ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA RISPOSTA CICLICA DEI TERRENI

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1 ANALISI CRITICA DI UN MODELLO COSTITUTIVO PER LA RISPOSTA CICLICA DEI TERRENI Annamaria di Lernia Politecnico di Bari Angelo Amorosi Politecnico di Bari Daniela Boldini Università di Bologna Sommario Nella presente nota si mostrano i risultati della simulazione numerica di prove di taglio ciclico monodirezionale e multidirezionale eseguite su un elemento di volume adottando per il terreno un modello costitutivo elastoplastico isteretico implementato nella libreria di un codice di calcolo agli elementi finiti. L obiettivo delle analisi è quello di studiare la risposta ciclica del modello costitutivo con riferimento a semplici percorsi di deformazione ciclica monodirezionale (taglio semplice) e a più complessi percorsi multidirezionali, più rappresentativi delle condizioni deformative indotte durante un evento sismico reale. 1. Introduzione Il comportamento ciclico dei terreni è generalmente simulato mediante modelli costitutivi più o meno avanzati, capaci di tener conto della non linearità della risposta costitutiva del terreno sollecitato da azioni cicliche e dinamiche. Una maggiore accuratezza nella previsione della risposta ciclica del terreno corrisponde, in generale, ad una maggiore complessità nella formulazione costitutiva, anche in ragione del maggior numero di parametri che è tipicamente necessario introdurre. Alla luce di ciò, appare utile individuare soluzioni di compromesso, che assicurino realisticità dei risultati a fronte del minore grado di complessità possibile in termini di ipotesi costitutive. In linea con tale esigenza nel seguito si illustrano delle simulazioni numeriche basate su un modello costitutivo di complessità intermedia, l Hardening Soil model with small strain stiffness (HSsmall), recentemente implementato nella libreria del codice di calcolo agli Elementi Finiti PLAXIS, che consente di tener conto della non linearità della risposta del terreno anche alle piccole deformazioni, attraverso alcuni parametri di facile valutazione ingegneristica (Schanz et al., 1999; Benz et al., 29). Il lavoro presentato si colloca in una più ampia trattazione relativa allo studio della risposta sismica locale in condizioni tridimensionali con riferimento al sito di Lotung a Taiwan (Amorosi et al., 214), eseguito adottando per il terreno il suddetto modello costitutivo opportunamente calibrato sulla base dei dati sperimentali disponibili. L obiettivo del presente lavoro è di evidenziare la risposta costitutiva del modello HSsmall per percorsi di sollecitazione ciclica di taglio semplice monodirezionale e multidirezionale, questi ultimi maggiormente rappresentativi della condizione indotta in un deposito di terreno dal propagarsi di un reale evento sismico.

2 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG Modello costitutivo HSsmall 2.1 Descrizione modello costitutivo Il modello costitutivo HSsmall costituisce un evoluzione del modello Hardening Soil model, sviluppato da Schanz et al. (1999), attraverso l introduzione di una specifica formulazione paraelastica proposta da Benz et al. (29) al fine di tener conto della non linearità del terreno anche alle piccole deformazioni. Il modello, infatti, consente di descrivere il comportamento isteretico del terreno per stati all interno della superficie di snervamento per mezzo di due parametri aggiuntivi rispetto alla versione originale: il modulo di rigidezza a taglio iniziale G e la deformazione di taglio γ.7, in corrispondenza della quale il modulo di rigidezza a taglio secante G s si riduce al 7% del modulo iniziale. Esso inoltre consente di descrivere un andamento variabile con la profondità del modulo di rigidezza a taglio iniziale, attraverso la dipendenza non lineare dallo stato tensionale. L evoluzione della rigidezza e dello smorzamento in funzione del livello deformativo raggiunto è descritta mediante una relazione modificata delle curve di decadimento del modulo e dello smorzamento proposte da Hardin & Drnevich (1972). Esse presentano un troncamento in corrispondenza di un determinato valore della deformazione di taglio denominata γ cut-off (funzione di γ.7 ), in corrispondenza della quale il modulo di rigidezza tangente diviene costante e pari al modulo di rigidezza tangente di scarico-ricarico G ur. La formulazione paraelastica del modello consente di riprodurre il parziale o totale recupero di rigidezza osservato in corrispondenza di parziali o totali inversioni nella direzione di carico e/o