UN METODO ANALITICO PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA LATERALE DEI PALI TRIVELLATI IN TERRENI SABBIOSI

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1 UN METODO ANALITICO PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA LATERALE DEI PALI TRIVELLATI IN TERRENI SABBIOSI Ylenia Mascarucci, Alessandro Mandolini Dipartimento di Ingegneria Civile, Design, Edilizia e Ambiente, Seconda Università di Napoli ylenia.mascarucci@unina2.it, alessandro.mandolini@unina2.it Salvatore Miliziano Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Sapienza Università di Roma salvatore.miliziano@uniroma1.it Sommario Nella nota si presenta un metodo analitico finalizzato alla valutazione dei profili di resistenza laterale unitaria lungo il fusto di pali trivellati in terreni sabbiosi. Si tratta di un approccio semplificato che si basa su una schematizzazione essenziale dei fenomeni che si verificano all interfaccia palo-terreno: gli effetti della dilatanza parzialmente impedita sono quantificati mediante una modellazione esplicita della banda di taglio e della sua interazione con il terreno circostante durante la fase di carico (espansione di una cavità cilindrica in mezzo elasto-plastico). I risultati ottenuti sono in ottimo accordo con quelli ricavati da una più completa modellazione numerica che muove le basi dallo stesso modello teorico del problema. 1. Introduzione La resistenza laterale dei pali è strettamente condizionata dal comportamento di un sottile cilindro di terreno, coassiale al fusto, in cui si concentrano le deformazioni (banda di taglio). Nonostante siano ben chiari i diversi fattori che influenzano la risposta del terreno in tale zona, i numerosi metodi oggi disponibili per la valutazione della resistenza laterale continuano ad essere principalmente basati su correlazioni di natura empirica o semi-empirica, che spesso forniscono previsioni molto diverse tra loro e raramente in accordo con le evidenze sperimentali. Con particolare riferimento ai pali trivellati in terreni sabbiosi, la nota propone un metodo semplice e analitico per la determinazione del profilo di resistenza tangenziale mobilitabile lungo il fusto. Tale strumento, cui è stato dato il nome di Metodo 3M, prende spunto da una schematizzazione fenomenologica dei complessi meccanismi che si generano all interno della banda di taglio durante la fase di carico, con particolare attenzione agli effetti della dilatanza parzialmente impedita. La suddetta modellazione confluisce in una semplice formalizzazione matematica, potenzialmente utilizzabile nei problemi applicativi. Nell ipotesi di pali idealmente trivellati, i risultati ottenuti mediante l approccio analitico in diversi modelli geotecnici di sottosuolo sono stati confrontati con quelli ricavati da analisi numeriche eseguite con il codice di calcolo FLAC 2D (Mascarucci 2012; Mascarucci et al., 2012), dimostrando un buon accordo tra le soluzioni ottenute con i due differenti approcci. 2. Il Metodo 3M: formulazione analitica Il Metodo 3M ipotizza che il palo, infinitamente rigido, sia sottoposto a un cedimento, w, tale da mobilitare completamente la resistenza laterale. La valutazione della resistenza unitaria tangenziale, q s, viene eseguita nell ipotesi che tutte le deformazioni distorsive si concentrino nella banda di taglio il cui spessore, t s, dipende principalmente dalla granulometria del terreno. Studi di letteratura (ad es. Viggiani et al., 2001) confermano infatti che t s = (5 20) d 50, essendo d 50 il diametro delle particelle corrispondente al passante del 50% (Fig. 1).

