ANALISI SPERIMENTALI E NUMERICHE SULLO STATO CRITICO DEI MATERIALI GRANULARI

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1 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 ANALISI SPERIMENTALI E NUMERICHE SULLO STATO CRITICO DEI MATERIALI GRANULARI Anna Gazzellone, Giuseppe Modoni Dipartimento di Ingegneria Civile,Università degli Sudi di Cassino a.gazzellone@unicas.it,modoni@unicas.it Sommario In questa breve nota si riportano alcuni risultati di un programma di ricerca sperimentale mirato a chiarire il ruolo dell assortimento granulometrico sulla risposta tenso-deformativa di terreni sabbiosi. Lo studio è effettuato sottoponendo a prove triassiali monotoniche con diversi percorsi di tensione campioni di terreno preparati a diversi indici dei vuoti. Nella presente nota ci si limita ad illustrare i risultati della sperimentazione su diversi materiali, con riferimento alla determinazione del Luogo di Stato Critico (CSL). Dapprima si illustrano i risultati di alcune prove con l intento di evidenziare le problematiche connesse all individuazione di una condizione stazionaria. Tale analisi porta ad identificare i limiti e le incertezze delle procedure correntemente impiegate ed a definire una procedura in grado di minimizzare l imprecisione nella stima dei parametri. Successivamente si analizza l influenza del percorso tensionale mediante un confronto dei risultati di prove di compressione ed estensione triassiale. Tale analisi evidenzia una sensibile influenza dell anisotropia, intrinseca e/o indotta dallo stato tensionale, sulla posizione del CSL. Al fine di interpretare tali differenze sono state eseguite prove di compressione ed estensione triassiale su un mezzo intrinsecamente isotropo, costituito da sferette di acciaio del diametro di 3 millimetri. I risultati di tali prove sono successivamente serviti a calibrare un modello numerico agli elementi distinti (DEM) con l obiettivo di effettuare uno studio sulla localizzazione delle deformazioni. Introduzione Un ampia classe di modelli costitutivi, definiti per le sabbie (Jefferies, 1993; Muir Wood, 1994) e per le ghiaie (Modoni, ), impiega il concetto dello Stato Critico (Scholfield e Wroth, 1968) come riferimento per descrivere la dipendenza della risposta tenso-deformativa dei materiali dalla loro densità iniziale e dallo stato tensionale. Tradizionalmente, lo stato critico è identificato come il luogo dei punti dello spazio formato dagli invarianti di tensione (p -q) e dall indice di vuoti (e) in cui le deformazioni distorsionali crescono indefinitamente. Permane tuttavia una notevole incertezza legata alla effettiva capacità di determinare correttamente i parametri che consentono di localizzare il Luogo di Stato Critico (CSL). Infatti, è noto che la condizione di stazionarietà delle tensioni e delle deformazioni volumetriche si manifesta sperimentalmente a grandi livelli di deformazione, ovvero quando la forma del campione, non più cilindrica, rende difficile il computo delle deformazioni stesse. In altri casi (e.g. Mooney e al., 1998) tale condizione è anticipata dalla manifestazione di deformazioni localizzate all interno del campione che può sfociare nella formazione di vere e proprie bande di taglio che rende impossibile assimilare il campione ad un mezzo continuo omogeneo. Si pone quindi la necessità di stabilire un metodo che consenta di individuare con sufficiente approssimazione la posizione del CSL prima che avvengano questi fenomeni. L efficacia dei modelli costitutivi riportati in letteratura è generalmente supportata dal confronto con i risultati di prove di laboratorio convenzionali (generalmente si tratta di prove triassiali con percorsi di compressione σ a >σ r ). Tuttavia l estensione di questi modelli a stati tensionali più generali richiederebbe perlomeno una verifica sperimentale dell ipotesi di unicità generalmente formulata. L obiettivo della presente nota è di illustrare, attraverso i

2 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 risultati di prove eseguite su diversi materiali, i limiti e le incertezze connessi alla determinazione del CSL e di definire una procedura che minimizzi l incertezza nella determinazione dei parametri. Successivamente, si confrontano prove eseguite con diversi percorsi di tensione per valutare l influenza del percorso tensionale. L interpretazione di questi risultati è affidata ad una analisi tridimensionale agli elementi distinti (DEM) svolta su un modello calibrato sui risultati di prove su un materiale composto da sfere di uguale dimensione. Programma sperimentale Il materiale analizzato nel presente FossanovaA 9 programma sperimentale comprende