da una piccola bobina mobile M (bobina voltmetrica), che viene collegata in parallelo, mediante una grossa resistenza addizionale R a, ai capi del carico, in modo da condividere la medesima differenza di potenziale ed essere 9

10 percorsa da una debole corrente a essa proporzionale. Il wattmetro è caratterizzato da una portata amperometrica, che rappresenta la massima corrente che può attraversare la bobina amperometrica e da una portata voltmetrica, che rappresenta la massima tensione applicabile ai capi della bobina voltmetrica. Il prodotto di queste due portate dà la portata wattmetrica (potenza massima misurabile). Lo schema di principio e di inserzione è mostrato in Fig. 8. Fig. 8 L impedenza Z V della bobina voltmetrica M è data da Z = R + X La resistenza della bobina voltmetrica R M è grande rispetto alla reattanza X V della bobina mobile M in quanto la bobina M è costituita da un conduttore di piccola sezione e con un grande numero di spire (X V <R M ). La resistenza complessiva del circuito voltmetrico, è data dalla somma di R a più la resistenza propria della bobina R M, R V =(R a +R M )>>X V, la X V quindi risulta trascurabile rispetto alla resistenza totale del circuito voltmetrico R V pertanto l impedenza della bobina volumetrica Z V, si può ritenere pari alla R V. Per tale motivo la tensione U e la corrente I V circolante nella bobina voltmetrica si possono considerare in fase e la I V è data da I = U R Nel circuito amperometrico la corrente I è la stessa di quella di linea, in quanto la bobina amperometrica è costituita da poche spire di grossa sezione e presenta quindi, sia una reattanza X A che una resistenza R A molto piccole e quindi trascurabili. Pertanto lo sfasamento φ presente fra la tensione e corrente in linea è lo stesso di quello presente fra la I V e la I nel wattmetro e quindi la coppia media che risulta proporzionale al prodotto dei valori efficaci delle correnti per il coseno dell'angolo φ fra di essi compreso C = k II cosφ dove cosφ rappresenta il fattore di potenza della linea e poiché I = si ha C = k I U R cosφ = k P con P = UIcosφ 10

11 Strumenti Elettromagnetici Gli strumenti a ferro mobile sono costituiti da una bobina fissa (di molte spire) e da un equipaggio mobile sul quale è predisposto del materiale ferromagnetico, in grado di ruotare all interno della bobina. Essi sono prevalentemente usati in quelle applicazioni in cui la robustezza è preferita all elevato grado di precisione. Esistono diverse realizzazioni di strumenti a ferro mobile, due delle quali sono riportate nella Fig. 9. Fig. 9 In Fig. 9a è riportata la realizzazione ad attrazione (o anche a succhiamento), mentre in Fig. 9b è riportata la realizzazione a repulsione. In entrambi i casi, si nota la presenza del solito indice solidale con l equipaggio mobile e delle solite molle antagoniste. Per quanto riguarda, invece, lo smorzamento, è ottenuto per via elettromagnetica. Vediamo di comprendere il funzionamento di uno strumento di questo tipo. Consideriamo, in particolare, la realizzazione ad attrazione. Sia I la corrente continua o il valore efficace della corrente alternata che scorre nella bobina fissa; a causa di questa corrente, il ferro tende ad essere risucchiato (da cui il nome) all interno della bobina, fin tanto che risulti massima l energia immagazzinata nel campo magnetico. Tale energia vale E = LI dove L è l induttanza della bobina. La corrispondente coppia motrice è allora C = de dδ = 1 dl I 2 dδ Abbiamo dunque una proporzionalità diretta della coppia motrice sia con l intensità di corrente circolante sia con la legge di variazione di L. Tale variazione, dovuta appunto alla penetrazione del ferro nella bobina, viene resa costante tramite una scelta opportuna della forma e della posizione del ferro mobile rispetto alla bobina. Si realizza dunque la condizione dl/dδ=2k da cui consegue che la coppia motrice è direttamente proporzionale al quadrato dell intensità di corrente C = ki Questa coppia è ovviamente equilibrata dalla solita coppia antagonista, proporzionale alla deflessione secondo la legge C a =Mδ. In condizioni di equilibrio, lo spostamento dell indice sulla scala graduata è proporzionale al quadrato della corrente che attraversa la bobina fissa. 11

