Equazioni e disequazioni algebriche

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1 Università della Calabria Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dr. Armando Careri Equazioni e disequazioni algebriche Una raccolta di esercizi

2 dr. Armando Careri: Equazioni e disequazioni algebriche, Una raccolta di esercizi. Novembre 009 Sito web: [email protected] Il codice digitale del testo ed i grafici relativi sono stati progettati dall autore attraverso i software open-source L A TEX ε e Inkscape.

3 ... And you will come to find that we are all one mind and capable of all that s imagined and inconceivable... - James Maynard

4 Ringraziamenti Per aver contribuito all arricchimento dei contenuti di questo lavoro, ringrazio i docenti dei corsi di matematica del potenziamento 009/010 della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell Università della Calabria ed i tutor/assistenti matematici che vi hanno collaborato. Fra i docenti di cui prima, desidero ringraziare in particolar modo la gentilissima dr.ssa Rosanna Caira per i suoi preziosi consigli e per il materiale fornitomi da cui ho parzialmente preso spunto ed il dr. Francesco Dell Accio, la cui conoscenza professionale, mi ha arricchito con nuove straordinarie idee d insegnamento della matematica. Un dovuto ringraziamento va anche a Patrizia Genova, per aver dato un contributo alla stesura materiale di questo lavoro nonché alla scelta delle soluzioni grafiche più appropriate.

5 Indice 1 Algebra di primo grado Equazioni di primo grado Equazioni numeriche e letterali, intere Equazioni numeriche e letterali, fratte Sistemi di equazioni Disequazioni di primo grado Disequazioni numeriche intere Disequazioni letterali intere Disequazioni numeriche fratte Sistemi di disequazioni Problemi di primo grado Problemi di algebra Problemi di geometria Algebra di secondo grado 17.1 Equazioni di secondo grado Equazioni numeriche intere Equazioni numeriche fratte Applicazioni sul discriminante Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni numeriche intere Disequazioni letterali intere Disequazioni numeriche fratte Problemi di secondo grado Problemi di algebra Problemi di geometria Algebra di grado superiore al secondo 5.1 Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni numeriche scomponibili, intere e fratte Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni numeriche scomponibili, intere e fratte Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche Equazioni e disequazioni con il valore assoluto Equazioni numeriche, intere e fratte Disequazioni numeriche, intere e fratte Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni numeriche, intere e fratte Disequazioni numeriche, intere e fratte

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7 1 Algebra di primo grado 1.1 Equazioni di primo grado Equazioni numeriche e letterali, intere Linee guida allo svolgimento degli Esercizi e gli Esercizi Sfruttando il 1 ed il principio di equivalenza per equazioni, si trasforma l equazione in altre equivalenti e via via più semplici. L obbiettivo è ottenere al primo membro i termini in ed al secondo i termini noti per pervenire alla forma canonica a = b. Poi si distinguono tre casi: a = 0 b 0 Il primo membro si annulla ed il secondo è diverso da zero ossia si perviene ad una equazione del tipo 0 = b 0 cioè 0 0 che è impossibile. a 0 Applicando il secondo principio di equivalenza, si possono dividere ambo i membri per a = 0 b = 0 L equazione diventa del tipo 0 = 0 a ottenendo l equazione = b/a che è la soluzione ed è dunque risolta per ogni valore di, ossia di quella iniziale chiamata, in tal caso, è indeterminata. determinata Esercizi Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere. 1 = 6 = ( ) + 5 = ( + ) = 4 8 ( + 5) = 9 = 4 4 = = 0 5 7( ) + = ( 8) 5 = 6 ( ) = + ( 1) 7 + = + R 8 ( 1)( + 1) + = 5 + ( 1) = 1 9 (+1) 4 = +( )(+)+1 R 10 7( ) + = ( 8) ( )(+)( +4)+ = 19 4 R = 6 5 = (t 5) 4 15 t + 4t = = + = t + 1 = t t = 9 8 = t ( ( = t t = 7 8 ) ) = 1 = 6 = 8 5 = (a 1) + 4a 1 = (a + 1) a 0 a + a = (a )(a + ) a = 0

8 1.1. Equazioni di primo grado Svolgimento di alcuni esercizi. 1 Si effettuano i seguenti passaggi: = 6 = 6 = l equazione è in forma canonica applicando il principio di equivalenza, al fine di isolare l incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa l equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione Si effettuano i seguenti passaggi: 8 ( + 5) = = = 9 + = 1 = 1 = 4 l equazione non è in forma canonica togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione applicando il 1 principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo l equazione è in forma canonica applicando il principio di equivalenza, al fine di isolare l incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa l equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione 5 Si effettuano i seguenti passaggi: 7( ) + = ( 8) 5 l equazione non è in forma canonica = = = = 15 5 = togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione applicando il 1 principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo l equazione è in forma canonica applicando il principio di equivalenza, al fine di isolare l incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa l equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione 7 Si effettuano i seguenti passaggi: + = + R poiché ambo i membri delle equazioni sono uguali, l equazione è una identità l equazione è soddisfatta per ogni valore attribuito all incognita 9 Si effettuano i seguenti passaggi: ( + 1) 4 = + ( )( + ) + 1 l equazione non è in forma canonica = = + R togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione poiché ambo i membri delle equazioni sono uguali, l equazione è una identità l equazione è soddisfatta per ogni valore attribuito all incognita 11 Si effettuano i seguenti passaggi: [email protected]

9 1. Algebra di primo grado ( )( + )( + 4) + = 19 4 ( 4)( + 4) + = 19 4 ( 4 16) + = = + 19 R togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione poiché ambo i membri delle equazioni sono uguali, l equazione è una identità l equazione è soddisfatta per ogni valore attribuito all incognita 1 Si effettuano i seguenti passaggi: «= 6 ( + ) ( ) = ( ) = = + l equazione presenta termini frazionari = «applicando il principio di equivalenza, al fine di liberare l equazione dai denominatori, si moltiplicamo + ambo i membri per il loro mcm = 6 = 6 = togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione semplificando i termini uguali che sono ai membri opposti dell equazione applicando il 1 principio di equivalenza, si trasportano tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo l equazione è in forma canonica applicando il principio di equivalenza, al fine di isolare l incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa l equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione 15 Si effettuano i seguenti passaggi: t + 4t 1 = t t l equazione presenta termini frazionari t 8 + 4t 1 «t + 9 = «applicando il principio di equivalenza, al fine di liberare l equazione dai denominatori, si moltiplicamo t ambo i membri per il loro mcm t 1 + 4t 1 = t t 4t + 4t = t = 7 8t 8 = 7 8 t = 7 8 semplificando i termini uguali che sono ai membri opposti dell equazione togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo i membri dell equazione l equazione è in forma canonica applicando il principio di equivalenza, al fine di isolare l incognita, si dividono ambo i membri per il coefficiente premoltiplicativo di essa l equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce la soluzione Esercizi Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali intere nella variabile. 1 5 a = 0 = 5 a 5 a = a a 0 = a a = 0 R + b = 0 = b a 0 = 1 6 a = + 8a = 5 6 a a = a a a = 0 R 4 a = a a 0 = 1 a = 0 R 7 b = b b 1 = b b+1 b = 1

10 Equazioni di primo grado 8 6 = a( ) + a a = a = R 9 m + (m 1)(m + 1) = (m + 1) 0 m + 4n = n m 1 (m )(n ) = (m + )(n + ) a( + b) + b( b) = b(a b) + (a + b) = a + 5b 4 a + 6b = + 5b a ( ) b 5 b(a b) + (a + ) (a + ) = a(b ) a 6 1 ( ( + a) + b ) = 5 ( ) (a b) ( + b) 6 7 ( a b) + (a b) = (a )(b + ) + 5ab 8 (a + b)( + b) (a b ) = (b a)( + a) 9 (a 1)(b + 1) = 0 40 b( ) = a m 1 = m = 1 R m n = 4n+m n m a = n n = 0 R a = n n 0 m n = 1 m+n m = n a b = a+b a = b a 0 = b a a = 0 b 0 a = 0 b = 0 R b 0 b = 0 R R a 5b a = 5b R b 0 = a b = 0 R b 0 = a b = 0 R a 1 b 1 = 0 a = 1 b = 1 R b 0 = b+a b b = 0 a = 0 R b = 0 a 0 Svolgimento di alcuni esercizi. 5 L equazione è già in forma canonica quindi si distinguono subito due casi: a = 0 In tal caso si ha a = a l equazione di partenza 0 = 0 sostituendo con a = 0 0 = 0 svolgendo i calcoli R l equazione è indeterminata a 0 In tal caso si ha a = a a a = a a = a l equazione di partenza dividendo ambo i membri per a (operazione lecita poiché a 0) l equazione è determinata 7 Si riconduce l equazione alla forma canonica: [email protected]