FossanovaB 8 quattro sabbie prelevate nello stesso sito Fossanova C (Fossanova - LT) e assortite artificialmente Fossanova D con miscele selezionate (A, B, C, D), ed un sfere acciaio materiale monogranulare costituito da sfere di acciaio del diametro di 3 mm. Le curve granulometriche e le proprietà fisiche dei materiali esaminati sono riportate in fig.1. e in Tab.1. La preparazione dei campioni dei,1,1 1 vari materiali è avvenuta artificialmente in Diametro[mm] laboratorio, in modo tale da controllarne la densità iniziale. In particolare, le modalità Figura1. Distribuzioni granulometriche dei materiali. di preparazione dei campioni sono riconducibili a due diverse tecniche: pluviation (per i campioni sciolti) e tamping (per i campioni densi). Gli intervalli di variazione dell indice dei vuoti ottenibili con queste tecniche sono riportati in Tab.1. La sperimentazione è stata eseguita presso il Laboratorio di Geotecnica e Strade (LAGS) dell Università di Cassino con un apparecchiatura triassiale a percorso di carico controllato. su campioni delle dimensioni di x 1 mm (diametro x altezza). Per tutti i terreni sono state eseguite prove drenate di compressione isotropa (σ a =σ r ) fino a raggiungere massimi livelli di tensione media p = kpa, cui ha fatto seguito una fase di taglio in compressione (σ a >σ r ) a tensione di confinamento costante. Per le sabbie Fossanova A e B e per le sferette di acciaio il programma ha compreso anche prove con percorsi in estensione (σ a <σ r ). Tabella 1. Proprietà fisiche dei materiali trattati. Materiale Mineralogia forma G s D (mm) Passante [%] D (mm) C u= D /D e min-e max σ h min-σ h max (kpa) Fossanova (A) Fossanova (B) Da subangolare Quarzo e a Fossanova (C) feldspato subarrotondata Fossanova (D) Sfere uniformi Acciaio ben arrotondata Individuazione del Luogo di Stato Critico Numerose evidenze sperimentali riportate in letteratura (un esempio è riportato in Figura 2.a) mostrano che la proiezione del CSL nel piano e log p (Been et al., 1991) presenta un andamento approssimativamente lineare fino a determinati valori della tensione media p, oltre il quale si assiste ad un repentino cambio di pendenza. Muir Wood & Maeda (8) ipotizzano che tale effetto sia dovuto alla rottura dei grani che, rendendo la composizione granulometrica del terreno progressivamente più eterogenea, induce una progressiva riduzione dell indice dei vuoti del materiale (Fig.2.b).

3 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 e Rottura dei grani CSL sperimentale CSL da modello Alcuni tipici risultati di prove triassiali effettuate a tensioni di confinamento relativamente basse (σ r = kpa) sulla sabbia Fossanova A mostrano che su terreni addensati (es. e o =1) possono manifestarsi improvvise discontinuità che si traducono in brusche variazioni di pendenza delle curve q-ε q e ε p -ε q. D altro canto, nel le prove eseguite su campioni più sciolti (es. e o =4) la condizione di stazionarietà delle tensioni e delle deformazioni volumetriche viene raggiunta a deformazioni del % ed oltre. Tuttavia è possibile anche notare da queste ultime prove che le variazioni delle tensioni e delle deformazioni volumetriche nel tratto finale delle curve sperimentali sono piuttosto contenute e che pertanto, l errore che si commette nel valutare la condizione di stato critico dai valori delle tensioni e dell indice dei vuoti a valori di deformazione inferiori (es. 15%) non è particolarmente elevato. q [kpa] Figura 2. Proiezione del CSL nel piano e-p ricavato per la Erksak sand (Been et al., 1991) e modello concettuale di Muir Wood & Maeda (8). = e=44 = e= ε q [%] e o =44 e e = -.86ln(p') ln p = e= = e=44 = e=89 = e=12 = e=21 = e=22 = e=95 = e=54 CSL 8 18 p' [kpa] 2-2 = e=44 = e= ε p [%] η M = η mc ε q [%] e o = ψ (c) Figura 3. Tipici risultati di prove di compressione triassiale su sabbia di Fossanova (A,. curve tensionideformazioni, immagini campioni a rottura, (c). valutazione parametri di stato critico. Tale conclusione emerge chiaramente se si combinano nel piano e-p i risultati di numerose prove eseguite a diversi valori dell indice dei vuoti e della tensione di confinamento. Si può infatti notare dalla figura 3(c) che tutte le prove convergono verso un comune luogo di stato stazionario, ben descritto dalla relazione e cs = Γ λ ln p'. Tuttavia, occorre evidenziare che la determinazione dei parametri Γ e λ risulta affetta da minori incertezze se si prendono in considerazione solo le prove che manifestano minori variazioni volumetriche. Per la determinazione del rapporto tra gli invarianti M in condizione di stato critico risulta conveniente fare riferimento alla variabile di stato ψ =e-e cs definita da Jefferies (1993) per η p