deformazione. In particolare, tale aspetto è tenuto in conto attraverso una quantità scalare, γ hist, che descrive la storia deformativa deviatorica recente secondo l espressione: H e hist 3 (1) e nella quale e rappresenta l incremento di deformazione deviatorica lungo le sue tre direzioni principali e H è un tensore che descrive la storia deformativa precedente. Ogni qualvolta che anche una sola delle componenti principali della deformazione deviatorica subisce una inversione ne risulta un aggiornamento del tensore H, e di conseguenza una inizializzazione parziale o totale dello scalare γ hist, dal quale dipende il valore di rigidezza normalizzata G t /G adottato dal modello. La rigidezza tangente così determinata caratterizza istantaneamente le relazioni tra incremento di sforzo e di deformazione in tutte le direzioni di applicazione di quest ultimo. Per la risposta in regime irreversibile, il modello HSsmall appartiene alla classe dei modelli elastoplastici con incrudimento isotropo, in quanto caratterizzato da due superfici di snervamento che delimitano il dominio paraelastico isteretico: una superficie deviatorica, che evolve in funzione delle deformazioni deviatoriche plastiche fino al criterio di rottura di Mohr-Coulomb, ed una superficie volumetrica, la cui dimensione dipende dalle deformazioni volumetriche plastiche accumulate. 2.2 Calibrazione modello A titolo di esempio, lo studio numerico illustrato nella presente nota è stato condotto con riferimento alle caratteristiche dello strato sabbioso presente nella parte sommitale del sito di Lotung. La calibrazione dei parametri del modello adottati nelle analisi è eseguita sulla base dei dati sperimentali disponibili in letteratura per il caso di studio (Elgamal et al., 1995; Zeghal et al., 1995; Borja et al., 2) come illustrato in Fig.1 e descritto in dettaglio in Amorosi et al. (214), cui si rimanda per dettagli. In Tabella 1 sono sintetizzati i parametri del modello adottati nelle simulazioni numeriche.

3 γ (%) D (%) Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG Borja Borja et et al. al. (2)_ Gs/G G s /G G/G HSsmall_Gs/G s HSsmall_Gt/G t /G γ (%) Borja Borja et et al. al. (2)_ (2)_D D HSsmall_D HSsmall_D Fig 1. Calibrazione dei parametri del modello HSsmall: curve di decadimento del modulo di rigidezza e dello smorzamento variabile con la deformazione di taglio. Tabella 1. Parametri del modello HSsmall utilizzati nelle analisi c ' ' K ur.7 G E ur E5 E oed cut off kpa - % MPa MPa MPa MPa % Modello numerico Il modello numerico adottato nelle simulazioni consiste in un elemento di volume cubico di lato.1 m, assoggettato preliminarmente ad un percorso di carico in condizioni triassiali, seguito dalla fase di taglio ciclico monodirezionale o multidirezionale a spostamento controllato. La fase di carico triassiale è costituita a sua volta da un primo percorso di carico e scarico isotropo seguito da una fase di carico e scarico deviatorico (Tabella 2), eseguite allo scopo di espandere il dominio elastico imponendo un allontanamento delle superfici di snervamento. La fase di taglio ciclico prevede l applicazione di due tipi di percorsi di deformazione: un percorso di taglio semplice ed un percorso multidirezionale a farfalla (Fig. 2a). Tabella 2. Dettaglio della fase di carico triassiale simulata prima della fase di taglio ciclico Carico Isotropo Scarico Isotropo Carico Deviatorico Scarico Deviatorico p (kpa) q (kpa) 1.5 γ zy (%) γ zx (%).5 (a) (b) γzx γzy γ zy t (s) Fig 2. Percorso di deformazione a farfalla applicato nelle prove di taglio multidirezionali (a); andamento nel tempo delle singole componenti di deformazione (b). Le condizioni al contorno adottate per simulare la prova ciclica monodirezionale prevedono l applicazione, lungo una sola direzione, di una distribuzione uniforme di spostamenti orizzontali sulla faccia superiore dell elemento cubico ed una linearmente decrescente con la profondità sulle due corrispondenti facce verticali parallele. Le condizioni imposte per simulare la prova di taglio γ zx

