ANALISI NUMERICHE CONCERNENTI LA LOCALIZZAZIONE DELLE DEFORMAZIONI IN MATERIALI GRANULARI CEMENTATI

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1 ANALISI NUMERICHE CONCERNENTI LA LOCALIZZAZIONE DELLE DEFORMAZIONI IN MATERIALI GRANULARI CEMENTATI Agnese Murianni Politecnico di Bari Claudio di Prisco Politecnico di Milano Antonio Mario Federico Politecnico di Bari Sommario Come ben noto, i risultati numerici riguardanti l analisi di problemi al contorno concernenti materiali con comportamento softening, sono alquanto dubbi quando vengono utilizzati approcci numerici tradizionali. Non appena ha luogo un processo di localizzazione delle deformazioni, il comportamento rammollente, nelle applicazioni agli elementi finiti, è causa sia di una forte dipendenza dalla discretizzazione adottata che di problemi di convergenza. E quindi necessario utilizzare tecniche di regolarizzazione della soluzione. Questa memoria riguarda il problema della simulazione numerica della localizzazione durante una prova di compressione piana su di un materiale granulare cementato ideale. In questo lavoro è impiegato un approccio non-locale viscoplastico. I risultati numerici, ottenuti mediante approcci locali e non locali, sono analizzati criticamente. I modelli presi in considerazione sono il modello Mohr-Coulomb locale elasto- perfettamente plastico, il modello Mohr-Coulomb elastoplastico con legge di softening e le versioni locale e non locale del modello Mohr-Coulomb elastoviscoplastico con legge di softening. Introduzione In Ingegneria Geotecnica il termine softening" è generalmente adottato per indicare il comportamento meccanico dei materiali come argille sovraconsolidate e sabbie dense caratterizzato da un picco di resistenza a taglio seguito da una riduzione della stessa all aumentare della deformazione. Questo comportamento è di solito associato al processo di localizzazione delle deformazioni plastiche deviatoriche che ha luogo in una banda di taglio di spessore definito. Data l'importanza di questo fenomeno, specie nei problemi di stabilità dei pendii, una vasta gamma di tecniche sperimentali per l analisi della localizzazione è stata applicata nel corso degli anni, tra cui la microscopia ottica a luce polarizzata (Morgenstern & Tchalenko, 1967), la microscopia elettronica a scansione (Balasubramaniam, 1976), analisi radiografiche (Arthur & Dunstan, 198; Scarpelli & Wood, 198) e la stereofotogrammetria (Desrues & Viggiani, 4). Da un punto di vista numerico, il fenomeno è strettamente legato (i) ad un cambiamento nel carattere delle equazioni matematiche governanti il problema (ii) all insorgere di instabilità numerica, che si esplica con dipendenza dalla mesh utilizzata e con problemi di convergenza numerica non appena inizia il processo di localizzazione. Per quanto riguarda i terreni, recentemente, molti Autori (Viggiani et al., 1994; di Prisco & Imposimato, 3; Troncone, ; Murianni, 11) hanno proposto l utilizzo di approcci non-locali per superare i problemi derivanti dall implementazione agli elementi finiti di una legge

2 softening. Questa nota riguarda il problema della simulazione numerica della localizzazione durante una prova di compressione piana su di un materiale granulare cementato e secco ideale e l analisi critica dei risultati numerici ottenuti per mezzo di approcci locali e non locali. I modelli presi in considerazione sono il modello Mohr-Coulomb locale elastoperfettamente plastico (MC), il modello Mohr-Coulomb elasto-plastico con legge di softening (MCS) e le versioni locale (EVP) e non locale (NL) del modello Mohr-Coulomb elasto-viscoplastico con legge di softening. Modellazione costitutiva In questa sezione sono brevemente descritti il modello costitutivo elasto-viscoplastico e quello non-locale utilizzati per analizzare il comportamento del terreno in una prova di compressione piana, tralasciando il ben noto modello elasto-plastico. Il comportamento softening è introdotto permettendo, in generale, la degradazione della coesione c', dell angolo di attrito interno ϕ ' e della dilatanza ψ al variare dell invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche: k =. ε& ε& (1) dove ε& rappresenta l incremento del tensore delle deformazioni plastiche deviatoriche. Nel p r presente lavoro, k è il valore di k all inizio della degradazione di c', ϕ ' e ψ e k il suo valore a degradazione completata. Per tutti i modelli si è adottata una legge di flusso non associata, ovvero ϕ' ψ. Il modello elasto-viscoplastico e il modello non-locale Nell elasto-viscoplasticità, il tensore delle deformazioni totali in termini incrementali ε& è e esprimibile come la somma del tensore delle deformazioni elastiche ε& e di quello delle deformazioni viscoplastiche ε& : e ε & = ε & + ε& () dove ε& è esprimibile come: ε & = γφ ( F) Φ è il nucleo viscoso, γ un parametro costitutivo e G la funzione potenziale plastico. La funzione di snervamento F coincide con il criterio di snervamento alla Mohr- Coulomb. Il nucleo viscoso Φ ( F) è espresso come: Φ ( F) = e αf (4) α essendo un altro parametro costitutivo. Per una trattazione completa del modello si rimanda all articolo di di Prisco & Imposimato (1996). Per l approccio non locale, gli Autori hanno deciso di modificare la relazione (3) secondo l approccio proposto da di Prisco et al. (). L Eq. (3) pertanto è cosi modificata: in cui ( F) G dt σ' (3) ε & dove: = γφ ( ˆF ) P dt σ' () ( i ) ( i i ) (6) ˆF = F x ω x x dv V e x i rappresenta le generiche variabili spaziali (x, y, z), x i le variabili spaziali del punto P preso in considerazione, V è il volume sferico nel quale è fatta la media pesata dei valori ω x x è una funzione gaussiana a campana assunti dalla funzione di snervamento F, e ( ) i i