11 1. Algebra di primo grado 5 b = b b + = b (b + 1) = b l equazione di partenza trasportando al 1 membro e cambiandolo di segno mettendo in evidenza la al primo membro (b + 1) b + 1 (b + 1) = b = 1 b + 1 = 1 b + 1 l equazione di partenza dividendo ambo i membri per b + 1 (operazione lecita poiché b + 1 0) l equazione è determinata A questo punto si distinguono due casi: b + 1 = 0 ossia b = 1. In tal caso si ha (b + 1) = b 0 = 1 l equazione di partenza sostituendo b + 1 = 0 0 = 1 svolgendo i calcoli l equazione è impossibile b ossia b 1. In tal caso si ha Equazioni numeriche e letterali, fratte 9 Si riconduce l equazione alla forma canonica: m + (m 1)(m + 1) = (m + 1) m + m 1 = m m + = (m 1) =. A questo punto si distinguono due casi: m 1 = 0 ossia m = 1. In tal caso si ha (m 1) = 0 = 0 =. m 1 0 ossia m 1. In tal caso, dividendo ambo i membri per m 1 si ha (m 1) = = m Esercizi Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte = 1 = = 1 = = 0 44 = = = = + 1 ( + 6) 5 = 0 = = 0 = = = = = + 1 Svolgimento di alcuni esercizi. 5 1 ( ) 1 1 = + 5 t 5 t 1 = t 1 t = (1 ) 1 = = t 5 1 t ( + )( 4) a + 4 = = 1 t = 1 = (t 1) 5t t + t = 1 a + a = + ( ) ( )( + ) = 9 = 9 6 a 4 0 e e

12 Equazioni di primo grado 41 Affinché 1 = 1 abbia senso, si deve imporre 0 che rappresenta la condizione di accettabilità dell equazione. Dunque 1 = 1 l equazione iniziale moltiplicando ambo i 1 = 1 membri per (operazione lecita perché per ipotesi 0) 1 = l unica candidata soluzione Poiché = 1 soddisfa la condizione di accettabilità 0 allora = 1 è soluzione dell equazione di partenza. 4 Affinché 1 = 0 abbia senso, si deve imporre 0 che rappresenta la condizione di accettabilità dell equazione. Dunque 45 Affinché +1 1 = 0 l equazione di partenza moltiplicando ambo i 1 = 0 membri per (operazione lecita perché per ipotesi 0) 1 = 0 non è verificata per nessun valore di l equazione è impossibile = 0 abbia senso, si deve imporre che rappresenta la condizione di accettabilità dell equazione. Dunque ( + 1) + = ( + 1) = 0 l equazione di partenza = 0 moltiplicando ambo i membri per + 1 (operazione lecita perché per ipotesi + 1 0) rappresenta l unica candidata soluzione Poiché = 0 soddisfa la condizione di accettabilità + 1 0, in quanto = 1 0, allora = 0 è soluzione dell equazione di partenza. Esercizi Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali fratte nella variabile. 61 a + 1 = a a 1 = 0 a = 1 R 6 + a a = a + = a a = 1 65 a a + 6 = a a + b 1 = a a = a + a a + a 1 b b + b 1 b + b = b 1 b( 1) + b 1 b b a = a+ a a = a 0 = a 5 a = 0 a a = a a a = a = a 10 = 10a+ a = 10 a 1 a b + 1 = b 1 a a = 1 b 0 a = 1 b = 0 R a 1 = a +1 a + a = 1 b 1 b = 1 R Sistemi di equazioni 1.1. Esercizi Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche intere. [email protected]

13 1. Algebra di primo grado { + y = 6 y = 4 { y = y = { y = 9 + 5y = { 5 + y = y = { + y = 4 y 4 = 0 { { { { { = 5 y = 1 = 4 y = = 4 y = = 5 y = = 1 y = { { { { { + y = 6 + y = 1 y = 6 4 y = 1 + y = 1 4y = y = 1 + y = + y = 0 y = 0 { { impossibile R y = 6 R y = impossibile { = 0 y = 0 Esercizi Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche fratte y = 1 4 y + 1 = 1 5 y y 4 y 4y + y = 7 = ( y) 5 = 1 y + y = 11 7 = 5 4 y ( + 1) = 5 4 7( + y) 5 + y = ( y) y = 0 { { { { { = 5 y = 4 = 5 y = 4 = 9 y = = 9 y = = 6 y = y y + = 7 8 y + = y 6 y + 5 = 1 14 y + y 1 = 10 y + 1 y + y y = + y + y + 1 y = 4 4 y 4 6y y = y 4 5 y + 6 = y + = + 1 y + + y y + = 1 { { { = 6 y = 5 = 7 y = = 4 y = 1 = 4 y = 5 { = 1 y = 1 1. Disequazioni di primo grado Disequazioni numeriche intere Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere < 5 > 1 91 ( 1) < < > 5 + ( ) > 9 1 > ( 1) <

14 8 1.. Disequazioni di primo grado 9 ( 7) > (4 ) 94 4 < ( + ) 95 + (1 + 5) > 10 > 6 5 > 7 > ( + ) < (1 ) < 1 97 ( + 1) 8 ( 1) 1 98 ( ) 0 99 ( + 1) + > ( 6 (1 ) ) < ( + 5)( + ) < ( + 9)( + 1) > 101 ( + ) + (1 5) 1 Disequazioni letterali intere 10 (10 + 1) > 4(4 + 1) + (6 + 1) < > > 4 ( ) 1 (1 + ) > (1 ) < ( ( ) ( ) ) (1 5) ( ( ) ) (1 ) > 6 1 < ( + 1) 4 ( + 1) < ( 1) < Esercizi 1... Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile a < 1 + a a < + a a 111 a b + 4a 1 4 b a con a > 0 con a < 0 a < a 1 4 < 1 con a > 0 e b > 0 11 (a + ) (a + )( a) > 0 11 a a < (a 1)( 1) ( )(a + 1) > a k k a a ( + a)( b) < ( a)( + b) Esercizi 1... Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta. < 1 a > a < a < a + b + ab a + b a a a = a 1 (a 1) 4 a = 1 a a+ a+ a = R k 1 5 k k = 1 a a a = 1 a b 0 a = b 118 La soluzione di ( a+1)+1 = a( ) + è minore di per a < 5 6. V F 119 L insieme delle soluzioni di a( a) a( a) + 1 è (, a 1 a. V F [email protected]

15 1. Algebra di primo grado 9 10 La soluzione dell equazione + 5 k = k(+)+ è maggiore di 1 per k < 1 6. V F 11 Per k 9 l equazione 9 + k = 0 ammette soluzioni. V F 1 Per k < 1 l equazione 4 k + 1 = 0 non ammette soluzioni. V F 1 Per a = 0 la disequazione a( + 1) + a < a + 1 non ammette soluzioni. V F Disequazioni numeriche fratte Linee guida allo svolgimento degli Esercizi Mediante il 1 principio di equivalenza per disequazioni ed il a patto che coinvolga termini di segno costante (ad esempio quelli numerici in cui non compaiono l incognita e/o altri parametri), si riconduce la disequazione fratta nella forma grado. Poi si studiano separatamente i segni di A e B in funzione di. A tale scopo si calcolano le radici e i coefficienti direttori di A e B applicando la seguente regola: un polinomio di primo grado assume a destra della sua radice lo stesso segno del coefficiente direttore e discorde a sinistra. Procedendo con la A() B() 0, composizione dei segni di A e B, si ottengono i segni di A/B mediante i quali si può rispondere alla detta forma normale, con A e B polinomi di primo disequazione iniziale Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte. 14 > 0 < 1 > < 0 < < < < < 1 > 1 > > 5 Svolgimento di alcuni esercizi > < 4 > > 1 1 < < > ( ) 1 1 > + 4 > 1 5 < < < < < < 4 14 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro: Lo zero di si ottiene da i = 0 = 0. Il coefficiente direttore di è > 0. Segue dunque che è strettamente positivo a destra di 0 e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di ed il segno discorde a sinistra). + Lo zero di + si ottiene da + = i 0 = = 1. Il coefficiente direttore di + è > 0. Segue dunque che + è strettamente positivo a destra di 1 e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di ed il segno discorde a sinistra). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che (, 1) (0, + ). 16 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro: Lo zero di si ottiene da = i 0 = =. Il coefficiente direttore di 1 è 1 < 0 (in quanto = +( 1)). Segue dunque che è strettamente negativo a destra di e strettamente positivo a