12 Quando lo strumento è interessato da una corrente alternata, data la presenza dell equipaggio mobile (il quale possiede un momento di inerzia ed un proprio periodo di oscillazione), l equilibrio tra coppia motrice e coppia antagonista è tale che la deviazione angolare sia proporzionale, come negli altri strumenti indicatori elettromeccanici, al valor medio (sul periodo) della coppia motrice. Consideriamo adesso uno strumento a ferro mobile del tipo a repulsione, rappresentato in Fig. 9b. In questo caso, abbiamo una bobina fissa e due pezzi di materiale magnetico, di cui uno solidale con la bobina fissa e l altro in grado di ruotare. Il campo magnetico è generato dalla circolazione della corrente I nella bobina; esso magnetizza nello stesso modo i due pezzi di ferro, che quindi tendono a ruotare uno rispetto all altro. Per quanto riguarda le equazioni matematiche, valgono le stesse viste nel caso ad attrazione. L accuratezza degli strumenti a ferro mobile è limitata essenzialmente dalla curva di magnetizzazione del ferro; questo comporta, tra le altre cose, che non sempre può ritenersi valida la taratura in corrente continua per utilizzazioni in corrente alternata. Ci sono poi ulteriori cause di errore, ad esempio legate agli attriti, al riscaldamento, all influenza di campi magnetici esterni, a fenomeni di isteresi, alle correnti parassite. Così come negli strumenti elettrodinamici, la sensibilità è bassa, in quanto l induzione magnetica è creata da una bobina in aria attraversata da corrente. Un vantaggio, invece, rispetto agli strumenti elettromeccanici, è nell assenza di circuiti elettrici interessati dal passaggio di corrente sull equipaggio mobile. Lo strumento risulta perciò robusto ed in grado di sopportare sovraccarichi elettrici. Sono bassi anche i costi (data la semplicità costruttiva dell equipaggio mobile) e lo strumento è meno danneggiabile da urti o eccessive sollecitazioni meccaniche. Anche in questo caso, basta aggiungere derivatori e resistori addizionali per ottenere strumenti (amperometri e voltmetri) a portate multiple. A causa delle diverse cause di errore, questi strumenti sono usati in un ristretto campo di frequenza ( Hz) e per grandezze alternate sinusoidali. Contatore a Induzione Il contatore ad induzione, la cui struttura è schematicamente riportata in Fig. 10, è costituito da un leggero disco di rame o di alluminio (D) calettato su un albero. Il bordo del disco passa nei traferri di due elettromagneti posti generalmente l uno vicino all altro. Un elettromagnete è detto amperometrico (E A ) ed è eccitato con la stessa corrente I del circuito. L altro è detto elettromagnete voltmetrico (E V ), ha l avvolgimento di molte spire di filo sottile, ed è collegato in derivazione sulla linea di alimentazione, risultando pertanto alimentato dalla tensione U. La corrente che percorre l avvolgimento voltmetrico è indicata con I V. Un magnete permanente (M) con funzione di freno abbraccia il disco. I due elettromagneti, eccitati dalle correnti alternate I e I V di uguale frequenza e generalmente sfasate tra loro, generano i flussi magnetici Φ A e Φ V, i quali attraversano il disco. Tali flussi inducono nel disco forze 12