4 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 esprimere la distanza verticale nel piano e-p dal luogo di stato critico. In funzione di tale variabile è possibile riportare i valori del rapporto q/p in condizione di picco (η p ) e di annullamento iniziale della dilatanza (η mc ). Come si può osservare dalla Fig.3(c) tali valori, entrambi ottenuti a livelli di deformazione relativamente modesti, rappresentano rispettivamente un maggiorante ed un minorante di M, che può essere quindi agevolmente individuato come loro limite di separazione. Influenza del percorso tensionale Al fine di valutare gli effetti del percorso tensionale sulla posizione del CSL, sono state eseguite alcune prove triassiali in estensione su campioni preparati a diversi indici dei vuoti. A titolo di esempio si riportano in Fig.4 (a e b) i risultati di prove triassiali eseguite sulla medesima sabbia analizzata precedentemente (Fossanova A). Le modalità con cui sono stati determinati i parametri di stato critico (Γ, λ, M), sono le stesse descritte per le prove in compressione..9.8 e = -.86ln(p') = e= = e=14 = e= e = e=28 = e=76 CSL ext CSL com η M com = 1.46 M ext = 1.8 e = -.997ln(p') p' [kpa] ψ Figura 4. Determinazione dei parametri di Stato Critico per la sabbia Fossanova A da prove di estensione Il confronto con i risultati delle prove in compressione mette in luce una sostanziale dipendenza dei parametri di stato critico dal percorso tensionale. In particolare, si osserva che le due curve nel piano e - p tendono a convergere per bassi valori della tensione media ed a divergere al crescere di quest ultima, come testimoniato dalla sostanziale similitudine dei valori di Γ e della diversità dei valori di λ. Anche il parametro M (Fig.4.b), valutato nel piano η-ψ con la medesima procedura illustrata precedentemente, è risultato diverso per i due percorsi di carico analizzati. Se, a partire dai due valori di M, si valutano con le usuali relazioni di corrispondenza senφ com =3M com /(6+M com ) e senφ ext =3M ext /(6-M ext ) gli angoli d attrito, si perviene a due valori molto diversi nelle due condizioni di stato critico (φ com =36., φ ext=41.2 ). Tali risultati evidenziano un ruolo determinante della la componente di tensione principale intermedia σ 2, non contemplata nel criterio di Mohr- Coulomb (1773) e non adeguatamente rappresentata dal rapporto M tra gli invarianti p e q. Infatti, la σ 2 coincide con la tensione principale minima σ 3 nelle prove in compressione, con la tensione principale massima σ 1 nelle prove in estensione. Viceversa, se si considera il rapporto tra invarianti definito da Lade e Duncan (1975) (LD=((σ 1 +σ 2 +σ 3 ) 3 /σ 1 σ 2 σ 3 ) come variabile tensionale rappresentativa dello stato critico, si trovano valori piuttosto simili per le prove in compressione ed estensione (LD com =51.9, LD ext =52.1). Per approfondire l influenza del percorso tensionale è stato impostato un programma di analisi numeriche con un codice di calcolo tridimensionale agli elementi discreti (DEM) (Cundall & Strack, 1979). Esso offre la possibilità di indagare il comportamento micromeccanico dei materiali granulari e di ottenere la distribuzione locale di grandezze quali il numero di contatti tra particelle, le forze di contatto, variazione dell indice dei vuoti ecc. η mc com η p com η mc ext η p ext

5 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 Esso consente inoltre di investigare una serie di condizioni che non sarebbero accessibili con le usuali apparecchiature di laboratorio. I parametri del modello, ovvero la rigidezza normale e tangenziale dei contatti (k n e k s ), la rigidezza dei contatti con le pareti (k w ), il coefficiente di attrito intergranulare (µ) ed con le pareti (µ w ) sono stati calibrati simulando i risultati di prove triassiali eseguite, con la stessa apparecchiatura impiegata precedentemente, su sferette di acciaio del diametro di 3 mm. Questa scelta è dettata da una maggiore semplicità nella modellazione numerica e dal fatto che le sferette costituiscono un materiale intrinsecamente isotropo. Nella figura 5 si riportano i risultati di due prove drenate, una in compressione ed una in estensione, svolte a tensione di confinamento efficace pari a kpa su campioni preparati ad un indice dei vuoti iniziale di,6 e le relative simulazioni ottenute con il set di parametri riportati nella Tabella 2. Parametri modello k n- k s k w Valori ^9 N/m ^8 N/m µ.25 µ w. Tab.2. Figura 5. Confronto tra risultati sperimentali e simulazioni numeriche di prove triassiali in compressione ed estensione svolte ad una tensione efficace di confinamento pari a kpa