16 Disequazioni di primo grado sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di 1 ed il segno discorde a sinistra).. 1 Lo zero di 1 si ottiene da 1 = i 0 = 1. Il coefficiente direttore di 1 è 1 > 0 (in quanto 1 = 1 1). Segue dunque che 1 è strettamente positivo a destra di 1 e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di 1 ed il segno discorde a sinistra). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni Si studiano ora i segni del numeratore e del denominatore della funzione al primo membro: 7 Per quanto riguarda il segno di 7 si ha, indipendentemente dal valore di, che 7 > 0. Ciò significa che nel prospetto del segno di 7 vi sarà una sequenza di soli +. 5 Lo zero di 5 si ottiene da 5 = i 0 = 5. Il coefficiente direttore di 5 è 1 > 0 (in quanto 5 = 1 5). Segue dunque che 5 è strettamente positivo a destra di 5 e strettamente negativo a sinistra (in quanto esso assume a destra della radice lo stesso segno di 1 ed il segno discorde a sinistra). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che (1,. 18 Si riconduce la disequazione ad un altra equivalente ma in forma normale: trasportando tutti 5 > 0 i termini al primo + 10 > > 0 membro sommando i termini e semplificando l equazione è ora in forma normale. da cui si evince che (5, + ). Sistemi di disequazioni 1..4 Esercizi Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni numeriche intere { { { { 1 > 0 < > 0 > > 0 1 > 5 < < 6 + > 5 5 > 0 + > < 0 5 > > 5 > < < > < ( + 5) 1 < < > 1 > 5 7 < < > 8 < 0 1 > 0 ( + ) < < 1 [email protected]

17 1. Algebra di primo grado Problemi di primo grado Problemi di algebra 1..1 Esercizi Risolvere i seguenti problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita. 144 Se al triplo di un numero si toglie 1, si ottiene il doppio del numero stesso aumentato di. Determinare tale numero. 145 Un ragazzo dice a un suo amico: pensa ad un numero intero; aggiungigli il numero successivo; aggiungi 9 alla somma; dividi il risultato per ; sottrai il numero pensat. A questo punto il ragazzo dice all? esterrefatto amico: il risultato è 5!. Il risultato ottenuto è quello corretto? 146 I tre quinti di un certo numero sommati a cinque valgono quanto il numero stesso diminuito di. Determina il numero. 147 Di quanto si deve diminuire il numero 1.5 per ottenere il suo reciproco? 148 Quanti litri di vino sono contenuti in una botte se togliendo 1 litri ed aggiungendo i 1/7 della quantità rimasta si raddoppiano i litri contenuti? 149 Una fune lunga 11 m è stata tagliata in quattro parti in modo che ogni parte risulti 5.5 m più lunga della precedente. Trova la lunghezza della parte maggiore. 150 Due giovani iniziano a giocare con 14 e e 18 e. Alla fine il primo giocatore possiede il triplo dell altro. Quale somma ha perso il secondo giocatore? 151 Determina due numeri sapendo che la loro somma è il triplo della loro differenza, mentre la somma del primo con il doppio del secondo è Dieci anni fa la somma delle età di un padre e di un figlio era 50. Oggi l età del padre è pari al triplo di quella del figlio meno 6 anni. Quali sono le due età oggi? 15 Determina le misure dei lati di un rettangolo sapendo che la somma di due lati disuguali è 7 cm e che la differenza fra il triplo del primo e i del secondo è 10 cm. 154 L area di un rettangolo è 48 cm. Se le dimensioni aumentano di 4 cm l area del nuovo rettangolo è 10 cm. Trovare le dimensioni del rettangolo originale. 155 Durante una vendita promozionale mi vengono fatte due offerte: se compero 5 paia di pantaloni e giacche spendo 81 e mentre se compro tre completi giacca e pantalone spendo 86 e. Quanto costa ogni giacca e ogni pantalone? 156 Trova due numeri naturali di cui sai che la divisione dà quoziente 7 e resto, mentre la somma del doppio del dividendo con il quadrato del divisore è uguale alla differenza fra il quadrato della somma del divisore aumentato di 6 e il numero Un dietologo compila una tabella che illustra il contenuto nutritivo del pane bianco, del formaggio e dei pomodori: Energia (Kcal),5 4,1 0,14 Proteine (g) 0,08 0,54 0,009 Grassi(gr) 0,017 0,45 0,0 Quale dieta dovrebbe proporre il dietologo per fornire esattamente 000Kcal, 80g di proteine e 45g di grassi al giorno usando soltanto questi alimenti? 158 Trova i numeri tali che la loro metà diminuita di superi il numero 5 aumentato del doppio dei numeri suddetti. 159 Trova per quali numeri il triplo della somma dei numeri stessi con 7 non supera la metà della differenza fra i numeri e Trova i numeri tali che il loro quadrato aumentato di non sia minore del prodotto dei numeri per i numeri stessi aumentati di Laura, studentessa di psicologia, ha sostenuto 4 esami riportando i punteggi: 8, 0, 7 e 6. Quali votazioni può accettare come risultato per il quinto esame se vuole garantirsi una media che non sia inferiore a 7? 16 La signora Rossi va al supermercato e vuole acquistare confezioni di pasta a 1.55 e ciascuna, barattoli di caffè a 8.5 e ciascuno e delle scatolette di tonno che costano.45 e ciascuna. La signora Rossi ha nel portamonete e. Quante scatolette può acquistare? Se compera il numero massimo di scatolette consentite dalla somma a disposizione, quanto resta nel portamonete?

18 1 1.. Problemi di primo grado 16 Trova i numeri che soddisfano contemporaneamente la seguenti condizioni: (a) Il loro triplo diminuito di 1 supera il loro doppio aumentato di 5; (b) La metà della somma fra tali numeri e 4 non supera Trova i numeri che soddisfano contemporaneamente la seguenti condizioni: (a) Il doppio dei numeri diminuiti di 1 non supera il triplo dei numeri; (b) La metà di tali numeri aumentata di supera i numeri diminuita di ; (c) La terza parte della somma dei numeri con 1 è minore della metà della differenza tra i numeri e Il serbatoio della mia auto contiene fino a 55 litri di benzina. Vado dal benzinaio con la somma di 90 e. Sapendo che la benzina verde costa 1.8 e il litro, qual è la quantità massima di benzina che posso mettere nel serbatoio? 166 Una famiglia di tre persone sostiene spese di trasporto per il tram non inferiori a 15 e mensili per persona. Nel bilancio della famiglia è prevista una spesa massima settimanale di 0 e. Quali possono essere le spese mensili della famiglia per il tram? 167 Un azienda manifatturiera trasforma dei pezzi semilavorati che acquista a 7.50 e l? uno. Sapendo che i costi fissi mensili ammontano a e, che i pezzi vengono riveduti a 15 e l uno e che la produzione non può superare le unità, determina quanti pezzi possono essere prodotti per non andare in perdita. 168 Qual è quel numero che sommato a 4 dà i 10/ del numero stesso? Sommando 15 al doppio di un numero si ottengono i 7/ del numero stesso. Qual è il numero? Dividere il numero 4 in due parti in modo che i 7/8 della prima parte superano di la seconda. 4, Determinare due numeri consecutivi pari tali che dividendo il doppio del maggiore per il minore si ottenga per quoziente e per resto. impossibile 17 Determinare due numeri consecutivi pari sapendo che dividendo il doppio del maggiore per il minore si ottiene per quoziente e per resto 4. indeterminato 17 Dividendo tra loro due numeri si ottiene per quoziente e per resto ; determinare i due numeri sapendo che il maggiore supera di 7 il doppio del minore. 5, L età di una madre supera di 18 anni la somma dell età delle due figlie e l età della figlia maggiore è i 5/ dell età della sorella. Determinare le loro età sapendo che fra anni l età della madre sarà il triplo di quella della figlia maggiore. 4, 10, Un negoziante vende prima 1/4 di una pezza di stoffa, poi i / della stoffa rimasta; determinare la lunghezza della pezza sapendo che, dopo le due vendite, rimangono 15 m. 60 m 176 Un asta alta 15 m deve essere divisa in parti in modo che la prima parte superi la seconda di 1 dm e la seconda parte superi di 6 dm i /5 della terza. Determinare la lunghezza di ciascuna parte. 6.8m, 4.7m,.5m 177 In un numero di due cifre, la somma delle cifre è 10 e la cifra delle unità supera di 8 quella delle decine. Trovare il numero Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle unità supera di la cifra delle decine e che il numero è il quadruplo della somma delle sue cifre In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di 1 quella delle unità; dividendo il numero per la somma delle cifre si ottiene per quoziente 6 e per resto. Trovare il numero. 180 Un negoziante vende prima 1/, poi i /5 di una pezza di stoffa e successivamente 1/4 della parte rimasta; sapendo che complessivamente vende 48 m, determinare quanti metri rimangono ancora da vendere. 1 m 181 Un negoziante vende i /5 di una partita di olio ad un primo compratore; ad un secondo vende 1/ della quantità rimasta e ad un terzo compratore la metà della quantità d olio rimasta dopo le prime due vendite; alla fine rimangono ancora 16 litri da vendere. Quanti litri ha venduto complessivamente il negoziante? 64 l 18 Una somma di e è formata con banconote da 50 e, 100 e e 00 e; il numero delle banconote da 00 e è i / del numero delle banconote da 100 e. Determinare il numero delle banconote da 50 e sapendo che è i 4/5 del numero complessivo delle altre banconote. 00 [email protected]