4 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 multidirezionale consistono invece nella applicazione sulla faccia superiore di spostamenti orizzontali uniformi lungo due direzioni perpendicolari, le cui componenti hanno, in genere, diversa intensità, contestualmente alle corrispondenti distribuzioni linearmente decrescenti con la profondità lungo le rispettive facce verticali (Fig. 3). In entrambe le tipologie di analisi il provino è vincolato alla base in tutte le direzioni. Fig 3. Condizioni al contorno imposte nella fase di taglio ciclico multidirezionale Le prove di taglio ciclico monodirezionali sono eseguite imponendo pissate deformazioni di taglio massime (da.1% a.5%) e assegnando allo spostamento un andamento sinusoidale di periodo T pari a 1 s. Le prove di taglio ciclico multidirezionali sono invece eseguite applicando un solo livello di deformazione di taglio massima (γ =.5%) in entrambe le direzioni, attraverso un segnale sinusoidale caratterizzato da un differente periodo di oscillazione lungo le due direzioni orizzontali (il periodo del segnale applicato nelle direzione y è metà di quello nella direzione x, come mostrato in Fig. 2b), allo scopo di ottenere il percorso di deformazione pissato (Fig. 2a). 4. Risultati Per ciascun livello di deformazione massima applicato nelle simulazioni della prova di taglio semplice monodirezionale sono stati valutati il modulo di rigidezza a taglio secante ed il corrispondente valore dello smorzamento. Essi sono confrontati con le curve teoriche del modello in Fig. 4a. Lo smorzamento D è valutato come rapporto, a meno di un coefficiente moltiplicativo, tra l area racchiusa dalla curva tensioni-deformazioni in un ciclo di deformazione e l area del triangolo formato dalla retta secante il medesimo ciclo. Il confronto dei risultati delle analisi numeriche mostra un buon accordo con i valori attesi teoricamente, fino al valore limite della deformazione di taglio γ cut-off, superato il quale si osserva un leggero aumento del rapporto G s /G ed una contestuale riduzione seguita da un rapido incremento del rapporto di smorzamento D. Tale comportamento è ascrivibile alla natura del modello in quanto, al raggiungimento della deformazione limite γ cut-off, esso assume una rigidezza tangente costante (G ur ) che comporta incrementi di energia accumulata maggiori degli incrementi di energia dissipata. Quando lo stato del materiale intercetta poi il dominio di snervamento (in questo caso per un valore della deformazione di poco superiore a.1%), si verifica un accumulo delle deformazioni plastiche che aumentano ulteriormente le capacità dissipative del modello. La rappresentazione della risposta ciclica isteretica del modello è mostrata in Fig. 3b per i cicli di deformazione di taglio massima di ampiezza pari a.2%,.1 % e.2%. La curva tensioni deformazioni assume inizialmente una pendenza pari al modulo di rigidezza a taglio iniziale G, per poi ridursi all aumentare della deformazione secondo la curva di decadimento; all inversione di carico la curva è caratterizzata dalla medesima pendenza iniziale, per poi decrescere fino alla successiva inversione. In questo caso, infatti, il tensore H è completamente reinizializzato in relazione alla

5 D (%) Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 inversione del percorso deformativo monodirezionale imposto, dando luogo al corrispondente azzeramento dello scalare γ hist che, a sua volta, riporta la rigidezza a taglio al suo valore iniziale G. Dalla Fig. 3b si osserva inoltre che il regime deformativo elastico imposto dalle condizioni iniziali (i.e. superfici di snervamento allargate) fa sì che la risposta del materiale sia reversibile (la curva tensioni deformazioni passa infatti dall origine degli assi) per i due livelli deformativi più piccoli, mentre per il ciclo spinto fino a γ =.2 % si osserva un accumulo di deformazione dovuto all aver intercettato la superficie di snervamento deviatorica. La risposta ciclica del modello soggetto al percorso di deformazione multidirezionale è mostrata in Fig. 5, in termini di curve tensioni-deformazioni per le due componenti orizzontali τ zx -γ zx e τ zy -γ zy. Le curve sono confrontate con le corrispondenti curve ottenute dalle prove di taglio ciclico semplice, eseguite applicando singolarmente ciascuna componente dello spostamento. (a) 1 5 (b) τ 4 zx (kpa) G s /G γ zx (%) γ (%) 1 Gs/G G s (Modello Teorico) Gs/G s (Simulazione Numerica) D (Modello Teorico) D (Simulazione Numerica) G ur -2-4 γ =.2 % γ =.1 % γ =.2% Fig 4. Confronto fra curve di decadimento del modulo di rigidezza a taglio normalizzato e dello smorzamento ottenute tramite le espressioni analitiche e per mezzo di analisi numeriche (a); Cicli di isteresi del provino numerico per tre livelli di deformazione di taglio massima: γ=.2%, γ=.1% e γ=.2% (b). La risposta multidirezionale del modello costitutivo presenta delle non trascurabili differenze rispetto a quella monodirezionale (Fig. 5), dovute essenzialmente alla modalità con cui il modello seleziona la rigidezza tangente da associare ad ogni incremento di deformazione. Si osserva, ad esempio, che