DINAMICA DEI TERRENI Lezione n. 5 DINAMICA DEI TERRENI. Giacomo Simoni

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1 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile A.A DINAMICA DEI TERRENI Lezione n. 5 iacomo Simoni Via Santa Marta 3, Firenze Tel Fax gsimoni@dicea.unifi.it /index.php INDICE 1. Modelli dinamici e ciclici 1.1 Modelli elastici lineari 1.2 Modelli lineari i equivalenti 1.3 Modelli ciclici non lineari 2. Esempi di adattamento di alcuni modelli 2.1 Modello () di Hardin e Drnevich 2.2 Modello () di Yokota et al. (1981) 2.3 Modello () di Ramberg e Osgood (1943) 2.4 Modello () di Kondner e Zelasko (1963) 2.5 Modello sigmoidale a tre parametri 2.6 Modello D() di Yokota et al. (1981) 3. Esercitazione per gli studenti del C.L. in Ingegneria per la Tutela dell'ambiente e del Territorio 4. Esercitazione per gli studenti del C.L. in Ingegneria Civile

2 1.1 MODELLI DINAMICI E CICLICI Per il calcolo della risposta di un terreno a sollecitazioni dinamiche e cicliche occorre dare espressione analitica al legame tensio-deformativo assegnando dei valori numerici ai parametri geotecnici che lo definiscono. Per esprimere analiticamente la relazione sforzideformazioni in campo dinamico e ciclico sono stati studiati molti modelli, fra i quali è possibile stabilire una gerarchia legata ai livelli deformativi e alla complessità. Nel seguito accenneremo solo a quelli più semplici, validi per il caso di carichi ciclici agenti in una sola direzione. Faremo riferimento alla curva backbone, cioè alla curva di 1 carico, in condizioni di carico dinamico monotonico, che è considerata la curva base per la caratterizzazione del comportamento sforzideformazioni anche in campo dinamico e ciclico. I modelli possono essere suddivisi in tre categorie: modelli elastici lineari modelli lineari equivalenti modelli non lineari. 1.1 MODELLI ELASTICI LINEARI Valgono fintanto che il livello deformativo raggiunto è inferiore o uguale alla soglia lineare ( < l ). Queste condizioni, come si è visto, si realizzano nei problemi di fondazioni di macchine, nei problemi di traffico, ecc.. In tali condizioni il legame sforzideformazioni i è esprimibile ibil con la relazione: τ = 0 dove τ è l ampiezza dello sforzo di taglio, è l ampiezza della deformazione di taglio, 0 è il modulo di taglio iniziale. I parametri rappresentativi del terreno sono 0 ed 0. τ r 1 o τ max l v

3 1.2 MODELLI LINEARI EQUIVALENTI Largamente utilizzati per la loro semplicità, sono perciò validi fintanto che il livello deformativo è inferiore o uguale alla soglia volumetrica ( < v ). Il legame sforzi - deformazioni è dato dalla relazione dove τ è l ampiezza dello sforzo di taglio, è l ampiezza della deformazione di taglio, è il modulo secante, funzione di. Oltre la soglia elastica, il legame sforzi-deformazioni non è più lineare e neanche elastico (gli effetti dissipativi non sono più trascurabili). Fintanto però che i livelli deformativi sono al di sotto della soglia volumetrica, la risposta del terreno può però ancora essere valutata t impiegando modelli di tipo lineare "a tratti con l'introduzione di alcuni parametri e di taluni artifici. Tali modelli consentono di ricondursi alla W D formulazione lineare, mettendo in conto gli effetti di non linearità e di W S dissipazione del mezzo. L'assunzione di base dei modelli lineari equivalenti è che, nel dominio isteretico stabile, il comportamento del terreno non dipende dal numero di cicli N (i cicli sul piano τ- tendono a sovrapporsi) e quindi, una volta fissato un livello di deformazione massimo raggiunto, max, e il corrispondente ciclo di carico, scarico e ricarico, il comportamento del terreno possa essere espresso da due soli parametri: il modulo secante equivalente (ovvero la pendenza della retta congiungente il picco superiore e inferiore del ciclo, che rappresenta il valore medio del modulo di taglio assunto durante le fase di carico, scarico e ricarico e che coincide id col modulo secante da prove monotoniche) il rapporto di smorzamento D(ovvero il rapporto fra l'area del ciclo e l'energia di deformazione elastica). In questo modo, utilizzando ununico valore di (associato aun determinato t valore di D) si può ricorrere a un modello lineare per descrivere il comportamento del terreno. Per costruire, per un dato terreno, un modello lineare equivalente occorre conoscerne: - la legge di variazione = () o()/ 0 - la legge di variazione D = D()

