FORMULAZIONE E VALIDAZIONE DI UN NUOVO MODELLO COSTITUTIVO PER ROCCE TENERE

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1 FORMULAZIONE E VALIAZIONE I UN NUOVO MOELLO OSTITUTIVO PER ROE TENERE Angelo Amorosi ipartimento di Ingegneria ivile, Ambientale, del Territorio, Edile e di himica, Politecnico di Bari angelo.amorosi@poliba.it Stefano Aversa ipartimento di Ingegneria, Università di Napoli Parthenope stefano.aversa@uniparthenope.it aniela Boldini ipartimento di Ingegneria ivile, himica, Ambientale e dei Materiali, Università di Bologna daniela.boldini@unibo.it Marco Valerio Nicotera ipartimento di Ingegneria ivile, Edile e Ambientale, Università di Napoli Federico II marcovalerio.nicotera@unina.it Sommario In questa nota viene presentato un nuovo modello costitutivo sviluppato nell ambito della meccanica dello stato critico in grado di riprodurre i principali aspetti caratteristici del comportamento meccanico delle rocce tenere. Il modello è stato usato per simulare una serie di prove di carico su piastra condotte sul Tufo Giallo Napoletano negli anni 70, che, grazie alla realizzazione di cicli di carico, scarico e ricarico con piastre di diametro diverso, avevano messo in evidenza il ruolo dei fenomeni di destrutturazione nella risposta osservata. La calibrazione dei parametri e delle variabili di stato del modello è stata condotta con riferimento ad una serie di prove di laboratorio condotte sullo stesso materiale ed utilizzando il primo ciclo di carico e scarico di due delle prove di carico su piastra. Il confronto tra la numerica e le successive fasi di ricarico, fino ad elevati livelli di tensione, e scarico è risultato piuttosto soddisfacente ed ha quindi permesso di validare la formulazione costitutiva messa a punto. 1. Introduzione Il comportamento meccanico delle rocce tenere si caratterizza per degli aspetti peculiari che lo differenziano da quelli tipici dei terreni e delle rocce dure. Questi materiali, infatti, pur essendo dotati di coesione e di resistenza a trazione, si contraddistinguono per l attingimento della condizione di snervamento già durante percorsi di compressione isotropa e non, per il manifestarsi di fenomeni di destrutturazione nella fase post-snervamento, che ne riducono la resistenza e modificano la forma della superficie di snervamento (Aversa e Evangelista, 1998; Aversa e Lagioia, 2000), per la forte influenza del valore della tensione media sul comportamento tensione-deformazione lungo percorsi di taglio, con comportamento elastico lineare quasi fino ad una rottura fragile per valori ridotti della tensione media e con rigidezza elastica non lineare e successiva risposta duttile nel caso di tensioni medie elevate (Pellegrino, 1968). Modelli costitutivi capaci di tenere conto di tutte queste caratteristiche sono a tutt oggi poco sviluppati in ambito accademico e non sono presenti nelle librerie dei codici di calcolo commerciali. Questo determina una limitata possibilità di poter analizzare il comportamento di opere geotecniche interagenti con questa classe di materiali, la cui progettazione è ancora basata su un elevato grado di

2 hieti e Pescara, luglio empirismo. In questa nota viene presentato un nuovo modello costitutivo per le rocce tenere recentemente implementato nel codice agli elementi finiti Plaxis. Esso è stato validato con riferimento a delle prove di carico su piastra condotte da Pellegrino (1974) all'interno di una galleria realizzata a fine anni '60 a Napoli e scavata nella formazione del Tufo Giallo Napoletano. 