3 centrata in P. Le equazioni () and (6) introducono un solo parametro aggiuntivo: il raggio R ω x x è una funzione predefinita. del volume sferico V, poiché ( ) i i La prova di compressione piana In Fig. 1 è rappresentato uno schema del problema esaminato. Si tratta di una prova di compressione piana su un provino di materiale granulare cementato e secco di altezza pari a 7 cm e larghezza pari a 4 cm. Non sono state considerate condizioni assialsimmetriche, perché ci si aspetta che il processo di localizzazione non sia simmetrico. Sul bordo superiore è imposto uno spostamento verticale con una velocità costante pari a 4 m/s. Il bordo inferiore è fisso. I bordi verticali sono liberi di muoversi in qualsiasi direzione. Sui lati destro e sinistro, dopo la prima fase di compressione isotropa, lo sforzo normale p c è mantenuto costante e pari a kpa. Il materiale è assunto essere privo di peso proprio ed omogeneo, ovvero la localizzazione avviene in modo casuale, poiché non sono introdotti difetti a priori. La geometria del campione è stata discretizzata con una mesh non strutturata di elementi triangolari a 6 nodi e 9 punti di Gauss con un numero di elementi pari a, 8, 4, 14 e 374, come mostrato nella Fig.. Figura 1. Geometria e condizioni al contorno. Figura. Differenti mesh (, 8, 4, 14 e 374 elementi). I valori iniziali di coesione, di angolo di attrito interno e di dilatanza sono pari, rispettivamente, a kpa, e. Per il comportamento elastico, il modulo di Young e il rapporto di Poisson sono definiti dai valori: E = 6 kn/m e ν ' =.3. La legge di softening è introdotta consentendo alla coesione e l'angolo di dilatanza di degradare linearmente all aumentare dell invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche k (Fig. 3a e Fig. 3b). In Fig. 4 è rappresentato l invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche per il modello MC. Non è presente, ovviamente, un chiaro meccanismo di localizzazione, sebbene si possa individuare al fondo del provino l incipit di una doppia banda di taglio. Questo è imputabile all utilizzo di una legge di flusso non associata. La Fig. mostra, invece, le curve forza-spostamento verticale per il modello MC, tipiche di un modello elasto-plastico perfetto. In Fig. 6 è rappresentato l invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche per il modello MCS, mentre in Fig. 7 sono riportate le curve forza-spostamento E chiara una forte dipendenza dalla mesh utilizzata. Quando viene utilizzata una maglia fine (ad es. 374 elementi, Fig. 6), si sviluppa un errore numerico troppo grande e l'analisi si ferma non appena appare una localizzazione delle deformazioni plastiche. Questo è ovviamente dovuto ad una sorta di "instabilità strutturale" associata al ben noto fenomeno di snap-back, che è funzione

4 del rapporto tra la dimensione delle maglie e l'altezza del campione. La Fig. 7 mostra chiaramente questo fenomeno via via che la maglia si infittisce. Peraltro, le analisi numeriche presentano molti problemi di convergenza. E importante notare che la dipendenza dalla mesh rende i risultati computazionali molto dubbi e, inoltre, l'errore numerico è un problema importante perché impedisce di trattare le leggi di softening agli elementi finiti. 8 c' [kpa] 6 ψ [ ] 4 3 k p k [%] k r 3 k p k [%] k r (a) (b) Figura 3. Degradazione lineare della a) coesione c e b) dell angolo di dilatanza ψ all aumentare dell invariante di deformazioni plastiche deviatoriche k Number of mesh elements (e) Figura 4. Il modello MC - invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche k per differenti tipi di mesh: a), b) 8; c) 4; d) 14 ed e) 374 elementi Figura. Il modello MC: curve forza-spostamento In Fig. 8 è rappresentato l invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche per il modello EVP, mentre in Fig. 9 sono rappresentate le curve forza-spostamento I valori dei 4-3 parametri viscosi sono: γ = / s e α =. Si è considerato un basso valore di viscosità data la scarsa rilevanza del fattore tempo nella risposta deformativa dei materiali granulari cementati. Nonostante l infittimento della mesh, non ci sono problemi di snap-back, sebbene continui ad essere presente una leggera dipendenza dalla discretizzazione adottata. In Fig. è rappresentato l invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche mentre in Fig. 11 sono mostrate le curve forza-spostamento verticale per il modello NL. Il raggio non locale R è pari a.8 m. Solo per questo modello in Fig. non sono più riportati il numero di elementi della mesh, ma il rapporto l/h, l essendo la dimensione del singolo elemento ed H l altezza del provino. Confrontando tale rapporto ad R, si può immediatamente dedurre se all interno della sfera non-locale rientrano sufficienti punti di Gauss. Il processo di iterazione è molto veloce e l errore numerico è molto basso. La localizzazione è chiara, ma è importante sottolineare che la scelta del raggio non-locale influenza l'orientamento della banda di taglio.