4 Per applicare un modello lineare equivalente occorre eseguire: - un analisi iterativa che, partendo da una valore di deformazione di tentativo, e calcolando i valori corrispondenti di e D (sulla base delle leggi di variazione assegnate) consenta di definire, attraverso una relazione sforzi-deformazione lineare, un nuovo valore di deformazione e i corrispondenti valori di e D, fino ad ottenere, alla convergenza del processo, la deformazione massima raggiunta e i corrispondenti valori di e D da utilizzare nell analisi. I modelli lineari equivalenti: - da un lato consentono di tenere conto della variazione della rigidezza con la deformazione di taglio (non linearità), assumendo un valore di rigidezza medio corrispondente al livello deformativo massimo raggiunto e differente da quello iniziale, e della dissipazione (non elasticità), tramite un valore del rapporto di smorzamento D associato a. - dall altro rimangono pur sempre modelli lineari, in cui la rigidezza assunta, come anche lo smorzamento, sono supposti costanti durante la sollecitazione dinamica e ciclica (non si considerano le deformazioni permanenti o l incremento delle pressioni interstiziali, per tali motivi sono adeguati solo in un dominio isteretico stabile). Sperimentalmente è stato osservato che: - la legge τ = τ() è approssimativamente iperbolica e quindi anche la = (); - esiste una correlazione tra e D. Sono state perciò proposte diverse formulazioni analitiche della legge () o τ() e della relazione tra e D. Le principali sono: - il modello iperbolico di Hardin & Drnevich; - i modelli iperbolici modificati; - il modello di Ramberg &Osgood. Applicazioni: - problemi sismici in condizioni lontane dalla rottura (analisi della risposta sismica locale per terremoti di debole intensità); - modellazione dei risultati di prove dinamiche e cicliche di laboratorio.

5 modello iperbolico di Hardin e Drnevich (1972) Il modello assume per la legge di variazione = () una funzione iperbolica, i cui parametri si determinano adattando la forma della curva ai dati sperimentali: d τ 1 0 = lim τ = oppure = 0 d τmax = 0 τ max lim τ() r τ max essendo r = 0 Invece per la legge di variazione D = D() si assume la relazione: D D max = 1 0 oppure si adotta una relazione esponenziale del tipo: dove D max e λ si determinano adattando la curva ai dati sperimentali. modello imperbolico modificato di Hardin e Drnevich (1972) (Parametri: r, 0,D max,aeb) = a e r 0 b max 0 + r D D = 1 dove a, b e D max sono le costanti del materiale di adattamento al modello. modello imperbolico modificato di Yokota et al. (1981) 0 1 = 1+ α β dove α,, β, λ e D max sono le costanti del materiale di adattamento al modello.

6 modelli imperbolici modificati di Stokoe et al. (1999) e Zhang et al. (2005) α = costante empirica r = deformazione corrispondente a un valore di / 0 =0.5 Per le sabbie Per le argille con k = e Ip per k = e Ip per i terreni quaternari i terreni terziari il modello imperbolico modificato di Shibata e Solearno (1975) 0 1 = σ' o 0.5 con σ 0 pressione di confinamento (in Kg/cm 2 ). il modello imperbolico modificato di Kondner e Zelasko (1963) 1 = 0 1+ β r s Dove β ed s sono costanti del materiale di adattamento al modello.

7 il modello di Ramberg e Osgood (1943) Il modello di Ramberg e Osgood (1943) è molto flessibile ed utile per l interpretazione dei risultati ottenuti in laboratorio. Usa la relazione sforzideformazioni inversa : τ = + C τ o o R dove α, R sono dei coefficienti di forma che identificano la geometria delle curve di decadimento di e di variazione di D. D D D max max = 1 2 = π 0 ( R 1) ( R + 1) il modello sigmoidale Le funzioni sigmoidali sono impiegate per l attivazione di reti neurali. Una di queste, impiegata nella dinamica dei terreni e dipendente da tre parametri, è la seguente: 0 = 1+ e a L x b 0 nella quale L=log 10 (), ed a, x 0 e b sono parametri di adattamento del modello ai dati sperimentali.