2. Il nuovo modello costitutivo per le rocce tenere Il modello costitutivo messo a punto è formulato nell ambito della meccanica dello stato critico. Il comportamento reversibile è descritto da una formulazione iperleastica che permette di tenere conto della non linearità e della dipendenza dallo stato tensionale della rigidezza (Houlsby et al., 2005). L energia potenziale ha la seguente espressione: (2 n)/(2 2 n) 2 2 /(2 2 ) 3g p W k n k 2 n 1 n ( ε e (2 )/(1 ), ε e a n n n n e e v s ) = ( 1 ) ( ε v ) + ( ε s ) dove ε e v e ε e s rappresentano la deformazione elastica volumetrica e deviatorica, p a è la pressione atmosferica e n, k e g sono parametri adimensionali da determinarsi sperimentalmente. La superficie di snervamento adottata nel modello, originariamente proposta da Bigoni e Piccolroaz (2004), è funzione dei tre invarianti della tensione p, q e ϑ (angolo di Lode): q F( σ, q ) = f ( p) + (2) g ϑ ( ) m ( ) ( ) 21 ( ) f p = Mpc Φ Φ α Φ+ α (3) 1 g ( ϑ ) = cos / 3 / 6 (1/ 3)cos cos3 1 ( π βπ ( γ ϑ) ) con Φ=(p+c)/(p c +c) [0,1]. Essa può assumere forme molto diverse nel piano meridiano (attraverso la funzione f) e deviatorico (attraverso la funzione g) mediante la specifica selezione dei valori dei seguenti 7 parametri: M > 0, che controlla la dipendenza dalla pressione media; p c > 0 e c 0, che corrispondono alle tensioni di snervamento in compressione ed estensione; 0 < α < 1 ed m > 1, che definiscono la distorsione nel piano meridiano; 0 β 2 e 0 γ 1, che ne controllano la forma nel piano deviatorico. La legge di flusso è di tipo associato. Nel modello, a differenza di quanto originariamente proposto, M, p c e c non assumono valori costanti ma sono variabili di stato la cui evoluzione è controllata da opportune leggi di incrudimento isotropo. La legge di evoluzione della variabile p c è una versione modificata di quella proposta originariamente da Kavvadas e Amorosi (2000): 1 p d d p p p c = pc ε v -ξv exp( -ηvεv ) ε v -ξs exp( -ηsεs ) ε s λ κ (5) Essa è composta da due parti: il primo termine volumetrico corrisponde alla legge di incrudimento del modello di am-clay modificato, qui riferito ad un piano di compressibilità bilogaritmico caratterizzato dalle pendenze λ (indice di compressibilità) e κ (indice di rigonfiamento), mentre gli altri termini tengono conto della degradazione della struttura indotta dalle deformazioni plastiche volumetriche e deviatoriche, secondo delle leggi esponenziali negative controllate dai parametri ξ v, η v, ξ s ed η s. Analoghe leggi di incrudimento, solo negativo, sono definite per le due rimanenti variabili di stato: d d p p c = c -ξ vc exp( -ηvcεv ) ε v -ξsc exp( -ηsc εs ) ε s (6) ( ) ( ) d d p p M = M -ξ vm exp -ηvmεv ε v -ξsm exp -ηsmεs ε s (7) (1) (4)

3 hieti e Pescara, luglio 3. Le prove di carico su piastra condotte sul tufo giallo napoletano Le prove di carico su piastra prese in considerazione in questa nota sono state realizzate nella formazione del Tufo Giallo Napoletano durante lo scavo di una galleria nella città di Napoli (Pellegrino, 1974). In Figura 1 è possibile vedere l apparecchiatura utilizzata. Le curve carico-cedimento ottenute durante la campagna sperimentale sono rappresentate in Figura 2. La Figura 2(a) riporta le misure relative a 7 prove di carico condotte con una piastra di diametro d = 500 mm fino ad una pressione di 9 MPa. Esse mostrano una certa dispersione, probabilmente a causa delle irregolarità presenti sul piano di appoggio e dell eterogeneità del materiale. Ulteriori 7 prove sono state condotte con una piastra di dimensioni minori (d = 300 mm) sulla stessa impronta di carico delle prove precedenti, arrivando alla rottura (Figura 2(b)). E possibile osservare in questo caso una minore dispersione delle curve, in virtù della maggiore regolarità del piano di appoggio dovuta alla fase di carico precedente. Un unica prova (prova B di Figura 2(b)) è stata condotta direttamente con la piastra più piccola su una porzione di superficie vergine. Essa mostra un comportamento diverso dalle altre prove, sia in termini di tensione di snervamento che di rigidezza. struttura di contrasto a) b) barre dywidag martinetto trave di sostegno comparatori martinetto testa palo di ancoraggio binario per movimentazione trave di sostegno comparatori piastra Fig 1. Apparecchiatura utilizzata per le prove di carico su piastra (modificato da Aversa et al., 2007) PIASTRA d=500 mm 0.0 PIASTRA d=300 mm Prova: A B E F G H Fig 2. urve carico-cedimento ottenute durante le prove di carico su piastra condotte con la piastra da 500 mm (in sinistra) e con la piastra da 300 mm (in destra).