2 palo bt terreno palo bt terreno w qs plastico ur Rp 'h0 'hf 'h0 'hf ro ro ts ts ur Rp: Raggio plastico elastico Fig 1. Schematizzazione della formazione della banda di taglio (bt) lungo il fusto del palo Fig 2. Espansione della banda di taglio in un mezzo elasto plastico Per il calcolo delle tensioni tangenziali mobilitabili lungo il fusto del palo, si ipotizza che il terreno nella banda di taglio sia assimilabile a un mezzo elasto-plastico, con criterio di resistenza di Mohr- Coulomb, legge di flusso non associata e incrudimento isotropo legato alla deformazione plastica distorsiva, γ p. Con tali premesse, l espressione di q s assume una struttura analoga a quella proposta dai cosiddetti metodi teorici per la valutazione della resistenza laterale dei pali: L angolo sc rappresenta l angolo di attrito all interfaccia palo-terreno, agente sulla giacitura parallela alla superficie di scorrimento in corrispondenza della completa mobilitazione della resistenza, ovvero al raggiungimento delle condizioni di Stato Critico (SC; Lehane et al., 1993). Nei pali trivellati e gettati in opera, poiché la scabrezza del fusto è tanto elevata da ipotizzare che lo scorrimento avvenga completamente all interno della banda di taglio, è lecito stimare in funzione dell angolo di attrito del terreno,. Inoltre, poiché il meccanismo di deformazione del terreno nella banda di taglio è simile a quello di una prova di taglio semplice, si può facilmente dimostrare (Davis, 1968) che, in condizioni di SC, tan sc = sen sc. La tensione orizzontale, hf, rappresenta la tensione agente in corrispondenza della piena mobilitazione della resistenza e si differenzia da quella litostatica, h0, a causa della variazione del confinamento che si verifica durante l applicazione del carico, hl : tipicamente nelle sabbie, fatta eccezione di quelle particolarmente sciolte, durante la deformazione di taglio si verificano aumenti di volume (dilatanza) che generano spostamenti orizzontali, u r, della banda di taglio diretti verso il terreno circostante (Fig. 1). In prossimità della superficie, a causa dei modesti livelli tensionali, tale dilatanza è generalmente presente indipendentemente dal grado di addensamento. Il valore di u r è valutato a partire dalla definizione dell angolo di dilatanza,, in condizioni di deformazione piana: in cui w è il cedimento del palo (Fig. 1). Essendo per definizione d = dw / t s, l espansione radiale della banda di taglio corrispondente alla completa mobilitazione della resistenza si ottiene integrando la (2) sino al raggiungimento dello SC: in cui γ p sc rappresenta la deformazione distorsiva plastica necessaria per il raggiungimento dello SC. Per effetto dell incrudimento del terreno, non è costante ma si riduce a partire dal valore massimo in condizioni di picco, p, sino a 0 in condizioni di SC. Ipotizzando un riduzione lineare per tan, l espressione di u r assume la seconda forma nella (3). (1) (2) (3)

3 L incremento di tensione associato al suddetto spostamento u r è calcolato mediante la teoria della dell espansione di una cavità cilindrica indefinita in un mezzo omogeneo elasto-plastico perfetto, con criterio di resistenza di Mohr-Coulomb e legge di flusso non associata (Fig. 2). Tale scelta riflette la consapevolezza che al di fuori della banda di taglio l incremento della tensione orizzontale può provocare plasticizzazioni del terreno, ma le distorsioni indotte sono comunque molto contenute da rendere trascurabili i fenomeni di incrudimento. Assimilando quindi il palo e la banda di taglio a una cavità cilindrica avente raggio iniziale r 0 = r p + t s (r p rappresenta il raggio del palo), che si espande di u r durante la fase di carico, per la valutazione di σʹhl si utilizza la soluzione in forma chiusa proposta da Yu e Houlsby (1991) in condizioni di piccole deformazioni: tale ipotesi è del tutto compatibile con il problema in esame, in cui gli spostamenti radiali indotti nel terreno circostante il palo sono modesti rispetto al