8 Influenza del parametro a sul modello sigmoidale a tre parametri. Influenza del parametro b sul modello sigmoidale a tre parametri.

9 Influenza del parametro x 0 sul modello sigmoidale a tre parametri. 1.3 MODELLI CICLICI NON LINEARI Oltre la soglia volumetrica ( > v ), la risposta del di terreno a sforzi di taglio dinamici e ciclici c c è strettamente e te dipendente de dalla a storia deformativa a e dal numero dei cicli. In generale sono delle estensioni dei modelli isteretici precedentemente introdotti (come quello di Ramberg-Osgood). In linea di principio, i modelli ciclici non lineari dovrebbero essere sempre espressi in termini incrementali, incorporando le leggi di variazione con il numero dei cicli N dei vari parametri che compaiono nel modello. In generale una modellazione analitica del comportamento meccanico oltre la soglia volumetrica richiede che si tenga conto dei seguenti fenomeni: decadimento delle proprietà del terreno; accumulo di deformazioni permanenti; incremento delle pressioni interstiziali.

10 Devono quindi essere definite le leggi di variazione: del modulo di taglio = (,N) del modulo di taglio D = D (,N) della pressione interstiziale in eccesso u = u(n) della resistenza ultima τ cyc = τ cyc (N) La determinazione di queste leggi richiede prove dinamiche e cicliche molto più complesse e differenti (ovvero spinte a rottura) da quelle richieste per l'impiego dei modelli lineari equivalenti (come la prova di colonna risonante e la prova di taglio torsionale ciclico). Anche l'interpretazione e la rappresentazione dei risultati sono sostanzialmente diverse, in relazione al tipo di modello. Nei modelli ciclici non lineari più frequentemente impiegati l andamento della curva backbone è definito con il modello iperbolico modificato di Kondner & Zelasko o con il modello di Ramberg & Osgood. Nei modelli ciclici non lineari per rappresentare la risposta del terreno nelle fasi di scarico e ricarico vengono adottati i due criteri di Masing: 1 criterio la tangente nei punti di inversione degli sforzi è parallela alla tangente iniziale della curva backbone. 2 criterio la curva di ricarico ha la stessa forma della parte positiva della backbone, scalata di un fattore 2 (analogamente la curva di scarico in rapporto alla parte negativa). τ o τ c 1 1 o o 1 Ramo di ricarico τ ( c, τ c ) c (- c, -τ c ) Ramo di scarico

11 Con i due criteri di Masing non si riesce a simulare l evoluzione dei cicli di isteresi nel tempo (in pratica valgono per carico ciclico simmetrico e senza degradazione). d Così alcuni modelli consentono di introdurre leggi di variazione delle u, di τ max e di max per tener conto della degradazione della curva backbone al progredire del numero di cicli N. La definizione di criteri aggiuntivi consente di estendere l applicazione dei modelli a storie di carico ciclico complesse. I due criteri aggiuntivi comunemente usati (modelli di Masing estesi) sono i seguenti: 3 criterio se una curva di scarico o di ricarico supera (in valore assoluto) il valore della tensione del ciclo precedente il percorso tensionale segue la backbone fino alla successiva inversione di sforzo. 4 criterio se una curva di scarico o di ricarico interseca una curva di scarico o di ricarico del ciclo precedente dall interno del ciclo di isteresi, il percorso tensionale segue quello del ciclo precedente.

12 2. ESEMPI DI ADATTAMENTO DI ALCUNI MODELLI Le costanti che compaiono nelle espressioni analitiche dei diversi modelli sono i parametri di adattamento dei dati sperimentali (ottenuti da prove dinamiche e cicliche a bassi e medi livelli di deformazione) e vengono determinate mediante opportune procedure di interpolazione. 2.1 MODELLO () DI HARDIN E DRNEVICH (1972) La determinazione di 0 mediante il modello Hardin e Drnevich è un passo fondamentale anche per altri modelli iperbolici i modificati. In generale, per adattare i modelli ad una serie di dati sperimentali è possibile trasformare le relazioni in modo da operare un interpolazione lineare. 0 posto: = ( max 1 = + τ = + 0 τ max r y = 1/, x =, a = 1/ b = τ si ha: y = a + bx b x 0, 1/ max r 0 ) Dati sperimentali [%] [KPa] 1/ 0, ,0 1,2537E-05 0, ,0 1,25338E-05 0, ,8 1,25328E-05 0, ,8 1,25328E-05 0, ,6 1,25317E-05 0, ,5 1,27391E-05 0, ,6 1,30718E-05 0, ,1 1,35106E-05 0, ,8 1,43788E-05 0, ,4 1,55903E-05 0, ,1 1,76981E-05 0, ,7 2,15663E-05 0, ,7 3,12992E-05 0, ,4 3,31649E-05 0, ,8 7,27707E-05 0, ,3 0, , ,55 0, = 1/a = 82030kPa τ max = 1/b = 3749kPa r = τ max / 0 = 0,04571%