4 hieti e Pescara, luglio 4. alibrazione del modello costitutivo e risultati numerici La calibrazione del modello è stata condotta inizialmente utilizzando i risultati di prove di laboratorio condotte sullo stesso materiale (Evangelista e Pellegrino, 1990). La dimensione iniziale e la forma della superficie di snervamento nel piano meridiano è stata fissata considerando i punti di snervamento osservati durante prove di compressione isotropa e triassiale (Figura 3). La forma richiama quella del modello di am-clay modificato (m = 2, α = 0) ed il valore iniziale delle variabili di stato è risultato essere pari a M = 1.2, p c = 8 MPa e c = 5 MPa. In assenza di specifiche informazioni è stata trascurata l influenza dell angolo di Lode (β = 1, γ = 0). I parametri iperelastici sono stati calibrati prendendo a riferimento i percorsi tensionali delle prove di compressione uniassiale (Figura 4(a)) e isotropa (Figura 4(b)), ottenendo k = 54820, n = 0.2 e g = Queste ultime sono state inoltre utilizzate anche per determinare i parametri di incrudimento attraverso la pendenza delle curve di carico e ricarico ( λ = 0.04, κ = ). Per entrambi i percorsi di carico la formulazione costitutiva è in grado di riprodurre il comportamento elastico non-lineare osservato sperimentalmente. I parametri di destrutturazione sono stati infine ottenuti mediante una procedura trial and error in modo da riprodurre l andamento delle curve di carico e scarico ottenute durante la prima fase delle prove e, caratterizzata dall uso della piastra con diametro d = 500 mm (Figura 5(a)). tensione deviatorica q pressione media p Superficie di snervamento Punti di snervamento Fig 3. Punti di snervamento e superficie di snervamento iniziale nel piano meridiano. tensione assiale σ a numerica Prove sperimentali: indice dei vuoti e (-) Prove sperimentali: 75b 75b' 75c 75c' numerica 75d 75d' 75e 77c 77d deformazione assiale ε a (-) (a) pressione media p (b) Fig 4. onfronto tra risultati sperimentali e numerica: prova di compressione uniassiale (a) e prova di compressione isotropa (b).

5 hieti e Pescara, luglio Il modello numerico agli elementi finiti adottato per simulare le prove di carico su piastra è stato assunto avente una dimensione di 5 m per 5 m, con asse di simmetria radiale corrispondente ad uno dei due bordi laterali. L azione esercitata dalla piastra è stata simulata attraverso un campo di spostamento di estensione pari al raggio della piastra. I valori così determinati sono stati i seguenti: ξ v = 20, η v = 2, ξ s = 3, η s = 3, ξ vc = 80, η vc = 365, ξ sc = 0, η sc = 0, ξ vm = 4, η vm = 4, ξ sm = 0, η sm = 0, mettendo in luce l importanza della destrutturazione della componente coesiva per effetto delle deformazioni plastiche volumetriche. La numerica, indicata con il nome di PLT1, è in grado di cogliere tutti gli aspetti salienti delle prove, ovvero la concavità verso l alto mostrata dalla curva carico-cedimento nel tratto di ricompressione ed il ginocchio in corrispondenza del quale ha inizio lo snervamento. Anche la risposta in scarico è non lineare, anche se in maniera meno pronunciata rispetto a quanto osservato sperimentalmente. La Figura 5(b) mostra il confronto tra le prove di carico su piastra e, complete anche della seconda fase condotta con la piastra più piccola, e la numerica PLT1. La calibrazione del modello, effettuata considerando solo il primo ciclo di carico-scarico, è in grado di cogliere correttamente la risposta complessiva ed in particolare la variazione non lineare del ginocchio della curva verso valori maggiori. L evoluzione delle variabili di stato del modello, attraverso le leggi di incrudimento, è risultata essenziale per poter cogliere il comportamento sperimentale. A titolo di esempio si riporta in Figura 6(a) la distribuzione dei valori della variabile coesiva c all interno della porzione del modello più vicino alla piastra (500 mm di raggio per 500 mm di altezza) in corrispondenza delle fasi B, ed E di Figura 5. La coesione subisce una riduzione iniziale (punto B) soprattutto in corrispondenza dello spigolo della piastra; la zona di destrutturazione si estende poi significativamente all aumentare del carico ed in corrispondenza del punto ha una profondità pari al raggio della piastra e valori minimi di poco inferiori ai 4 MPa. urante la fase di ricarico con la piastra di dimensioni ridotte fino al punto E la zona destrutturata non cambia di estensione, ma si manifestano ulteriori modeste diminuzioni della coesione al di sotto della nuova piastra. Per meglio mettere in evidenza il ruolo della esecuzione della prima fase di prova (piastra da 500 mm, fasi A, B, e ) è stata simulata una nuova prova, denominata PLT2, caratterizzata dalla sola fase di carico con la piastra di diametro d = 300 mm, assunta eseguita su roccia vergine. Il confronto con la curva carico-cedimento del secondo ciclo della prova PLT1, per omogeneità rappresentato A numerica PLT E Prove: Prove: B numerica PLT1 F (a) (b) Fig 5. onfronto tra le prove di carico su piastra e e la numerica PLT1: prima parte della prova condotta con la piastra da 500 mm (a) e tutta la prova condotta prima con la piastra da 500 mm e poi con la piastra da 300 mm (b).