19 1. Algebra di primo grado 1 18 Una somma di denaro viene divisa fra tre persone; la prima prende il doppio della seconda, che prende i 4/ della terza. Determinare il valore della somma sapendo che la prima persona prende 5000 più della terza e 184 Si narra che sulla tomba del celebre matematico greco Diofanto fosse scolpita la seguente iscrizione: Qui Diofanto ha la sua tomba che a te rivela con l aritmetica quanti anni egli visse. Egli passò 1/6 della vita nell infanzia, 1/1 adolescenza, 1/7 nella giovinezza. Poi si ammogliò e dopo 5 anni ebbe un figlio che fisse la metà della vita del padre; il padre gli sopravvisse ancora 4 anni mitigando il suo dolore con lo studio dell aritmetica. A che età morì Diofanto? Da un blocco di ferro di 1 kg si ricavano dei chiodi, ciascuno dei quali pesa 15 g. Determinare il numero di chiodi che si possono ricavare, sapendo che nella lavorazione c è uno scarto che è pari ai /5 del peso dei chiodi prodotti Un tondino di ferro lungo 4.6 m deve essere diviso in parti, tali che la prima sia / della seconda e /4 della terza. Determinare la lunghezza delle tre parti. 1. m, 1.8 m, 1.6 m 187 Due mattoni pesano un chilogrammo più / mattoni. Quanto pesa un mattone, supponendo che tutti i mattoni considerati siano di ugual peso? kg 188 Una persona impiega una parte del suo capitale al 7% per anni e 4 mesi e la parte rimanente, che è doppia della prima, all 8% per anni e 6 mesi. Alla fine riscuote l interesse complessivo di 170 e. Qual era il capitale impiegato e 189 Un capitale di 6000 e dopo un certo tempo è diventato coi suoi interessi 840 e. Per metà del tempo è stato impiegato al %, per 1/5 del tempo al 4.5% e per il tempo rimanente al 5%. Per quanto tempo è stato impiegato quel capitale? 1 anno e 8 mesi 190 Il fatturato di un azienda, nel 007, è aumentato del 0% rispetto al 006. Nel 008 il fatturato è aumentato ancora del 5% rispetto all anno precedente. Sapendo che in quei due anni il fatturato è aumentato di 5000 e, calcolare il fatturato nel e 191 Due macchine producono complessivamente 7 pezzi in un certo tempo. Per confezionare un pezzo, la prima macchina impiega 40 secondi e la seconda 50 secondi. Determinare quanti pezzi ha prodotto ciascuna macchina e per quanto tempo ciascuna ha lavorato. 40,, 6 minuti e 40 secondi 19 Un ingranaggio è composto di due ruote dentate, rispettivamente con 4 e 7 denti. Quando le due ruote hanno compiuto complessivamente 160 giri, quanti giri ha compiuto ciascuna delle due? 10, Due tubi di ferro di eguale calibro sono lunghi rispettivamente 8.4 m e 5.6 m. Calcolare la lunghezza del pezzo che si deve togliere dal primo tubo e saldare poi al secondo perchè il doppio del primo risulti i / del secondo..4 m 194 Un litro di una certa soluzione salina contiene sale al 4 ; si vuol diluire la soluzione fino al.5. Quanti litri d acqua bisogna aggiungere? 0.6 l 195 Si devono preparare quintali di una lega di ferro, nichel e carbonio. Sapendo che il peso del ferro adoperato è 5 volte quello del carbonio che è, a sua volta, 1/4 del peso del nichel, determinare il peso di ciascun componente adoperato. 100 kg, 80 kg, 0kg 196 Una biblioteca acquista nuovi volumi incrementando così del 5% la sua dotazione. L anno successivo vengono effettuati ulteriori acquisti, incrementando in tal modo la dotazione del 10% rispetto ai volumi posseduti al momento dell acquisto. Sapendo che nei due anni sono stati acquistati 6000 volumi, quanti volumi possiede ora la biblioteca? 000 volumi 197 Pierino ha aperto il rubinetto della vasca da bagno, e sa che per riempirla occorreranno 10 minuti. Si è però dimenticato di sistemare bene il tappo sul fondo. In queste condizioni la vasca, se fosse già piena e se i rubinetti fossero chiusi, si svuoterebbe in 15 minuti. Quanto tempo occorre per riempirla col tappo così sistemato? 0 minuti