diametro dello stesso. Ovviamente il riferimento a una cavità cilindrica indefinita che si espande in direzione radiale non rende possibile la valutazione degli effetti sulle tensioni orizzontali legati ai meccanismi tensio-deformativi paralleli all asse del fusto, con particolare riferimento alla rotazione delle direzioni principali di tensione nonché alla compressibilità del palo. Inoltre il metodo certamente mal si presta a descrivere i fenomeni che si sviluppano in prossimità delle estremità del palo: alla base, a causa dell interazione con il meccanismo di mobilitazione della resistenza alla punta, alla testa a causa della diversa condizione cinematica legata alla presenza del piano campagna. Per limitazioni di spazio, nel seguito si omettono i dettagli della trattazione analitica, per i quali si rimanda a Mascarucci (2012). In estrema sintesi, hl è valutato in funzione dello spostamento radiale della banda di taglio (u r ), delle condizioni al contorno iniziali per la cavità di raggio r 0 (tensione litostatica iniziale, h0 ) e delle caratteristiche elastiche e di resistenza del terreno circostante (modulo di taglio, G; coefficiente di Poisson,, coesione, c; angolo di attrito, ; angolo di dilatanza, ). 3. Risultati Tabella 1. Quadro delle analisi parametriche Nell ottica di verificare le capacità previsionali del Metodo 3M, la procedura analitica appena descritta è stata confrontata con i risultati di un ampio studio parametrico realizzato mediante modellazione numerica con il codice di calcolo FLAC 2D. Le analisi, i cui risultati sono stati già presentati nell ambito dello IARG 2012 (Mascarucci et al., 2012), erano state pianificate con il principale obiettivo di quantificare gli effetti della dilatanza parzialmente impedita sulla resistenza laterale dei pali al variare della capacità dilatante dei terreni e dello spessore della banda di taglio (ovvero della granulometria). In tabella 1 sono sintetizzati i parametri più significativi considerati nello studio: in totale sono state simulate 96 prove di carico su pali idealmente trivellati, il cui diametro è rimasto sempre costante (D = 1 m). Il peso di volume del terreno saturo è stato posto pari a 17 kn/m 3 e si è fatto riferimento alle condizioni estreme di falda a piano campagna e falda assente. Sono state ipotizzate sabbie normal consolidate (NC) e sovraconsolidate (OC), con profili di K 0 valutati con le note espressioni K 0,NC =(1- sen sc ) e K 0,OC =(1-sen sc )OCR sen sc <1 (Jamiolkowski et al., 1988), rispettivamente. Il coefficiente di Poisson, ν, è sempre pari a 0.2 (valore tipico per terreni sabbiosi).

4 3.1 Previsioni di resistenza laterale con il Metodo 3M Nel seguito si commentano le previsioni ottenute con il Metodo 3M dei profili di resistenza laterale di 4 casi dei 96 analizzati. In dettaglio, questi si riferiscono a quattro pali lunghi (L = 40 m) immersi in sabbie NC e sature, aventi diversa densità e granulometria: D r = 30 e 70%; d 50 = 0.2 e 2 mm, a cui corrisponde t s = 20 d 50 = 4 e 40 mm. L angolo di attrito a stato critico è pari a sc = 32, per cui K 0,NC = Per quanto riguarda la rigidezza a taglio, G, si è adottato un valore operativo pari alla metà di quello a piccole deformazioni, G 0, per tenere in considerazione le non linearità della risposta nel terreno anche prima della mobilitazione della resistenza; i profili di G 0 sono stati variati in funzione del diverso stato di addensamento (Tabella 1). Con riferimento alla banda di taglio, i parametri di resistenza di picco (angolo di attrito, p, e dilatanza, p ) decrescono con continuità lungo la profondità, in funzione della densità relativa (costante per ciascun caso) e del crescente confinamento. I valori di p e di p sono stati ottenuti mediante le note relazioni di Bolton (1986) e Rowe (1962), rispettivamente. Il valore della deformazione distorsiva plastica, p sc, è stato assunto pari a 0.6 (Mortara, 2001). Per il terreno circostante si è assunto c = 0 kpa, = p e = p. In figura 3 sono riportati