ed ad indice dei vuoti,686. La differenza osservata tra le curve sperimentali e teoriche è da attribuire ai diversi vincoli applicati lateralmente al campione, flessibili nelle prove di laboratorio, rigidi nelle simulazioni numeriche. Con il modello così calibrato è stato eseguito un programma di simulazioni volte a riprodurre i risultati di prove triassiali a diversi indici dei vuoti e tensioni di confinamento. Nella figura 6 si riportano, a titolo di esempio, i risultati di due prove, una in compressione ed una in estensione, simulate numericamente a partire dallo stesso indice dei vuoti (e o =) e dalla stessa tensione di confinamento (σ r = kpa). In particolare, si mostrano le distribuzioni degli indici dei vuoti calcolate localmente nella sezione intermedia del campione, in corrispondenza di tre diversi livelli di deformazione assiale (ε a =%, 4.5% e %). C2 C3 C1 C2 C3.8 5 C1 5 C2 5 C E3 E1 E2 E3.8 E2 5 E1 5 5 E3 E2 Fig6. Risultati delle simulazioni numeriche DEM di prove triassiali in compressione ed estensione (σ h = kpa e o =,6):. curve tensioni-deformazioni, distribuzione dell indice dei vuoti a diversi livelli di deformazione distorsionale del % (C1, E1), 4,5%(C2,E2) e del %(C3,E3)..45.4

6 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 11 - IARG 11 Torino, 4-6 Luglio 11 La visione in parallelo delle immagini relative alle prove in compressione ed in estensione mostra che le prime inducono un maggiore aumento dell indice dei vuoti rispetto alle seconde. È ancora una volta lecito ipotizzare che gli effetti mostrati dipendano dal diverso ruolo della tensione principale intermedia che fa sentire i suoi effetti in maniera differente nelle prove di compressione ed estensione. Si osserva inoltre che, l unicità del luogo di stato critico nel piano e-p implica che le prove in estensione, per le quali si riduce la componente sferica della tensione, dovrebbero tendere verso un valore più elevato dell indice dei vuoti rispetto alle prove di compressione, in cui si induce viceversa un aumento della tensione media p. Le differenze osservate si giustificano quindi con la non unicità della proiezione del CSL nel piano e-p e con una sua dipendenza dal percorso tensionale. Conclusioni Le analisi svolte hanno evidenziato alcune peculiarità del comportamento tenso-deformativo dei mezzi granulari, non sempre tenute in conto nella formulazione dei modelli costitutivi proposti in letteratura. In particolare, si è osservato che le prove di compressione triassiale confermano l esistenza di un comune luogo di stato stazionario, e che esso può essere rappresentato dalle ben note relazioni (e cs =Γ-λ lnp q=m p ). La determinazione sperimentale dei parametri presenta tuttavia una serie di incertezze, in quanto potrebbe essere affetta da fenomeni quali la rottura dei grani che avviene ad elevate tensioni o la concentrazione delle deformazioni, tipicamente osservata a basi livelli tensionali. Nella nota si è osservato che le imprecisioni possono essere minimizzate eseguendo prove su terreni che partono da stati tensionali e volumetrici non distanti dal CSL. Le analisi sperimentali, supportate dalla modellazione numerica DEM, hanno altresì evidenziato che il CSL non è indipendente dal percorso tensionale seguito, essendo risultato diverso per le prove in compressione ed estensione. Si pone quindi la necessità di adottare una formulazione generalizzata del concetto di Stato Critico, che tenga conto di questo aspetto (e.g. Li & Dafalias, 2) Bibliografia Been, K., Jefferies, M.G. e Hachey, J. (1991). The Critical state of sands, Geotechnique, 41(3), Cundall P.A. e O.D.L. Strack (1979), A discrete numerical model for granular assemblies. Geotechnique, 29:47 65,. Jefferies, M.G. (1993). Nor-sand: a simple critical state model of sand, Geotechnique 43, No.1, Lade, P.V. e Duncan J. M. (1975). Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil. J. Soil Mech. Fdns. Div., ASCE, Vol. 1, No. GT, pp Li, X. S. & Dafalias, Y. F. (2). Constitutive Modeling of Ineherently Anisotropic Sand Bahaviour. J. Soil Mech. Fdns. Div., ASCE, Vol. 128, No., pp Modoni G., Koseki J., e Anh Dan L.Q. (). Cyclic stress strain response of compacted gravel, Geotehcnique. Mooney, M.A., Finno, R.J. and Viggiani, M.G. (1998). A Unique Critical State for Sand?, J. Soil Mech. Fdns. Div., ASCE, Vol. 124, No. 11, pp Scholfield e Wroth, (1968). Critical State soil mechanics. McGraw-Hill, London, UK. Wood, M.D., Belkheir, K. e Liu, D.F. (1994). Strain softening and state parameter for sand modeling, Geotechnique 44, No. 2, Wood, D.M., and Maeda K. (8). Changing grading of soil: effect on critical states, Acta Geotechnica 3, pp.3 14.