20 Problemi di primo grado Problemi di geometria 1.. Problemi di geometria piana Esercizi 1... Risolvere i seguenti problemi. 198 Determinare gli angoli di un triangolo isoscele sapendo che l angolo al vertice è doppio di ciascuno degli angoli adiacenti alla base. 90, 45, Determinare l ampiezza degli angoli di un triangolo isoscele sapendo che ciascuno degli angoli alla base è i /5 dell angolo al vertice. 100, 40, Il perimetro di un rettangolo è 10 cm; calcolare l area del rettangolo sapendo che la base è tripla dell altezza. 675 cm 01 Determinare le diagonali di un rombo sapendo che la maggiore è i 15/8 della minore e la loro differenza è 1.14 m m, 4.16 m 0 Determinare il perimetro e l area del rettangolo ABCD sapendo che AB = 0 9 BC e che 5 AB 4 cm = 4 9 BC + 16 AB. 464 cm, 1150 cm 0 Nel triangolo isoscele ABC, la base BC supera di cm l altezza AH. Determinare il perimetro del triangolo sapendo che 4 5 BC+ 7 4AH = 8 cm. 64 cm 04 Nel trapezio rettangolo ABCD, AB è la base maggiore e AD il lato perpendicolare alle basi. Si sa che AD = 4 AB e CD = 11 1AD; la somma delle basi è 54 cm. Dopo aver determinato la base maggiore AB, determinare l area del trapezio ed il perimetro. cm, 648 cm, 104 cm 05 Nel trapezio rettangolo ABCD, la base minore CD è di 9 cm e la diagonale AC, perpendicolare al lato obliquo BC, è i /5 della base maggiore AB. Si sa che AC + BC = 55 cm. Determinare il lato obliquo e la base maggiore del trapezio. Successivamente calcolare il perimetro e l area del trapezio. 0 cm, 5 cm, 66 cm, 04 cm 06 Il perimetro di un triangolo isoscele è di 98 cm e l altezza è i 7/5 di ciascuno dei due lati congruenti. Determinare l area del triangolo. 168 cm 07 Sia O il punto d incontro delle diagonali del rombo ABCD di cui si conoscono le seguenti relazioni: AD = 5 7 OD e 4 AO + 5 AD = 7 6 AC 14 cm. Determinare l area del rombo. 6 cm Problemi di geometria solida Esercizi 1... Risolvere i seguenti problemi. 08 In un parallelepipedo rettangolo, avente il perimetro della base di.4 dm, un lato della base è i /5 dell altro. Determinare gli spigoli del parallelepipedo, sapendo che la superficie laterale è di 4 dm. 7 dm, 4. dm, 10 dm 09 In un parallelepipedo rettangolo, la somma delle tre dimensioni è di 50 cm, una dimensione è la m età della maggiore e il triplo della minore. Trovare l area della superficie totale e il volume del solido. 150 cm, 50 cm 10 Un parallelepipedo retto ha per base un rettangolo di perimetro 44.8 cm, i cui lati sono in rapporto /5. Determinare il volume del parallelepipedo, sapendo che l area della superficie totale è cm. 5 cm 11 La somma del lato di base e dell altezza di una piramide quadrangolare regolare è 70 cm e il loro rapporto è /. Determinare il volume della piramide cm 1 In una piramide quadrangolare regolare il lato di base è i 10/1 dell apotema e la loro differenza è di 1. cm. Determinare la superficie totale e il volume della piramide cm, 5.6 cm 1 Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide retta avente per base una faccia del cubo. Lo spigolo del cubo è i 5/7 dello spigolo laterale dell piramide e la somma di tutti gli spigoli del solido è di 5 cm. Determinare gli spigoli del solido. 0 cm, 8 cm 14 Un solido è formato dalla somma di due piramidi regolari avanti in comune la base che è un quadrato di lato 8 cm; il rapporto delle altezze delle due piramidi è 1/50 e la distanza dei due vertici è di 9.45 cm. Determinare il volume del solido e le altezze delle due piramidi cm, 7.5 cm, 1.95cm 15 L altezza di un cilindro è i / del raggio della [email protected]

21 1. Algebra di primo grado 15 sua base e la loro somma è 40 cm. Determinare il volume del cilindro cm 16 Determinare il raggio di un cilindro sapendo che l altezza è i 5/ del raggio e che la somma dell altezza con i /4 del diametro è di 5.7 cm. 1.8 cm 17 La somma dell altezza di un cono con il raggio di base è 51 cm e 1/4 dell altezza è congruente ai /5 del raggio. Determinare il peso del solido supposto che sia formato da ferro di peso specifico 7.8 kg/dm kg

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23 Algebra di secondo grado.1 Equazioni di secondo grado Equazioni numeriche intere Esercizi.1.1. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere. 18 = 1 = ±1 8 6 = ± / = = 1 = ± 10 1 ( )( + ) = 0 = ± = 5 = 6 = 0 = 1 = ± = 6 = = 5 9 = 0 = = 6 ( ) = (1 + ) ( ) Equazioni numeriche fratte = ( ( 1) + 1 ) ± ( + 1 ) = 0 = 7 = 5 0 ( + 1 ) = ( + 1) 9 + = 4 = 1 = = 0 = ( + 1) = ( 1) + 4 R 4 = = 0 = 1 = ± 1 6 ( 1) + 18 = 4( )( + ) = 0 = 5 = Esercizi.1.. Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte = 0 = 0 = 1 + = = 0 ± 6 = ± = + 1 1, con Q = 7, con N = = = 14

24 18.1. Equazioni di secondo grado = 5 1( + 1) ( ) 46 ( 1 + ) ( ) 47 1 : : 1 6 = = ( + 1 ( ) ( ) + 1 : = 0 ) : 9 = 1 = 1 8 = 11 = 5 4 = ( + 1 ) = ( 9 11 ) Applicazioni sul discriminante.1. Esercizi.1.. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e coincidenti. 48 (k 1) + k = 0 k = 1/ 49 + (k 1) + k = 0 k = 1/4 50 k k + 1 = 0 k k 1k + 9 = 0 k 0 Esercizi.1.4. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e distinte. 5 + k = 0 k < k + (k 1) = 0 k > 1/ 54 (k + 1) + (k + k ) = 0 k R 55 (k ) + k + k = 0 k > 1 k 56 (k 4) + k = k + 1 = 0 k Esercizi.1.5. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni complesse coniugate k = 0 k > (k 1) + k k = 0 k > k + 5 = 0 k R 61 k + k + 4 = 0 k R 6 + k = 0 k > 0 6 (k 1) = 0 Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado.1.4 Esercizi.1.6. Risolvere i seguenti problemi inerenti equazioni di secondo grado dove con 1 e sono state denotate le eventuali soluzioni corrispondenti. 64 Nell equazione (k + 1) (k 1) = 0, determinare k in modo che risulti: (a) 1 = ; k = 0 (b) 1 =. k = 65 Nell equazione (k ) + (k 1) = 0, determinare k in modo che sia = 1 k = 14/11 k = 66 Nell equazione (m + ) + (m 8) = 0, determinare m in modo che sia: (a) 1 = 0; m = (b) 1 = ; m = (c) 1 + = 4/. m = 4/ 67 Nell equazione (m 1) +5m+11m 8 = 0, determinare m in modo che sia: (a) una radice nulla; k = 8/11 (b) una radice il quadruplo dell inversa dell altra. k = 4/7 68 Nell equazione 8m (m )+m 1 = 0, determinare m in modo che: (a) le radici siano reali e coincidenti; (b) le radici siano opposte; (c) le radici siano reciproche; (d) la somma degli inversi delle radici sia 4; (e) il prodotto delle radici sia doppio della loro somma. 69 Nell equazione ( 1) (k 1) + k = 0, determinare k in modo che: (a) una radice sia eguale a 1; (b) la somma dei quadrati delle radici sia 4; [email protected]

25 . Algebra di secondo grado 19 (c) la somma degli inversi delle radici sia 1/. 70 Nell equazione + (k 1) = 0, determinare k in modo che 1 + = Nell equazione + (k ) + (k 1) = 0, determinare k in modo che sia: (a) 1 + = ; k = 1 (b) 1 = 8; k = 0 (c) 1 = 0; k = 1 (d) 1 + = 1; k = 1 (e) 1 + = 1. 7 Senza risolvere l equazione a + b + c = 0, esprimere, per mezzo dei coefficienti, la somma dei cubi dei reciproci delle radici. 7 Nell equazione (h 1) +(h ) (h+1) = 0, determinare h in modo che sia: (a) 1 = ; h (b) = 17 1 ; h = 95 9 (c) 1 ( 1 + ) + ( 1 + ) = 1/; h = h = 5 74 Nell equazione (k ) ( k) = 0, determinare k in modo che sia: (a) 1 = ; k (b) 1 = 1; k = 1 (c) 1 + = ; k = 8 k = Nell equazione (k + 1) m + km = 0, con m 0, determinare k in modo che sia: (a) 1 = 0; k = 0 (b) 1 + = m; k = 1 1 (c) + 1 = m; k = 1 m (d) m( 1 + ) + 1 = 0; k = m. Disequazioni di secondo grado Disequazioni numeriche intere..1 Esercizi..1. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere > > 1 < 1 > > 0 R 79 < > 0 0 < < > 0 < 0 > < 0 8 > 0 < 0 > > ( 5)( + 5) > 0 < > > ( ) 11 + ( 4) > > 0 < < < ( 1) < 4 1 < < 7 1 < < 9 ( + ) ( ) R 94 < 4 ( ) Disequazioni letterali intere.. Esercizi... Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile.