i risultati ottenuti al termine di ogni analisi (e quindi della prova di carico) in termini di tensioni orizzontali (Fig. 3a) e di parametro = q s / vo (Fig. 3b). Come atteso nei terreni addensati, caratterizzati da maggiori valori dell angolo di dilatanza, l incremento delle tensioni orizzontali durante la fase di carico è più elevato. Tale effetto è tuttavia fortemente modulato dallo spessore della banda di taglio: nelle sabbie sciolte (ancorché ancora dilatanti in corrispondenza degli stati tensionali in gioco), ma a grana grossa, l incremento delle tensioni orizzontali è del tutto confrontabile con quello ottenuto per sabbie dense, ma a granulometria più fine. Analoghe considerazioni possono essere svolte per i valori di, i quali sono caratterizzati dal tipico andamento decrescente con la profondità e tendono ad allontanarsi dal valore di 0 = K 0 sen sc (che si avrebbe se Δσ hl = 0) al crescere della D r e di t s. 3.2 Confronto con le analisi numeriche Fig 3. Risultati del Metodo 3M: profili di (a) σ h e (b) β al variare di D r e t s Nelle analisi numeriche il terreno è stato modellato mediante elementi di continuo, con un legame costitutivo elasto-plastico incrudente con legge di flusso non associata e criterio di resistenza di Mohr- Coulomb (Strain Softening, SS). Ipotizzando una coesione nulla e un decadimento lineare dei parametri di resistenza e dilatanza di picco con la deformazione distorsiva plastica, i parametri meccanici del modello si riducono a 6, di chiaro significato fisico: ν, G, p, p, sc, p sc. Tra questi G, p e p sono ottenuti con procedure analoghe a quelle presentate nel 3.1, in funzione dei parametri assunti nelle diverse analisi (Tabella 1), e si riducono con continuità lungo la profondità; ν = 0.2; sc varia a seconda del modello geotecnico (Tabella 1); p sc = 0.6. Il palo è stato simulato mediante elementi di continuo, con un legame costitutivo elastico lineare e

5 isotropo caratterizzato da un peso dell unità di volume pari a 25 kn/m 3 e un legame costitutivo elastico lineare (modulo di Young E = 30 GPa; coefficiente di Poisson ν = 0.25). La banda di taglio è stata modellata mediante elementi di interfaccia aventi legame costitutivo elastoplastico incrudente equivalente a SS per il continuo, appositamente implementato nel codice di calcolo mediante delle routine in linguaggio FISH. Alle interfacce è stato assegnato uno spessore fittizio t s = 20 d 50 = 4 e 40 mm. I risultati delle simulazioni numeriche delle prove di carico chiaramente forniscono la completa descrizione del quadro tensio-deformativo del terreno circostante il palo. Al contrario il metodo 3M restituisce informazioni sul solo stato tensionale agente lungo il fusto del palo in condizioni di completa mobilitazione della resistenza laterale. Il confronto tra i due approcci è quindi presentato in termini di profili di hf e. In figura 4 si riportano le soluzioni numeriche e analitiche relative ai due casi di pali lunghi in terreni addensati presentati in precedenza, per i quali gli effetti della dilatanza parzialmente impedita inducono elevati valori di incremento di confinamento durante la fase di carico e, dunque, di resistenza. Fig 4. Confronto risultati FLAC vs 3M: L=40 m, D r = 70 %, t s = 4 e 40 mm Si osserva un ottimo accordo tra le previsioni numeriche e quelle analitiche, sia in termini di tensione orizzontale (Fig. 4a) sia in termini di profili di (Fig. 4b, c). Come atteso, nella parte centrale del palo, dove la cinematica del problema è più vicina alle condizioni di deformazione piana proprie dell espansione di una cavità cilindrica, il rapporto 3M / FLAC (Fig. 4c) tende a 1: le modestissime differenze tra le soluzioni ottenute con i due approcci sono sostanzialmente imputabili agli effetti delle rotazioni delle direzioni principali e alle deformazioni del palo indotte dall effetto Poisson (aspetti non considerati nel 3M). Come anticipato, differenze più significative si determinano in prossimità delle estremità del