5 Considerando il rapporto l/r, è possibile affermare che i risultati più realistici siano ottenuti per bassi valori di l/r, perché entro il raggio non-locale rientrano molti punti di Gauss. Number of mesh elements (e) Figura 6. Il modello MCS - invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche k per differenti tipi di mesh: a), b) 8; c) 4; d) 14 ed e) 374 elementi Figura 7. Il modello MCS: curve forza- spostamento Conclusioni L'analisi di una prova ideale di compressione piana ha mostrato come i risultati numerici relativi a materiali caratterizzati da una certa fragilità siano alquanto incerti quando vengono utilizzati approcci standard. Infatti, come noto, il softening, causa una marcata dipendenza della soluzione dalla mesh e inquietanti problemi di convergenza. Dalle analisi numeriche svolte in questa nota è risultata chiara l inadeguatezza dei modelli elasto-plastici nel trattare questo tipo di problema. Soprattutto per i materiali granulari cementati il fenomeno dello snap-back è molto evidente. Come tecnica di regolarizzazione in questo lavoro è stato utilizzato l'approccio non-locale. Che ha permesso di superare sia la dipendenza dalla mesh (sebbene ci voglia molta accortezza nella scelta del raggio non-locale), ma soprattutto di migliorare nettamente il problema della convergenza delle soluzioni. Nel modello viscoplastico NL compaiono tre nuovi parametri: due viscosi, γ ed α ed il raggio non locale R. La scelta dei parametri viscosi deve essere svolta con attenzione, poiché da essi dipende la risposta ritardata del materiale. Valori inadeguati dei parametri viscosi porterebbero a vistosi errori di valutazione, così come, d altra parte, valori troppo bassi dei medesimi parametri non permettono il superamento del problema dello snap-back. In particolare, lo spessore della zona localizzata risulta, a seconda dei parametri utilizzati, dominata o dalla misura del raggio non-locale o dal fattore tempo (e quindi dai parametri che definiscono la plasticità ritardata). Quest ultimo aspetto è oggetto tutt ora di approfondimenti da parte degli Autori di questo articolo. Bibliografia Arthur, J.R.F. & Dunstan, T. (198). Rupture layers in granular media. Proc. IUTAM Conf. Deformation and Failure of Granular Materials, Delft, Balasubramaniam, A.S (1976). Local strains and displacement patterns in triaxial specimens of a saturated clay. Soils and Foundations, 16(1): 1-l 14. Desrues, J. & Viggiani, G. (4). Strain localization in sand: an overview of the experimental results obtained in Grenoble using stereophotogrammetry. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 8(4): di Prisco, C. & Imposimato, S. (1996). Time dependent mechanical behaviour of loose sands.

6 Mechanics of Cohesive-Frictional Materials, 1(1): di Prisco, C., Imposimato, S. & Aifantis, E.C. ().A viscoplastic constitutive model for granular soils modified according to non local and gradient approaches. International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 6(): di Prisco, C. & Imposimato, S. (3). Nonlocal numerical analyses of strain localisation in dense sand. Mathematical and Computer Modelling, 37(-6): Morgenstern, N.R. & Tchalenko J.S. (1967). Microscopic structures in kaolin subjected to direct. Géotechnique, 17: Murianni A. (11). Progressive failure in slopes stability. Use of a non-local approach. Lap Lambert Academic Publishing Ed., Germany. Scarpelli, G. & Wood, D.M. (198).Experimental observations of band pattern in direct tests. Proc. IUTAM Conf. on Deformation and Failure of Granular Materials, Delft, Troncone, A. (). Numerical analysis of a landslide in soils with strain-softening behaviour. Géotechnique, (8): Viggiani. G., Finno, R.J. & Harris, W.W. (1994).Experimental observations of strain localisation in plane strain compression of a stiff clay. Localisation and Bifurcation Theory for Soils and Rocks, Chambon et al. Eds., Balkema, Rotterdam. Number of mesh elements (e) Figura 8. Il modello EVP - invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche k per differenti tipi di mesh: a), b) 8; c) 4; d) 14 ed e) 374 elementi Figura 9. Il modello EVP: curve forza- spostamento l/r Figura. Il modello NL - invariante delle deformazioni plastiche deviatoriche k per differenti valori di l/r: a) 1., b).87; c). e d) Figura 11. Il modello NL: curve forza-spostamento