26 0.. Disequazioni di secondo grado 96 m 0 m < 0 m 0 m = 0 = 0 m > 0 0 m 97 4m + 4m > 0 m 98 4a 4 a a 99 a a + a 1 > 0 con a > 0 00 b b > 0 01 a (a ) a > ( a) a > 0 0 (a 1) a(a + 1) 0 04 ( + a)( a) 1 a 05 a( 1) (1 4a) a 0 < a 1 > a + 1 a a b < 0 < b > b b = 0 0 b > 0 < b > b a < < a > a = > 0 a > < > a a < < a > a = a > < > a a < 1 a a+1 a = 1 = 1 a > 1 a+1 a a < 1 a 1 1 a a = 1 R a > 1 1 a a 1 a < 0 1 a 0 a = 0 0 a > a Disequazioni numeriche fratte Linee guida allo svolgimento degli Esercizi... Mediante il 1 principio di equivalenza per disequazioni e/o secondo grado. Poi si studiano separatamente ed il a patto che coinvolga termini di segno costante (ad esempio quelli numerici in cui non compaiono l incognita e/o altri parametri), si riconduce la disequazione fratta nella forma i segni di A e B in funzione di. A tale scopo si calcolano le radici e i coefficienti direttori di A e B applicando la seguente regola: un polinomio di secondo grado assume all esterno delle sue radici lo stesso segno del coefficiente direttore e discorde all interno. Procedendo con la composizione dei segni A() B() 0, di A e B, si ottengono i segni di A/B mediante i detta forma normale, con A e B polinomi di primo quali si può rispondere alla disequazione iniziale Esercizi... Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte. 06 ( 1) > 08 1 < 0 < = < 0 1 < < 1 < < 7 6 [email protected]

27 . Algebra di secondo grado < 0 4 < < > < 4 > > R > < < < > 0 < < 0 Svolgimento di alcuni esercizi. 06 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro: 1 Lo zero di 1 si ottiene da 1 = i 0 = 1. Il coefficiente direttore di 1 è 1 > 0 (in quanto 1 = 1 1). Segue dunque che 1 è positivo a destra di 1 e negativo a sinistra. Lo zero di si ottiene da i = 0 = 0. Il coefficiente direttore di è > 0. Segue dunque che è positivo a destra di 0 e negativo a sinistra. 6 Lo zero di 6 si ottiene da 6 = i 0 = 6 =. Il coefficiente direttore di 6 è > 0. Segue dunque che 6 è positivo a destra di e negativo a sinistra. Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che 0, 1 (, + ). 08 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro: 1 Lo zero di 1 si ottiene da 1 = i 0 = 1. Il coefficiente direttore di 1 è 1 > 0 (in quanto 1 = 1 1). Segue dunque che 1 è positivo a destra di 1 e negativo a sinistra. + + Si calcola preliminarmente il discriminante di + + che è = 4 1 = 4 8 = 4 < 0. Ne segue che + + non ha zeri. Il coefficiente direttore di + + è 1 > 0 (in quanto + + = ). Segue che il segno di + + è sempre uguale a quello del suo coefficiente direttore 1, ossia strettamente positivo su tutto l asse reale. Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che (, 1). 10 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni di numeratore e denominatore della funzione al primo membro: Si calcola preliminarmente il discriminante di che è = = 5 16 = 9 > 0. Dunque ha due zeri che si ottengono da = 5 ± 9 1 = 5 = 5 + = 4 = 1. Il coefficiente direttore di è 1 > 0 (in quanto = ). Segue che il segno di è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 4 e 1 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 4, 1) e negativo sull insieme (, 4) ( 1, ). 5 6 Calcoliamo preliminarmente il discriminante di 5 6 che è = ( 5) 4 1 ( 6) = = 49 > 0. Dunque 5 6 ha due zeri che si ottengono da = 5 ± 49 1 = 5 7 = = 1 = 6. Il coefficiente direttore di 5 6 è 1 > 0 (in quanto 5 6 = 1 5 6). Segue che il segno di 5 6 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 1 e 6 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 1, 6) e negativo sull insieme (, 1) (6, ).

28 .. Problemi di secondo grado Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che ( 4, 1) ( 1, 6).. Problemi di secondo grado Problemi di algebra..1 Esercizi..1. Risolvere i seguenti problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita. 16 Trovare due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia Trovare l? età di una persona sapendo che fra due anni la sua età sarà uguale al quadrato della quarta parte dell? età che aveva tre anni fa. 18 Utilizzando 40 m di filo spinato si vuole recitare un appezzamento di terreno, di forma rettangolare, della superficie di 00. Quali dimensioni dovrà avere tale appezzamento? 19 Trova i numeri tali che la somma tra il loro quadrato e il triplo dei numeri stessi è superiore a 4. 0 Trova i numeri tali che il quadruplo del loro quadrato è inferiore ai numeri che si ottengono aggiungendo 90 al doppio dei numeri. 1 Determinare per quali valori di la somma del triplo del quadrato di e il doppio di supera la differenza fra 1 e. Se un? industria produce unità di un prodotto e il profitto è dato da , per quali valori di si avrà un guadagno? Calcolare quel numero di cui il quadrato aumentato di è uguale al quadruplo del numero stesso. 4 Dire perchè non esiste nel campo reale un numero il cui quadrato sia eguale al doppio del numero stesso diminuito di Determinare quel numero che si ottiene sommando a prima la metà del numero stesso, poi la sua quinta parte ed infine il quoziente tra 80 e il numero stesso. 40/; 0 6 Determinare tre numeri interi consecutivi sapendo che la somma del prodotto del primo per il secondo e del prodotto del primo per il terzo è ; 8; 9 7 Determinare due numeri sapendo che la loro somma è e che la somma dei loro quadrati è 4. ; 5 8 Due frazioni sono reciproche; la loro somma è 9/10 e il prodotto dei numeratori è 10. Determinare le frazioni. /5; 5/ 9 Determinare due numeri sapendo che la somma dei loro reciproci è 6 e che la somma dei quadrati di quest ultimi è 6. (1/5, 1); (1, 1/5) 0 Determinare tre numeri, la cui somma è 4, sapendo che il quadrato del primo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due e che la somma dei loro quadrati è 00. (10, 6, 8); (10, 8, 6) 1 Determinare due numeri sapendo che il loro prodotto, aumentato del quadrato del primo, è 60 e che lo stesso prodotto è uguale a 140 diminuito del quadrato del secondo. (1, 7); ( 1, 7) Un padre ha due figli dei quali il maggiore ha 5 anni più dell altro. Sapendo che il padre aveva 5 anni quando nacque il figlio maggiore e che ora il prodotto delle età dei figli è uguale a 1/8 dell età del padre meno il quintuplo dell età del figlio minore, calcolare le età. 15; 10; 40 Svolgimento di alcuni esercizi. [email protected]

29 . Algebra di secondo grado Siano e y tali numeri. Allora la somma dei loro reciproci è 6 ossia = 6 e la somma dei loro quadrati è 6 y ossia + y = 6. Quindi il problema è riconducibile al seguente sistema (con 0 y 0): 8 >< >: y = y = 6 8 >< >: 8 < : 8 < : 1 y = «6 = 0 y = = 0 8 y = 1 < = 1 : 5 y = 1 5 = 1 8 >< >: 8 1 >< y = 6 >: = 0 y = 8 >< y = 6 6 = 1 5 = 1 >: = 1 5 : 8 >< >: 8 < y = = 1 y = = 0 6 Problemi di geometria.. Esercizi... Risolvere i seguenti problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita. L area di un triangolo rettangolo è 0 cm ; determinare la lunghezza dei cateti sapendo che uno è /5 dell altro. 4 Calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo essendo noto il perimetro 1a e l area 6a. a; 4a; 5a 5 E dato un rettangolo ABCD avente AB = a e BC = 4a; determinare sul lato AD un punto E in modo che dette H e K rispettivamente le proiezioni ortogonali di E sulla diagonale AC e di H su BC, si abbia: EH HK = a. AE = a 6 In un cerchio di diametro AB = r, condurre una corda AC in modo che la sua proiezione sul diametro sia AH = 8r e calcolare l area S del triangolo ABC. 9 AC = 8 ; S = 8 r 7 Sul prolungamento del diametro AB di un cerchio, dalla parte di B, si prende un punto P tale che sia BP = 8a; calcolare il raggio del cerchio sapendo che il segmento P C di tangente al cerchio è dodici quinti del raggio. 5a

30

31 Algebra di grado superiore al secondo.1 Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni numeriche scomponibili, intere e fratte.1.1 Esercizi.1.1. Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione. 8 ( 1)( + ) = 0 = 1 = 0 = 1 9 ( + 1)( 4 + 4) = 0 = 1 = 40 ( + )( ) = 0 = = 0 = = 0 = = 0 = 1 = = = 0 = = 0 = = 1 = = = 0 = = 1 = = = 0 = 1 = 1 = 1 = 47 ( ) 18( ) = 0 = 48 ( 4) + ( 1) = 0 = = = = 1 = = 1 50 ( + ) = 0 = = 1 51 ( ) = = 1 = = 1 5 ( + 1)( 1) = 1 = 1 = 0 = 5 1 ( ) + = 4( ) = = 1 4 = 1 54 (1 4 ) 5 = 4 1 = 1 = 1 = 1

