L ACCOPPIAMENTO IDRO-MECCANICO SUL GIUNTO DIGA-FONDAZIONE ANALIZZATO MEDIANTE IL MODELLO DELLA ZONA COESIVA CON ATTRITO

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1 L ACCOPPIAMENTO IDRO-MECCANICO SUL GIUNTO DIGA-FONDAZIONE ANALIZZATO MEDIANTE IL MODELLO DELLA ZONA COESIVA CON ATTRITO Silvio Valente e Andrea Alberto Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica Politecnico di Torino 20 marzo Giornata mondiale dell acqua : Manutenzione e riabilitazione delle dighe

2 Gli Effetti di Scala nella Meccanica dei Solidi A. Carpinteri. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 37(5): , 1989.

3 Il Modello della Zona Coesiva. Questo modello fu inizialmente proposto da Barenblatt(1962),Dugdale(1960) ed Hillerborg(1976).

4 La Doppia Legge Costitutiva.

5 Un Problema alla Grande Scala: la Diga a Gravitá. ICOLD. Theme A2: Imminent failure flood for a concrete gravity dam. In Fifth International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams, Denver (CO), 1999.

6 La Presa in Conto dell Attrito.

7 L Instabilitá Numerica Durante le Iterazioni di Equilibrio. Il comportamento non-lineare del giunto diga-fondazione richiede delle iterazioni di equilibrio. Durante queste interazioni si cerca di imporre, sulla stessa porzione del contorno del dominio elastico, una condizione (cioé la legge di degrado delle tensioni coesive) espressa sia in temini di spostamento sia in termini di tensione. In queste condizioni, dal punto di vista teorico non é garantita l unicitá di soluzione. Nella prima parte di propagazione del distacco si verificano le seguenti condizioni: Il giunto é soggetto a slittamente mentre, nel contempo, si apre. Il problema é quindi diverso dall attrito tradizionale, che si sviluppa tra superfici soggette a compressione. É realistico assumere che le due componenti della tensione coesiva mantengano costante il loro rapporto mentre si degradano (ipotesi di degrado proporzionale). Sotto tali condizioni é stata formulata una espansione asintotica del problema dell equilibrio elastico all apice di un distacco coesivo: B.L. Karihaloo and Q.Z. Xiao. International Journal of Fracture, 150:55 74, 2008.

8 Lo Stato Tensionale nell Intorno dell Apice di una Zona Coesiva Per problemi piani, le tensioni e gli spostamenti, in coordinate cartesiane, possono essere espressi per mezzo di due funzioni analitiche, φ(z) and χ(z), della variabile complessa z = re iθ σ x + σ y = 2[φ (z) + φ (z)] (1) σ y σ x + 2iτ xy = 2[zφ (z) + χ (z)] (2) 2µ(u + iv) = kφ(z) zφ (z) χ (z) (3) dove µ = E/[2(1 + ν)] é il modulo di taglio mentre la costante di Kolosov é κ = 3 4ν per problemi di deformazione piana.

9 L Espansione Asintotica N.I. Muskhelishvili. Some basic problems of mathematical theory of elasticity. Noordhoff, The Netherlands, In condizioni di modo-misto I+II, le due funzioni analitiche φ(z) and χ(z) possono essere scelte come serie di funzioni di Goursat: φ(z) = n=0 A nz λn = n=0 A nr λn e iλnθ, (4) χ(z) = n=0 B nz λn+1 = n=0 B nr λn+1 e i(λn+1)θ (5) Le eventuali perdite di unicitá vengono quindi discusse e risolte durante la formulazione dell espansione, cioé ricavando i vincoli tra i coefficienti complessi A n e B n. In questo modo si rendono piú stabili le inevitabili iterazioni di equilibrio.