6 hieti e Pescara, luglio (MPa) ' 1 2 E' B E Simulazione numerica: PLT1 PLT2 3 F' (a) (b) Fig 6. Evoluzione della coesione durante le due analisi PLT1 e PLT2 (a) e confronto tra le curve di cedimento ottenute nella seconda parte della prova PLT1 e nella prova PLT2 (b). considerando un cedimento iniziale nullo (punto ), è riportato in Figura 6(b). Si può osservare un cedimento maggiore a parità di carico applicato, in accordo con la risposta registrata sperimentalmente durante la corrispondente prova B di Figura 2(b). Questo comportamento è da attribuire al fatto che la preventiva esecuzione di un ciclo di carico e ricarico con piastra da 500 mm induce nel complesso un prevalente incrudimento positivo della roccia, cui corrisponde una parallela riduzione, inizialmente più rapida, della coesione. In ragione di ciò, la successiva esecuzione della prova PLT1 evidenzia un ginocchio caratterizzato da valori di snervamento e coesione differenti rispetto a quanto si osserva eseguendo direttamente la prova PLT2: in quest ultima, infatti, il processo di destrutturazione, che ha luogo a partire dalla condizione vergine, è caratterizzato da maggiore rapidità e intensità dando luogo alla collocazione interna della relativa curva di Figura 6(b) ed, al contempo, alla importante riduzione della variabile c registrata in corrispondenza del punto 2, rispetto a quella calcolata a parità di carico in corrispondenza del punto E (Figura 6(a)). Bibliografia Aversa S, Evangelista A (1998). Mechanical behaviour of a pyroclastic rock: yield, strength and destructuration effects. Rock Mechanics and Rock Engineering, 31, Aversa S, Lagioia R (2000). Model requirements and design criteria in soft rocks. Proc. Second International Symposium on the Geotechnics of Hard Soils and Soft Rocks, Aversa S, Evangelista A, Nicotera M V (2007). Analisi a posteriori di prove di carico su piastra eseguite su tufo napoletano. Proc. XXIII onvegno Nazionale di Geotecnica, Abano, Bigoni, Piccolroaz A (2004). Yield criteria for quasibrittle and frictional materials. International Journal for Solids and Structures, 41, Evangelista A, Pellegrino A (1990). aratteristiche geotecniche di alcune rocce tenere italiane. Proc. III ciclo di onferenze di Meccanica e Ingegneria delle Rocce (MIR90), Torino, 32 pagine. Houlsby G T, Amorosi A, Rojas E (2005). Elastic moduli of soils dependent on pressure: a hyperelastic formulation. Géotechnique, 55(5), Kavvadas M, Amorosi A (200). A constitutive model for structured soils. Géotechnique, 50(3), Pellegrino A (1968). ompressibilità e resistenza a rottura del Tufo Giallo Napoletano. Proc. IX onvegno Nazionale di Geotecnica, Genova, 59 pagine. Pellegrino A (1974). Surface footings on Soft Rocks. Proc. 3rd ISRM ongress, enver,