palo, soprattutto in prossimità della testa. L analisi di dettaglio dei risultati ottenuti con le analisi numeriche ha evidenziato che 3M approssima sempre per difetto i risultati delle analisi numeriche, con differenze tanto più elevate quanto più importante è il ruolo giocato dalla dilatanza (sabbie grosse e addensate): i maggiori incrementi di confinamento ottenuti dalle analisi numeriche sono determinati dalle deformazioni volumetriche plastiche associate alle distorsioni plastiche che si generano anche al di fuori della banda di taglio, in prossimità del piano campagna. Tale aspetto non può essere colto dal metodo 3M. In figura 5 i confronti tra le previsioni ottenute dalle due metodologie sono espressi in termini di valori

6 medi di m valutati lungo il fusto dei pali ( m,3m vs m,flac), ottenuti nelle analisi con e senza falda, in sabbie dense e sciolte (D r = 30% e 70%) al variare di OCR, sc e t s, nei pali lunghi e corti (per un totale di 64 analisi). Come atteso 3M sottostima le soluzioni ottenute da FLAC e gli scarti tendono a essere maggiori nei terreni a grana grossa. E tuttavia evidente che, in tutti i casi, 3M consente una buona previsione della resistenza laterale, con errori valutati rispetto alla soluzione numerica contenuti entro il 20%. 4. Conclusioni Grazie a una schematizzazione adeguata, ancorché semplificata, dei principali fenomeni che si sviluppano all interfaccia palo-terreno, il Metodo 3M è in grado di restituire valori di q s (e quindi di ) in buon accordo con quelli desumibili da una più complessa e onerosa modellazione numerica. La semplicità del metodo ne consente una altrettanto semplice e immediata implementazione in fogli di calcolo: a parere degli scriventi, il vantaggio che deriva da una notevolissima riduzione degli oneri computazionali rispetto alle analisi numeriche, compensa ampiamente i modesti errori di valutazione della resistenza laterale di un palo trivellato rendendo il 3M potenzialmente utile nell affrontare problemi applicativi. Ovviamente il suo impiego nella pratica professionale prevede un processo di calibrazione che deve avvenire mediante un confronto sistematico con dati sperimentali di prove di carico ben documentate su pali strumentati in vera grandezza in terreni sabbiosi. 5. Bibliografia Fig 5. Confronto risultati FLAC vs 3M per pali lunghi e corti, in sabbie fini e grosse, con D r =30% e 70% Bolton M.D. (1986). The strength and dilatancy of sands, Géotechnique, 36 (1), Davis E. H. (1968). Theories of Plasticity and the Failure of Soil Masses. Soil Mechanics, Selected Topics. Ed. I. K. Lee, Butterworth. Lehane B.M., Jardine R.J., Bond A.J., Frank R. (1993). Mechanisms of shaft friction in sand from instrumented pile tests, Journal of Geotechnical Engineering, 119 (1), Jamiolkowski M., Ghionna V., Lancellotta R., Pasqualini E. (1988). New correlations of penetration tests for design practice. Proc. Int. Symp. Of Penetration Testing, ISOPT-1, Orlando, AA Balkema Publishers, The Netherlands, 1, Mascarucci Y. (2012). Un nuovo approccio per la valutazione della resistenza laterale in terreni sabbiosi. Tesi di Dottorato. Sapienza Università di Roma. Mascarucci Y., Mandolini A., Miliziano S. (2012) Effetti della dilatanza parzialmente impedita sulla resistenza laterale dei pali trivellati in sabbie, IARG 2012, Padova, 2-4 luglio Mortara G. (2001). An elastoplastic model for sand-structure interface behaviour under monotonic and cyclic loading. Ph.D. Thesis. Technical University of Torino. Rowe P.W. (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 269, (1339), Viggiani G., Kuntz M., Desrues J. (2001). An experimental investigation of the relationship between grain size distribution and shear banding in granular materials. Continuous and Discontinuous Modelling of Cohesive- Frictional Materials, Vermeer PD et al. (eds), Lecture Notes in Physics. Springer, Berlin. 568: Yu H.S, Houlsby G.T. (1991). Finite cavity expansion in dilatant soils: loading analysis, Géotechnique, 41(2),