10 La Legge di Degrado delle Tensioni Coesive Compatibile con l Espansione Asintotica Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) Per poter avere un interesse applicativo, l espansione asintotica non puó dipendere da una forma fissa della legge coesiva (lineare, bi-lineare, esponenziale, ecc), ma deve prevedere alcuni parametri liberi da calibrare sui risultati di prove di laboratorio. Nel presente lavoro viene studiato il distacco tra due materiali diversi e quindi viene usata la seguente legge coesiva: σ y = τxy = 1 + σ 0 µ f σ 0 L i=1 ( ) (2i 1) ( weff 3 α i 1 + w eff,c L i=1 ) ( ) 2L+1 weff 3 α i w eff,c (6) dove w eff = w 2 + δ 2 e (σ 0, µ f σ 0 ) corrisponde ad uno stato di tensione critico all apice della zona di distacco.

11 La Calibrazione dei Parametri Liberi della Legge Coesiva Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) Nel presente lavoro é stato assunto L = 5, α 1 = , α 2 = , α 3 = , α 4 = ed α 5 =

12 Il Metodo Iterativo di Ricerca della Soluzione. Per ogni posizione dell apice della zona coesiva (abbreviato ZC), viene applicata la seguente procedura iterativa: [ ] i+1 w = f δ ( [ σy τ xy ] i ), [ σy τ xy ] i+1 = g ( [ ] i+1 ) w δ i = 0, 1, 2... (7) Al di fuori della zona coesiva, il materiale ha un comportamento lineare. Per le ipotesi precedentemente esposte, i fattori di intensificazione degli sforzi sono nulli: K 1 = K 2 = 0. Imponendo tale condizione si puó determinare l altezza critica del livello dell acqua sopra il coronamento della diga (h ovt) e la tensione tangenziale critica all apice della zona coesiva (τ xy,zc ). Tutti questi vincoli lineari sono inclusi nell operatore f. L operatore g include invece i vincoli non lineari che discendono dai primi tre termini dell espansione asintotica. Alla prima iterazione (i = 0) nella zona coesiva si assume w = δ = 0. Successivamente le tensioni coesive vengono rilassate secondo la legge di degrado ricavata dalle prove di laboratorio.

13 Le Proprietá dei Materiali. Density Young s modulus Poisson s ratio [kg/m 3 ] [MPa] [-] Rock Concrete w eff,c = 2.56mm, τ u = µ f σ u = 0.95 MPa, µ f = 45. ICOLD. Theme A2: Imminent failure flood for a concrete gravity dam. In Fifth International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams, Denver (CO), 1999.

14 Le Linee di Livello della τ Tracciate sul Reticolo Deformato. Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) L estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga. L acqua in pressione penetra ove w > w eff,c 2/9 = /9 = mm. W. Reich, E. Brühwiler, V. Slowik, and V.E. Saouma. interaction. In Dam fracture and damage, pages , The Netherlands, Balkema.

15 Il Diagramma di Apertura del Giunto Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) L estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga.

16 Il Diagramma di Slittamento del Giunto Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) L estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga.

17 Il Confronto tra Due Diverse Espansioni Asintotiche Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto (2013) Monomaterial Bi-material max τ 0.95 MPa MPa max σ x 2 MPa 2 MPa Overtopping water height 4.91 m 3.65 m COD at 6.48m from FCT mm mm Tabella: Confronto tra i principali risultati. L estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga. Il caso monomateriale é descritto in: Barpi F e Valente S The cohesive frictional crack model applied to the analysis of the dam-foundation joint Engineering Fracture Mechanics 77 pag , 2010

18 Confronto tra le Distribuzioni Circonferenziali delle Tensioni Dalla Tesi di Dottorato dell Ing.Andrea Alberto(2013)

19 Conclusioni Le prove di laboratorio eseguite sui materiali quasi-fragili mostrano evidenti effetti di scala. Il modello della zona coesiva, abbinato al metodo degli elementi finiti, permette di simulare numericamente una buona parte degli effetti di scala. Quando tale modello é usato alla grande scala sul giunto diga-fondazione si manifestano instabilitá numeriche che possono essere superate imponendo i primi termini dell espansione asintotica, senza rinunciare alla presa in conto della legge coesiva che risulta dalle prove di laboratorio. Sviluppi futuri Spesso i problemi reali sono tri-dimensionali e quindi l approccio va esteso alla terza dimensione.