il ramo di primo carico della curva τ zy -γ zy (Fig. 5b) presenta un andamento più rigido rispetto alla curva τ zx -γ zx (Fig. 5a). Questo andamento è dovuto al fatto che nel generico intervallo di tempo Δt la rigidezza tangente, determinata in funzione di γ hist, è la stessa in entrambe le direzioni x ed y, ma le deformazioni raggiunte in ciascuna direzione sono differenti in virtù del particolare percorso applicato. Per meglio comprendere quanto sopra, ci si può riferire a titolo di esempio all istante t=1.25 s di Fig.2b: si osserva che la componente γ zy ha raggiunto il valore massimo pari a.5%, mentre la γ zx è pari a.35%; ne consegue che il valore di rigidezza a taglio selezionato dal modello non può che sottostimare quello atteso lungo un percorso monodirezionale per γ zx =.35%. Alla prima inversione di carico, che avviene per la componente γ zy appena dopo l istante considerato sopra, il materiale assume un comportamento più rigido, che non influenza solo il ramo di scarico lungo la direzione zy ma caratterizza, sovrastimandola, anche la rigidezza nel tratto di primo carico ancora da compiere lungo la direzione zx. Comportamenti analoghi si osservano anche nelle successive fasi della prova, caratterizzate da una risposta nel complesso meno rigida rispetto a quella prevista per percorsi di taglio monodirezionali, mentre le curve tensioni-deformazioni formano cicli di isteresi piuttosto stretti, che riducono la capacità dissipativa del modello. Il modello costitutivo soggetto a percorsi di deformazione multidirezionali esibisce dunque un comportamento mediamente meno rigido e meno dissipativo, di cui è necessario essere consapevoli

6 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 ogni qualvolta lo si intende utilizzare in simulazioni tridimensionali di propagazione di eventi sismici caratterizzati da componenti accelerometriche differenti lungo le due direzioni di applicazione. (a) 3 τ zx (kpa) (b) 3 τ zy (kpa) γ zx (%) -2 Monodirezionale -3 Multidirezionale γ zy (%) Monodirezionale -2 Multidirezionale -3 Fig 5. Curve tensioni deformazioni τ zx - γ zx (a) e τ zy - γ zy (b) relative alle prove di taglio ciclico multidirezionali confrontate con le corrispondenti curve τ- γ ottenute dalle prove di taglio semplice. 5. Conclusioni Oggetto della presente nota è lo studio della risposta ciclica del modello costitutivo elasto-plastico isteretico HSsmall per prove di taglio ciclico mono o multidirezionali e multidirezionale; quest ultima condizione, infatti, è da considerarsi più rappresentativa delle condizioni di carico che subisce il terreno in occasione di reali eventi sismici. In condizioni monodirezionali il modello costitutivo è in grado di riprodurre fedelmente le risposte attese in termini di evoluzione della rigidezza a taglio e del fattore di smorzamento con l ampiezza dei cicli di deformazione imposti. In condizioni multidirezionali il comportamento ciclico previsto è affetto mediamente da una minore capacità dissipativa e da una risposta in genere meno rigida. Questo comportamento è da mettere in relazione alla formulazione costitutiva della parte paraelastica isteretica del modello, basata su equazioni scalari ottenute attraverso il fitting di curve di decadimento ottenute in condizioni monodirezionali. Bibliografia Amorosi A, Boldini D, di Lernia A. (214). Modellazione numerica della risposta sismica locale: il caso di Lotung. Atti del XXV Convegno Nazionale di Geotecnica, Baveno, Benz T, Vermeer PA, Schwab R. (29). A small-strain overlay model, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,33, Borja RI, Lin CH, Sama KM, Masada GM. (2). Modeling non-linear ground response of non-liquefiable soils, Earthquake Engineering Structural Dynamic, 29, Brinkgreve RBJ., Kappert MH, Bonnier PG. (27). Hysteretic damping in a small-strain stiffness model. Atti del 1th International Symposium on Numerical Models in Geomechanics (NUMOG X), Rodi, Elgamal A.W., Zeghal M., Tang H.T., Stepp J.C. (1995). Lotung downhole array.i: Evaluation of site dynamic properties, Journal Geotechnical Engineering, 121 (4), Hardin B., Drnevich V. (1972). Shear modulus and damping in soils: design equations and curves, Journal of Soil Mechanics and Foundations Division, 98 (7), Schanz T, Vermeer PA, Bonnier PG. (1999). The hardening soil model: formulation and verification. Plaxis Symposium on Beyond 2 in Computational Geotechnics, Amsterdam 1999; Zeghal M., Elgamal A.W., Tang H.T., Stepp J.C. (1995). Lotung downhole array.ii: Evaluation of soil nonlinear properties, Journal Geotechnical Engineering, 121 (4),