13 2.2 MODELLO () IPERBOLICO MODIFICATO DI YOKOTA ET AL. (1981) Per adattare il modello di () di Yokota et al. ad una serie di dati sperimentali è possibile trasformare le relazioni in modo da operare un interpolazione lineare. 1 1 β = = 1+ α β 0 1+ α / 0 1 posto: y = log ( 1) A = logα x = log / o si ha: y=a+β x Dati sperimentali amma [%] [KPa] /o 1/ x = log() y=log[ 0 /-1] 0, , ,2537E-05-3, , , , ,25338E-05-3, , , ,8 0, ,25328E-05-3, , , ,8 0, ,25328E-05-3, , , ,6 0, ,25317E-05-2, , , ,5 0, ,27391E-05-2, , , ,6 0, ,30718E-05-2, , , ,11 0, ,35106E , , , ,8 0, ,43788E-05-1, , , ,4 0, ,55903E-05-1, , , ,1 0, ,76981E-05-1, , , ,7 0, ,15663E-05-1, , , ,7 0, ,12992E-05-1, , , ,4 0, ,31649E-05-1, , , ,8 0, ,27707E-05-0, , , ,3 0, , , , , ,5 0, , , ,

14 R 2 = 0,9992 β = 1,0725 A = 1,3979 α = 10 A = 24,9971

15 2.3 MODELLO () DI RAMBER E OSOOD (1943) Per adattare il modello di () di Ramerg e Osgood ad una serie di dati sperimentali è possibile trasformare le relazioni in modo da operare un interpolazione lineare. R τ τ = + C 0 0 Sostituendo τ = e passando ai logaritmi si ha: log 1 0 = log C + R log 0 posto: y = log 1 A = logc 0 si ha: y=a+r x x = log 0 Il coefficiente angolare della regressione lineare è R mentre il coefficiente C si ricava dall intercetta A (C = 10 A ) Dati sperimentali amma [%] [KPa] /o x = log( / 0 ) y=log[ (1-/ 0 )] 0, ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,8 0, , , , ,8 0, , , , ,6 1, , #NUM! 0, ,5 0, , , , ,66 0, , , , ,1 0, , , , ,8 0, , , , ,4 0, , , , ,1 0, , , , ,7 0, , , , ,7 0, , , , ,4 0, , , , ,8 0, , , , ,3 0, , , , ,5 0, , ,

16 R 2 = 0,9897 R = 3,1632 A= 3,6548 C = 10 A = 4516,1325

17 2.4 MODELLO () IPERBOLICO MODIFICATO DI KONDNER E ZELASKO (1963) 1 0 = log 1 = log β + s log s 0 r 1+ β r 0 posto: y = log 1, x = log, a = log β r si ha: y = a + s x Dati sperimentali amma [%] [KPa] /o 1/ x = log(/ r ) y=log[ 0 /-1] 0, ,0 0, ,2537E-05-2, , , ,0 0, ,25338E-05-2, , , ,8 0, ,25328E-05-2, , , ,8 0, ,25328E-05-1, , , ,6 0, ,25317E-05-1, , , ,5 0, ,27391E-05-1, , , ,6 0, ,30718E-05-1, , , ,1 0, ,35106E-05-0, , , ,8 0, ,43788E-05-0, , , ,4 0, ,55903E-05-0, , , ,1 0, ,76981E-05-0, , , ,7 0, ,15663E-05-0, , , ,7 0, ,12992E-05 0, , , ,4 0, ,31649E-05 0, , , ,8 0, ,27707E-05 0, , , ,3 0, , , , , ,5 0, , , , R 2 = 0,9992 s= 1,0725 a = -0,0392 β = 10 a = 0,9136