13 elettromotrici ad essi proporzionali e sfasate in ritardo di 90 rispetto ai flussi stessi. Tali forze elettromotrici a loro volta generano, nel disco, le correnti I 1 e I 2. Fig. 10 Fig. 11 Come illustrato in Fig. 11, la corrente I 2 con il flusso Φ A produce nel disco azioni elettrodinamiche F 1 agenti nel piano del disco stesso. Lo stesso avviene per la corrente I 1 interagente con il flusso Φ V, che sviluppa la forza F 2. Il disco è quindi sollecitato a girare in senso contrario dalle due forze F 1 e F 2 ; esso è cioè sottoposto ad una coppia motrice C m proporzionale alla differenza F 1 -F 2. Dalla teoria dello strumento ad induzione, come mostrato più avanti, si ricava che la coppia motrice è proporzionale alle intensità dei due flussi Φ A e Φ V ed al seno del loro angolo di sfasamento C Φ Φ senβ 13

14 Per effetto di tale coppia motrice il disco ruota. La velocità di rotazione del disco Ω è tale per cui le correnti indotte nel disco dal magnete permanente danno luogo ad una coppia frenante C r, proporzionale alla velocità di rotazione stessa. All equilibrio si ha, in prima approssimazione, C m =C r. Si vuole dimostrare che la coppia motrice C m è proporzionale alla potenza attiva C m P. Si supponga inizialmente che l elettromagnete amperometrico generi un flusso magnetico Φ A, proporzionale alla corrente di linea I, isofrequenziale e in fase con essa. Come illustrato in Fig. 12, il flusso Φ A che attraversa il disco induce in esso una forza elettromotrice indotta E 1 sfasata di 90 in ritardo, data da E = jωφ Tale forza elettromotrice produce nel disco stesso, che è assimilabile agli effetti elettrici ad una spira di resistenza R e reattanza X, una corrente indotta I 1, la cui espressione fasoriale è I = E R + jx = jωφ R + jx Detto γ l angolo di sfasamento tra il vettore della f.e.m. indotta E 1 e quello della corrente indotta I 1, tale angolo è legato alle caratteristiche elettriche del disco dall espressione R cosγ = R + X 2 Fig. 12 Fig. 13 Si supponga ora che l elettromagnete voltmetrico generi un flusso magnetico Φ B, proporzionale ed isofrequenziale alla tensione di linea U, ma sfasato rispetto ad essa di 90 in ritardo, come mostrato in Fig. 13. Il flusso Φ B risulta pertanto sfasato, rispetto al flusso Φ A generato dall elettromagnete amperometrico, di un angolo β=90 - dove è l angolo di fase tra la tensione e la corrente di linea. Il flusso Φ B che attraversa il disco induce in esso una f.e.m. indotta E 2, legata a Φ B dalla relazione fasoriale E = jωφ 14

15 Nel disco, per effetto dell induzione prodotta dall elettromagnete voltmetrico, circola quindi la corrente indotta I 2 I = E R + jx = jωφ R + jx L angolo di sfasamento tra il vettore della f.e.m. indotta E 2 e quello della corrente indotta I 2, dipendendo solo dalle caratteristiche elettriche del disco, è ancora pari a γ. Ciascuna delle due correnti indotte produce una coppia motrice per effetto del flusso prodotto dall altro elettromagnete. La corrente I 1 col flusso Φ B sviluppa nel disco azioni elettrodinamiche agenti nella direzione F 1. La corrente I 2 con il flusso Φ A sviluppa azioni elettrodinamiche agenti nella direzione F 2, come mostrato in Fig. 11. Per costruzione, F 1 e F 2 tendono ad opporsi tra di loro, e pertanto il disco è sollecitato a ruotare in senso contrario dalle due forze F 1 e F 2 ; esso è cioè sottoposto ad una coppia motrice proporzionale alla differenza F 1 -F 2. La coppia istantanea risultante è pertanto proporzionale alla differenza delle due coppie C Φ (t)i (t) Φ (t)i (t) Poiché le grandezze in esame sono sinusoidali, il valor medio C m della coppia risulta proporzionale a C Φ I cos Φ I Φ I cos Φ I Dal diagramma fasoriale del contatore risulta Φ I = 90 + γ β, Φ I = 90 + γ + β, da cui deriva C = kφ I cos(90 + γ β) kφ I cos(90 + γ + β), dove si è indicato con k la costante di proporzionalità. Poichè cos(90 + )=-sen, si ottiene Ricordando che cosγ = della coppia media C = kφ C = kφ I sen(γ β) + kφ I sen(γ + β), I =, I = ωφ R + X sen(γ + β) kφ C = kφ Φ ω e sostituendo nell espressione ωφ sen(γ β) R + X [sen(γ + β) sen(γ β)] R + X C = kφ Φ ω R + X 2cosγsenβ ω C = kφ Φ R + X 2 R R + X senβ ωr C = 2k R + X Φ Φ senβ cioè la coppia motrice risulta proporzionale all intensità dei due flussi Φ A e Φ B ed al seno dell angolo tra essi compreso. 15