32 6.. Disequazioni di grado superiore al secondo 55 ( ) ( ) = 0 = ( )( 6) = ( ) = 0 = = 4 57 ( + 1)( ) = + 6 = 1 = Svolgimento di alcuni esercizi. 4 Si deve scomporre il polinomio p() = al primo membro in fattori polinomiali di primo e/o secondo grado. Un possibile approccio al problema sta nel ricercare fra i divisori del termine noto quel valore 0 che annulla il polinomio p per poi procedere alla divisione di p per il fattore 0 mediante la regola di Ruffini. I divisori del termine noto 7 sono 7, 1, 1 e 7 e 1 è un siffatto valore in quanto p(1) = = = 0. Si procede dunque con la regola di Ruffini: Quindi = ( 1)( + + 7). Le seguenti equazioni sono, dunque, equivalenti a quella iniziale ( 1)( + + 7) = 0 1 = = 0 = = 0 Rimane da stabilire se = 0 abbia soluzioni. A tale scopo si calcola il discriminante di + + 7: = 4 7 = < 0. Ne segue che = 0 non ha soluzione e quindi l unica soluzione dell equazione di partenza è = 1.. Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni numeriche scomponibili, intere e fratte..1 Esercizi..1. Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione. 58 ( )( 1)( + ) > 0 < < 1 > 59 ( 4)( + 1) > 0 < < 1 > 60 ( 1)(1 4 ) > 0 1 < < 1 1 < < 1 61 ( 4)( 5) < 0 5 < < 1 4 < < ( 1) < 7( 1) < > 0 > < 0 1 < < ( 1) 8 (1 ) < 0 1 < < 1 1 < < < > < < < < < > < < 1 1 < < 0 < 1 1 < < < < < 1 [email protected]

33 . Algebra di grado superiore al secondo Svolgimento di alcuni esercizi. 61 La disequazione è già in forma normale, pertanto, si studiano subito i segni dei fattori della funzione al primo membro: 4 Si calcola preliminarmente il discriminante di 4 che è = ( ) 4 1 ( 4) = = 5 > 0. Dunque 4 ha due zeri che si ottengono da = ( ) ± 5 1 = ± 5 = = 8 = 1 = 4 Il coefficiente direttore di 4 è 1 > 0 (in quanto 4 = 1 4). Segue che il segno di 4 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 1 e 4 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 1, 4) e strettamente negativo sull insieme (, 1) (4, ). 5 Il polinomio 5 ha due zeri che si ottengono da 5 i = 0 = 5 = ± 5 = ±5 Il coefficiente direttore di 5 è 1 > 0 (in quanto 5 = 1 5). Segue che il segno di 5 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 5 e 5 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 5, 5) e strettamente negativo sull insieme (, 5) (5, ). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che ( 5, 4) (1, 5). 67 Si fattorizza il polinomio al primo membro: ( 1) 8 (1 ) ( 1) +8 ( 1) ( 1)( ) i termini in parentesi sono uno l opposto dell altro moltiplicando la parentesi a destra per il diventano uguali mettendo in evidenza 1 ( 1)(9 1) semplificando < Dunque la disequazione iniziale è equivalente alla seguente disequazione ( 1)(9 1) < 0 la quale è ora in forma normale. Si studiano ora i segni dei fattori costituenti il primo membro della disequazione: 1 Il polinomio 1 ha due zeri che si ottengono da 1 i = 0 = 1 = ± 1 = ±1 Il coefficiente direttore di 1 è 1 > 0 (in quanto 1 = 1 1). Segue che il segno di 1 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 1 e 1 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 1, 1) e strettamente negativo sull insieme (, 1) (1, ). 9 1 Il polinomio 9 1 ha due zeri che si ottengono da 9 1 i = 0 9 = 1 = 1 9 r 1 = ± 9 = ± 1 Il coefficiente direttore di 9 1 è 9 > 0. Segue che il segno di 9 1 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 9 all interno dei suoi zeri 1/ e 1/ e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 1/, 1/) e strettamente negativo sull insieme (, 1/) (1/, ). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che ( 1, 1/) (1/, 1).

34 8.. Disequazioni di grado superiore al secondo 8 Si porta la disequazione in forma normale: > 1 l equazione presenta termini frazionari ( 1)( + 1) > 0 portando tutto al 1 membro e scomponendo il denominatore del secondo termine ( + 1) + 6 ( 1)( + 1) + ( 1) ( 1)( + 1) ( 1)( + 1) > 0 > 0 sommando tutti i termini dopo aver calcolato l mcm dei corrispettivi denominatori levando le parentesi al numeratore e sviluppando i calcoli ( 1)( + 1) > 0 il numeratore è un polinomio biquadratico che si vuole fattorizzare z } { > 0 ( 1)( + 1) ( 1)( + 1) ( + 1) + ( + 1) ( 1)( + 1) ( + 1)( + ) ( 1)( + 1) ( + 1)( + ) ( 1) ( + 1) > 0 > 0 > 0 > 0 1 > 0 Si studiano ora i segni dei fattori costituenti il primo membro della disequazione: Il polinomio ha due zeri che si ottengono da i = 0 = sottraendo e sommando al numeratore il monomio (cioè sommando una quantità nulla che non altera la disequazione) il numeratore è pronto per una messa in evidenza parziale dopo la messa in evidenza parziale, si nota che i termini hanno un fattore comune ora anche il numeratore è scomposto in fattori di grado al più cancellando il fattore + 1 comune a numeratore e denominatore poiché privo di radici la disequazione ottenuta è equivalente a quella di partenza = = ± Il coefficiente direttore di è 1 < 0 (in quanto = + ( 1) ). Segue che il segno di è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri e e discorde all esterno, ossia è strettamente negativo nell intervallo (, ) e strettamente positivo su (, ) (, ). 1 Il polinomio 1 ha due zeri che si ottengono da 1 i = 0 = 1 = ± 1 = ±1 Il coefficiente direttore di 1 è 1 > 0 (in quanto 1 = 1 1). Segue che il segno di 1 è uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all interno dei suoi zeri 1 e 1 e discorde all esterno, ossia è strettamente positivo nell intervallo ( 1, 1) e negativo su (, 1) (1, ). Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni da cui si evince che (, 1) (1, ). [email protected]

35 4 Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 4.1 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto Equazioni numeriche, intere e fratte Questionario Rispondere ai seguenti quesiti. 7 = V F 74 5 V F 75 6 = 6 V F 76 A = A V F 77 A = A V F 78 A = B A = B V F 79 A = B A = B V F 80 A = B (A = B A = B) V F 81 A = K (A = K A = K ) V F 8 ( A = K K 0) K V F 8 A = B A = ±B V F 84 A = B (B 0 A = ±B) V F Linee guida allo svolgimento degli Esercizi E sempre possibile ricondurre le equazioni con il AE1 f() = 0 f() = 0; valore assoluto ad altre equivalenti algebriche. Nel più sfortunato dei casi si deve applicare la definizione di valore assoluto e quindi discutere vari scenari AE M 0 si ha che f() = M f() = ±M; AE M < 0 si ha che f() = M ; a seconda del segno dell argomento del valore assoluto. In altri casi più semplici si possono applicare AE4 f() = g() ( f() ) ( ) ; = g() le seguenti equivalenze: AE5 f() + g() = 0 f() = g() = Esercizi Tenendo presente la definizione di valore assoluto e le sue proprietà, risolvere nel modo più rapido possibile le seguenti equazioni = 0 = = 0 = = = 0 = 0 = = = 0 = ± = = = = 17 1 = = = 4 =