18 2.5 MODELLO SIMOIDALE A TRE PARAMETRI Posto a = 1, si ha: 1 0 log( ) = ln 1 = L x0 0 b 1+ e b 0 x quindi indicando con: = log 1, x = log( ), A = y 0 Dati sperimentali si ha: y = A x/b b x0 + b amma [%] [KPa] /o y=ln[ 0 /-1] x = log() 0, ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,8 0, , , , ,8 0, , , , ,6 0, , , , ,5 0, , , , ,6 0, , , , ,1 0, , , , ,8 0, , , , ,4 0, , , , ,1 0, , , , ,7 0, , , , ,7 0, , , , ,4 0, , , , ,8 0, , , , ,3 0, , , , ,5 0, , ,

19 R 2 = 0,9992 b = -0,4049 x 0 = a b = -1,3034

20 2.6 MODELLO D() DI YOKOTA ET AL. (1981) Per adattare il modello di D() di Yokota et al. ad una serie di dati sperimentali è possibile trasformare le relazioni in modo da operare un interpolazione lineare. D D max posto: = e λ y = ln D, 0 ln D = λ + ln D x = o, a = ln D max Dati sperimentali si ha: y=a+λ x amma [%] [KPa] D [%] /o ln(d) 0, ,0-0, , ,0 2, , , max 0, ,8 2, , , , ,8 2, , , , ,6 2, , , , ,5 2, , , , ,6 2, , , , ,1 2, , , , ,8 3, , , , ,4 4, , , , ,1 4, , , , ,7 6, , , , ,7 8, , , , ,4 10,1212 0, , , ,8 15, , , , ,3-0, , ,5-0,

21 R 2 = 0,9906 λ = -2,4087 a = 3,1870 D max = e a = 24,2148

22 3. ESERCITAZIONE PER LI STUDENTI DEL C.L. IN INENERIA PER LA TUTELA DELL'AMBIENTE E DEL TERRITORIO Sono assegnati i risultati di prove di laboratorio (prove di colonna risonante, RC, prove edometriche, EDO, e limiti di Atterberg, LL.AA.) condotte su 81 campioni indisturbati. È richiesto di: 1. adattare il modello iperbolico di Hardin e Drnevich ai risultati delle prove di RC determinando 0, r ed il coefficiente di determinazione R 2 ; 2. adattare il modello iperbolico modificato di Yokota et al. ()/ 0 alle misure di RC, utilizzando il valore di 0 trovato al passo 1, determinando i valori di α, β ed R 2 ; 3. adattare il modello di Yokota et al. per la legge D() alle misure di RC determinando D max, λ ed R 2 ; 4. analizzare la variabilità di r e delle soglie di deformazione elastica l e volumetrica v con I P,OCReσ 0 ; 5. in alternativa ti a quanto richiesto ihi al passo 4 studiare un algoritmo per l adattamento della funzione sigmoidale a tre parametri alle misure sperimentali di RC senza l esclusione di misure. 4. ESERCITAZIONE PER LI STUDENTI DEL C.L. IN INENERIA CIVILE Sono assegnati i risultati di prove geotecniche di laboratorio e in sito relative a un area in cui deve essere realizzato un fabbricato a destinazione residenziale e commerciale che prevede la realizzazione di uno scavo di grandi dimensioni in adiacenza ad un fabbricato esistente. È richiesto di: 1. caratterizzare dal punto di vista meccanico il terreno a partire dai risultati delle prove in sito e di laboratorio, ad es. φ (I P ); φ (N SPT ); V S (N SPT ); 2. facendo riferimento anche ai metodi convenzionali di calcolo delle paratie dimensionarei un opera di sostegno a carattere provvisorio i in micropali di tipo Tubfix (attenendosi alle indicazioni di carico, geotecniche e geometriche assegnate ci si attenga alle indicazione delle NTC del ). Per il calcolo l dell azione sismica i nell area si faccia riferimento i ai valori dei parametri a g,f 0,T c * associati ai diversi periodi di ritorno T R ed a ciascun Stato Limite della seguente tabella (categoria di suolo C, terreno pianeggiante): STATO LIMITE TR [anni] a g [g] F 0 T c * [s] SLO SLD SLV SLC

23 Dati: A = 135cm B = 100cm C = 60cm E = 30cm F = 80cm s = 60cm H 1 = 380cm H 2 = 330cm α = 25 φ 1 = 101.6mm φ 2 = 200mm F k = F pk + F ak F pk = 75kN/m F ak = 10kN/m Determinare: D=? L =? I =?

24 Dati: B = 100cm C = 60cm E = 30cm Determinare: I =?