16 Dall espressione della coppia media si deduce che affinchè la coppia motrice sia diversa da zero i due flussi devono essere sfasati fra loro di un angolo β diverso da zero. Il coefficiente di proporzionalità fra la coppia motrice e i due flussi A e B dipende dalla pulsazione ω, dalla resistenza equivalente R e dalla reattanza equivalente X del disco. La dipendenza dalla pulsazione indica che la coppia motrice è nulla a frequenza nulla; quindi il contatore ad induzione non può essere impiegato per la misura dell energia elettrica nei sistemi funzionanti in corrente continua. La dipendenza dalla resistenza equivalente indica che la coppia motrice dipende dalla temperatura, dal momento che la resistenza del disco varia al variare della temperatura. Generalmente la reattanza equivalente del disco è trascurabile rispetto alla sua resistenza, sicché il coefficiente di proporzionalità aumenta con l aumentare della frequenza e con il diminuire della temperatura. Si riprenda ora l espressione C = k Φ Φ senβ ricordando quali ipotesi hanno condotto a tale espressione, il flusso Φ A è proporzionale alla corrente di linea I ed ha la sua stessa frequenza e fase; il flusso Φ B è proporzionale alla tensione di linea U, con la stessa frequenza e in ritardo di 90. Queste ipotesi permettono di riscrivere la coppia motrice come C = k UIsen(90 φ) in quanto si è visto che vale la relazione β=90 - tra l angolo di sfasamento tra I e U ( ) e l angolo di sfasamento tra Φ A e Φ B (β). Si ottiene allora C = k UIcosφ ovvero, ricordando la definizione di potenza attiva in un sistema in regime alternato sinusoidale C m =k P. La coppia motrice è quindi proporzionale alla potenza attiva. Per effetto di tale coppia, il disco ruota alla velocità angolare Ω. Ω è tale per cui le correnti indotte nel disco stesso dal magnete permanente danno luogo ad una coppia frenante C r che all equilibrio è uguale alla coppia motrice. Tale coppia frenante agente sul disco risulta proporzionale alla velocità angolare Ω del disco stesso, Ω C r. Il coefficiente di proporzionalità dipende dalla resistività del disco e quindi dalla temperatura. Questo effetto compensa in parte l analogo effetto della temperatura sulla coppia motrice. Pertanto, in prima approssimazione, si ottiene P Ω. Ricordando che l energia misurata da un contatore ad induzione è proporzionale al numero di giri effettuati dal disco, la condizione P Ω è condizione necessaria e sufficiente perché un contagiri (che in questo caso ha la funzione di integratore) comandato dall asse stesso del disco, possa indicare direttamente l energia E che transita nella sezione del circuito in cui è inserito il contatore stesso. Nei tradizionali contatori ad induzione il conteggio del numero di giri avviene meccanicamente. L estremità dell albero del disco è munita di una vite senza fine tramite la quale l albero, mentre gira, mette in rotazione un piccolo pignone. Il pignone è collegato ad un numeratore a rulli. Ad ogni giro completo del pignone, il numeratore aumenta di una unità. Il contatore viene regolato in modo tale che 1000 giri del pignone corrispondano ad 1kWh di energia consumata. 16