36 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto 95 = 1 + = = 8 = 7 = 96 = 4 = 0 = = = 0 = = 0 = = 6 = 1 = 6 = = = = 1 = 40 1 = = 0 = 5 = 5 Svolgimento di alcuni esercizi. 85 Si ha che 87 Si ha che 6 = 0 6 = 0 = = = l incognita è in un valore assoluto applicando l equivalenza AE1 = la soluzione l incognita è in un valore assoluto portando al membro l equazione è impossibile per la AE 89 Si ha che l equazione è impossibile per la AE. 94 Si ha che 1 = l incognita è in più valori assoluti (1 ) = ( ) applicando l equivalenza AE4 1 + = = 0 svolgendo i calcoli portando tutto al 1 membro dunque l equazione iniziale è equivalente ad una equazione algebrica di secondo grado. Poiché il discriminante di è = 100 4( )( 8) = = 4 > 0 allora l equazione ammette le due soluzioni = 10 ± 4 ( ) 99 Si ha che 400 Si ha che = 10 ± = 0 1 = 0 = 0 = 1 ( 1) = 0 = 1 ( = 0 = 1) = 1 1 = 8 1 = ±8 = 1 ± 8 = 1 ± 8 = 7 = = 4 =. l incognita è in più valori assoluti applicando l equivalenza AE5 svolgendo i calcoli svolgendo i calcoli la soluzione l incognita è in un valore assoluto applicando l equivalenza AE portando 1 al membro dividendo i membri per le soluzioni Esercizi Risolvere le seguenti equazioni aventi, tra i loro termini, i valori assoluti di una o più espressioni contenenti l incognita. 404 (1 + ) = = = 1 = = 4 = = = 1 = 0 = = = = = 0 0 = 1 41 a + b = b a, con b > a = a = b = + 1 = = = 1 = 5 = 4 [email protected]

37 4. Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche = + = 1 = = (1 + ) + = = = = = 0 = 1 = = 5 = 11 7 = = = = = = = 1 4 (+) 1 = = 5 4 Questionario Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta = 0 V F = 0 = 1 V F 46 = R V F 47 1 = 1 = 0 V F 48 1 = 0 = 1 V F Disequazioni numeriche, intere e fratte = 0 = V F 40 a +1 = a +1 = ± V F = 0 = V F = 0 V F 4 + = = 0 = 1 V F 4.1. Questionario Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta. 44 < 7 V F 45 4 < 7 V F 46 A B A B V F 47 A B A < B V F V F 49 9 V F 440 A K 0 K A K V F 441 A K 0 (A K A K ) V F 44 A B (B 0 B A B) V F 44 A B (A < B A > B) V F 444 ( A B B < 0) R V F 445 A > B ( A B B > 0) V F 446 A < B ( A B B > 0) V F Linee guida allo svolgimento degli Esercizi E sempre possibile ricondurre le disequazioni con il valore assoluto ad altre equivalenti algebriche. Nel più sfortunato dei casi si deve applicare la definizione di valore assoluto e quindi discutere vari scenari a seconda del segno dell argomento del valore assoluto. In altri più semplici si possono applicare le seguenti equivalenze: AD f() > 0 f() 0; AD f() 0 f() = 0; AD4 f() < 0 ; AD5 f() + g() > 0 ( f() 0 g() 0 ) ; AD1 f() 0 dom(f); AD6 f() < Esercizi Tenendo presente la definizione di valore assoluto di un numero reale, risolvere nel modo più rapido possibile le seguenti disequazioni giustificandone i procedimenti risolutivi.

38 4.1. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto > 1 R = ± > > > > 0 R R > = 0 = > > 0 R > > 0 R > > < 1 0 > 46 0 < < ( 1 ) = = < = > 0 R > 0 R > 0 ± > = 1 Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni del tipo f() k con k > > < 5 4 > < 0 0 < < < ( ) + < > 1 < < 11 7 < < 0 Esercizi Risolvere i seguenti problemi > 6 < 0 > > 1 < < 0 0 < < < < < 1 1 < < < < < < ( 1) < 1 > 5 48 Stabilire per quali valori del parametro a l equazione a a = 0 ammette una soluzione il 8 cui modulo è maggiore di. a < 611 a > k Determinare per quali valori del parametro k l equazione k = 0 ammette una soluzione 4 il cui modulo è minore di < k < Stabilire per quali valori del parametro k l equazione (k 1) k + 1 = 0 ha soluzioni maggiori, in valore assoluto, di 1. k < 0 (k > ) k 1 [email protected]

39 4. Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 486 Data l equazione + k = 0, k R, si determinino i valori di k per i quali le soluzioni delle equazioni sono reali e concordi. < k 1 1 < k < 487 Determinare per quali valori del parametro k l equazione (1 + k) + = k( ) ha una soluzione il cui valore assoluto è maggiore di 1. 4 < k < 5 k 1 4. Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni numeriche, intere e fratte 4..1 Esercizi Spiegare perché le seguenti equazioni sono impossibili. 488 = = = = = = = = con < 0 Questionario 4... Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta = = + = = = + 9 = 5 = = = = + 1 = = = 9 4 Disequazioni numeriche, intere e fratte = 8 = = 14 + = = = = 6 = Esercizi 4... Determinare il dominio D delle seguenti disequazioni irrazionali > D = 1, + ) < 4 D = R 509 n > n < D = (, + ) D = R { } D = (, 0) (0, 1) > 1 4 D = (, 5/ (1, + ) 51 1 < 5 D = 1, + ) < + D = R {0} < D = (, 1) (1, < D = R { } Esercizi Giustificare, senza eseguire nessun calcolo, che le seguenti disequazioni sono impossibili. 517 < < < >

40 4 4.. Equazioni e disequazioni irrazionali < < < < < > < 0 50 n + < < Questionario Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta > 1 V F < 0 V F 54 0 R V F 55 4 V F V F 57 < 7 < 7 V F > 0 R V F 59 1 < 5 < 6 V F > 5 > 6 V F > + 6 R V F > 1 1 V F > 1 0 V F < > 4 V F < < V F < 0 V F > 0 V F > 0 1 V F 549 = V F 550 > 10 > 0 V F 551 > 1 V F Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali < 4 < > > > > / > 1 > < 0 1 < 17/ > 0 0 < > < < < > 0 / 565 < 1 > > 0 5 < < < 1 1 < < 1 < R 570 n 5 < 1, con n N 5/ < 571 n+1 5 < 10, con n N 0 < < 1 5 < < < + < < < < < + 4 R = < > = 0 Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali del tipo n f() g() con n N. [email protected]

41 4. Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 5 58 < > > 1 R > + 1 < < + 1 < 1 > < < < 1 > > < > + 0 < < > < < < 5 5 < > > < < < > + 1 < / > 599 ( ) > 600 ( ) + < 0 4 < < < 7/ Esercizi Studiare il campo di esistenza ed i segni delle seguenti funzioni irrazionali parametriche. 60 f() = k /4 4 k /4 Svolgimento di alcuni esercizi. 60 Il campo di esistenza della funzione f è dato dalla condizione ( k /4 0 k /4 > 0 k /4 > 0 k < < k. Scriviamo ora la funzione come prodotti e quozienti di fattori. p k /4 4 p k l equazione è irrazionale 4`p /4 k /4 4 p sommando i termini k /4 4`p k /4 4 p k /4 numeratore e denominatore sono funzione della stessa espressione che a sua volta determina il campo di esistenza dell intera funzione 4(k /4) 4 p k /4 è possibile levare le parentesi al numeratore svolgendo i calcoli senza alterare il campo di esistenza della funzione che è già determinato dalla radice presente al denominatore 4k p (k /4) al numeratore si levano le parentesi svolgendo i calcoli, al denominatore si fattorizza il 4 che premoltiplica la radice in facendo entrare un nella radice 4k svolgendo i calcoli al numeratore ed al denominatore 4k (k ) mettendo in evidenza un al numeratore 4k k la funzione è pronta per essere studiata 4k Ora, poiché la radice al denominatore è sempre strettamente positiva (vedi campo di esistenza), si ha che «k sign = sign(k ). 4k Lo studio del segno della funzione iniziale è riconducibile dunque allo studio del segno di k ( k, k ) il quale ha il seguente prospetto dei segni sull insieme

42 6 4.. Equazioni e disequazioni irrazionali dal quale si evince immediatamente che: ˆ ˆ ˆ ˆ il campo di esistenza di f è ( k, k ); f() = 0 = ± k ; f() < 0 k < < k ( k, k ); f() > 0 k < < k k < < k ( k, k ) ( k, k ); [email protected]